Основы теории цепей

Лекция 2. Топологическое описание электрических
схем. Основные законы теории цепей.
Электрические схемы. Двухполюсники и многополюсники. Виды соединения
элементов.
Понятие о компонентных и топологических уравнениях. Законы Кирхгофа.
Топологический граф электрической цепи. Топологические матрицы.
Уравнение электрического равновесия цепи. Классификация цепей
Цели изучения
1. Введение терминов и определений, касающихся топологии цепей
2. Описание структуры цепи (словесное, с помощью топологических
графов, с использованием топологических матриц)
3. Составление математической модели цепи
– уравнения
электрического равновесия.
4. Классификация электрических цепей.
2.1. Электрические схемы. Основные определения
Электрическая схема - это условное графическое изображение
электрической цепи. В связи с тем, что в теории цепей рассматривают
исключительно эквивалентные схемы, в дальнейшем под термином
«электрическая схема» или просто «схема» будем понимать именно
эквивалентную схему электрической цепи. Схема электрической цепи
определяет, таким образом, состав идеализированных активных и пассивных
элементов моделирующей цепи, замещающей исследуемую цепь в рамках
рассматриваемой задачи, параметры этих элементов и способ их соединения
между собой.
iR1 R1
ie
e
ij
R2 iR 2
L
C iC
j
iL
а)
R
Uj
UR
UL
UC
iR
L
iC
iL
б)
Рис. 2.1. Схемы неразветвлённой (а) и разветвлённой (б) электрических
цепей
Помимо идеализированных активных и пассивных элементов на схемах
электрических
цепей
изображаются
также
идеализированные
вспомогательные элементы: выводы цепи или ее частей, соединительные
проводники и элементы коммутации.
1
При необходимости на схеме указывают положительные направления
токов и напряжений: для токов через внешние выводы цепи или через ее
элементы - стрелками непосредственно на соединительных проводниках или
выводах; для напряжений на отдельных элементах или участках цепи стрелками между выводами соответствующих элементов или участков цепи
(рис. 2.1). Рядом со стрелками, указывающими положительные направления
токов или напряжений, проставляют их условные буквенные, обозначения,
например iR , U C , U L 2 , ... или i1 , i2 , U1 ,... , где индексы представляют собой
либо буквенные обозначения соответствующих элементов, либо порядковые
номера токов и напряжений.
Внешние выводы отдельных участков моделирующей цепи, по аналогии с
внешними выводами реальных элементов электрической цепи, называют
полюсами. В зависимости от числа полюсов участки цепей делят на
двухполюсники и многополюсники (трёхполюсники, четырёхполюсники, Nполюсники).
i2 R1 (2) L1 i3 (3)
i6
(1)
R3
L2
(4)
i5 i7 C
R2
e
i1
i4
(0)
а)
i1
R1
L1
(1)
i2
e
R2
1
а)
2
3
L
i3 2
R3
i4
C
(0)
Рис. 2.2. Примеры расширенного (а) и сокращённого (б)
топологического описания цепи
Двухполюсник может состоять из одного или нескольких
идеализированных двухполюсных элементов (см., например, рис. 2.2 - 2.4)
или может вообще не содержать идеализированных активных и пассивных
элементов (например, короткозамыкающий двухполюсник или перемычка).
2
Важное значение в теории цепей имеют многополюсники с четырьмя
выводами - четырехполюсники.
В
зависимости
от
характера
соединения
идеализированных
двухполюсных элементов различают неразветвленные и разветвленные цепи.
В неразветвлённой цепи (рис. 2.1, а) через все элементы протекает один и тот
же ток. В разветвлённых цепях (рис. 2.1, б и рис. 2.2, а) токи через различные
элементы могут быть неодинаковы.
Соединение группы идеализированных двухполюсных элементов, при
котором через них протекает один и тот же ток, называется
последовательным. Например, в неразветвленной цепи, схема которой
представлена на рис. 2.1, а, все элементы включены последовательно
( iR1  iR 2  iL  iC  ie ), а в разветвленной цепи (рис. 2.2, а) имеется две
группы последовательно включенных элементов:
- источник напряжения e(t), сопротивление R1 и индуктивность L1, (i1 = i2
= i3),
- сопротивление R3 и емкость C (i6 = i7).
(1)
(1)
R31
R1
R12
R23
R3
(4)
R2
(2)
(3)
а)
(2)
(3)
б)
Рис. 2.3. Соединение сопротивлений треугольником (а) и звездой (б)
Соединение группы двухполюсных элементов, при котором все элементы
находятся под одним и тем же напряжением, называется параллельным. Так,
в разветвленной цепи, схема которой приведена на рис. 2.1, б, все элементы
включены параллельно ( U j  U R  U L  U C ).
Комбинация последовательного и параллельного соединений элементов
называется смешанным соединением (рис. 2.2, а). В ряде случаев соединение
