1.7 Трансформация в механических системах 1.7.1 И д е а л ь н

1.7 Трансформация в механических системах
1.7.1 И д е а л ь н ы й м е х а н и ч е с к и й р ы ч а г
Вопросы согласования передачи мощности звуковых колебаний в
акустике решаются с помощью механических и акустических
трансформаторов, роль которых в механико-акустических системах играют
механические рычаги.
Простейшая механическая трансформация осуществляется при передаче
колебаний с помощью идеального механического рычага, колеблющегося с
малыми угловыми перемещениями. Идеальный рычаг представляет собой
абсолютно жесткий невесомый стержень, колеблющийся без трения
относительно абсолютно жесткой опоры с бесконечно большой массой (рис.
1.14).
Рис. 1.14 Идеальный механический рычаг
К концу первичного плеча рычага длиной l1 приложена внешняя сила F1, а
к концу
вторичного плеча, длиной 12, присоединено механическое
сопротивление z'2 в виде механического двухполюсника. Под действием
силы F1 конец первичного плеча колеблется со скоростью ξ'1, а конец
вторичного – со скоростью ξ'2. Силу, с которой конец вторичного плеча
действует на сопротивление z'2, обозначим F2.
Принятое ранее допущение о малости углов поворота рычага θ позволяет
считать длины плеч рычага при поворотах неизменными. В этом случае
условие динамического равновесия рычага выразится равенством моментов
сил первичного и вторичного плеч
F1 l1 = F2 l2
Обозначим
(12 /11) = nм и назовем эту величину коэффициентом
механической трансформации. Тогда соотношение между силами запишется
в следующем виде
12
F1 = ----- F2 или
11
F1 = nм F2
(1.26)
При колебаниях концы плеч рычага описывают дуги, отношение длин
которых пропорционально радиусам, то есть плечам рычага 11 и 12.
Поскольку угол θ мал, то отношение дуг можно заменить отношением
смещений концов плеч. Тогда ξ1 / ξ2 = 11/ 12 . С учетом выражений (1.8) и
(1.9) такое же соотношение можно написать и для скоростей
ξ'1/ ξ'2 = 11/ 12 , или
ξ'1 = ξ'2 / nм
Поделив почленно
сопротивлениями
(1.26)
на
(1.27)
(1.27),
получим
соотношение
F1
F2
2
---- = nм ----- или z'1 = nм2 z'2
ξ'1
ξ'2
между
(1.28)
Полученное соотношение означает, что сопротивление z'2, присоединенное
ко вторичному плечу рычага, может быть заменено сопротивлением
z'1 = nм2 z'2 , присоединенным к точке приложения силы F1. Подобное
перечисление сопротивлений называется приведением, а сопротивление
nм2 z'2 = z'′ – приведенным сопротивлением.
Электрическим аналогом идеального механического рычага является
идеальный электрический трансформатор (рис. 1.15) :
Рис. 1.15 Идеальный электрический трансформатор
Напишем соотношения между электродвижущими силами, токами и
сопротивлениями для идеального электрического трансформатора,
изображенного на рис. 1.15:
nэ = w1 / w2 ;
e1 = n э e2 ;
i1 = i 2 / n э ;
Z′1 = nэ2 Z′2
Здесь w1 и w2 – числа витков первичной и вторичной обмоток; e1 и e2 –
электродвижущие силы источника и вторичной обмоток; Z′1 и Z′2 – входное
сопротивление нагруженного трансформатора и сопротивление нагрузки.
Из сходства последних соотношений для идеального электрического
трансформатора и выражений (1.26) – (1.28) для идеального механического
рычага заключаем, что свойства рычага аналогичны свойствам
трансформатора, в связи с чем рычаг называют механическим
трансформатором.
Следует иметь в виду, что между соотношениями, характеризующими
механический рычаг и электрический трансформатор, есть и некоторая
разница: в качестве коэффициента трансформации в рычаге выбрано
отношение длины 12 вторичного плеча к длине 11 первичного, а в
электрическом трансформаторе – отношение числа витков первичной
обмотки w1 к числу витков вторичной w2. Эту особенность необходимо
учитывать при построении схемы электрического аналога рычага. Например,
трансформатор, являющийся электрическим аналогом рычага, у которого
плечо 12 длиннее плеча 11, имеет во вторичной обмотке меньшее число
витков w2, чем в первичной w1 .
Если рычаг нагружен на два сопротивления z'2 и z'3, каждое из которых
имеет свою точку присоединения (рис. 1.16), его электрический аналог
должен содержать две вторичные обмотки: одну с коэффициентом
трансформации nм1 = 12/11, вторую – с коэффициентом
трансформации
nм2 = 13/11. Вместо двух отдельных вторичных обмоток на схеме аналогов
могут быть показаны обмотки с автотрансформаторным включением.
Рис. 1.16 Механическая модель и электрический аналог механического
рычага: а) вторичное плечо рычага нагружено на два механических
сопротивления z'2 и z'3; б) электрический аналог имеет две вторичные
обмотки
1.7.2 Р е а л ь н ы й м е х а н и ч е с к и й р ы ч а г
В реальном механическом рычаге из-за наличия массы и гибкости плеч,
фактические смещения его концов отличаются от теоретических. Однако,
при составлении механических моделей используются только идеальные
рычаги. Поэтому инерционность и прогиб плеч рычага учитываются с
помощью соответствующих дополнительных символов mp и ср ,
присоединяемых к концам плеч (рис.1.17).
а)
б)
mp1 – масса первичного плеча рычага; mp2 – масса вторичного плеча
рычага; ср1 – гибкость первичного плеча рычага; ср2 – гибкость вторичного
плеча рычага; 11 и 12 – соответственно длины первичного и вторичного плеч
рычага; F1 – сила, приложенная к первичному плечу; z'2 – нагрузочное
сопротивление, присоединенное ко вторичному плечу рычага.