Распространение плоской электромагнитной волны в

Лабораторная работа № 62
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
В ПРОВОДНИКАХ, ПОМЕЩЕННЫХ В ФЕРРОМАГНИТНЫЙ ПАЗ
1. Краткое содержание работы
В работе исследуются особенности распространения электромагнитной
волны в проводниках прямоугольного сечения, заполняющих ферромагнитный
паз, т.е. электрический поверхностный эффект и эффект близости.
На основании опытного и теоретического исследования определяется
распределение напряженности электрического поля (плотности переменного
тока) в проводниках и напряженности магнитного поля по глубине паза,
комплексное сопротивление проводников. С помощью расчета определяется
влияние удельной проводимости проводника и частоты переменного тока на
распространение плоской волны.
Рассматриваемая конструкция представляет собой модель паза статора или
ротора электрической машины, где по глубине паза размещаются проводники,
создающие магнитное поле. Проводимые в работе исследования связаны с
определением практически важных характеристик, (потери в проводниках,
расчет электромагнитных моментов в машине и т.д.).
2. Описание установки к лабораторным работам № 62 и № 63
В работе используются проводники прямоугольного сечения, или шины.
Шина № 1 состоит из одного проводника с зажимами для подключения гибких
токопроводов к блоку питания (выводы к1, к2) (рис. 1). Шина № 2 состоит из
двух проводников, внешнее соединение которых обеспечивает ток одного
направления (на рис. 1 показано включение шины № 2). На шинах размещены
датчики электрического и магнитного полей.
Ш2
1-я шина №2
2-я шина №2
А
Ф
H
E
П1
П2
П3
опора сигнал
Рег.тока
вкл
П4
Ш3
к1 к2
П5
Рис.1
100
Датчик электрического поля (рис. 2,а) измеряет значение Ex вдоль шины
UE = ∫Edl = Exl ,
(1)
где l – расстояние между контактами 1 и 2, выполненными в виде отпаек на
шине и расположенными вдоль линий тока. Измерительные провода
располагаются вдоль линий тока в проводнике и далее для уменьшения
погрешности эксперимента (исключения посторонних магнитных полей,
пронизывающих измерительный контур) перевиваются.
Датчик магнитного поля (рис. 2,б ) – плоская вытянутая катушка сечением
S = cd (размер c выбирается минимальным) с числом витков w. Располагается
датчик на боковой поверхности шины так, что нормаль к поверхности катушки
совпадает с направлением напряженности магнитного поля
UH = јωμ0SwHy .
(2)
U ≈ E
U ≈ H
Ex
w
l
c
I
Hy
d
б)
a)
Рис. 2
В шине № 1 шесть датчиков Ex и Hy размещаются по высоте шины с
шагом 1 см. Выходы датчиков выведены на разъем Ш2, который должен быть
соединен кабелем с измерительной частью блока питания (см. рис. 1).
Модель открытого паза электрической машины (к лабораторной работе
№ 62) собрана из листов трансформаторной стали П-образной конфигурации. В
паз помещают шины.
Положения переключателя ПЗ E и H соответствуют подключению блока
питания к датчикам электрического или магнитного полей. Наибольший номер
на шкалах переключателей П1 (датчики HY) и П2 (датчики Ex) соответствуют
датчикам, расположенным на большей глубине паза z. Для шины № 2 положения
переключателей № 1–3 соответствуют верхнему, а № 4–6 нижнему проводнику.
В измерительной части блока питания напряжение, снимаемое с датчиков,
усиливается с коэффициентом усиления Кус. Выводы «сигнал» служат для
подключения электронного вольтметра, измеряющего напряжение U1,2 = КусUH,E.
Истинные значения Hy и Ex определяются следующим образом:
Hy = U1/2πfSwКусμ0 = U1КH ,
(3)
Ex = U2/lКус = U2КЕ .
(4)
101
Для определения фаз комплексных значений Ex и HY к выводам «сигнал» и
«опора» подключается фазометр, который измеряет угол сдвига фаз напряжений
U1 и U2 относительно «опоры». В качестве «опоры» выбрано напряжение,
снимаемое с верхнего датчика № 1 напряженности электрического поля.
Необходимо учитывать, что в соответствии с (2) показания фазометра при
измерении угла U1 нужно уменьшить на 900 для определения фазы Hy. Ток
проводника регулируют рукояткой «Регул. тока», установленной на лицевой
панели блока питания. Его значения определяют показания амперметра с учетом
коэффициента трансформации Ктр.
3. Теоретическая справка
Переменный ток, протекающий по проводнику в пазу (рис. 3,а) связан с
возникновением электромагнитной волны в направлении оси Z . Поскольку
магнитная проницаемость паза μпаза  μпров , а проводимость σпаза ≈ О,
можно считать, что вектор магнитного поля в проводнике нормален к боковой
стенке паза, в ферромагнитном материале H = 0, а вектор напряженности
электрического поля направлен по току I ).
x
y
Hy
Ex
μфер= ∞
h
z
z
b
a
0
а)
h
б)
z
0
h
в)
Рис. 3
Такая ориентация векторов характеризует плоские электромагнитные волны,
т.е. волны, для которых E и
H ортогональны и находятся в плоскости,
перпендикулярной направлению распространения волны.
