С, мкф - RTU DF

3. Лабораторная работа № 6. РЕЗОНАНС ТОКОВ
Цель работы – исследование различных режимов резонанса токов при неизменной
частоте и напряжении источника Э.Д.С., а также знакомство со
схемой фазовращательного моста и методикой измерения угла
сдвига фаз.
3.1. Общие положения
3.1.1. Резонансная частота параллельного контура
Резонанс токов – это такой режим работы параллельного контура, содержащего в
общем случае в одной из ветвей C и R2 , а в другой L и R1 элементы, когда входная
реактивная проводимость контура оказывается равной нулю. Параллельный контур и
соответствующая ему векторная диаграмма токов при резонансе приведены на рис. 3.1а.
Как следует из рисунка, токи в ветвях контура İ1 и İ2 при резонансе, вообще говоря, не
равны, но их реактивные составляющие равны по модулю и противоположны по фазе. При
известных сопротивлениях ветвей контура Z1=R1+jωL и Z2=R2+1/jC выражения для
проводимостей ветвей имеют вид:
Y1 =
R
1
1
L
=
= 2 1
-j 2
2
Z 1 R1  jL R1  (L)
R1  (L) 2
Y2 =
R2
1
1
1 / C
=
= 2
+j 2
.
2
Z 2 R2  j / C R2  (1 / C )
R2  (1 / C ) 2
İ
İ2b
İ2
Ú
R1
İ2
R2
Ú
İ1
L
İ
C
İ1b
a)
İ1
,
İ
İ2
İ2
R
Ú
İ
C
İ1
L
İ1b
Ú
İ1
b)
Рис.3.1. Параллльный контур и соответствующая ему векторная диаграмма токов при
резонансе: а – в общем случае, б – исследуемый в данной лабораторной работе
Входная проводимость контура Y равна сумме проводимостей ветвей:
Y=Y1+Y2=
R1
R1  (L) 2
2


L
 2 1 / C

j

2
 R  (1 / C ) 2 R  (L) 2
 (1 / C ) 2
1
 2
R2
R2
2

  g  jb ,


(3.1)
где g – активная, а b – реактивная проводимости контура. Т.к. при резонансе токов b=0, то
условие резонанса имеет вид:
1 / C
L
 2
0 .
2
R  (1 / C )
R1  (L) 2
(3.2)
2
2
Разрешая уравнение (3.2) относительно , найдём выражение для резонансной частоты '0
параллельного контура:
 0 
1
LC
L / C  R12
 2  R12
=ω
0
L / C  R22
 2  R22
,
(3.3)
где 0=1/ LC – резонансная частота, а  L / C – характеристическое сопротивление
такого последовательного контура, в котором L и С имеют такие же значения, что и в
параллельном контуре.
Анализ выражения (3.3) позволяет сравнить последовательный и параллельный
контуры. В последовательном контуре резонанс всегда возможен и имеет место на
единственной частоте 0, определяемой значениями L и C. В параллельном контуре
ситуация сложнее. Если соотношение между L, C, R1, R2 таково, что подкоренное
выражение в (3.3) окажется отрицательным, то не существует такой частоты, на которой
бы был возможен резонанс. При положительном значении подкоренного выражения
резонанс возможен и наступает на частоте '0:
единственной и равной ω0 , если R1 =R2 ≠  ;
единственной и неравной ω0 , если оба сопротивления R1 и R2 или больше  , или
меньше  ;
любой, если R1 = R2 =  , что следует из выражения ω′0 = 0 / 0; в этом случае можно
показать , что эквивалентное сопротивление контура является активным на любой частоте
и равным  .
3.1.2. Иследование резонанса при ω= соnst
В данной работе исследование резонанса токов проводится на контуре ,
представленном на рис.3.1б. Контур питается от источника синусоидальной Э.Д.С. с
напряжением Ú и неизменной частатой
ƒ= 50 Гц. В этом контуре R2 =0 и R1=R , а
условие резонанса принимает вид :
ωC=ωL[R²+(ωL)²]
(3.4)
и достигается изменением либо С, либо L при некотором установленном значении R. Токи
в ветвях контура и в неразветвленной части определяются выражениями:
İ1=Ú /(R+jXL) ,
İ2=jωCÚ ,
(3.5)
İ=İ1+İ2=Ú [jωC+1/(R+jXL)]
Если в контуре остаются неизменными L и R и, соответственно, ток İ1, то режим
резонанса может быть достигнут путем изменения емкости С и наступит при
С0=L/[R2+(ωL)2] .
Векторные диаграммы токов при изменении С от 0 до  приведены на рис.3.2б. Вектор
тока İ1 остается неизменным и отстает от вектора напряжения на угол  0. Вектор тока İ2
направлен перпендикулярно вектору напряжения Ú и меняется от 0 до  при изменении С
от 0 до  . Тогда конец вектора общего тока İ перемещается по линии ОА, образуя
линейную диаграмму; его модуль изменяется от I1 до  , проходя через минимальное
значение I0 при резонансе; фаза тока İ монотонно уменьшается от  0 до –π/2 и равна нулю
при резонансе. Зависимость cos  от величины С следует из линейной векторной
диаграммы и приведена на рис.3.2в:
cos  =I0/I.
(3.6)
Если в контуре остается неизменным значение С и соответственно ток İ2 , а также
не меняется сопротивление R, то режим резонанса может быть достигнут путем изменения
İ
С
Ú
İ1
R