между входящими в цепь элементами не может быть отнесено ни к
последовательному, ни к параллельному, ни к смешанному. К числу таких
соединений относятся соединения треугольником (рис. 2.3, а) и звездой (рис.
2.3, б), которые являются частными случаями соединения N -угольником
(рис. 2.4, а) и N - лучевой звездой (рис. 2.4, б).
3
Характер соединения между идеализированными элементами
цепи
определяет ее топологические (структурные) свойства, для описания
которых используют понятия ветви, узла и контура. Ветвь представляет
собой участок электрической цепи, вдоль которого протекает один и тот же
ток. Она может состоять из одного или нескольких последовательно
включенных идеализированных двухполюсных элементов.
Место соединения ветвей называется узлом, причем место соединения
двух ветвей называют устранимым узлом (при соединении двух ветвей
текущие через них токи имеют одинаковые значения, поэтому две такие
ветви могут быть заменены одной).
(N)
R( N 1) N
(N)
(N-1)
RN 1
R( N 1) N(1)
(N-1)
R( N 1)
R12
R1
(N+1)
R( N 1)1
R2( N 1)
(1)
RN
R2
RN 2
(2)
(2)
б)
а)
Рис. 2.4. Соединение сопротивлений N-угольником (а) и Nлучевой звездой (б)
Ветви электрической цепи нумеруют арабскими цифрами, начиная с
единицы. Номера ветвей удобно выбирать совпадающими с номерами
соответствующих токов, в этом случае номера ветвей на схеме можно не
указывать. Узлы электрической цепи нумеруют, начиная с нуля. Порядок
нумерации узлов значения не имеет, однако номер «0» удобно присваивать
заземленному узлу или узлу, к которому сходится наибольшее число ветвей.
Номера узлов условимся обозначать арабскими цифрами в круглых скобках,
проставленными около соответствующего узла.
Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям цепи,
называется контуром. Например, в электрической цепи, схема которой
приведена на рис. 2.2, б можно выделить шесть контуров, образованных
ветвями {1,2}, {2,3}, {3,4}, {1,4}, {2,4} и {1,3}. Неразветвленная цепь (см.
рис. 2.1, а) содержит только один контур.
В отличие от электрических элементов моделирующих цепей ветви, узлы
и контуры называются топологическими элементами. Степень сложности
4
исследования процессов в электрических цепях во многом определяется
числом топологических элементов.
2.2. Понятие о компонентных
уравнениях. Законы Кирхгофа
и
топологических
Математическое описание процессов в электрических цепях базируется на
уравнениях двух типов: компонентных и топологических.
Компонентные уравнения (уравнения ветвей) устанавливают связь между
током и напряжением каждой ветви. Количество таких уравнений равно
числу ветвей, а вид каждого из них зависит только от состава ветви, т. е. от
входящих в ее состав идеализированных двухполюсных элементов.
Топологические уравнения отражают свойства цепи, которые
определяются только её топологией и не зависят от того, какие,
электрические элементы входят в состав ветвей. К топологическим относятся
уравнения, составленные на основании первого и второго законов Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа устанавливает связь между токами ветвей в
каждом из узлов цепи: алгебраическая сумма мгновенных значений токов
всех ветвей, подключенных к каждому из узлов цепи, в любой момент
времени равна нулю.
В соответствии с первым законом Кирхгофа для каждого из узлов
идеализированной цепи (как при расширенном, так и при сокращенном
топологическом описании) может быть составлено уравнение баланса токов
в узле
i
k
 0,
(2.1)
k
где
k номер ветви, подключенной к рассматриваемому узлу.
Суммирование токов производится с учетом выбранных положительных
направлений: всем токам, одинаково ориентированным относительно узла,
приписывается одинаковый знак.
На основании первого закона Кирхгофа можно составить уравнение
баланса токов и для так называемого обобщенного узла, который
представляет собой часть моделирующей цепи, охваченную произвольной
замкнутой поверхностью. В этом случае в уравнении (2.1) алгебраически
суммируются токи всех ветвей, входящих в обобщенный узел, т. е. токи всех
ветвей, пересекаемых указанной замкнутой поверхностью.
Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между напряжениями ветвей,
входящих в произвольный контур: алгебраическая сумма мгновенных
значений напряжений всех ветвей, входящих в любой контур цепи, в каждый
момент времени равна нулю.
В соответствии со вторым законом Кирхгофа для каждого контура можно
составить уравнения баланса напряжении ветвей
5
U k  0 ,
