Определим напряжения в узлах, решив методом простой

1
Практические занятия № 2 и № 3.
СОСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ
РЕЖИМА. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
(4 часа)
Линейные уравнения узловых напряжений (при задании токов в узлах) для
сети переменного тока из (n+1)-го узла могут быть записаны в следующем
виде:
 ó U
   3J 
Y
 ó  – полная комплексная матрица узловых проводимостей порядка
где Y
  – вектор-столбец
(n+1); J  – вектор токов в узлах (n+1)-го порядка; U
напряжений узлов (n+1)-го порядка.
Уравнения решаются обычно следующим образом. Один из узлов
системы, например (n+1)-й, принимается за базовый по напряжению и
балансирующий по току. В общем случае такими узлами могут быть два
разных узла. Напряжение в этом узле U n 1 предполагается известным, а ток
Jn 1 – неизвестным и равным сумме токов остальных n узлов. Токи в
остальных n узлах заданы, а напряжения неизвестны.
В результате отбрасывания (n+1)-го уравнения в вырожденной системе
перейдем к системе уравнений узловых напряжений n-го порядка:
 ó U
 U á n   3J ,
Y
  U á n  –
 ó – неполная матрица узловых проводимостей порядка n; U
где Y
вектор разности напряжений узлов; J – вектор-столбец токов в узлах
порядка n; n – единичный вектор-столбец.
Система уравнений узловых напряжений часто записывается в виде, когда
известные слагаемые в левой части переносятся вправо, т.е.
 óU
  3J  Y
 áU á
Y
 áU á – вектор-столбец, k-й элемент которого равен YkáU á .
где Y
Для перехода от комплексных уравнений узловых напряжений к системе
действительных уравнений необходимо выразить каждый комплексный
 ó и вектор-столбец U и J через его действительную и
элемент матрицы Y
мнимую составляющие. Тогда систему уравнений узловых напряжений для
цепи переменного тока можно записать в матричной форме в следующем
виде:
Gó
 Bó
B ó Ua
 g áU á
J

 3 à 
G ó Ur
báU á
Jr
2
К итерационным относятся методы, с помощью которых решение системы
линейных
алгебраических
уравнений
получается
как
предел
последовательных приближений, вычисляемых посредством единообразных
операций.
Для сети переменного тока только с индуктивными связями при Jr = 0 и
Urб = 0 уравнения узловых напряжений являются системой действительных
уравнений порядка n. В этом случае напряжение k-го узла на (i+1)-м шаге по
методу простой итерации определяется по выражению


n


1
i 1 
i 
U rk
   bkjU rj  3J ak  .
bkk  i 1

 jk

Это выражение для простой итерации можно записать в матричном виде:
U i 1  DU i  d ,
d  dk
выражаются

ïðè k  j; d kk  0 ïðè k  j;
bkk


3J ak

dk 
.

bkk
(*)
где элементы матрицы
D  d kj
и вектора
следующим образом:
d kj  
bkj
i 1 мало отличается от
Если каждое узловое напряжение в (i+1)-м шаге U rk
i  , то то часто
соответствующего узлового напряжения в предыдущем шаге U rk
считают, что итерационный процесс сошелся. В этом случае условие
i  стали
сходимости состоит в том, чтобы все поправки по напряжению U rk
меньше наперед заданной величины , т.е.
i   U i 1  U i    .
U rk
rk
rk
i 1 принимается в
Если это условие не выполняется, то значение U rk
качестве нового приближения, и итерационный процесс продолжается.
Обычно более обоснованным критерием окончания итерационного процесса
являются значения небалансов тока в узлах:
(i )
(i )
J ak
 3J ak  bkkU rk

n
 bkjU rj(i ) ,
j 1
j k
причем для индуктивностей
bkk  0; bkj  0 .
3
Если итерационный процесс сошелся, то все небалансы тока должны быть
меньше заданной величины, т.е.
(i )
J ak
  (k  1,  , n)
Для неоднородной сети переменного
определяются по комплексному выражению:
тока
напряжения
в
узлах


n

1
i   3J  Y U  .