A
İ2″
İ″
İ′

İ′2
İ0
İ2
L
İ1
0 İ
2
О
а)
π/2 _
cos 
1
C
0
Ú
C0
-π/2
б)
в)
Рис.3.2. Параллельный контур при изменении емкости: а - схема, б - векторные
диаграммы, в – зависимости  (С) и cos  (C)
индуктивности. Для определеня значения индуктивности, при котором наступит резонанс,
преобразуем выражение (3.4) к виду L2-L/ω2C+R2/ω2=0 и разрешим его относительно L:
L1, 2=
1
2 2 С

1
1
R2

=
(1  1  4 2 C 2 R 2 ) .
2
4 2
2
2 C
4 С

(3.7)
Анализ решения (3.7) позволяет сделать следующие выводы:
1
если ωCR> , то резонанс не может наступить ни при каких значениях L (нет
2
действительных решений для L) ;
1
если ωCR= , то резонанс наступит при L=1/2ω2C, т.к. имеется единственное
2
решение для L;
если ωCR<
1
, то резонанс наступит при двух значениях индуктивности,
2
определяемых выражением (3.7) .
Поясним решение (3.7) с помощью векторных диаграмм (Рис.3.3). При изменении L
от 0 до  ток İ2 будет оставаться неизменным, а ток İ1 будет изменяться, причем конец
вектора İ1 будет описывать дугу окружности согласно выражению:
İ1=
IКЗ
U
U / R


.

R  jX L 1( X L / R)e J / 2 1  ( Х L / R)e J / 2
Если круговую диаграмму вектора тока İ1 строить от конца вектора тока İ2, то ток İ,
равный (İ1+İ2), получится замыканием начала вектора тока İ2 и конца вектора тока İ1, а
конец вектора тока İ будет перемещаться по той же дуге, что и вектор İ1. На рис.3.3
(3.8)
построены векторные диаграммы токов при изменении L от 0 до ∞ для трех случаев
решения уравнения (3.7) .
İкз
О
А
İ2
İмин
Ú
Xмин
İ
Хср
Iкз>2I2
Хмак
ωCR<0,5
İкз
О
О
İ2
İ2
İмин
А
N
А
İкз
İ1
İ1
İмин
Ú
İ
Ú
İ
Хср
Iкз=2I2
ωCR=0,5
Хср
N
Iкз<2I2
ωCR>0,5
N
Рис.3.3. Векторные диаграммы токов параллельного контура при изменении L от 0 до ∞
для тех случаев решения (3.7)
В соответствии с выражением (3.8), хордой, стягивающей дугу окружности, по
которой перемещается конец вектора тока İ1, будет вектор İкз, равный току в ветви R-L при
коротком замыкании индуктивности и направленный параллельно вектору Ú. Хорда Iкз
является диаметром окружности, т.к. стягиваемый ею угол равен π/2. Во всех трех случаях
будем считать одинаковыми значения приложенного к контуру напряжения Ú и величины
сопротивления R, соответственно длины векторов ′Ú и İкз будут одинаковыми. Отрезок ОА
в масштабе mZ соответствует сопротивлению R, а линия AN- является линией
переменного параметра ХL.
Из диаграмм следует, что при изменении L от 0 до ∞ ток İ проходит через
некоторое минимальное значение İмин , но оно не соответствует режиму резонанса и имеет
место для величины индуктивности большей, чем при резонансе; ток İ1 монотонно
убывает от значения İкз до 0. Поэтому наблюдения за токами İ и İ1 не позволяют
установить режим резонанса, если таковой возможен.
Предлагается студентам самостоятельно объяснить невозможность определения
резонанса по контролю напряжений ÚR и ÚL.
Таким образом, установление режима резонаса возможно лишь по контролю за
изменением угла  .
Зависимость  от индуктивности следует из векторных диаграмм на рис.3.3. Во
всех трех случаях угол  проходит через максимальное значение, причем для случая
ωCR>0,5 знак угла не меняется, для случая ωCR<0,5 знак угла меняется дважды при
переходе через резонансные режимы, при ωCR=0,5 максимальное значение угла, равное
нулю, наблюдается при резонансе.
3.І.3. Схема эксперимента
Исследование резонанса токов проводится по схеме, представленной на рис.3.4.
Параллельный контур образован элементами С, R и L. Мост 1-2-3-4 служит для изменения
фазы выходного напряжения Ú24 по отношению к фазе входного напряжения Ú=Ú13 от
источника на π/2. Фазовращательный мост в совокупности с ваттметром служит для
фиксации момента наступления резонанса.
Рассмотрим порядок включения ваттмета. На его токовую обмотку заводится ток İ,
а на обмотку напряжения- напряжение Ú24. Если  -угол между векторами İ и Ú, то между
векторами İ и Ú24 будет угол  +π/2. Тогда показания ваттметра, пропорциональные
скалярному произведению векторов İ и Ú24, будут определяться выражением:
IU24 cos (  +π/2) = IU24sin  .
При резонансе  =0 и стрелка ваттметра покажет “ноль”.
W
İ
A
2
R1
Ú
V
3
1
A2
A1
1
C1
R
İ1
C2
İ2
C
R2
L
4
a
Рис.3.4. Схема исследования резонанса токов
Принцип
работы
фазовращательного
моста
поясняется
топографической
диаграммой, приведенной на рис.3.5. Топографическая диаграмма- это изображение в
комплексной плоскости потенциалов узлов схемы относительно потенциала некоторого
узла, принимаемого за нулевой.
2
+j
ÚR1
1
ÚC1
3
Ú24
ÚC2
4′
ÚR2
+1
4
Рис.3.5. Топографическая диаграмма моста 1-2-3-4
Пусть к мосту подведено напряжение Ú13=Ú и мост “не нагружен”. Тогда токи в цепях 1-23 и 1-4-3 соответственно равны:
I′ =U/ (R1-jXC); I′′=U/ (R2-jXC).
Выведем выражение для выходного напряжения Ú24:
 R2
 RX
X2
R X
Ú24 =İ′R1-I″ (-J XC2) =Ú  2 1 2  2 C 2 2  j  2 1 C12  2 2 C 22
 R1  X C1 R2  X C 2
 R1  X C1 R2  X C 2