(2.2)
k
где
k - номера ветвей, входящих в рассматриваемый контур.
Суммирование напряжений производится с учетом их положительных
направлений и выбранного направления обхода контура. Если
положительное направление напряжения ветви совпадает с направлением
обхода контура, то оно входит в (2.2) со знаком плюс, в противном случае –
со знаком минус. Изменение направления обхода контура, очевидно,
соответствует умножению левой и правой частей (2.2) на (–1).
Уравнения по второму закону Кирхгофа можно составить не только для
напряжений ветвей, но и для напряжений элементов, входящих в ветви
каждого контура. Представляя напряжение каждой ветви в виде суммы
напряжений элементов этой ветви и принимая во внимание, что
положительное направление напряжения источника э. д. с. противоположно
направлению э. д. с., систему уравнений (2.2) можно преобразовать к
следующему виду:
U i   e j .
i
(2.3)
j
Здесь
U i - напряжения каждого из элементов рассматриваемого контура,
за исключением напряжений источников э. д. с.; e j - э. д. с. источников
напряжения, действующих в контуре.
Используя (2.2), можно несколько видоизменить формулировку второго
закона Кирхгофа: алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений на
элементах любого контура моделирующей цепи в каждый момент времени
равна алгебраической сумме мгновенных значений э. д. с. источников
напряжения, действующих в этом контуре. Напряжения на элементах
контура и э. д. с. источников напряжения входят в (2.3) со знаком плюс, если
положительные направления напряжений на элементах и направления э. д. с.
источников напряжения совпадают с направлением обхода контура. В
противном случае соответствующие слагаемые в (2.3) берутся со знаком
минус.
Так как вид и число уравнений, составленных на основании законов
Кирхгофа, не зависят от того, какие элементы входят в состав цепи, и
определяются только ее топологическими особенностями, то уравнения
баланса токов и напряжений можно применять для математического
описания процессов в моделирующих цепях, составленных из двухполюсных
элементов любого типа (как линейных, так и нелинейных) при любой форме
токов и напряжений независимых источников.
Очевидно, что количество уравнений баланса токов и напряжений равно
сумме числа узлов и числа контуров исследуемой цепи. Можно убедиться;
что не все из составленных уравнений будут линейно независимыми.
6
В то же время на основании законов Кирхгофа для каждой цепи можно
составить
несколько
различных
систем
линейно
независимых
топологических уравнений.
Будем называть системой независимых узлов и системой независимых
контуров любые совокупности узлов и контуров цепи, для которых можно
составить системы линейно независимых уравнений по законам Кирхгофа.
Определение числа независимых узлов и контуров, а также выделение систем
соответствующих узлов и контуров являются основными задачами
топологии цепей.
2.3. Топологические графы электрических цепей
В общем случае граф есть совокупность отрезков произвольной длины и
формы, называемых ветвями (рёбрами), и точек их соединения, называемых
узлами (вершинами). В теории электрических цепей в основном находят
применение направленные, или ориентированные графы у которых каждому
ребру приписывается определенное направление, указываемое стрелкой.
(1)
(1) 2 (2) 3 (3) 6 (4)
7
1
4
1
5
2
3
4
(0)
(0)
а)
б)
Рис. 2.5. Расширенный (а) и сокращённый (б) графы цепи, схема которой
приведена на рис. 2.2.
Различают направленные топологические графы и направленные графы
прохождения сигналов. Направленный топологический граф является
упрощенной моделью электрической цепи, отражающей только ее
топологические (структурные) свойства.
Граф электрической цепи строят по её эквивалентной схеме. Каждую
ветвь цепи заменяют при этом отрезком произвольной длины и формы ветвью графа, а каждый узел цепи преобразуют в узел графа. На ветвях графа
стрелками указывают их направления, которые совпадают с положительным
направлением токов, протекающих по соответствующим ветвям цепи.
Нумерация ветвей и узлов графа та же, что и нумерация ветвей и узлов
схемы.
7
Расширенному топологическому описанию цепи (см. рис. 2.2, а)
соответствует расширенный граф цепи (рис. 2.5, а), сокращенному
топологическому описанию (см. рис. 2.2, б) - сокращенный (рис. 2.5, б).
Свойства графа не зависят от формы и длины ветвей, а также от
взаимного расположения узлов графа на плоскости и определяются только
числом ветвей p, числом узлов q и способом соединения ветвей между собой.
