4. Анализ и расчет линейных цепей переменного тока

4. АНАЛИЗ И РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
4.1 Электрические цепи при гармоническом
воздействии
Воздействиями в электротехнике и электронике называют различные проявления электромагнитных сил, приводящие к изменению состояния электрической цепи. Под влиянием воздействий в электрической цепи возникают реакции, которые определяются как видом воздействия, так и характеристиками самой цепи.
Периодическими называют воздействия, для которых существует
отрезок времени Т, отвечающий условию периодичности:
x(t )  xt  nT ,
где
n = 1, 2, …
Физически такие процессы происходить не могут, поскольку предполагается, что они не имеют ни начала, ни конца во времени. Однако
использование идеализированных периодических воздействий значительно упрощает исследование процессов в электрических цепях, поэтому они широко применяются в задачах анализа и синтеза электрических цепей.
Основным видом периодических воздействий являются гармонические колебания.
Гармонические колебания вырабатываются в промышленных электрогенераторах, и возникают при самовозбуждении электронных
устройств.
Гармонические колебания – это единственные колебания, форма
которых не искажается при прохождении через линейные электрические
цепи.
Любое воздействие можно представить в виде суммы гармонических колебаний, поэтому, зная реакцию электрической цепи на гармоническое воздействие, можно определить ее реакцию на другие виды
воздействий.
Так как основными величинами, характеризующими состояние
электрической цепи, являются электрические напряжение и ток, гармонические колебания представляют собой синусоидальные или косинусоидальные функции напряжения или тока, аргументом которых является время (рис. 4.1):
u  U m sin t   u ,
(4.1)
i  I m sin t   i ,
где u, i – мгновенные значения напряжения и тока в рассматриваемый
момент времени t, например, для t = t1 ток i1  I m sint1   i  .
Рис. 4.1. Временные диаграммы синусоидального тока и напряжения
Период Т, с – промежуток времени, по истечении которого синусоидальный ток (напряжение, ЭДС) принимает одно и то же значение:
i1  I m sint1   i   I m sin t1  nT   i  ,
где n – целое число.
Частота f, Гц – число полных изменений периодической величины
в течение одной секунды:
(4.2)
f 1 T .
Амплитуда (Im, Um, Em) – наибольшее значение синусоидальной величины.
Фаза (полная фаза) , рад – аргумент синусоидальной величины,
например, для тока:
(4.3)
  t   i  ;
(4.4)
i  I m sin  .
Начальная фаза , рад – значение фазы в момент времени t = 0.
Угловая частота , рад/с – скорость изменения фазы:
(4.5)
  2 T  2f .
Сдвиг фаз , рад – разность фаз двух синусоидальных величин.
Например, сдвиг фаз между напряжением и током:
(4.6)
0  t   u   t   i    u   i .
2
Действующие значения периодических тока, напряжения и ЭДС –
это среднеквадратичные этих величин за время, равное одному периоду.
Например, действующее значение переменного напряжения:
T
U
1
U 2 t dt .
T0

(4.7)
Для синусоидальных токов, напряжений и ЭДС справедливы соотношения:
(4.8)
I  Im 2 ;
U  Um 2 ;
E  Em 2 .
Действующие значения тока, напряжения и ЭДС не зависят от времени и являются эквивалентными некоторым постоянным току I,
напряжению U и ЭДС Е, которые производят в электрической цепи такую же работу, что и переменные ток i, напряжение u и ЭДС е за одинаковый промежуток времени.
Для упрощения расчетов электрических цепей при гармонических
воздействиях используется комплексное представление гармонического
колебания.
По формуле Эйлера:
(4.9)
e j  cos  j sin  ,
где j   1 .
Гармоническое колебание (4.4) с использованием формулы Эйлера
можно записать в виде:
it   I Im e j  I Im e jt i   Im I e j1 e jt  Im I e jt , (4.10)
m
 
m

 
m
 
m

то есть, синусоидальный ток равен проекции на ось мнимых чисел вращающегося с угловой скоростью  вектора I m (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Векторная диаграмма (а) и мгновенное значение (б) синусоидального тока
3
Таким образом, синусоидальному току i (оригиналу) может быть
поставлено в соответствие комплексное число I e jt (изображение).
m
ji
Комплексное число I m  I m e
называется комплексной амплитудой синусоидального тока. Комплексная амплитуда содержит информацию о двух важнейших параметрах синусоидального тока – об амплитуде Im и о начальной фазе I (рис. 4.2).
Комплексным действующим током называется комплексное число
I  I
(4.11)
2  Ie ji .
m
Аналогичные преобразования могут быть выполнены для синусоидальных напряжений и ЭДС.
Комплексные амплитуды и комплексные действующие напряжения
и ЭДС при этом соответственно равны:
  U e ju ,
 U

(4.12)
U
U
2;
m
m
m
(4.13)
E  E m 2 ;
E m  E m e je ,
Используя комплексный метод можно перейти от решения системы
интегро-дифференциальных уравнений действительных функций времени (2.7) к решению системы алгебраических уравнений с комплексными токами, напряжениями и ЭДС.
Рассмотрим математические модели идеализированных элементов
электрических цепей в комплексной форме.
Активное сопротивление R (рис. 4.3, в):
  RI .
  RI ,
U
(4.14)
U
m
m
Выражение (4.14) называют законом Ома для активного сопротивления в комплексной форме.
Из формулы (4.14) также следует, что начальные фазы напряжения
и тока через активное сопротивление совпадают, и форма напряжения
на резисторе совпадает с формой тока (рис. 4.3).
4
Рис. 4.3. Векторная диаграмма (а), мгновенные значения синусоидального тока и напряжения (б), мгновенная мощность (г) на активном
сопротивлении (в)
При использовании проводимости активного сопротивления G =
 .
1/R закон Ома имеет вид: I m  GU
m
Мгновенная мощность, потребляемая активным сопротивлением:
(4.15)
pt   ut   it  .
Очевидно, что мощность, потребляемая активным сопротивлением,
имеет постоянную составляющую, характеризующую необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии. Эта мощность называется активной и измеряется в ваттах (Вт). В соответствии с
(4.7), (4.8) активная мощность
P  UI .
(4.16)
Электрическая емкость С (рис. 4.4, в)
dut 
и предdt
 e jt , получим:
ставляя напряжение в комплексной форме ut   Im U
m
jt

