Тема 12. Электрические колебания. Переменный ток. 1

Тема 12. Электрические колебания. Переменный ток.
1 .Свободные электромагнитные колебания. Формула
Томсона.
2. Переменный электрический ток и его основные
параметры.
3. Виды сопротивлений в цепи переменного тока.
В механике мы рассматривали систему (груз, подвешенный к пружине)
способную совершать гармонические колебания. Когда груз находится в
крайних положениях, его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная
энергия максимальна. При прохождении грузом положения равновесия,
напротив, кинетическая энергия максимальна, а потенциальная энергия равна
нулю.
Поэтому
периодическое
можно
сказать,
превращение
что
энергии
механическое
системы
из
колебание
есть
кинетической
в
потенциальную и наоборот.
Аналогичные процессы мы имеем и при электромагнитных колебаниях.
Электромагнитные колебания, как и механические, могут возникать только в
определенных системах. Простейшей системой, в которой могут возникать
электромагнитные
Колебательный
колебания
контур
–
это
является
колебательный
электрическая
цепь,
контур.
состоящая
из
последовательно соединенных катушки индуктивности L, конденсатора С и
активного сопротивления R. Различают линейные и нелинейные контура. В
линейных контурах его параметры L, C, R не зависят от интенсивности
колебаний и период колебаний не зависит от амплитуды (изохронность
колебаний). В нелинейных контурах, например, при наличии катушки с
ферромагнитным сердечником, изохронность не соблюдается.
Если при разомкнутой цепи зарядить конденсатор, то он будет обладать

q2 
энергией  W 
 . При замыкании заряженного конденсатора на катушку
2C 

индуктивности в цепи возникает электрический ток и заряд конденсатора
начнет уменьшаться. Через четверть периода заряд конденсатора станет
равным нулю, но сила тока в цепи достигает максимального значения и

LI 2 
магнитное поле в катушке будет обладать энергией  W 
 . Затем ток в
2 

цепи начнет уменьшаться, но возникающая при этом ЭДС самоиндукции
будет поддерживать уменьшающийся ток, что приводит к перезарядке

q2 
конденсатора и образованию энергии электрического поля  W 
.
2C 

Если сопротивление контура R равно нулю (идеальный контур), то
указанный процесс периодического превращения энергии электрического


q2 
LI 2 
поля  W 
 в энергию магнитного поля  W 
 и обратно будет
2C 
2 


продолжаться
неограниченно
долго,
и
мы
получим
незатухающие
электромагнитные колебания.
Из сопоставления электромагнитных и
следует,
что
энергия
электрического
поля
механических
колебаний

q2 
W



2C 

аналогична
 kx 2 

LI 2 
потенциальной энергии 
 , а энергия магнитного поля  W 

2
2 



 mv 2 
аналогична кинетической энергии 
 . Из этой аналогии следует, что
 2 
индуктивность L играет роль массы m, величина обратная емкости
1
играет
C
роль коэффициента жесткости k, заряду q соответствует смещение х, силе
тока I 
dq
dx
, скорость v 
.
dt
dt
. Для периода колебаний в колебательном контуре получается формула
T  2 LC ,
называемая формулой Томсона.
2.
(1)
Установившиеся
вынужденные
электрические
колебания
можно
рассматривать как протекание в цепи переменного тока, обусловленного
переменным напряжением u  U m cos   t .
Дифференцируя по времени, равенство 11.21 , найдем установившуюся
силу тока в цепи