Графы, имеющие одинаковые количества узлов и ветвей, соединенных между
4
(1)
(2)
3
(1)
7
5
1
5
(0)
4
4
(1)
(2)
3
7
2
6
6
1
(2)
(3)
2
2
3
5 7
1
(3)
6
(0)
(0)
а)
б)
(3)
в)
Рис. 2.6. Изоморфные графы
собой одинаковым образом, называются изоморфными (рис. 2.6). Изменяя
длину и форму ветвей, а также взаимное расположение узлов графа на
плоскости, можно получить бесчисленное множество графов, изоморфных
исходному. Такие преобразования графа называются изоморфными
преобразованиями. Каждый из вариантов изображения графа, полученный
путем таких преобразований, называется его геометрической реализацией.
Если узел i является концом ветви j , то говорят, что они инцидентны.
Каждая ветвь графа инцидентна двум узлам. Часть графа, которая наряду с
некоторым подмножеством ветвей графа содержит и все инцидентные им
узлы, называется подграфом.
Путь - это подграф, являющийся последовательностью соединенных
между собой ветвей, выбранных таким образом, что каждому узлу (за
исключением двух узлов, называемых граничными) инцидентны две ветви, а
граничным узлам инцидентно по одной ветви. Каждая ветвь и каждый узел
встречаются в пути только один раз.
Замкнутый путь, т. е. путь, у которого начальные и конечные узлы
совпадают, называется контуром. Каждому из узлов контура инцидентны две
ветви. Очевидно, что между контурами графа и контурами исходной цепи
существует взаимно однозначное соответствие.
8
Связный граф - это граф, между любыми двумя узлами которого
существует, по крайней мере, один путь.
(1) 3 (2)
1
3 (2) 5 (3)
(1)
(3)
6
4 (2) 5 (3)
(1)
2
6
(0)
(0)
(0)
б)
а)
в)
Рис. 2.7. Некоторые из деревьев графа, изображённого на рис. 2.5
Деревом связного графа называется связный подграф, включающий все
узлы графа, но не содержащий ни одного контура. Ветви графа, вошедшие в
дерево, называются ветвями дерева; ветви, не вошедшие в дерево,
называются связями (главными ветвями, хордами). Каждому графу может
быть поставлено в соответствие несколько деревьев, отличающихся друг от
друга составом ветвей дерева (рис. 2.7). Каждое из деревьев графа,
содержащего p ветвей и q узлов, имеет m = q - 1 ветвей дерева и n = p – q + 1
главных ветвей. При построении деревьев графов электрических цепей в
число ветвей дерева обязательно вносят ветви, соответствующие
идеализированном источникам напряжения. Ветви графа, соответствующие
ветвям цепи, содержащим идеализированные источники тока, в число ветвей
дерева не включают.
(1)
1
4 (2) 5 (3) (1)
1
6
2
4 (2) 5 (3)
(1)
4 (2) 5 (3) (1)
3
2
6
4 (2) 5 (3)
4
6
6
(0)
(0)
(0)
(0)
Рис. 2.8. Главные контуры графа (рис. 2.5), соответствующие дереву (рис.
2.7, в). ветви дерева – сплошные линии, главные ветви – пунктирные
Добавление к дереву графа любой главной ветви образует контур.
Контуры, образованные поочередным добавлением к дереву графа его
главных ветвей, называются главными контурами (рис. 2.8). Таким образом,
главный контур состоит из ветвей дерева и одной главной ветви. Каждому
дереву соответствует своя система из n = p – q + 1 главных контуров, причем
главные контуры, соответствующие определенному дереву, отличаются один
от другого, по крайней мере, одной ветвью, а именно главной ветвью,
входящей в каждый из главных контуров. Каждому главному контуру
9
обычно присваивают номер и приписывают ориентацию (направление
обхода), совпадающие с номером и ориентацией соответствующей главной
ветви.
2.4. Топологические матрицы
Топологические матрицы служат для аналитического описания графов.
Такое описание можно представить в виде списка (перечня) ветвей графа с
указанием, каким узлам они инцидентны, и с какой ориентацией, или с
помощью полной матрицы узлов Ac .
Полная матрица узлов (используются также другие названия этой
матрицы: полная матрица инциденций, матрица соединений, структурная
матрица) – это таблица, в которой число столбцов равно числу ветвей графа
p, а число строк равно числу узлов q. Номера строк совпадают с номерами
узлов (строка с нулевым номером обычно располагается последней), номера
столбцов совпадают с номерами ветвей. Элемент матрицы aij,
расположенный на пересечении i-й строки и j-го столбца, может принимать
значения +1, -1 и 0: aij = 1, если ветвь j инцидентна узлу i и направлена от
этого узла; aij = -1, если ветвь j инцидентна узлу i и направлена к этому узлу;
aij = 0, если ветвь j не инцидентна узлу i. Так, графу, изображенному на рис.
2.5, а соответствует полная матрица инциденций
1
0
0
0
 1  1 1
0
0 1 1 1
0  1