.
it   Im jCU e
Используя математическую модель емкости it   C

m



В этом выражении все сомножители, расположенные перед экспонентой, дают комплексную амплитуду тока через емкость:
5
I  jCU
 .
(4.17)
m
m
Уравнение (4.17) называют законом Ома для емкости в комплекс  jC
ной форме. Используя понятие проводимости, величину B
C
назовем реактивной комплексной проводимостью.
Реактивное комплексное сопротивление емкости:
 1 B
  1 jC .
(4.18)
X
C
C
Напряжение на емкости:
 X
 I  1 jC I   j C I .
(4.18)
U
m
C m
m
m
Из формулы (4.18) следует, что ток через емкость опережает
напряжение на емкости на 90. Напряжение и ток имеют синусоидальную форму.
Рис. 4.4. Векторная диаграмма (а), мгновенные значения синусоидального напряжения и тока (б), мгновенная мощность (г) на электрической емкости (в)
Мгновенная мощность в электрической емкости:
(4.19)
qt   ut   it  ,
может быть положительной и отрицательной и характеризует интенсивность колебательного обмена электрической энергией между емкостью
и источником без ее преобразования.
6
Эта мощность называется реактивной. Единица измерения, вольтампер реактивный (ВАр), определяется по формуле:
Q C  I 2 X C  U 2 BC .
(4.20)
Индуктивность L (рис. 4.5, а)
Используя математическую модель индуктивности u t   L


представляя ток в комплексной форме it   Im I m e jt , получим:


dit 
и
dt
ut   Im jLI m e jt .
В этом выражении все сомножители, расположенные перед экспонентой, дают комплексную амплитуду напряжения на индуктивности:
  jLI .
(4.21)
U
m
m
Уравнение (4.21) называют законом Ома для индуктивности в комплексной форме. Используя понятие сопротивления, величину
  jX  jL назовем реактивным комплексным сопротивлениX
L
L
ем.
Реактивная комплексная проводимость индуктивности:
 1 X
  1 jL .
(4.22)
B
L
L
Ток через индуктивность:
I  B
 U



4.23)
m
L m  1 jL  U m   j L  U m .
ИЗ формулы (4.23) следует, что ток через индуктивность отстает от
напряжения на индуктивности на 90. Напряжение и ток имеют синусоидальную форму (рис. 4.5, а).
Так же как и емкость, идеальная индуктивность не потребляет активной мощности. Две четверти периода энергия накапливается в ней в
виде магнитного поля, две четверти периода в виде электрического поля
отдается во внешнюю цепь.
Величина реактивной мощности в индуктивности:
Q L  I 2 X L  U 2 BL .
7
(4.24)
Рис. 4.5. Векторная диаграмма (б) тока и напряжения на индуктивности (а)
Метод анализа цепей с использованием законов Ома и Кирхгофа в
комплексной форме называется методом комплексных амплитуд
(МКА). МКА аналогичен методам расчета резистивных цепей на постоянном токе. Все формулы, полученные на постоянном токе, обобщаются для цепей с гармоническими воздействиями, если вместо сопротивлений резисторов ввести комплексные сопротивления элементов, а вместо постоянных токов и напряжений записать комплексные амплитуды.
Используя МКА, введем понятие комплексного сопротивления
участка цепи. Пусть задан участок электрической цепи, содержащий
пассивные элементы и имеющий только два контакта а и б для включения в более сложную цепь (рис. 4.6). Такие цепи называются двухполюсниками.
Рис. 4.6. Пример двухполюсника
 U


Величина Z
m I m называется комплексным сопротивлением
двухполюсника, обратное отношение называется комплексной прово 1 Z
  I U
 . Двухполюсник полнодимостью двухполюсника: Y
m
m
стью описывается своим комплексным сопротивлением (проводимостью).
8
По правилу последовательного соединения:
  R  1  jL  R  jL  j  R  j   L  1   R  j  X  X  . (4.25)
Z
L
C
jC
C
C 

Рассмотрим численный пример:
L = 0,159 мГн;
С = 15,9 нФ;
R = 10 Ом;
f = 95 кГц;
  U 1B .
U
m
m
Угловая частота:
  2f  2  3,14  95  10 3  597  10 3 рад / с .
Комплексное (полное) сопротивление (4.25):



  10  j  597  10 3  0,159  10 3  1 597  10 3  15,9  10 9  10  10 j, Ом
Z
Модуль полного сопротивления:
Z  R 2  X L  X C 2  10 2  10 2  14 Ом .
Сдвиг фазы между напряжением и током:
 10 
  arctg    45  .
 10 
Полное сопротивление в экспоненциальной форме:
  Ze j  14 e  j45 , Ом .
Z
Комплексная амплитуда тока:
I  U Z
  1 14e  j45  0,0707 e j45  0,05  j  0,05, A .
m
Полученные результаты можно прокомментировать с помощью
векторной диаграммы (рис. 4.7, а).
9
Рис. 4.7. Векторная диаграмма (а), мгновенные значения синусоидального тока (б), мгновенная мощность (в) в сложной электрической
цепи
Мгновенная мощность в цепи
s( t )  u ( t )  i ( t ) ,
может быть как положительной, так и отрицательной.
Если s(t) > 0, то энергия поступает в цепь.
Если s(t) < 0, то энергия из участка цепи отдается во внешние
устройства.
Комплексная мощность:
 I  UIe j  UI cos   jUI sin   P  jQ .
(4.26)
S  U
Действительная составляющая комплексной мощности Р называется активной мощностью и характеризует интенсивность необратимого
преобразования электрической энергии в другие виды энергии:
P  UI cos   I 2 R  U 2 G ,
где U  U m 2 , I  I m
Для нашего примера:

P  1,0

2 – действующие напряжение и ток.
2  0,0707

2  cos 45   0,025 Вт .
10
(4.27)
Мнимая составляющая комплексной мощности Q называется реактивной мощностью и характеризует интенсивность колебательного обмена электромагнитной энергией между источником питания и реактивными элементами цепи:
Q  UI sin   I 2 X L  X C   U 2 BC  BL  .
В нашем примере:


(4.28)

Q  1,0 2  0,0707 2  sin 45   0,025 В  Ар .
Полная мощность – это наибольшее значение активной мощности,
которое может быть получено при заданных значениях напряжения и
тока. Единица измерения – вольт-ампер (ВА).
S  UI  P 2  Q 2  I 2 Z  U 2 Y .
В нашем примере:


(4.29)

S  1,0 2  0,0707 2  0,03535 BA .
Коэффициент К = cos называется коэффициентом мощности. Чем
ближе cos к единице, тем эффективнее используется энергия источника питания.
Резонанс – явление в электрической цепи, содержащей индуктивные и емкостные элементы, возникающее в случае, когда реактивное
сопротивление или реактивная проводимость этой цепи равна нулю:
XL  XC = 0;
BC  BL = 0.
(4.30)
При резонансе цепь имеет чисто активное сопротивление или проводимость:
  R  j  X  X   R ;
(4.31)
Z
L
C

