1 - RTU DF

Лабораторная работа № 5.
ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА С АКТИВНЫМИ И РЕАКТИВНЫМИ
ЭЛЕМЕНТАМИ
Цель работы - ознакомление со свойствами различных соединений активных и
реактивных (индуктивных и емкостных) сопротивлений, а также с
треугольниками токов и напряжений, проводимостей и сопротивлений и
c простейшими круговыми и линейными векторными диаграммами.
1.1. Общие положения
Если к линейной цепи, содержащей элементы R,L,C, подвести синусоидальное
напряжение от источника Э.Д.С. U=U M sin(t + U ), то установившиеся значения
токов, потенциалов и падений напряжений будут представлять собой гармонические
колебания с той же частотой  . Задача расчета – определить амплитуды этих
колебаний и сдвиг по фазе относительно начальной фазы  U напряжения источника.
При расчете линейных цепей синусоидального тока вводится комплексный метод
описания цепи с последующим использованием введённых комплексных величин для
составления уравнений цепи по любому ранее изученному методу (по законам
Кирхгофа, методом узловых потенциалов, методом контурных токов и т.д.) в полной
аналогии с цепями постоянного тока. Математическая строгость данного подхода
показывается на лекциях и в рекомендуемой литературе.
В соответствии с комплексным методом описания цепи синусоидального тока
.
вводится понятия комплексного сопротивления цепи Z=zе j Z ; комплекса тока I =Iе j I ,
соответствующего синусоидальному току i=Isin(t+ I ); комплекса напряжения
.
U =Uе jU , соответствующего синусоидальному напряжению U=Usin(t+ U ), и т.д.
Здесь z,I,U – модули, а  Z , I ,  U - фазы соответствующих комплексных величин.
Идеальные элементы цепи R,L,C будут иметь комплексные сопротивления
Z R ,Z L ,Z C , равные:
1
Z R =R ; Z L =jL ; Z C =-j
.
C
Все эквивалентные преобразования в цепях переменного тока будут производиться
также, как и в цепях постоянного тока, но над комплексными сопротивлениями
элементов R,L.C. В результате этих преобразований будет получено эквивалентное
сопротивление
Z=R+jX =zе j Z ,
где
R – действительная часть комплексного сопротивления, соответствующая
активному сопротивлению, X – мнимая часть, соответствующая реактивному
сопротивлению .
Если X>0 , то реактивное сопротивление носит индуктивный характер, а для
X<0 – емкостный ;
z= R 2  X 2 ,  Z =arctg (X/R) .
На рис1.1 представлена эквивалентная схема некоторой цепи переменного тока, к
.
которой подведено синусоидальное напряжение, описываемое комплексом U ; Z –
.
эквивалентное комплексное сопротивление цепи. Комплекс тока I рассчитывается по
закону Ома:
21