U ki 1 

Y
U
  kj rj
k
ká á 
Ykk  i 1

 jk

Простую итерацию можно описать комплексным матричным выражением,
аналогичным приведенному выше:
U i 1  DU i  d
Сходимость итерационного процесса вначале контролируется по
i  и U i  , а затем по
действительной и мнимой составляющим поправок U ak
rk
(i )
(i )
действительной и мнимой составляющим небалансов тока J ak
и J rk
.
Пример 1.(3.14). Определить напряжение в узлах, решив методом простой
итерации уравнения узловых напряжений для сети, схема замещения которой
приведена на рисунке, используя данные: электрическая сеть 110 кВ, Схема
содержит три узла, из которых 1 и 2-нагрузочные, а узел 3-генераторный
(рис. 1).
Рис. 1. Схема замещения сети с индуктивными связями из трех узлов
Упрощенно полагаем, что ветви на землю отсутствуют, а сопротивление
связи между узлами чисто индуктивное. Значение этих сопротивлений в
относительных единицах (при базовой мощности Sб =50 МВА и базовом
напряжении Uб =115 кВ) равны: х12 =0.0813; х13=х23 =0.220.
4
Решение: Линейные уравнения узловых напряжений записываются
 ó U
   3J 
Y
или
 j16,8456
j12,3001 U1  U 3
J

 3 1 ,
j12,3001  j16,8456 U 2  U 3
J2
 j16,8456
j12,3001 U1
j 4,5455  U 3
J1

 3

.
j12,3001  j16,8456 U 2
j 4,5455  U 3
J2
1
êÀ ,
Если учесть, что U 3  U á  115 ê ; J1  J1à  0 ; J2  J2 à  
3
получаем
 j16,8456
j12,3001 U1r
0
J

 3 1à 
,
j12,3001  j16,8456 U 2 r
1
J2 à
где
U 1à  U 2à  U á ,
или по другому
j16,8456  U1r  j12,3001  U 2r  0 

 j12,3001  U1r  j16,8456  U 2r  1
(1)
Первое уравнение (1)решим относительно U1 , второе –относительно- U2.
Получим систему, эквивалентную (1):
U1 =0,7302U2 + 0;
U2 =0,7302U1 – 0,0594.
(2)
В матричном виде система (2) запишется следующим образом:
U1
U2

00.7302 U1
0


.
0.73020 U 2
 0.0594
Принимаем начальное значение вектор-столбца узловых напряжений:
U 1(0)
U 2(0)

0
.
0
0

Определим первое приближение:
U1(1)
U 2(1)

0
0,7302
0,7302
0

0
0
 0,0594

0
 0,0594
5
Вектор-столбец небалансов тока в первом шаге итерационного процесса
определяется по выражению:
J1(1)
J 2(1)

16.8456  12.3001
0
0
0.7306



.
 12.3001 1608456  0.0594
 1  0.0006
Определим второе приближение:
U1(1)
U 2( 2)

0
0.7302 0
0
 0.0434



.
0.7302
0
 0.0594
 0.0594
 0.0594
Вектор-столбец небалансов тока во втором шаге равен:
J1( 2)
J 2( 2)