(4.32)
Y  Q  j  B  B   G .
C
L
Следовательно, напряжение и ток в цепи совпадают по фазе, а реактивная мощность равна нулю.
Условие возникновения резонанса (4.30):
1
L 
0,
C
1
(4.33)

 0 .
LC
То есть, резонанс возникает, когда частота внешнего возмущения 
равна параметру цепи, называемому резонансной частотой 0.
Цепи, в которых используется эффект резонанса, называются резонансными контурами.
Различают последовательные и параллельные резонансные контуры.
11
В последовательном контуре (рис. 4.6) возникает резонанс напряжений, то есть, напряжение на емкости на резонансной частоте равно
напряжению на индуктивности и противоположно по знаку:
1
(4.34)
0 LI 
I  I ,
0 C
где
 - характеристическое сопротивление контура. Из (4.34):
1
L
.
(4.35)

0 C
C
Отношение величины электромагнитной энергии, запасенной на
реактивных элементах, к энергии, рассеиваемой на активном сопротивлении контура, называется добротностью контура.
Для последовательного контура:
Qпосл = /R.
(4.36)
Зависимость модуля полного сопротивления последовательного
контура от частоты приведена на рис. 4.8, а.
  0 L 
Рис. 4.8. Частотные характеристики резонансных контуров
В параллельном контуре (рис. 4.9., а) возникает резонанс токов, то
есть, ток через емкость равен току через индуктивность и противоположен по знаку (рис. 4.9, б):
1
(4.37)
0 CU 
U  U .
0 L
12
Рис. 4.9. Параллельный резонансный контур (а) и векторная диаграмма токов через его элементы (б)
Резонансная частота и характеристическое сопротивление параллельного контура определяется также по формулам (4.33) и (4.345).
Добротность параллельного контура:
(4.38)
Qпар  R  .
Зависимость модуля полного сопротивления параллельного резонансного контура от частоты приведена на рис. 4.8., б.
В цепях с реактивными элементами используются источники с
комплексными внутренними сопротивлениями (рис. 4.10).
Рис. 4.10. Источник комплексной ЭДС, нагруженный на комплексное сопротивление
Ток в такой цепи будет наибольшим, если реактивные составляющие сопротивления нагрузки и внутреннего сопротивления источника
сигнала равны по величине и противоположны по знаку:
 Z
* ,
(4.39)
Z
н
вн
13
 * - комплексно-сопряженное число.
где Z
вн
То есть, емкостная составляющая нагрузки компенсируется индуктивной составляющей источника или наоборот:
(4.40)
jX н   jX вн .
Выполнение условий (4.39) и (4.40) обеспечивает передачу максимума активной мощности в нагрузку. Источник и нагрузка при этом
считаются согласованными.
Полученные условия используются для согласования модема с телефонной линией, сетевой платы – с коаксиальной линией передачи,
антенны – с телевизионным приемником и т.п.
Вопросы
1. Почему при анализе свойств электрических цепей чаще всего используются гармонические колебания?
2. Как определяется полная фаза синусоидального колебания?
3. Как связаны между собой частота (циклическая), угловая частота
и период синусоидального колебания?
4. Как определяются действующие значения тока, напряжения и
ЭДС для гармонических воздействий?
5. Какими свойствами характеризуется комплексная амплитуда синусоидального тока, напряжения и ЭДС?
6. Какие преимущества дает использование метода комплексных
амплитуд для анализа свойств электрических цепей?
7. Как зависит от частоты модуль полного сопротивления последовательно соединенных емкости и активного сопротивления?
8. Как зависит от частоты модуль полного сопротивления последовательно соединенных индуктивности и активного сопротивления?
9. В чем отличие реактивной мощности от активной?
10. Почему в цепи с последовательно соединенными реактивными
и активными элементами сумма амплитуд напряжений на элементах не
равна амплитуде источника гармонического напряжения?
11. Докажите, что средняя мощность, потребляемая цепью, содержащей активные сопротивления, емкости и индуктивности, больше нуля.
12. В чем отличие определения добротности в параллельном и последовательном резонансных контурах?
13. Какими параметрами цепи определяется величина коэффициента мощности?
14. Как обеспечивается максимальная передача энергии гармонического колебания от источника к приемнику?
Задачи
14
Задача 1. Амплитуда гармонического колебания Um с длиной волны  = 10 м равна 20 В. Определить циклическую частоту f, угловую
частоту , активную мощность на сопротивлении R = 50 Ом.
Задача 2. Амплитуда гармонического колебания Um с длиной волны  = 10 м равна 20 В. Определить реактивную мощность на емкости С
= 1 нФ.
Задача 3. Амплитуда гармонического колебания Um с длиной волны  = 10 м равна 20 В. Определить реактивную мощность на индуктивности L = 1 мкГн.
Задача 4. Определить величину сопротивления нагрузки, на которой выделяется активная мощность P = 1 кВт при гармоническом воздействии ut   308 sin314 t  .
Задача 5. Определить величину емкости для накопления реактивной мощности
Q = 10 ВАр при синусоидальном воздействии
6
ut   280 sin 10 t .
Задача 6. Определить величину индуктивности для накопления реактивной мощности Q = 10 ВАр при синусоидальном воздействии
ut   280sin 106 t .
Задача 7. Определить величину тока через емкость С = 10 нФ при
гармоническом воздействии ut   140sin 104 t .
Задача 8. Определить величину тока через индуктивность L = 10
нГн при гармоническом воздействии ut   140sin 104 t .
Задача 9. Определить частоту гармонического воздействия амплитудой Um = 140 В, если на емкости С = 1 нФ накапливается реактивная
мощность Q = 5 ВАр.
Задача 10. Определить частоту гармонического воздействия амплитудой Um=140 В, если на индуктивности L = 10 мкГн накапливается
реактивная мощность Q = 10 ВАр.
Задача 11. Определить частоту синусоидального воздействия, при
которой сдвиг фазы между напряжением и током в RC цепи (R = 1 кОм,
С = 1 нФ) составляет  = 60.
Задача 12. Определить величину емкости в RC цепи с активным
сопротивлением R = 10 кОм, если сдвиг фазы между напряжением и
током составляет  = 30. Частота синусоидального воздействия f =
159 кГц.
Задача 13. Определить полное сопротивление, сдвиг фазы между
напряжением и током, ток, активную мощность, реактивную мощность
и полную мощность в RL цепи (R = 1 кОм, L = 10 мГн) при синусоидальном напряжении Ut   28 sin 105 t .
 