I

U


Z
U j (U  Z )
e
=Iе j I
z
A
Í
Í
Ú
Ú
Z
V
Ú
<0
>0
б)
a)
и
Í
Рис.1.1. Пояснения к комплексному описанию цепи
ему будет соответствовать мгновенное значение
.
синусоидального
тока
.
i=I M sin(t+ I ).Комплексы U и I могут быть представлены векторами в комплексной
плоскости. Угол  Z , равный ( U - I ), называют углом сдвига фазы тока по
.
отношению к фазе напряжения и обозначают ''  '' . Если  <0, то вектор I опережает
.
.
.
вектор U ; при  >0 вектор I отстает от U . Соответствующие векторные диаграммы
приведены на рис.1.1б.
Измерительные приборы на рис.1.1 покажут действующие значения
синусоидальных тока и напряжения, I A и U V , причем
U V =U M / 2 ;
I A =I M / 2 .
Комплексное описание цепи синусоидального тока значительно упрощает этап
составления уравнения для расчета; полученные уравнения содержат комплексные
переменные, соответственно процедура расчета усложняется. Однако, комплексный
метод описания позволяет воспользоваться графическим методом, основанным на
построении векторов и векторных диаграмм в комплексной плоскости в соответствии с
полученными уравнениями. Графический метод анализа особенно удобен при
экспериментальном исследовании цепи, когда модули комплексов могут быть
измерены. Именно такой подход используется в лабораторных работах.
1.1.1. Последовательное соединение R-C и R-L. Треугольники напряжений и
сопротивлений. Круговые диаграммы.
Исследуемые последовательные соединения сопротивлений представлены на
.
рис.1.2а. Через сопротивления Z 1 и Z 2 протекает один и тот же ток I , а падения
.
напряжений на них суммируется в векторной форме и сумма равна напряжению U на
зажимах источника Э.Д.С.:
.
.
.
.
.
.
.
U = U 1 + U 2 = I Z 1 + I Z 2 = I (Z 1 +Z 2 )= I Z (1.1)
Используя показания вольтметров V, V1 и V2, соответствующие модулям
.
.
.
векторов U , U 1 и U 2 , можно построить векторную диаграмму напряжений, которая
при последовательном соединении Z 1 и Z 2 образует т р е у г о л ь н и к напряжений
(см. рис.1.2б ). Как следует из (1.1), этот треугольник будет подобен треугольнику
22
.
.
сопротивлений Z=Z 1 +Z 2 . Угол между векторами U 1 и U 2 определяется физической
природой сопротивлений Z 1 и Z 2 и в нашем случае по модулю равен  /2.
Ú
Ú
1
2
Z1=
R
V
Ú
Z2   j
V1
2
A
R
а)
Í
V2
V
R
Ú2
L
Ú1
Ú2
Í
Ú
Ú2
Ú1
Ú1
б)
Ú2
Í
Ú
R
R
C
Ú1
Ú1
Í
A
C
Ú1
Z 2  j L
Z1=R
Ú
1
C
V
1
V
Ú2
Ú1
Ú2
A
A'
Í
Ú1
Ú2
Ú
Ú2
A''
Ú2
Ú1
в)
ÍK3
L
ÍKS
Ú
Í
B
Рис.1.2. Последовательное соединение сопротивлений:
а – схема эксперимента ; б – треугольник напряжений ;
в – простейшие круговые диаграммы.
.
Вектор тока I совпадает по направлению с вектором падения напряжения
на активном сопротивлении, а его модуль определяется по показаниям амперметра.
23
При изменении одного из последовательно соединенных сопротивлений
.
.
напряжения U 1 и U 2 будут изменяться и по модулю и по фазе, но (см. рис.1.2в) их
сумма остается неизменной и равной напряжению источника Э.Д.С. и угол между
.
.
векторами U 1 и U 2 также не меняется, т.к. природа сопротивлений Z 1 и Z 2 остается
неизменной (активное и реактивное) . Соответственно вершины A и B будут
.
перемещается по дуге окружности с диаметром, равным модулю вектора U . Ток в цепи
.
I будет также изменяется и по модулю и по фазе в соответствии с выражениями :
R-C схема, C=var, R=const :
Iкз
U / R
U
=
=
(1.2) ,
I =
R  X c e  j / 2 1  ( X c / R)e  j / 2 1  ( X c / R)e  j / 2
R-L схема, R=var, L=const :
Iкз
U / X L e j / 2
U
=
=
(1.3) ,
I =
X L e j / 2  R 1  R /( X L e j / 2 ) 1  ( R / X L )e  j / 2
где I - комплекс тока короткого замыкания, когда переменное сопротивление
кз
обращается в ноль.


F
, где F =const ,  =const , k=var (сравните с
j
1  ke
последними выражениями (1.2) и (1.3)) называются уравнениями ''дуги окружности в

векторной форме записи''; эту дугу описывает конец вектора G при изменении

значения к от 0 до  ; дуга стягивается хордой F и на нее опирается внутренний угол
окружности, равный  .

Геометрическое место точек концов вектора G называют круговой диаграммой
; пояснения по ее построению приведены в Приложении 2.