Ac 
.
0
0
0
0 1 1
1


1
0
0
0 1 0 
1
Число ненулевых элементов в каждой строке матрицы
(2.4)
Ac равно числу
ветвей, инцидентных соответствующему узлу, т. е. степени узла. В каждом
столбце имеется только два ненулевых элемента: 1 и -1, так как каждая ветвь
инцидентна двум узлам и направлена от одного из них к другому. Сумма всех
элементов каждого столбца, а следовательно, и сумма всех строк полной
матрицы, узлов Ac равна нулю, т. е. строки полной матрицы узлов являются
линейно зависимыми.
На практике обычно используют сокращенную матрицу узлов A, которая
получается из полной матрицы узлов путем отбрасывания любой из ее строк.
Обычно отбрасывают строку, соответствующую узлу с номером 0, который
будем называть базисным узлом. Так, отбрасывая строку с номером 0 у
полной матрицы узлов (2.4), получаем сокращенную матрицу узлов A цепи,
граф которой изображен на рис. 2.5:
10
1
0 0 0
 1  1 1

A 0
0  1  1 1 0  1 .
 0
0
0
0  1 1 1 
(2.5)
В теории графов доказывается, что все строки сокращенной матрицы
узлов линейно независимы. Зная сокращенную матрицу узлов,
соответствующую некоторому графу, всегда можно найти его полную
матрицу узлов, для чего необходимо дополнить A одной строкой так, чтобы
сумма всех строк матрицы Ac равнялась нулю.
В связи с тем, что каждая строка матриц AC и A несет информацию о том,
какие ветви и с какой ориентацией подключены к определенному узлу цепи,
эти матрицы можно использовать для записи уравнений по первому закону
Кирхгофа. Действительно, умножая полную матрицу узлов Ac на матрицустолбец токов ветвей i , получаем
 a11
a
21
Ac  i  


aq 1
 a1 p   i1   a11i1  a12 i2    a1 p i p 
a22  a2 p   i2  a21i1  a22 i2    a2 p i p 

.
       
  