 
 
 
 
15
Задача 14. Определить частоту синусоидального воздействия, при
которой сдвиг фазы между напряжением и током в RL цепи (R = 5 кОм,
L = 20 мГн) составит  = 30.
Задача 15. Определить резонансную частоту, характеристическое
сопротивление и добротность последовательной RLC цепи со следующими параметрами: R = 50 Ом; L = 2 мГн; С = 0,5 нФ.
Задача 16. Определить сопротивление потерь R для последовательного резонансного контура с добротностью Q = 80, индуктивностью
L = 0,5 мГн, емкостью С = 0,5 нФ.
Задача 17. Определить индуктивность и емкость контура с резонансной частотой f0 = 3,18 МГц и характеристическим сопротивлением
 = 0,5 кОм.
Задача 18. Определить емкость контура с резонансной частотой f0
= 15,9 МГц и индуктивностью L = 1 мкГн.
Задача 19. Определить резонансную частоту, характеристическое
сопротивление и добротность параллельной RLC цепи со следующими
параметрами: R = 200 кОм; L = 10 мкГн; С = 10 пФ.
Задача 20. Определить сопротивление потерь R для параллельного
резонансного контура с добротностью Q = 50, индуктивностью L = 2
мГн, емкостью С = 0,5 нФ.
4.2. Четырехполюсники. Частотные характеристики.
Фильтры
Четырехполюсник – это устройство, имеющее четыре контакта:
два входных контакта используются для подключения источника сигнала и два выходных - для подключения нагрузки (рис. 4.11).
Рис. 4.11. Четырехполюсник
Четырехполюсники широко применяются в системах информации.
Четырехполюсниками являются усилители, фильтры, линии связи и т.д.
Четырехполюсник, содержащий только линейные элементы, называется линейным.
16
Если внутри четырехполюсника есть нелинейные или параметрические элементы, то четырехполюсник будет нелинейным или параметрическим.
Четырехполюсник, не содержащий источников напряжения или тока, называется пассивным.
Активные четырехполюсники содержат источники напряжения
или тока.
Рассмотрим уравнения линейных четырехполюсников.
Пусть заданы входной I1 и выходной I2 токи четырехполюсника
(рис. 4.11). Входные и выходные напряжения U1 и U2 будут функциями
этих токов:
(4.41)
U1  f1 I1 , I 2  ;
U 2  f 2 I1 , I 2  .
Так как четырехполюсник линейный, то в силу принципа суперпозиции функции в уравнениях (4.41) будут линейными:
  Z I  Z I ;
U
1
11 1
12 2
(4.42)


U Z I Z I .
2
21 1
22 2
Коэффициенты Z11, Z12, Z21, Z22 имеют размерность сопротивлений.
Соотношения (4.42) называют уравнениями четырехполюсника с Zпараметрами.
Если заданы напряжения четырехполюсника U1 и U2, то можно получить уравнения:
I1  Y11U1  Y12 U 2 ;
(4.43)
I 2  Y21U1  Y22 U 2 .
Коэффициенты Y11, Y12, Y21, Y22 имеют размерность проводимостей. Соотношение (4.43) называют уравнениями четырехполюсника с
Y-параметрами.
При заданных I1 и U2 получаем уравнения с h-параметрами:
U1  h11I1  h12 U 2 ;
(4.44)
I 2  h 21I1  h 22 U 2 .
где
h11 имеет размерность сопротивления;
h22 имеет размерность проводимости;
h12, h21 – безразмерные коэффициенты.
Коэффициенты пропорциональности Z, Y, h характеризуют внутреннюю структуру четырехполюсника, которая проявляется через взаимосвязь входных и выходных токов и напряжений.
Из анализа уравнений четырехполюсника легко получить физический смысл параметров четырехполюсника.
Для Z-параметров:
Z11 = U1/I1, при I2 = 0 – входное сопротивление при холостом ходе на
выходе;
17
Z12 = U1/I2, при I1 = 0 – сопротивление обратной связи;
Z21 = U2/I1, при I2 = 0 –сопротивление прямой передачи;
Z22 = U1/I2, при I1 = 0 – выходное сопротивление при холостом ходе на
входе.
Для Y-параметров:
Y11 = I1/U1, при U2 = 0 – входная проводимость при коротком замыкании
на выходе;
Y12 = I1/U2, при U1 = 0 –проводимость обратной связи;
Y21 = I2/U1, при U2 = 0 –проводимость прямой передачи;
Y22 = I2/U2, при U1 = 0 – выходная проводимость при коротком замыкании на входе.
Для h-параметров:
h11 = U1/I1, при U2 = 0 – входное сопротивление при коротком замыкании на выходе;
h12 = U1/U2, при I1 = 0 – коэффициент обратной связи по напряжению;
h21 = I2/I1, при U2 = 0 – коэффициент прямой передачи по току;
h22 = I2/ U2, при I1 = 0 – выходная проводимость при холостом ходе на
входе.
Название параметра указывает на способ его экспериментального
определения или расчета методом комплексных амплитуд.
Четырехполюсник в основном используются в системах передачи
сигналов. Для анализа прохождения сигналов через четырехполюсник
вводятся передаточные функции четырехполюсника.
 U
 – комплексный коэффициент передачи по напряжеKU  U
2
1
нию;
K I  I2 I1 – комплексный коэффициент передачи по току;
K P  Pвых Pвх –коэффициент передачи активной мощности;
 I – комплексное входное сопротивление;
Z U
вх
1
1
 I – комплексное выходное сопротивление.
Zвых  U
2 2
Наиболее часто используемыми передаточными функциями являются коэффициент передачи по напряжению, входное и выходное сопротивление.
Рассмотрим расчет этих функций при известных параметрах четырехполюсника. Пусть известны Y-параметры четырехполюсника.
Используя второе уравнение в системе (4.43) I2 = Y21U1 + Y22U2 и
формулу закона Ома для нагрузки U2 = ZнI2 (рис. 4.11), получим выражение для комплексного коэффициента передачи по напряжению:
K U   Y21 Y22  Yн  ,
(4.45)
где Yн = 1/Zн.
18
Используя формулу для входной проводимости Yвх = I1/U1 и деля
первое уравнение в системе (4.43) на напряжение U1, найдем водную
проводимость четырехполюсника:
(4.46)
Yвх  Y11  Y12Y21 Yн  Y22  .
Аналогично, выходная проводимость четырехполюсника:
(4.47)
Yвых  Y22  Y21Y12 Y11  Yс  ,
где Yc = 1/Zc.
Рассмотрим методику расчета частотных характеристик линейных
четырехполюсников. Комплексный коэффициент передачи по напряжению КU(j), в дальнейшем просто К(j), представляет собой запись
двух характеристик: амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной
(ФЧХ):
(4.48)
K j  K1 ()  jK 2 ()  K()e j() .
Первая характеристика К() выражается модулем комплексного
коэффициента передачи, а вторая () – его аргументом (фазой):
K ()  K12 ()  K 22 () ;
(4.49)
K 2 ()
.
(4.50)
K1 ()
Для цепей с сосредоточенными параметрами частотные характеристики могут быть представлены в виде отношения двух полиномов:
()  arctg
M
 a m  jm
K ( j) 
A( j) m 0