Уравнения вида G =
1.1.2. Параллельное соединение R-C и R-L. Треугольники токов и проводимостей.
Линейные диаграммы.
Исследуемые параллельные соединения сопротивлений представлены на
рис.1.3а. При параллельном соединении к сопротивлениям Z 1 и Z 2 приложено одно и
.
то же напряжение U от источника Э.Д.С., а сумма токов в ветвях равна току I в
неразветвленной части цепи:
I = I1 + I2 = U Y 1 + U Y 2 = U (Y 1 +Y 2 )= U Y . (1.4)
Векторные диаграммы токов приведены на рис.1.3б и образуют ''треугольник токов'',
которому подобен, как это следует из (1.4), ''треугольник проводимостей''. Y=Y 1 +Y 2 .
Если напряжение источника Э.Д.С. остается постоянным, то при изменении
одного из параллельно включенных сопротивлений ток в неразветвленной части цепи
будет изменяться и по модулю и по фазе, причем конец вектора тока I будет
перемещаться по линии, как это показано на рис.1.3б. Геометрическое место точек
концов вектора I в этом случае называется линейной диаграммой.
а)
Í2
Í
A
C
Í1
V
Ú
R
Í
A2
Í2
A
A2
L
A1
Í1
V
24
Ú
R
A1
Í1
Í
Í1
Í
R
L
C
Í2
Í2