aq 2  aqp   i p   aq 1i1  aq 2 i2    aqp i p 
a12
Каждая строка этого выражения есть алгебраическая сумма токов ветвей,
подключенных к соответствующему узлу цепи, причем если ветвь
направлена от узла, то соответствующий ток имеет знак плюс ( aij  1 ),
если ветвь направлена к узлу, то знак минус ( aij  1 ). Если же ветвь не
инцидентна рассматриваемому узлу, то соответствующее слагаемое равно
нулю ( aij  0 ). Тогда в соответствии с первым законом Кирхгофа
окончательно имеем
Ac  i  0.
(2.6)
В связи с тем что строки полной матрицы узлов являются линейно
зависимыми, система уравнении (1.42) также будет линейно зависимой .
Для получения системы линейно независимых уравнений, составленных
по первому закону Кирхгофа, можно воспользоваться сокращенной матрицей
инциденций, строки которой являются линейно независимыми:
A i  0.
(2.7)
Таким образом, для любой цепи можно составить m  q  1 линейно
независимых уравнений баланса токов, и, следовательно, любые m узлов
графа, представляют собой систему независимых узлов.
11
Матрица главных контуров B представляет собой таблицу, в которой
число столбцов равно числу ветвей графа p , а число строк - числу главных
контуров, т. е. числу главных ветвей графа n  p  q  1 (номера столбцов
совпадают с номерами ветвей, а номера строк - с номерами главных
контуров). Элементы i -й строки bij могут принимать значения +1, -1 и 0;
bij  1, если j -я ветвь входит в состав i -го контура, причем ее
ориентация совпадает с ориентацией контура; bij  1, , если ориентация
j -й ветви, входящей в i -й контур, не совпадает с ориентацией контура;
bij  0, если j -я ветвь не входит в i -й контур Например, матрица главных
контуров B графа (см. рис. 2.5), соответствующая дереву графа,
приведенному на рис. 2.6, в, имеет следующий вид:
1
0
B
0

0
1 1 0
1 0 1 1 1 0 
.
0 1  1 0 0 0

0 0 0 1 0 1
0 0
1
(2.8)
Матрицу главных контуров можно использовать для записи уравнений,
составленных на основании второго закона Кирхгоффа. Пусть исследуемая
цепь содержит p ветвей, q узлов и n  p  q  1 главных контуров.
Умножая матрицу главных контуров B на матрицу-столбец напряжений
ветвей U , получаем
b11 b12
b
b22
21
B U  
 

bn1 bn 2
 b1 p   u1   b11u1  b12 u 2    b1 p u p 
 b2 p  u 2  b21u1  b22 u 2    b2 p u p 

.
     
  