N
B( j)
.
(4.51)
 b n  j 
n
n 0
Если обозначить j = р, выражение (4.51) можно записать в виде:
M
 a mpm
K ( p) 
A ( p) m 0

N
B(p)
 bn p
.
(4.52)
n
n 0
Выражение (4.52) называется операторным коэффициентом передачи
Исследование свойств полиномов А(р) и В(р) позволяет ответить
на многие вопросы, связанные с определением реакции линейной цепи
на сложное воздействие. В этой лекции рассматриваются частотные
характеристики в плане их применения к анализу цепей при синусоидальном воздействии.
19
Если Zc << Z11, а Z22 << Zн (рис. 4.11), то операторный коэффициент
передачи приблизительно можно определить без учета сопротивлений
источника сигнала и нагрузки:
Z p  Z вых р 
Kp   22

.
(4.53)
Z11p 
Z вх р 
Рассмотрим примеры определения частотных характеристик простейших четырехполюсников, для которых выполняется условие (4.53).
Найти выражения амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик коэффициента передачи напряжения для четырехполюсника,
изображенного на рис. 4.12, а.
Рис. 4.12. RC-фильтр верхних частот первого порядка (а) и его АЧХ
(б) и ФЧХ (в)
Операторный коэффициент передачи по напряжению (4.53):
R
pRC
.
(4.54)
Kp 

R  1 pC 1  pRC
Комплексный коэффициент передачи (р = j)^
jRC
.
K j 
1  jRC
20
(4.55)
Комплексный коэффициент передачи в алгебраической форме
(4.48):
K  j 
2 R 2 C 2
j
RC
.
(4.56)
1  R C
1  2 R 2 C 2
Модуль коэффициента передачи (4.49):
RC
.
(4.57)
K 
1  2 R 2 C 2
Фазовый сдвиг между выходным и входным напряжением (4.50):
1
.
(4.58)
 U U  arctg
2
1
RC
Графики, рассчитанные по полученным формулам, показаны на
рис. 4.12, б и 4.12, в.
2
2 2
Найти выражения амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик коэффициента передачи напряжения для четырехполюсника,
изображенного на рис. 4.13, а.
Рис. 4.13. RC-фильтр нижних частот первого порядка (а) и его АЧХ
(б) и ФЧХ (в)
Операторный коэффициент передачи по напряжению (4.53):
21
Kp  
1 pC
1
.
(4.59)

R  1 pC 1  pRC
Комплексный коэффициент передачи (р = j):
1
.
(4.60)
K j 
1  jRC
Комплексный коэффициент передачи в алгебраической форме
(4.48):
1
RC
K  j 
j
.
(4.61)
2 2 2
1  R C
1  2 R 2 C 2
Модуль коэффициента передачи (4.49):
1
.
(5.22)
K 
1  2 R 2 C 2
Фазовый сдвиг между выходным и входным напряжением (4.50):
(5.23)
 U U  arctgRC  .
2
1
Графики, рассчитанные по полученным формулам, показаны на
рис. 4.13, б и 4.13, в.
Найти выражение амплитудно-частотной характеристики коэффициента передачи четырехполюсника, изображенного на рис. 5.4, а.
Рис. 4.14. Полосовой RLC-фильтр второго порядка (а) и его АЧХ
(б)
Операторный коэффициент передачи по напряжению (4.53):
R
pRC
Kp  

.
(4.64)
2
pL  1 pC  R p LC  pRC  1
Комплексный коэффициент передачи (р = j):
jRC
.
K j 
2
1   LC  jRC


22
(4.65)
Для определения модуля коэффициента передачи К() воспользуемся известным положением теории комплексных чисел о том, что произведение комплексного числа на комплексно-сопряженное число равно
квадрату его модуля:
jRC
 jRC
,
K 2  

2
2
1   LC  jRC 1   LC  jRC


K 2  
K  


 R C
2
2 2
1   LC 
2

,
2
 2 R 2 C 2
RC

2
.
(4.66)
1   LC   R C
Очевидно, что коэффициент передачи на резонансной частоте
2
2
2 2
0  1 LC будет максимальным, К(0) = 1.
АЧХ, рассчитанная по формуле (4.66), приведена на рис. 4.14, б.
Найти выражение амплитудно-частотной характеристики четырехполюсника, изображенного на рис. 4.15, а.
Рис. 4.15. Режекторный RLC-фильтр второго порядка (а) и его АЧХ
(б)
Операторный коэффициент передачи по напряжению (4.53):
1 pC  pL
p 2 LC  1
.

R  1 pC  pL p 2 LC  pRC  1
Комплексный коэффициент передачи (р = j):
Kp  
K j 
1  2 LC
1   LC  jRC .
2
Модуль коэффициента передачи (4.66):
23
(4.67)
(4.68)
K  
1   2 LC

.

