Лекция 5. Анализ простых цепей методом комплексных амплитуд

Лекция 5. Анализ простых цепей методом
комплексных амплитуд
Анализ последовательной RL-цепи методом комплексных амплитуд.
Анализ последовательной RLC-цепи методом комплексных амплитуд.
Цели изучения модуля
1. Определение тока в последовательной RL-цепи при воздействии
гармонического напряжения
2. Определение тока и напряжений на элементах последовательной
RLC-цепи при различных частотах воздействия.
5.1. Последовательная RL-цепь
Рассмотрим идеализированную электрическую цепь, состоящую из
последовательно включенных сопротивления R и индуктивности L (рис.
5.1, а). Пусть напряжение u , приложенное к внешним зажимам цепи,
изменяется по гармоническому закону
u  2U cost   u ,
U ,  ,  u – заданные величины. Используя метод комплексных
амплитуд, найдем установившееся значение тока I в цепи.
Искомый ток i является гармонической функцией времени той же
где
частоты, что и приложенное, напряжение.
i  2 I cost   i ,
где I ,  i – неизвестные действующее значение и начальная фаза тока i .
Представляя сопротивление и емкость комплексными схемами замещения
и, переходя от тока i и напряжения u к их комплексным изображениям
iR
R
u
iL
L
i  I  Iej i ; u  U  Ue j u ,
IR
I Z R  R
I
U
IL
U
Z L  j L
(5.2)
Z  R  jL
б)
а)
Im
Im
Z
Z L  j L
0
 0
Z R  R Re
U L  jLI
U
u
10
 0
i
 2
I
U R  RI
Re
г)
д)
Рис. 5.1. Схемы и векторные диаграммы последовательной RL-цепи
получаем комплексную схему замещения цепи (рис. 5.1, б). Далее, используя
законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме, составляем систему
уравнений электрического равновесия цепи
(5.3)
U  U R  U L ;
I  IR  IL ;
U  Z I ;
(5.4)
U L  Z L IL .
(5.6)
R
(5.5)
R R
Здесь Z R  R и Z L  jL - комплексные сопротивления входящих в
рассматриваемую цепь идеализированных элементов. Величины R , L и 
заданы.
Подставляя (5.4) – (5.6) в уравнение (5.3), находим соотношение,
связывающее комплексные изображения искомого тока и заданного
напряжения:
(5.7)
U  Z R  Z L I  ZI
Выражение (5.7) представляет собой математическую запись закона Ома в
комплексной форме для рассматриваемого участка цепи, причем
Z  Z R  Z L  R  jL есть комплексное входное сопротивление этого
участка цепи. Выражению (5.7) можно поставить в соответствие,
комплексную схему замещения цепи (рис. 5.1, в). Таким образом,
комплексное входное сопротивление цепи, состоящей из последовательно
включенных сопротивления R и индуктивности L , равно сумме
комплексных сопротивлений этих элементов. В дальнейшем убедимся, что
аналогично можно найти комплексное сопротивление любого участка цепи,
представляющего собой последовательное соединение произвольного
количества идеализированных двухполюсных элементов.
Комплексное входное сопротивление рассматриваемой цепи может быть
изображено на комплексной плоскости в виде вектора Z, равного
геометрической сумме векторов Z R и Z L (рис. 5.1, г). Длина этого вектора
равна, в выбранном масштабе, модулю комплексного входного
сопротивления рассматриваемой цепи
Z  R 2  L 2 ,
(5.8)
а угол наклона к положительной вещественной полуоси – его аргументу
 ωL 
.
 R 
  arctg
Отметим, что при конечных значениях
пределах
2
, L
(5.9)
и R угол
 лежит в
0  