16.8456  12.3001  0.0434
0
 0.0004



.
 12.3001 16.8456  0.0594
1
0.5332
Полученные новые значения неизвестных снова подставляем в правую
часть (2) и т.д.
Дальнейший расчет произведен на ЭВМ. Результаты расчета
итерационного процесса при заданной точности по напряжениям ε=±10-7
Uном = 0,00001 кВ приведены таблице 1. Расчет сошелся за 14 итераций при
точности ε=±10-5 Uном = 0,001 кВ.
Таблица 1.
Результаты расчетов примера 1
№ итерации
U1 , кВ
U2 , кВ
0
0
0
1
0
-0,0594
2
-0,0433
-0,0954
3
-0,0433
-0,0910
…..
…..
…..
14
-0,0917
-0,1256
….
…..
….
28
-0,0928
-0,1271
29
-0,0928
-0,1271
Пример 2. (3.15) Определить напряжения в узлах, решив методом простой
итерации уравнения узловых напряжений для сети, схема замещения которой
приведена на рисунке. Дано: электрическая сеть 110 кВ, схема замещения
которой приведена на рисунке 2. Схема содержит 4 узла, 1 и 2 из которых –
нагрузочные, а узлы 3,4-генераторные, сопротивления ветвей считаются
чисто индуктивными. Значения этих сопротивлений равны: х 12=20 Ом, х13=30
Ом, х23=15 Ом, х14=10 Ом, х24=16 Ом. В качестве балансирующего и базового
узла выбран генераторный узел 4.
6
Рис. 2. Схема замещения сети с индуктивными связями из 4-х узлов
Решение:
Система уравнений узловых напряжений может быть представлена как
 óU
  3J   Y
áU
á
Y
Y12  Y21   jb12   jb21  1 / jx12  1 / j 20  j 0,050;
Y13  Y31   jb13   jb31  1 / jx13  1 / j 30  j 0,0333;
Y23  Y32   jb23   jb32  1 / jx23  1 / j15  j 0,0667 ;
Y11   jb11  Y12  Y13  1 / jx14   j 0,050  j 0,0333  1 / j10   j 0,1833;
Y22   jb22  Y21  Y23  1 / jx24   j 0,050  j 0,0667  1 / j16   j 0,1792;
Y33   jb33  Y31  Y32   j 0,0333  j 0,0667   j 0,1000 .
1
êÀ ,
При условиях U 4  U á ; J1  J1à  0 ; J2  J2à  0 ; J3  J3à  
3
узловые уравнения можно записать в виде
 r  3J à
B óU
0,1833
 0,050
 0,050
0,1792
 0,0333  0,0667
 0,0333 U1r
J1à
0
 0,0667  U 2 r  3 J2 à  0
0,1000 U 3r
J3à
0
Систему приведем к виду, удобному для итерации.
U1 
b
b12
U 2  13 U 3  0
b11
b11
b
b21
U 1  U 2  23 U 3  0
b22
b22
b31
b
1
U 1  32 U 2  U 3 
b33
b33
b33
Разрешим последнюю систему относительно неизвестных U1, U2, U3:
7
U1  
b
b12
U 2  13 U 3 ;
b11
b11
U2  
b
b21
U 1  23 U 3 ;
b22
b22
U3  
b
1 b31

U 1  32 U 2 .
b33 b33
b33
(1)
В матричном виде данная система соответствует U i 1  DU i  d , где
0
b21
b22
b
 3
b33

D 
b12
b11
0

b32
b33
b13
b11
0
b23

; d 0 .
b22
1
0
b33

Подставим в (1) значения проводимостей и получим
U1(i 1)
0
0,2728 0,1817
U1i
0
U 2(i 1)  0,2790
0
0,3722  U 2i  0
0,333 0,6670
0
10
U 3i
U 3(i 1)
(2)
Решим систему (2). Примем начальные приближения узловых напряжений
U 1( 0)
0
U 2( 0)  0
10
U (0)
3
и определим первое приближение:
U1(1)
0
0,2728 0,1817
0
0
1,8170
U 2(1)  0,2790
0
0,3722  0  0  3,7720 .
0,3330 0,6670
0
10 10
10
U (1)
3
Полученные новые значения узловых напряжений снова подставим в
правую часть (2) и т.д.
Дальнейший расчет произведен на ЭВМ. Результаты расчета
итерационного процесса при заданной точности по напряжениям
  10 6 Uном = 0,0001 кВ приведены в таблице 2.
8
Таблица 2
№ итераций
0
1
2
3
…..
23
…..
29
30
Результаты расчетов примера 2
U1, кВ
U2, кВ
0
0
1,8167
3,7221
2,8320
4,2290
3,5312
5,6615
…..
….
5,1714
7,7225
…..
….
5,1724
7,7238
5,1724
7,7239
U3, кВ
10
10,0000
13,0876
13,7638
…..
16,8724
….
16,8741
16,8742
При точности   10 6 Uном=0,0001 кВ расчет сошелся за 23 итераций.
Пример 3 (3.16). Определим напряжения в узлах, решив методом простой
итерации уравнения узловых напряжений для сети, схема замещения которой
приведена на рис. 3.4., используя данные примера 3.3: схема содержит 2
узла:1-нагрузочный, а 2-генераторный, сопротивление линии Z21 =(10+J20)
Ом, в качестве балансирующего и базового принят узел 2, U 2  U б  115кВ , ток
1
нагрузки J1  J a1  jJ r1 
(0.4199  j 0.2099 )êÀ.
3
Рис.1. Схема замещения сети с активно-индуктивной связью
Решение.
Собственная проводимость узла 1 равна проводимости ветви 2-1:
Y11  g11  jb11 
1
1