2
(4.69)
1   LC   R C
Очевидно, что коэффициент передачи на резонансной частоте
2
2
2 2
0  1 LC будет минимальным, К(0) = 0.
АЧХ, рассчитанная по формуле (4.69), приведена на рис. 4.15, б.
В современных системах передачи информации широко используется частотный принцип разделения сигналов. В соответствии с этим
каждому сигналу соответствует своя полоса частот, которая определяется спектром сигнала. Важнейшую роль при обработке сигналов в таких системах играют электрические фильтры.
Электрический частотный фильтр (в дальнейшем просто
фильтр) – это четырехполюсник, коэффициент передачи которого зависит от частоты. Фильтр пропускает сигналы только в определенной полосе частот; сигналы (помехи), частоты которых не попадают в эту полосу, подавляются.
По диапазону пропускаемых частот фильтры делятся на фильтры
нижних частот (ФНЧ), фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые
фильтры (ПФ) и режекторные (РФ) или заграждающие (ЗФ) фильтры.
Условные обозначения (УГО) этих фильтров показаны на рис. 4.16.
Рис. 4.16. УГО фильтров
Рассмотрим амплитудно-частотную
например, ФНЧ (рис. 4.16., а).
24
характеристику
фильтра,
Рис. 4.17. АЧХ типового ФНЧ (а) и зависимость АЧХ от порядка
фильтра (б)
Из рисунка видно, что полоса пропускания (ПП) фильтра занимает
область частот от 0 до некоторой частоты fс, которая называется частотой среза. В полосе пропускания задается максимально допустимое
ослабление сигнала (максимальная неравномерность АЧХ в полосе
пропускания). В нашем примере ослабление не превышает 1,414 (3 дБ).
Полоса заграждения (ПЗ) – это область частот от некоторой частоты fз, которая называется граничной частотой полосы задержания, до
бесконечности. В полосе заграждения сигнал (помеха) должен быть
ослаблен в заданное число раз. В нашем примере – в 20 раз (на 26 дБ).
Из рисунка видно, что между полосой пропускания и полосой заграждения существует переходная область (от fс до fз), в которой полезный сигнал недопустимо ослабляется, а ненужные сигналы (помехи)
ослабляются недостаточно. Очевидно, что чем уже переходная область,
тем лучше фильтр. Ширина переходной области определяется порядком
фильтра (N). Порядок фильтра – это количество независимых реактивных элементов (C, L) в его схеме. Количество независимых реактивных
элементов определяет максимальную степень полинома знаменателя
операторной передаточной функции (4.52). Зависимость АЧХ фильтра
от его порядка приведена на рис. 4.17, б.
Идеальный ФНЧ (1) не имеет переходной области (fс = fз), полезный сигнал не искажается в полосе пропускания, а помехи полностью
подавляются в полосе заграждения. Однако очевидно, что идеальный
фильтр физически нереализуем, так как невозможно собрать схему с
бесконечным количеством реактивных элементов. Чем выше порядок
фильтра, тем больше можно приблизиться к идеальной АЧХ (2, 3, 4), но
при этом усложняется схема (увеличивается стоимость фильтра), ухудшается отношение сигнал/шум и т.д.
25
Как уже отмечалось, коэффициент передачи фильтра представляет
собой отношение двух полиномов (4.52). По типу полиномов (способу
аппроксимации АЧХ) различают фильтры Баттерворта (рис. 4.17), Чебышева, Бесселя, Золотарева (Кауэра) и т.д.
По способу реализации (изготовления) различают следующие типы
фильтров: пассивные и активные RC-фильтры, LC-фильтры, пьезоэлектрические и электромеханические фильтры, фильтры поверхностных
акустических волн (ПАВ) и т.д. Примеры реализации пассивных RCфильтров приведены на рис. 4.12 и 4.13, LC-фильтров – на рис. 4.14 и
4.15.
Выбор порядка фильтра, способа аппроксимации АЧХ и способа
реализации определяется множеством факторов: экономических, технических, эксплуатационных и т.д.
Вопросы
1. Какими функциями описываются параметры четырехполюсников?
2. Как называется каждый из Z-, Y- или h-параметров четырехполюсника?
3. Каким образом можно определить Z-, Y- или h-параметры четырехполюсника, не зная его внутренней структуры?
4. Дайте определение операторной передаточной функции четырехполюсника.
5. Дайте определение комплексной передаточной функции.
6. Каким образом из комплексного коэффициента передачи можно
получить формулу для определения амплитудно-частотной характеристики четырехполюсника?
7. Каким образом из комплексного коэффициента передачи можно
получить формулу для определения фазочастотной характеристики четырехполюсника?
8. Какой четырехполюсник называется фильтром?
9. Как определяется полоса пропускания фильтра?
10. Как определяется полоса заграждения фильтра?
11. Напряжение от батареи постоянного тока подается на ФНЧ,
ФВЧ, ПФ и РФ. На выходах каких фильтров будет гореть индикаторная
лампочка?
12. Какие характеристики фильтра улучшатся с увеличением его
порядка?
13. Какие задачи решает аппроксимация АЧХ фильтра?
14. Какими факторами определяется способ реализации фильтра?
Задачи
26
Задача 1. При измерении параметров четырехполюсника с неизвестной структурой были получены следующие результаты:
U1 = 0,1 В, I1 = 100 мкА, I2 = 10 мА при U2 = 0 (короткое замыкание
на выходе);
U1 = 0,2 В, U2 = 2 В, I2 = 1 мА при I1= 0 (холостой ход на входе).
Определить значения h-параметров и составить систему уравнений
четырехполюсника.
Задача 2. Определить величину емкости С фильтра нижних частот
(рис. 5.2, б) с частотой среза fс = 1590 Гц и сопротивлением R = 10 кОм.
Задача 3. Определить величину сопротивления R фильтра нижних
частот (рис. 5.2, б) с частотой среза fс = 3180 Гц и емкостью С = 10 нФ.
Задача 4. Определить величину емкости С фильтра верхних частот
(рис. 5.3, а) с частотой среза fс = 636 Гц и сопротивлением R = 20 кОм.
Задача 5. Определить величину сопротивления R фильтра верхних
частот (рис. 5.3, а) с частотой среза fс = 15,9 кГц и емкостью С = 2 нФ.
Задача 6. Определить резонансную частоту и полосу пропускания
полосового фильтра (рис. 5.4, а) со следующими параметрами: L = 1
мГн, С = 1 нФ, R = 20 Ом.
Задача 7. Определить сопротивление R полосового фильтра (рис.
5.4, а) с характеристическим сопротивлением  = 2 кОм, резонансной
частотой f0 = 318 кГц и полосой пропускания П0,707 = 15,9 кГц.
Задача 8. Определить индуктивность L и емкость С полосового
фильтра (рис. 5.4, а) с полосой пропускания П 0,707 = 3,18 кГц, резонансной частотой f0 = 159 кГц и сопротивлением R = 100 Ом.
Задача 9. Определить резонансную частоту и полосу заграждения
режекторного фильтра (рис. 5.5, а) со следующими параметрами: R =
100 Ом, С = 0,1 нФ, L = 0,4 мГн.
Задача 10. Определить сопротивление R, индуктивность L и емкость С заграждающего фильтра (рис. 5.5, а) с характеристическим сопротивлением  = 1 кОм, резонансной частотой f0 = 1,59 МГц и полосой
заграждения Пз = 31,8 кГц.
4.3. Временные характеристики четырехполюсников.
Длинные линии.
Любое физическое явление, в том числе и сигнал, протекает во
времени. Всякий сигнал когда-то начинается и кончается. Иными словами сигнал может быть представлен ограниченной во времени функцией U(t).
В зависимости от характера задачи функция U(t) может быть представлена в виде спектра частот, либо в виде осциллограммы (зависимости мгновенного значения сигнала от времени). Выбор способа описания сигнала определяется характером его использования.
27
Для кратковременных электрических сигналов (импульсов) большое значение имеет сохранение формы импульса при прохождении через электронные устройства. В компьютерной технике для описания
логики работы цифровых устройств в статическом режиме используется
понятие идеального прямоугольного импульса (рис. 4.18.).
Рис. 4.18. Осциллограммы идеального (а) и реального (б) прямоугольных импульсов
Идеальный прямоугольный импульс характеризуется мгновенным
появлением (момент t1) и исчезновением (момент t2) напряжения. Вершина («крыша») идеального прямоугольного импульса амплитудой Um
представляется в виде прямой, параллельной оси времени t.
Вследствие неизбежного наличия в электронных устройствах емкостей и индуктивностей (напряжения и токи в которых мгновенно изменяться не могут) реальный прямоугольный импульс не может возникать
и исчезать мгновенно. «Крыша» такого импульса при наличии разделительных конденсаторов и трансформаторов имеет спад. Упрощенная
осциллограмма реального прямоугольного импульса на выходе четырехполюсника приведена на рисунке 4.18,б, где идеальный прямоугольный импульс является входным (рис. 4.18,а).
Промежуток времени
tзад.вкл. = t2 – t1,
28
в течение которого амплитуда выходного импульса изменяется от 0 до
0,1 от максимального значения называется задержкой включения.
Промежуток времени
tф = t4 – t2,
в течение которого амплитуда выходного импульса увеличивается от
0,1 до 0,9 от максимального значения называется длительностью
фронта.
Промежуток времени
tзад.выкл. = t6 – t5,
в течение которого амплитуда выходного импульса изменяется от момента окончания входного до 0,9 от максимального значения называется задержкой выключения.
Промежуток времени
tс = t8 – t6,
в течение которого амплитуда выходного импульса уменьшается от 0,9
до 0,1 от максимального значения называется длительностью спада.
За длительность реального импульса, как правило, принимается
промежуток времени от момента t3, когда амплитуда импульса достигает 0,5 от максимального значения, до момента t7, когда амплитуда импульса уменьшается до 0,5 от максимального значения.
Следует отметить, что в различных семействах цифровых интегральных микросхем относительные уровни сигналов для определения
tзад.вкл, tф, tзад.выкл, tс, tu могут отличаться от вышеуказанных.
Очевидно, что быстродействие компьютерных устройств определяется tзад.вкл, tф, tзад.выкл, tс, так как логические операции допустимо выполнять только в период tu.
Исследование четырехполюсника в импульсном режиме сводится к
нахождению формы выходного импульса при заданной форме входного.
Часто на практике ставится и другая задача – по заданной форме входного и выходного импульсов составить схему четырехполюсника.
Наиболее удобно для расчетов, измерений и наблюдений в качестве
входного импульса использовать скачок, имеющий (теоретически) бесконечную крутизну фронта (tф=0). Этот импульс, возникающий скачком
в момент t = 0, длится затем неопределенно долго. Для удобства расчетов амплитуду скачка принимают за единицу: Uвх = 1(t). Очевидно, что
1(t) = 1 при t > 0; 1(t) = 0 при t < 0. Функция 1(t) называется единичной
функцией.
Выходное напряжение можно определить:
U вых (t )  U вых 1(t )  U вх (t ) ,
(5.12)
где Uвх(t) – входное напряжение.
Функция h(t )  U вых 1(t ) называется переходной характеристикой четырехполюсника.