2
.
(5.10)
Когда аргумент комплексного входного сопротивления  какого-либо
двухполюсника равен нулю, то говорят, что его входные сопротивление и
проводимость имеют чисто резистивный (вещественный) характер, когда
   2 - чисто реактивный (мнимый) характер. Если аргумент
комплексного входного сопротивления двухполюсника равен  2 , то его
входные сопротивление и проводимость имеют индуктивный характер, если
    2 - емкостной. В рассматриваемом случае значение, аргумента 
определяется соотношением (5.9), поэтому входное сопротивление цепи
имеет резистивно-индуктивный характер.
Используя (5.7), найдем комплексное действующее значение искомого
тока
U Ue j u Ue j  u  
,
I  

Z
Z
Z e j
(5.11)
где Z и  определяются соотношениями (5.8) и (5.9). Из выражений (5.7) и
(5.11) можно определить действующее значение и начальную фазу тока:
I
U
,  i  u   .
Z
Переходя от комплексного изображения тока к оригиналу, окончательно
поучаем
i 2
U
cost   u     2
z
U
R 2  L 2
L 

cos t   u  arctg
.
R 

В связи с тем, что при заданной частоте внешнего воздействия 
установившиеся значения токов и напряжений цепи полностью определяются
их действующими значениями и начальными фазами, на практике обычно не
возникает необходимости находить оригиналы токов и напряжений. Задача
анализа цепи считается решенной, если найдены комплексные действующие
значения соответствующих функций.
Векторные диаграммы для тока и напряжений RL-цепи приведены на рис.
5.11, д. Так как напряжение, на сопротивлении совпадает по фазе с током,
вектор U R совпадает по направлению с вектором I , вектор U L повернут
относительно вектора I на угол  2 против часовой стрелки (напряжение
на индуктивности по фазе опережает ток). Независимо от начальной фазы
напряжения  u вектор I повернут относительно вектора U  U R  U L по
3
часовой стрелке на угол  , т. е. ток отстает по фазе от напряжения на угол
 , равный аргументу комплексного входного сопротивления цепи. Отметим
также, что так называемый треугольник напряжений, образованный
векторами U , U R и U L (рис. 5.11, д), подобен треугольнику сопротивлений
(рис 2.13, г), образованному векторами Z , Z R и Z L .
Из векторной диаграммы видно, что действующие значения напряжения
на входе цепи U , напряжения на сопротивлении U R и напряжения на
индуктивности U L , которые определяют длину сторон треугольника
напряжении, связаны соотношением
U  U R2  U L2 ,
т. е. действующее значение напряжения на входе цепи не равно
алгебраической сумме, действующих значений напряжений на элементах
цепи.
5.2. Последовательная RLC-цепь
Рассмотрим последовательную RLC-цепь (рис. 5.2, а), находящуюся под
гармоническим воздействием, комплексная схема замещения которой
приведена па рис. 5.2, б. Используя законы Ома и Кирхгофа в комплексной
форме, составим систему уравнений электрического равновесии цепи
U  U R  U L  U C ; U L  Z L IL ;
I  IR  IL  IC ;
U  Z
R
U C  ZC IC ;
I .
(5.12)
R R
где Z R  R ; Z L  jL ; Z C  1  jC  - комплексные сопротивления
входящих в цепь идеализированных элементов. Решая систему (5.12)
относительно тока
I , получаем
I 
U
U
 .
Z R  Z L  ZC Z
(5.13)
Здесь Z - комплексное входное сопротивление последовательной RLCцепи, равное сумме комплексных сопротивлений входящих в цепь элементов,
которое определяется только параметрами входящих в цепь элементов и
частотой внешнего воздействия:
1 

.
Z  Z R  Z L  Z C  R  j L 
C 

4
(5.14)
ZR  R
R
i
L
u
Z L  jL U
С
ZC 
а)
j C
Im
ZR
ZC
Im
ZL
ZL
0
Re
ZC
ZR
ZL
Z  ZR
 0
г)
ZC
Re
Z
 0
1
j C
в)
Z
0
1
б)
Im
Z  R  j L 
Re
 0
д)
е)
Рис. 5.2. Схемы и векторные диаграммы для сопротивления
последовательной RLC цепи
Переходя от алгебраической формы записи Z к показательной, находим
модуль и аргумент комплексного входного сопротивления:
2
1 