i   q m sin  t      q m cos  t      Im cos  t    ,
2


(2)
где
Im  q m   
Um
1 

R 2   L 

C 

2
,
(3)
а

1

tg  tg      

2
tg

L 
R
1
C ,
(4)
где  - сдвиг фаз между током и напряжением.
Далее мы будем рассматривать только такие токи, сила которых
изменяется по синусоидальному закону, т.е. i  i m sin  t    .
Это объясняется несколькими причинами. Во-первых, все технические
генераторы переменного тока имеют ЭДС, изменяющуюся по закону, очень
близкому к синусоидальному, и потому создаваемые ими токи изменяются
по указанному закону.
Вторая причина заключается в том, что теория таких токов особенно
проста, и поэтому на примере таких токов можно очень просто выяснить
основные особенности электромагнитных колебаний.
Третья причина заключается в том, что колебания более сложной
формы можно представить в виде суммы синусоидальных колебаний
(теорема Фурье). Таким образом, гармонические колебания являются самым
важным, и самым простым типом колебаний.
Везде в дальнейшем мы будем считать, что колебания являются
установившимися, т.е. сила тока и напряжения достигли постоянного
значения.
Мгновенное
значение
мощности,
выделяемой
в
цепи,
равно
произведению мгновенных значений тока и напряжения
p  t   i  u  Im  U m  cos  t   cos t .
(5)
Преобразуя это выражение можно получить
p t  
Im  Um
 cos(2t  )  cos  .
2
(6)
Практический интерес имеет среднее по времени значение p  t  . Так как
среднее значение cos  2  t     0 , то
p
Величины U 
Im U m
U I
cos   m m cos   UIcos  .
2
2 2
(7)
Um
I
и I  m получили название действующих значений
2
2
переменного тока и напряжения.
В выражение (7) для мощности переменного тока множитель cos ,
который называют коэффициентом мощности.
3.
Активное сопротивление в цепи переменного тока.
Пусть к зажимам сопротивления R (не обладающего индуктивностью и
емкостью – такое сопротивление получило название активного) приложено
переменное напряжение
u  U m cos t .
(8)
Сила тока в этом проводнике будет определяться законом Ома
i
u Um

cos t  Im cos t .
R R
(9)
Таким образом, между амплитудными значениями тока и напряжения
имеем соотношение
Im 
Um
,
R
а сдвиг фаз между током и напряжением в этом случае равен нулю.
Векторная диаграмма имеет вид .
Индуктивность
в
цепи
переменного
тока.
Индуктивное
сопротивление.
Включим в цепь переменного тока катушку индуктивности L с
пренебрежимо малым активным сопротивлением
 R  0, C    .
В этом
случае закон Ома для неоднородного участка цепи запишется в виде:
1  2  E  0 . Так как 1  2  u, E  L
di
di
, то u  L . Отсюда найдем,
dt
dt
что
di 
u
U
dt  m cos t .
L
L
(10)
После интегрирования этого выражения будем иметь
i
где Im 
Um
U




sin t  m cos  t    I m cos  t   ,
 L
 L
2
2


(11)
Um
.
 L
Из выражения (11) следует, что роль сопротивления в данном случае,
играет величина
X L  L
(12)
называемая реактивным индуктивным сопротивлением.
Из сравнения выражений (8) и (11) следует, что сдвиг фаз между током и

напряжением равен  , причем ток отстает от напряжения. Отметим, что
2
возникновение
реактивного
индуктивного
сопротивления
связано
с
возникновением ЭДС самоиндукции в катушке, при протекании в ней
переменного тока, направленной, по правилу Ленца, против основного тока.
Емкость в цепи переменного тока. Емкостное сопротивление.
Рассмотрим
 R  0,L  0 .
цепь
переменного
тока,
содержащую
емкость
С
Индуктивность и активное сопротивление цепи малы, и ими
можно пренебречь, поэтому можно считать, что все напряжение приложено к
конденсатору и тогда
q
 U m cos t .
C
Отсюда
q  CU m cos t .
По определению i 
(13)
dq
, поэтому, дифференцируя (13) по времени,
dt
получим


i  CU m sin t  I m cos  t   ,
2

где
Im 
(14)
Um
.
1
C
Величина
XC 
1
C
(15)
получила название реактивного емкостного сопротивления.
Сравнивая (8) и (15), получаем, что на емкости сдвиг фаз между током и
напряжением равен

, причем ток опережает напряжение.
2