29
Таким образом, зная переходную характеристику, можно рассчитать форму выходного напряжения при любой форме входного:
(5.13)
U вых (t )  h(t )  U вх (t ) .
Рассмотрим переходные характеристики простейших четырехполюсников, приведенных на рисунке 5.8.
а)
б)
в)
г)
Рис. 5.8. Схемы простейших RC и RL четырехполюсников
После составления и решения дифференциальных уравнений, связывающих входное и выходное напряжения в этих схемах, получаем
следующие выражения для переходных характеристик:
h(t )  e
для схемы а)
h(t)  e
для схемы б)
30

t
RC
t

LR
;
(5.14)
;
(5.15)
h(t )  e
для схемы в)

t
RC
;
(5.16)
t

LR
для схемы г)
.
h(t)  e
Соответствующие графики приведены на рисунке 5.9.
а)
(5.17)
б)
Рис. 5.9. Переходные характеристики простейших RC и RL четырехполюсников
Из приведенных на рисунке 5.9. графиков видно, что скорость изменения напряжения на выходе RC четырехполюсника обратно пропорциональна произведению RC, а на выходе RL четырехполюсника частному L/R. Указанные выражения называют постоянной времени RC(RL)
цепи :
(5.18)
  RC  L R .
Последовательно включенные емкости (рис. 5.8а) и параллельно
включенные индуктивности (рис. 5.8б) не пропускают на выход постоянную составляющую. Напряжение на выходе этих цепей пропорционально производной входного напряжения, так как для емкости
du
di
i C  C C , для индуктивности u L  C L . Поэтому эти цепи назыdt
dt
ваются дифференцирующими.
Очевидно, что с точки зрения частотных характеристик, дифференцирующая цепь является фильтром верхних частот.
Параллельно включенные емкости и последовательно включенные
индуктивности увеличивают время фронта (спада) выходных импульсов. Напряжение на выходе этих цепей пропорционально интегралу
входного напряжения (рис. 5.9б):
31
t