Уравнения Максвелла, связывающие значения E и H
в проводнике,
приводят при учете конечной толщины изоляции от стенок паза (a ≠ b , см.
рис. 3,а ) к следующим дифференциальным уравнениям
- ∂Ex/∂z = јωμμ0Hy;
(5)
-∂Hy/∂z = σExb/a,
102
где a – ширина паза, b – ширина проводника, ω – частота , μ – относительная
магнитная проницаемость, σ – проводимость материала проводника.
Из решения (5) находится распределение электрического и магнитного
полей в виде алгебраической суммы двух волн (прямой и обратной):
Ex =A1е-γz + A2еγz =Exпр+ Exобр; Hy = A1е-γz/Zc – A2еγz/Zc=Hyпр– Hyобр , (6)
где
γ = (јωμμ0σb/a)1/2 – коэффициент распространения,
Zc = (јωμμ0b/aσ)1/2 – волновое сопротивление.
Постоянные интегрирования A1 и A2 определяются из граничных условий:
при z = h ( дно паза ) Hy = 0 , при z = 0 Hy(0) = I/a.
(7)
Условия (7) непосредственно следуют из закона полного тока. После
определения A1 и A2 из (6) получаем для одного проводника в пазу :
Ex = I Zcch γ(h-z)/(b sh γh);
Hy = I sh γ(h-z)/(a sh γh).
(8)
Расчеты по формулам (8) показывают монотонное уменьшение
(затухание) напряженностей магнитного и электрического полей (и плотности
тока) по мере углубления в паз (рис. 3,б,в). Это явление получило название
поверхностного эффекта. Для его оценки вводится понятие глубины
проникновения электромагнитной волны z0 как той глубины, на которой прямая
волна затухает в e раз
z0 = (2a/ωμμ0σb)1/2 .
(9)
Если в пазу располагается два проводника (рис. 4,а) , то помимо затухания
имеет место передача энергии между проводниками, что приводит к нарушению
монотонности распределения E
и H по глубине паза и возникновению
их экстремумов (рис. 4,б). Данное явление получило название эффекта близости.
x
Ex
+j
y
h
z=0
h
z z
Ex
z
+1
z=h
b
0
h
h
z
a
a)
б)
Рис. 4
Рис. 5
103
Для определения Ex(z), Hy(z) в верхнем проводнике постоянные
интегрирования A1 и A2 находятся также из граничных условий. При выборе
начала координат на его верхней грани:
при z = 0 Hy = I/a и при z = h Hy = I/2a
(10)
(определяется из закона полного тока при том, что H = 0 при z = 2h).
После преобразований при подстановке в (6) соотношений (10) получаем
Ex = Iγ(2chγ(h-z) – chγz)/(2bσshγh);
Hy = I(2shγ(h-z) + shγz)/(2ashγh) .
(11)
Распределение напряженностей Ex(z) и Hy(z) в нижнем проводнике можно
определить по (8), если начало отсчета z перенести на верх нижнего провода. На
рис. 4,б приведены результаты расчета Ex(z) для двух проводников.
Графики типа рис. 3,б,в, 4,б не учитывают изменение фазы напряженностей электрического и магнитных полей по глубине паза. Более полной
характеристикой являются их годографы – см. рис. 5, где приведен годограф
Ex(z) для случая одного проводника в пазу.
Проникновение волны в проводник связано как с тепловыми потерями
энергии электромагнитной волны, так и с накоплением и обменом этой энергии с
источником. Интенсивность этих процессов, а также интегральные параметры
всего устройства в целом (S – комплексная мощность, Q – реактивная мощность,
P – активная мощность , R – активное сопротивление , X – реактивное
сопротивление ) могут быть определены по теореме Умова- Пойнтинга.
S = – ∫Пds = I2Z = P + јQ =I2R + јI2X ,
(12)
где
П = [ExH*] .
Для одного проводника в пазу поток вектора П отличен от нуля только на
открытой части паза, т.е. при z = 0. Тогда
S = Ex(0)H*(0)al , где
l – длина проводника.
Комплексное сопротивление Z0 проводника длиной в 1 м определяется
следующим образом:
Z0 = R0 + јX0 = S/I2l = Ex(0)H*y(0)a/I2 .
(13)
После подстановки выражений Ex(0) и H*(0) из (4) получаем
Z0 = Zc cthγh/b .
(14)
4. Подготовка к работе.
1. Рассчитать глубину проникновения z0 плоской электромагнитной волны в
проводник, помещенного в паз ферромагнитного материала, при частотах 50 Гц
и 400 Гц. Размеры проводника: h = 6 см, b = 0,4 см. Размеры паза: h = 6 см, a =
0,7 см. Проводимость проводников σ1 = 0,9·105 1/ом.см и σ2 = 5,7·105 1/Ом.см.