;   arctg
Z  R  L 
C 

L 
2
R
1
C ;
(5.15)
Из выражения (5.15) следует, что характер входного сопротивления цепи
зависит от соотношения между мнимыми составляющими комплексного
входного сопротивления ёмкости xC   1 C  и индуктивности x L  L .
При
xL  xC входное сопротивление цепи имеет резистивно-индуктивный
характер ( 0     2 ). Векторная диаграмма, построенная на основании
выражения (5.15) и иллюстрирующая данный случай, представлена на
рис. 5.2, г (для большей наглядности векторы Z L и Z C изображены немного
смещенными один относительно другого). Если
xL  xC , то входное
сопротивление цепи имеет резистивно-емкостной характер (   2    0 )
5
xL  xC мнимые составляющие входного сопротивления
(рис. 5.2, д). При
емкости
xC и индуктивности xL взаимно компенсируются и входное
сопротивление цепи имеет чисто резистивный характер (   0 ) (рис. 5.2, е).
Используя уравнение (5.13), можно по известному напряжению,
U L  jxL I
приложенному к внешним зажимам цепи, найти ток и наоборот (рис.2.15).
Падение напряжения на сопротивлении U R  RI , совпадает по
направлению с током I ; напряжение U L  jxL I  jLI сдвинуто по фазе
90
относительно
на
(опережает
ток);
напряжение
I



UC  jxC I   jI C  отстает по фазе от тока на 90 и направлено в
противоположную сторону U L . При x L  xC сумма U L  U C совпадает
по направлению с вектором U L , ток цепи отстает по фазе от напряжения
(   0 ).
Im
 0
0
Im

I

U
Re
U R  RI
0
U C  jxC I
а)
Re
0
Im
I

I
U L  U C

U
U L  U C
U  U R  RI
0
 0
U
Re
б)
0
 0
Im
в)
Re
Рис. 5.3. Векторные диаграммы для тока и напряжений
последовательной RLC-цепи
При x L  xC
сумма U L  U C совпадает по направлению с вектором
U C , ток цепи опережает по фазе напряжение (   0 ) Если xL  xC , то
сумма U L  U C  0 , напряжение на зажимах цепи U равно напряжению на
сопротивлении U , ток цепи совпадает по фазе с приложенным
R
напряжением (   0 ).
6
Выводы

Метод комплексных амплитуд позволяет определять реакцию цепи
на гармоническое воздействие не прибегая к составлению и
решению дифференциального уравнения цепи. Для анализа
достаточно использовать алгебраические уравнения, составленные
на основе законов Ома и Кирхгофа, неизвестными величинами
являются комплексные амплитуды искомых токов и напряжений.

В последовательной RL-цепи величина протекающего тока зависит
от модуля полного сопротивления, которое определяется
параметрами элементов и частотой воздействия. С ростом частоты
увеличивается влияние индуктивности на полное сопротивление. Ток
в цепи отстаёт от напряжения, причём тем больше, чем больше
частота воздействия, и в пределе разность фаз стремится к /2.

В последовательной RLС-цепи величина протекающего тока зависит
от модуля полного сопротивления, которое определяется
параметрами элементов и частотой воздействия. На низких частотах
преобладает влияние ёмкости, ток в цепи опережает по фазе
приложенное напряжение. С ростом частоты увеличивается влияние
индуктивности и уменьшается влияние ёмкости на полное
сопротивление. Начиная с некоторой частоты 0 характер цепи
становится резистивно-индуктивным. Ток в цепи отстаёт от
напряжение, причём тем больше, чем больше частота воздействия, и
в пределе разность фаз стремится к /2. Резистивная часть полного
сопротивления от частоты не зависит.
7