 bnp  u p  bn1u1  bn 2 u 2    bnp u p 
Каждая строка этого выражения представляет собой алгебраическую
сумму напряжений ветвей, входящих в i -й главный контур, причем правило
суммирования напряжений ветвей совпадает с соответствующим правилом,
установленным для записи уравнении баланса напряжении в контуре (1.39).
Так как в соответствии со вторым законом Кирхгофа сумма напряжений
ветвей, входящих в каждый контур, в любой момент времени равна нулю, то
окончательно имеем
12
B  U  0.
(2.9)
Выражение (1.45) является матричной формой записи уравнений баланса
напряжений для главных контуров цепи. Уравнения, входящие в (1.45),
являются линейно независимыми, так как каждое из них отличается от
остальных, по крайней мере, одним напряжением - напряжением главной
ветви, замыкающей данный контур.
Таким образом, система из n  p  q  1 главных контуров,
соответствующих выбранному дереву, является системой независимых
контуров. Следовательно, для каждой цепи можно составить n независимых
уравнений по второму закону Кирхгофа.
2.5. Уравнения электрического равновесия
Любую электрическую цепь можно рассматривать как систему с одним
или несколькими входами и одним или несколькими выходами. Если ко
входам прикладывается внешнее воздействие, то на выходах наблюдается
реакция.
В теории цепей решается две взаимообратные задачи.
1) задача анализа.
Исходные данные: воздействие, схема цепи, параметры всех элементов.
Требуется определить реакцию цепи. В ряде случаев определяется не сама
реакция, а отношение реакции цепи к воздействию. Такие отношения
называются системными функциями (характеристиками) цепи. В
зависимости от того, что является аргументом системной функции – частота
или время, различают временные и частотные характеристики.
2) задача синтеза.
Исходные данные: воздействие на цепь и реакция цепи. Требуется
определить структуру цепи и параметры элементов.
Анализ и синтез взаимосвязаны. Для того, чтобы проводить синтез цепей,
необходимо владеть анализом.
Точность и корректность анализа во многом зависят от выбранных
моделей элементов цепи. Цепь, составленная из моделей элементов,
называется расчётной (моделирующей) цепью (в отличие от реальной). Далее
в курсе будут рассматриваться расчётные электрические цепи, однако для
краткости слово «расчётная» или «моделирующая» пропустим.
Математически задача анализа сводится к составлению и решению
системы уравнений, в которой неизвестными являются токи и напряжения
ветвей исследуемой цепи. Так как данная система описывает состояние цепи
(токи и напряжения ветвей) в любой момент времени, то уравнения
называются уравнениями электрического равновесия. Если все уравнения в
системе первого порядка, то число независимых уравнений в системе должно
быть равно числу неизвестных токов и напряжений.
13
Для формирования уравнений электрического равновесия используются
законы Кирхгофа и компонентные уравнения. На практике применяют
методы, позволяющие упростить формирование уравнений электрического
равновесия: методы контурных токов, узловых напряжений, переменных
состояния, методы, основанные на использовании теорем теории цепей.
Система уравнений электрического равновесия может быть преобразована
в одно дифференциальное или алгебраическое уравнение относительно
одного неизвестного тока или напряжения. Дифференциальное уравнение
содержит информацию о характере процессов в цепи и является основой для
классификации цепей. Тип дифференциального уравнения определяется
топологией цепи и характером входящих в неё элементов.
2.6. Классификация электрических цепей
Электрические цепи могут быть классифицированы по ряду признаков
1) по топологическим особенностям: планарные – непланарные (плоские
–объёмные), разветвлённые – неразветвлённые, простые – сложные и т.д.
2) по энергетическим свойствам: активные – пассивные,
3) по числу внешних выводов: двухполюсники, трёхполюсники,
многополюсники.
Фундаментальный характер имеет классификация цепей в зависимости от
вида дифференциального уравнения цепи.
Цепи с сосредоточенными параметрами описываются обыкновенными
дифференциальными уравнениями. Такое описание справедливо, если длина
волны электромагнитных колебаний существенно больше размеров
исследуемого устройства. При этом каждый из основных электрических
эффектов проявляется в конечном числе пространственно локализуемых
областей.
Цепи с распределёнными параметрами описываются дифференциальными
уравнениями в частных производных. Это описание справедливо, когда
длина волны электромагнитных колебаний соизмерима с размерами
исследуемого устройства, и необходимо учитывать зависимость токов и
напряжений от пространственных координат.
Линейные цепи (цепи, не содержащие нелинейных элементов)
описываются линейными дифференциальными уравнениями. Нелинейным
электрическим цепям соответствуют нелинейные дифференциальные
уравнения.
Параметры пассивных элементов и коэффициенты управления
управляемых источников могут быть постоянными, либо изменяться с
течением времени под действием различных факторов. Если цепь содержит
только элементы с постоянными параметрами, то она описывается
дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Если в
цепи есть хотя бы один элемент с изменяющимися параметрами, ло цепь
14
называется параметрической и описывается дифференциальным уравнением
с переменными коэффициентами.
В общем случае дифференциальное уравнение линейной цепи с
сосредоточенными параметрами имеет вид:
an
d ns
d n 1s
ds
 an 1
 ...  a1
 a0 s  f (t ),
dtn
dtn 1
dt
где s(t) - искомая реакция цепи;
a0, an-1, an – коэффициенты, определяемые параметрами пассивных
элементов и коэффициентами управления источников;
f(t) –линейная комбинация функций, описывающих внешнее воздействие,
и их производных.
Порядок дифференциального уравнения равен порядку сложности цепи и
равен числу реактивных элементов, энергетическое состояние которых может
быть задано независимо.
Состояние теории цепей во многом зависит от уровня развития теории
дифференциальных уравнений. В настоящее время наиболее законченный
вид имеет теория линейных электрических цепей с постоянными
коэффициентами.
Выводы






Для описания соединений элементов используют термины:
последовательное соединение, параллельное соединение, смешанное
соединение и др.
При топологическом описании цепи используют понятия ветвь, узел,
контур.
В произвольной электрической цепи выполняются условия баланса
токов в узле и напряжений в контуре, выражаемые законами
Кирхгофа.
Математическое описание цепи – система уравнений электрического
равновесия. Она формируется из топологических уравнений
(составленных по законам Кирхгофа) и компонентных уравнений
(устанавливающих связь между током и напряжением на элементе).
Система уравнений электрического равновесия преобразуется в одно
уравнение, вид которого определяется свойствами цепи.
Классификация цепей производится в зависимости от вида
уравнения электрического равновесия.
15