2. Рассчитать сопротивление 1 м проводника при
σ1 = 0,9·105 1/Ом.см,
f = 50Гц при указанных в п.1 размерах проводника и паза. Сравнить с активным
сопротивлением проводника постоянному току R = l/σbh.
104
3. Рассчитать и построить по формулам (8) графики Ex(z) и Hy(z) и
годографы Ex(z) и Hy(z) в относительных единицах (см. п.1 Методических
указаний).
5. Рабочее задание
1. Собрать схему измерения для шины № 1.
2. Поставить переключатели П4 и П5 в положение 50 Гц. Установить
ручкой «Регул. тока» максимальный ток в шине и рассчитать его значение I =
КIIA, где КI – коэффициент трансформации трансформатора тока, а IA – показания
амперметра блока питания, значение КI указано на стенде.
3. Поставить переключатель П3 в положение «H» и записать показания
вольтметра и фазометра φ при положениях переключателя П1 с 1 по 6. Для
определения значений Hy в А/см показания вольтметра необходимо умножить
на коэффициент КH. Этот коэффициент определяется из (3) при параметрах
датчика S = 3 см2, w = 10. Значение Кус указано на стенде. Фаза φ определяется
по показаниям фазометра и должна быть уменьшена на 900.
4. Построить график Hy(z) и годограф Hy(z) в относительных единицах (см.
Методические указания п.1). Сравнить с графиками и годографами п. 3
Подготовки.
5. Поставить переключатель П3 в положение «E» и записать показания
вольтметра U2 и фазометра φ при положениях переключателя П1 с 1 по 6. Для
определения значений Ex в В/см показания вольтметра необходимо умножить на
коэффициент КE. Этот коэффициент определяется из (4) при l = 10 см. Значение
Кус указано на стенде.
6. Построить график Ex(z) и годограф Ex(z) в относительных единицах.
Сравнить с графиками и годографами п. 3 Подготовки.
7. По годографу Ex(z), построенному в п. 6, определить ток в проводнике
(см. Методические указания, п. 2).
8. По результатам пп. 3–5 определить комплексное сопротивление Z0 на
единицу длины (формула (13)).
9. Рассчитать потери мощности в проводнике длиной 1м и сравнить с
потерями на постоянном токе.
10. Собрать схему измерения для шины № 2. Установить ее в паз и соединить
таким образом, чтобы ток в проводниках имел одно и то же направление.
11. При максимально возможном токе в шине I определить
экспериментально распределение Ex(z) и Hy(z) в каждом проводнике (см. пп. 3 и
5 Рабочего задания). Измерения с № 1 по 3 переключателей П1 и П2
соответствуют верхнему, а с № 4 по 6 – нижнему проводнику.
12. По результатам измерений п.12 построить графики Ex(z) и Hy(z) и
годографы Ex(z) и Hy(z) в относительных единицах для обоих проводников.
105
6. Методические указания к лабораторным работам № 62 и № 63
1. Графики Ex(z) и Hy(z) и годографы Ex(z) и Hy(z) по расчетным и
экспериментальным результатам строить в относительных единицах Ex(z) / Ex1(z)
и Hy(z)/ Hy1(z), где Ex1(z) и Hy1(z) – экспериментальные или расчётные значения в
точке проводника с координатой zmin. При измерениях из-за конструктивного
положения датчиков zmin не принято равным нулю и соответствует 10 мм, что
вносит погрешность в результаты , так как на этом расстоянии напряженности
Ex(z) и Hy(z) отличаются от их значений на поверхности примерно на 20%.
Годографы Ex(z) и Hy(z)
строить на одной координатной плоскости.
Рекомендуется вектор Hy(z), направить по вещественной оси , а Ex(z) сдвинуть
на положительный угол, равный разности фаз напряжений UE и UH (фаза UH
определяется по п. 3 Рабочего задания ). Значения Ex(z) / Ex1(z) и Hy(z)/ Hy1(z)
определяются как отношения соответствующих напряжений UE /UE1 и UH /UH1,
так как КE,H для всех датчиков одинаково.
2. Определение тока I по годографу Ex(z) проводится послeдовательным
суммированием комплексных значений Ex(z), полученных для точек измерения
1 – 6. Каждый последующий вектор сдвигается относительно предыдущего на
угол, равный разности фаз соответствующих напряжений. Вектор, соединяющий
начало комплекса Ex1(z) и конец Ex6(z), пропорционален току I.
I = σbh | Σ Exk(z) |
Это приближенное равенство справедливо при предположении, что Ex(z)
меняется скачкообразно от одной токи измерения к другой и zmin ≠0.
7. Вопросы для самопроверки
1. При каких допущениях справедливы формулы (8) для определения Ex(z) и Hy(z)?
2. Что такое глубина проникновения электромагнитной волны z0?
3. Как изменяется сопротивление проводника при переменном токе по сравнению с его
значением на постоянном токе?
4.Объяснить различие в распределении Ex(z) и Hy(z) для одного и двух проводников в
ферромагнитном пазу.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Т.2. Л.:
Энергоиздат, 1981. § 12–3.
2. Поливанов К.М. Теоретические основы электротехники. Т. 3. М.: Энергия,
1975. § 8–5.
106