éîäõ

13.4.4. Расчет индуктивностей
В этом разделе рассматриваются статические индуктивности, которые зависят от геометрии системы проводящих контуров с токами,
магнитной проницаемости среды и самих проводников. Если
 a  const, то индуктивности не зависят от токов.
Получим общее выражение для взаимной индуктивности двух
проводящих контуров произвольной формы, размеры поперечного сечения которых малы как по сравнению с их длинами l1 è l2 , так и с
расстоянием между контурами (рис. 13.22,а).
Векторный магнитный потенциал в некоторой точке от первого
 I dl
контура с током I1 подсчитаем по формуле (13.54): A1  a 1  1 , где
4 l R
1
 a – магнитная проницаемость среды, а R – расстояние от элемента тока I1dl1 до рассматриваемой точки. Магнитный поток, создаваемый
этим током и пронизывающий второй контур, можно подсчитать по
формуле (13.53):  21   A1dl 2 . По определению (см. раздел [5.1]) взаl2
имная индуктивность второго контура по отношению к первому равна



dl dl
M 21  21  21  a   1 2 .
(13.64)
I1
I1
4 l l
R
1 2
Здесь R – расстояние между элементами контуров dl1 è dl 2 .
Легко убедиться, что вычисление взаимной индуктивности первого контура по отношению ко второму, в котором протекает ток I 2 , даст тот
же самый результат. Так что M12  M 21  M , как это и должно быть в
соответствии с принципом взаимности.
Вычислить подобным же образом собственную индуктивность без
каких-либо оговорок нельзя, поскольку двойное интегрирование по одной и той же длине даст результат, неимеющий физического смысла.
Обычно потокосцепление контура с током и магнитного потока, им создаваемого, представляют в виде двух составляющих:
   внш   внт .
Внешнее потокосцепление  внш определяется магнитным потоком, замыкающимся вне проводника (на рис. 13.22,а этот поток пронизывает заштрихованную площадку, ограниченную контуром l2 ), а
внутреннее  внт – в теле самого проводника, заключенного между
внутренним контуром l2 и внешним l3. Если предположить, что ток
сосредоточен на оси проводника, то первое слагаемое можно определить по формуле (13.64), учитывая весь ток по длине l1 и весь магнитный поток за пределами контура l2 :
 I
dl dl
 âí ø  âí ø  a   1 2 .
4 l l
R
1 2
dl1
l1
r0
dr
Φвнш
r
R
l2
dl2
l3
а
б
Рис. 13.22
Полагая далее, что радиусы закругления отдельных участков проводника значительно превышают размеры его поперечного сечения,
подсчитаем внутреннее потокосцепление, используя результаты расчета
магнитного поля внутри прямолинейного проводника с током, полученные в примере 13.14.
Магнитный поток, пронизывающий элементарную площадку шириной dr и длиной l1, которая перпендикулярна плоскости чертежа на
 Ir
рис. 13.22,б, равен d   Bds  a l1dr. Этот поток сцепляется с током
2r02
I r  r 2  I (r / r0 )2 , составляющим долю I r / I  r / r0 от всего тока I.
Значит, потокосцепление элементарного потока и тока составит
 I
I
d  âí ò  r d   a l1r 3dr. Тогда внутреннее потокосцепление
I
2r04
r0
 lI
l1r 3dr  a 1 .
4
8
0 2r0
Теперь можно подсчитать и индуктивность:
L   I   âí ø I   âí ò I  Lâí ø  Lâí ò.
(13.65)

 l
dl dl
Здесь Lâí ø  a 2   1 2 , à Lâí ò  a1 1 , где  a 2 – абсолютная
4 l l
R
8
âí ò  
1 2
a I
магнитная проницаемость окружающей проводник среды, а  a1 –
проницаемость материала проводника. Если они равны (например,
0 
dl1dl2 l1 

медный проводник в воздухе), то L 
  R  2  . У достаточно
4  l l
1 2

длинных и тонких проводников доля, вносимая внутренней индуктивностью, несущественна. Если же провод изготовлен из ферромагнитного материала, то эту добавку необходимо учитывать.
Пример 13.16. Индуктивность двухпроводной линии.
Известны: d – расстояние между осями медных (a  0 ) проводов воздушной линии, r0 – их радиусы.
Определить индуктивность единицы длины линии L0 .
Решение
Искомую величину определим по формуле (13.65), причем для
вычисления внешней индуктивности воспользуемся результатами, полученными в примере 13.15. Магнитный поток, пронизывающий прямоугольную площадку между проводами линии длиной l и шириной d  2r0 , легко определяется по формуле (13.53). Действительно,
выполняя интегрирование по внутреннему контуру линии, следует
иметь в виду, что величина векторного магнитного потенциала в точках
этого контура одинакова, а направление совпадает с направлением тока
соответствующего провода. Поэтому значения интеграла на сторонах
прямоугольника длиной l одинаковы:  Adl   Adl  Al , а на сторонах,
l
l
им перпендикулярных, обращаются в нуль.
Подставив в выражение (13.61) r1  r0 è r2  d  r0 находим
 I d  r0
 lI d  r0
и
A  0 ln
. Затем вычисляем  внш  2 Al  0 ln
2
r0