Í2

C

D
Í
Í
б)
Í1
Ú
Í1

Í2
O
R
Ú
Рис.1.3. Параллельное соединение сопротивлений: а – схема эксперимента,
б – треугольники токов и линейные диаграммы.
1.1.3. Определение активного сопротивления катушки
Векторные диаграммы, приведенные на рис.1.2 и 1.3, соответствуют идеальным
элементам R, C, L. В условиях предлагаемого эксперимента реальные активное
сопротивление и емкость могут быть заменены на идеальные R и C, но для катушки
индуктивности необходимо учитывать не только значение L, но и чисто активное
сопротивление проводов R ап . Эквивалентные схемы приведены на рис.1.4.
Í1
R1
L
R1
L
Í1
Ú2
катушка
Ú
Í
Rап
Í2
Í ап
Rап
катушка
Ú
Рис.1.4. Эквивалентные
схемы реальной катушки индуктивности:
Íап
Í1
Ú2
Ú1
Í2
ÚL
Úап
а)
б)
Í
25
Ú
ÍL
б – при параллельном , а – при последовательном включениях.
Как следует из векторных диаграмм на рис.1.4, в R-L схемах треугольники напряжений
при последовательном включении и треугольники токов при параллельном включении
будут отличаться от прямоугольных из-за наличия активного сопротивления Rап.
Значение R ап может быть определено на основе измеренных значений напряжений и
токов, дополнительных геометрических построений и соотношений (1.1) и(1.4) и будет
определяться ( см. рис.1.4) выражениями:
для последовательного включения - R ап =U ап / I ;
для параллельного включения - R ап =U/ I ап
(1.5)
В выражениях (1.5) значения U ап и I ап определяются графически или аналитически с
использованием “теоремы косинусов”.
1.2. Предварительная подготовка
В процессе подготовки следует проработать соответствующую литературу.
При оформлении раздела ''теоретические пояснения'' для последовательных соединений
R-C и R-L следует построить теоретические круговые диаграммы, используя материалы
Приложения 2, и отметить шкалу на линии переменного параметра. Для параллельных
соединений элементов привести ожидаемые линейные диаграммы.
Для R-C последовательного и параллельного соединений вывести выражения ,
позволяющие по показаниям приборов устанавливать зависимость  и cos  от
емкости C. Следует также привести выражения, позволяющие рассчитать значения C,
R, L, R ап по показаниям измерительных приборов.
1.3. Экспериментальная и расчетная часть
1 – Последовательное соединение активного и реактивного элементов
Исследование проводится по схемам рис.1.2а. Измерения проводятся при
различных значениях переменного сопротивления, изменяемого в допустимых
пределах. Результаты заносятся в графы 1 – 5 табл.1.1 для R – C схемы и табл.1.2 R – L
схемы. В заголовки граф, относящихся к обработке результатов, следует записать
расчетные формулы, в соответствии с которыми будет обрабатываться каждая
экспериментальная точка.
26
Таблица 1.1
Результаты исследования последовательного соединения R – C
№
1
Показания приборов для различных
значений С
V
A
V1
V2
2
3
4
5
Обработка результатов
R=
C=
6
7
cos  =
8
Таблица 1.2
Результаты исследования последовательного соединения R – L
Показания приборов для
Обработка результатов
различных значений R
№
V
A
V1
V2
R=
UL
U ап
R ап =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
=
9
L=
10
Результаты обработки по R – C схеме представить в виде:
R = ____ Ом ;
круговая диаграмма по экспериментальным данным ;
графики зависимости cos  (C) и  (С) .
Результаты обработки по R - L схеме представить в виде :
L = ____ Гн ; Rап = ____ Ом ;
круговая диаграмма по экспериментальным данным ;
Значения :
Круговая диаграмма напряжений строится по показаниям вольтметров, а затем
на ее основе и по показаниям амперметра строится круговая диаграмма тока ;
На построенной круговой диаграмме следует указать теоретически ожидаемую
диаграмму ;
данные для граф 7 и 8 табл.1.2 берутся из круговой диаграммы ( см. рис.1.4а ) ;
по каждой схеме выбрать один из режимов и построить для него треугольник
сопротивлений;
значения R , L , Rап рассчитываются путем усреднения соответствующих
значений, полученных в каждом режиме измерения.
2 – Параллельное соединение активного и реактивного элементов
Исследование проводится по схемам рис.1.3а. Каждый режим измерения
соответствует различным значениям переменного сопротивления – емкости в R – C
схеме и активного сопротивления в R – L схеме. При уменьшении сопротивления R
внимательно следить за показаниями амперметров, не допуская их перегрузки, а также
превышения допустимого для перехода тока !!
27
Результаты измерения заносятся в графы 1 – 5 табл.1.3 для R – C схемы и
табл.1.4 для R – L схемы. В заголовки граф, относящихся к обработке результатов,
следует записать расчетные формулы, в соответствии с которыми будет
обрабатываться каждая экспериментальная точка.
Таблица 1.3
Результаты исследования параллельного соединения R – C
Показания приборов для различных
Обработка результатов
значений С
№
V
A
A1
A2
R=
C=
=
cos  =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Таблица 1.4
Результаты исследования параллельного соединения R – L
Показания приборов для
Обработка результатов
различных
значений
R
№
V
A
A1
A2
R=
IL
I ап
R ап =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
L=
10
Результаты обработки представить в виде :
линейных векторных диаграмм токов по каждой схеме, причем на диаграмме
для
R - L схемы указать теоретический ход диаграммы;
для R – C схемы построить графики зависимостей cos  (C) и  (С);
по каждой схеме выбрать один из режимов и построить для него треугольник
проводимостей.
Найти эквивалентные параметры катушки индуктивности L и Rап путем
усреднения соответствующих значений, полученных в каждом режиме измерения.
Рассчитать также значения R в R – C схеме.
1.4. Анализ результатов
Проанализировать согласие круговых и линейных векторных диаграмм,
построенных по экспериментальным данным и на основе теоретических
представлений. Объяснить влияние активного сопротивления катушки на характер
векторных диаграмм.
Оценить погрешности определения эквивалентных параметров катушки
индуктивности при последовательном и параллельном соединении R и L.
Объяснить влияние на угол сдвига фаз активного и реактивного сопротивлений
при последовательном и параллельном их включении.
1.5. Перечень контрольных вопросов
28
1. Что такое – ''круговая диаграмма''? Поясните порядок ее построения.
2. Что такое – ''линейная векторная диаграмма''? Приведите примеры.
3. Как определить активное сопротивление катушки индуктивности по результатам
измерений по схеме рис.1.2?
4. Как определить активное сопротивление катушки по результатам измерений по
схеме рис.1.4?
5. Объясните влияние емкости на I , U 1 , U 2 при последовательном соединении R
и C.
6. Объясните влияние емкости (сопротивления R) на cos  :
при последовательном соединении R C,
при параллельном соединении R и C.
7. Объясните влияние индуктивности (сопротивления R) на cos  :
при последовательном соединении R и L,
при параллельном соединении R и L.
29