U вых ( t )  K U вх ( t ) .
(5.19)
0
Поэтому эти цепи называются интегрирующими. Очевидно, что с точки
зрения частотных характеристик интегрирующая цепь является фильтром нижних частот.
Таким образом, временные и частотные характеристики четырехполюсников взаимно-однозначно связаны между собой. Например,
длительность фронта импульса на выходе интегрирующей цепи (рис.
5.8в):
0,35
,
(5.20)
tф 
fв
1
где f в 
– верхняя частота полосы пропускания фильтра нижних
2RC
частот.
Цепи, которые рассматривались выше, относятся к классу цепей с
сосредоточенными параметрами. Практически все магнитные поля в
таких цепях сосредоточены в катушках, все электрические поля – в конденсаторах, а потери – в резисторах.
В цепях с распределенными параметрами потери, емкость и индуктивность распределены в пространстве. В дальнейшем будем рассматривать распределение только вдоль одной пространственной координаты. В этом случае цепи с распределенными параметрами называют
длинными линиями.
Простейшим примером цепи с распределенными параметрами может служить двухпроводная линия передачи. При протекании тока по
проводам вокруг них возникает магнитное поле, что свидетельствует о
наличии индуктивности, распределенной вдоль длины линии. Между
проводами линии возникает электрическое поле, что говорит о емкости.
Провода и диэлектрик между проводами нагреваются, что свидетельствует о наличии распределенных потерь. К цепям с распределенными
параметрами относят телефонный провод, коаксиальный кабель, полосковую линию, прямоугольный или круглый волновод, оптоволоконную
линию и т.п.
Для количественной оценки распределенных параметров используются следующие погонные параметры длинной линии:
R0 – погонное сопротивление потерь в проводниках линии. Определяется как сопротивление проводников короткозамкнутого отрезка линии длиной 1 метр. Единица измерения – Ом/м.
32
L0 – погонная индуктивность. Определяется как индуктивность короткозамкнутого отрезка линии длиной 1 метр. Единица измерения –
Гн/м.
С0 – погонная емкость. Определяется как емкость между проводами разомкнутого на конце отрезка линии длиной 1 метр. Единица измерения – Ф/м.
G0 – погонная проводимость. Определяется как проводимость
между разомкнутыми на конце проводами отрезка линии длиной 1 метр.
Единица измерения – См/м.
Как правило, численные значения погонных параметров малы. Поэтому распределенные параметры сказываются только при большой
длине линии. На практике эффекты, обусловленные распределенными
параметрами, учитывают только тогда, когда длина линии l0 сравнима
или больше длины волны сигнала  = с/f, где с – скорость света, а f –
частота.
Распространение волн напряжения и тока характеризуют волновые
параметры длинной линии:
 - коэффициент затухания, относительное уменьшение сигнала за
1 погонный метр;
ZC  Z0 Y0 - волновое сопротивление.
В технике связи для передачи сообщений, как правило, используются длинные линии с малыми потерями. В этом случае R00, G00,
0.
Волновое сопротивление линии с малыми потерями:
ZC  W  L 0 C0 .
При создании компьютерных сетей чаще всего встречаются линии
с волновыми сопротивлениями 50 Ом, 75 Ом и 100 Ом.
Появление отраженных волн при передаче сигналов с использованием длинных линий, как правило, является нежелательным явлением.
Ля оценки интенсивности отраженных волн вводится коэффициент отражения (по напряжению)
U отр
,
p
U пад
где Uотр и Uпад – амплитуды отраженной и падающей волн напряжения в
произвольном сечении линии.
При известном сопротивлении нагрузки Zн:
Z  ZC
pн  н
.
Zн  ZC
Условие передачи сигналов без отраженной волны: Zн = ZС. В этом
случае рн = 0 и в линии имеется только одна падающая бегущая волна.
33
Получающееся при этом состояние линии называют режимом бегущей
волны.
Волна, образованная суммой бегущей волны и стоячей волны,
называется смешанной волной.
Для описания смешанной волны используются коэффициент стоячей волны (КСВ) и коэффициент бегущей волны (КБВ):
U
U
1
,
КСВ  макс ;
КБВ  мин 
U мин
U макс КСВ
где Uмакс и Uмин – максимальное в пучности и минимальное в узле
напряжения в линии соответственно.
В системах передачи сигналов стремятся получить КСВ близким к
единице.
На практике при построении компьютерных сетей и при использовании при передаче информации длинных линий мощность отраженной
волны считается незначительной при КСВ  2. Максимально допустимое значение модуля коэффициента отражения при этом не превышает
1/3.
Вопросы
1. Для каких сигналов удобно использовать частотные характеристики четырехполюсников?
2. Для каких сигналов удобно использовать временные характеристики четырехполюсников?
3. Перечислите временные характеристики реального прямоугольного импульса и дайте их определения.
4. Как определяется переходная характеристика четырехполюсника?
5. Как можно уменьшить длительность фронта импульсного сигнала?
6. Как можно обеспечить передачу постоянной составляющей сигнала?
7. Как связаны между собой верхняя частота полосы пропускания
четырехполюсника и длительность фронта импульса?
8. В чем отличие цепей с распределенными параметрами от цепей с
сосредоточенными параметрами?
9. Перечислите основные погонные параметры длинной линии и
дайте их определение.
10. Каким образом в длинной линии можно получить режим бегущей волны?
11. Укажите допустимые значения коэффициента стоячей волны и
коэффициента отражения в длинных линиях компьютерных сетей.
34
Задачи
Задача 1. Длительность фронта импульса на выходе RC интегрирующей цепи с емкостью С = 50 пФ составляет 1 нс. Определите величину активного сопротивления R в данной цепи.
Задача 2. Длительность фронта импульса на выходе RC интегрирующей цепи с активным сопротивлением R = 50 Ом составляет 1 нс.
Определите величину емкости С в данной цепи.
Задача 3. Определить длительность фронта импульса на выходе RC
интегрирующей цепи с активным сопротивлением R = 150 Ом и емкостью С = 30 пФ.
Задача 4. На вход RC дифференцирующей цепи с активным сопротивлением R = 160 Ом и емкостью С = 200 пФ поступает прямоугольный импульс амплитудой 10 В. Определить время, в течение которого
напряжение на выходе уменьшится до 3,7 В.
Задача 5. На вход RC дифференцирующей цепи с активным сопротивлением R = 160 Ом поступает прямоугольный импульс амплитудой
10 В. За временной промежуток tc = 2 нс напряжение на выходе уменьшилось до 3,7 В. Определить величину емкости С в данной цепи.
Задача 6. На вход RC интегрирующей цепи с активным сопротивлением R = 160 Ом и емкостью С = 200 пФ поступает прямоугольный
импульс амплитудой 10 В. Определить время, в течение которого
напряжение на выходе увеличится до 6,3 В.
Задача 7. На вход длинной линии, работающей в режиме бегущей
волны, поступает сигнал амплитудой 3 В. Определите амплитуду сигнала на выходе линии, если ее длина l = 200 м, а коэффициент затухания 
= 0,03 1/м.
Задача 8. Амплитуда сигнала на выходе длинной линии, работающей в режиме бегущей волны, должна быть не мене 1 В. Определить
амплитуду сигнала на входе линии, если ее длина l = 300 м, а коэффициент затухания  = 0,02 1/м.
Задача 9. Волновое сопротивление линии связи в компьютерной
сети равно 50 Ом. Определить максимальный коэффициент стоячей
волны, если сопротивление нагрузки лежит в пределах от 30 Ом до 75
Ом.
Задача 10. Волновое сопротивление линии связи в компьютерной сети
равно 100 Ом (витая пара). Определить минимальное и максимальное
сопротивление нагрузки, при которых коэффициент стоячей волны не
будет превышать 2.
35