 (0,02  j 0,04) Ñì .
Z 21 10  j 20
Неизвестное напряжение узла 1 обозначим:
U1  U a1  jU r1
Для сети из двух узлов узловое уравнение имеет вид:
Y11U1  3J1  Y1áU á .
9
Для данного случая Y1б = -Y11. Тогда уравнение можно записать:
0,02  j 0,04U a1  jU r1    0,4199  j 0,2099   0,02  j 0,04 115 .
Система действительных уравнений для данного примера имеет вид:
g11
 b11
 g1á U á
b11 U a1
J

 3 à1 
,
b1á U á
g11 U r1
J r1
или
0,02 0,04 U a1
 0,4199
0,02  115



 0,04 0,02 U r1
0,2099
 0,04  115
(1)
или по другому
0.02U a1  0,04U r1  1.8801;
 0.04U a1  0.02U r 2  4.3901 .
(2)
Итерационный процесс сходится быстрее, если элементы, расположенные
на главной диагонали матрицы коэффициентов, больше по модулю
остальных элементов строки. Поэтому для ускорения сходимости
итерационного процесса систему запишем в виде:
0,04U r1  0.02U a1  1.8801;
0.02U r 2  0.04U a1  4.3901 .
(3)
Систему (3) приведем к виду (*) – теоретическая часть:
U r1
U a1

0  0.5 U r1
47.0025


.
U a1 109 .7525
0.5
0
(4)
Примем начальное приближение действительной и мнимой составляющих
узлового напряжения
U r(10 )
U
(0)
a1

0
110
.
Первое приближение
U r(11)
U

(1)
a1
0
 0.5
0
47.0025
 7.9975
*


 0.5
0
110 109.7525 109.7525
Определим небаланс тока на первом шаге:
J r(11)
J
(1)
a1

0.02 0.04 109.7525
1.8801
 0.0049
*


.
 0.04 0.02  7.9975
 4.3901
 0.1599
Определим второе приближение:
U r(12)
U
( 2)
a1

0  0.5  7.9975
47.0025
 7.8737
*


0.5
0
109.7525 109.7525 105.7538
Небаланс токов во втором шаге:
10
J r(12 )
J a(12 )

0.02 0.04 105.7538
1.8801
 0.0799
*


.
 0.04 0.02  7.8737
 4.3901
0.0024
Полученные новые значения узловых напряжений снова подставляем в
первую часть (4) и т.д.
Дальнейший расчет произведен на ЭВМ. Результаты расчета
итерационного процесса при заданной точности по напряжениям ε = ±10-5
Uном=0,001 кВ приведены в таблице 3
Таблица 3
Результаты расчетов примера 3
№ Итерации
Uа1 , кВ
Ur1 , кВ
0
110
0
1
109,7525
-7,9975
2
105,7538
-7,8738
3
105,8156
-5,8744
….
……
…..
7
106,6037
-6,2994
8
106,6028
-6,2994