r0
 l d  r0
L
Lâí ø  âí ø  0 ln
. В свою очередь внутренняя индуктивность
I

r0
двух проводов общей длиной 2l, как было показано выше, равна
 l
Lâí ò  0 . Остается их просуммировать, приняв l равной единице
4
L
 Lâí ò 0  d  r0 1 

 .
длины: L0  âí ø
 ln
l
 
r0
4
В линиях электропередачи d r0 , поэтому, пренебрегая в этом
случае и внутренней индуктивностью, можно записать:

d
L0  0 ln .
 r0
Сравним полученное выражение с формулой емкости единицы
длины линии (13.36). Налицо определенное сходство, диктуемое принципом двойственности, который проявлялся и в аналогии картин магнитного и электростатического полей двухпроводной линии. Поэтому
1
1

 c равна скорости света, а волновое сопротивдробь
L0C0
 0 0
L0 1 0 d
d

ln  120ln .
C0  0 r0
r0
Пример 13.17. Индуктивность коаксиального кабеля.
Известны геометрические размеры кабеля (рис. 13.18) с медной
жилой и оболочкой из ферромагнитного материала с абсолютной магнитной проницаемостью  a .
Определить индуктивность единицы длины кабеля L0 .
Решение
Индуктивность кабеля длиной l можно представить в виде трех
слагаемых. Первое – это внутренняя индуктивность центрального проводника, которая определяется, как в примере 13.16, для одного провода
 l
 ò 0 .
Lâí
8
Второе – внешняя индуктивность, которая связана с магнитным
потоком, замыкающимся внутри изоляции. На рис. 13.21 он пронизывает прямоугольную площадку, перпендикулярную плоскости чертежа,
длиной l и шириной r1  r0 . При вычислении магнитного потока с помощью формулы (13.53) обнаружим, что свой вклад в нее вносит лишь
значение векторного магнитного потенциала на стороне прямоугольника, совпадающей с внутренней поверхностью трубчатого проводника.
На внешней поверхности центрального проводника A  0 в силу принятого при определении векторного магнитного потенциала условия. На
двух поперечных сторонах значение интеграла равно нулю поскольку
векторы А и dl взаимно перпендикулярны. Поэтому искомый поток
 lI r
  l r
 ø   0 ln 1 .
   A d l  (l ) A r r  0 ln 1 , тогда Lâí
1
2 r0
I
2 r0
Третье слагаемое – это внутренняя индуктивность трубчатого
проводника, которая определяется из расчета потокосцепления подобно
тому, как это было сделано в начале раздела для  внт применительно
к центральному проводнику. При этом следует использовать формулу
ление такой линии равно: zB 
векторного потенциала A 3 из (13.60,а). Опуская вычисления, приведем
2
2
 r4
r2 3r2  r1 
μ al
2

.
 
конечный результат: Lвнт
ln 
2
2  2
2
r
4

2π(r2  r1 )  r2  r1
1

Полное значение индуктивности на единицу длины кабеля равно
 ò  Lâí
 ø  Lâí
 ò ) / l.
L0  ( Lâí
Если не учитывать внутренние индуктивности проводников, то в
формуле останется одно слагаемое:

r
L0  0 ln 1 .
2 r0
Характерно, что и это выражение обладает сходством с формулой
емкости единицы длины кабеля, полученной в примере 13.10. Сходство
обусловлено принципом двойственности, который упоминался при анализе результатов предыдущего примера. В кабеле, как и в двухпроводной линии, скорость распространения электромагнитной волны не зависит от его геометрических размеров, но оказывается меньше скорости
1
1
c


. Ведь относительная диэлектрическая
света: v 
L0C0
0a
r
проницаемость изоляции  r  1. Эта же величина входит и в формулу
волнового сопротивления кабеля: zB 
L0
1 0 r1
60
r

ln 
ln 1 .
C0 2 a r0
r r0