 .


(3.9)
При изменении величины сопротивления R2 потенциал точки 4 перемещается по
дуге окружности 1-4-3 и вектор напряжения U24=  2-  4 будет поворачиваться
относительно вектора U. При угле поворота, равном π/2, действительная часть вектора U24
станет равной нулю. Приравнивая действительную часть выражения (3.9) нулю, получим
условие сдвига по фазе на π/2 вектора U24 относительно вектора U:
R1R2 =XC1XC2.
3.2.Предварительная подготовка
В процессе подготовки следует проработать cоответствующую литературу:
Следует продумать процедуру настройки - установку фазового сдвига π/2 между
входным и выходным напряжениями – фазовращательного моста и рассчитать
необходимые значения сопротивлений R1 и R2, если C1=C2=16 мкф.
Необходимо с помощью рис.3.3 тщательно разобраться в каждом из трех
возможных вариантов зависимости тока в неразветвленной части параллельного контура
от его индуктивного сопротивления, т.е. İ (L). Следует рассчитать определяющие каждый
вариант значения R и С, исходя из имеющегося на стенде набора активных и емкостных
сопротивлений, а также параметров катушки индуктивности (RL, XL, XL МИН, XL МАК),
измеренных в предыдущих работах. По результатам расчета следует построить
ожидаемые круговые диаграммы токов, указав на линии переменного параметра диапазон
изменения XL . Заметим, что при ограниченном диапазоне изменения XL в схеме должно
быть обеспечено равенство R=XL СР, где XL СР=(XL МАК+XL МИН)/2. Только в этом случае,
как это следует из рис.3.3, не будет потерян участок зависимости  (L), содержащий  МАК
(или переход стрелки ваттметра через минимальное значение). Причем, значение R
должно учитывать и эквивалентное сопротивление катушки.
3.3.Экспериментальная и расчетная часть
1- Собрать схему по рис. 3.4, заполнить таблицу сведений о приборах.Провести
настройку фазовращательного моста с помощью ваттметра.
2- Анализ работы контура при изменении емкости.
Установить индуктивность контура с помощью сердечника в среднее положение.
Изменяя
величину емкости от нуля до  снять показания приборов и занести их в
таблицу по форме табл. 3.1.
Таблица 3.1
Исследование параллельного контура при изменении С
Результаты измерения
Обработка
результатов
С, мкф
U,В
I,A
I1, A
I2, A
знак 
cos =

=I0/I
1
2
3
4
5
6
7
8
По результатам измерений определить режимы резонанса и записать значения С0 и
I0 .Провести обработку результатов, заполнив графы 7 и 8 табл.3.1.
Используя результаты измерений, определить условия опыта:
XL =______, Ом; R=________, Ом.
По результатам измерений и обработки построить:
векторную диаграмму токов при изменении С от 0 до  ;
на одном графике зависимости cos и  от С.
3-Анализ работы контура при изменении индуктивности.
Для исследования предоставляется катушка, индуктивное сопротивление которой
изменяется за счет «вдвигания-выдвигания» стального сердечника. Предполагается, что в
предыдущих работах были определены диапазон изменения индуктивности и положение
сердечника, соответствующее значению XL СР.
Исследование рекомендуется начинать со случая CR= 0,5.Для этого следует
установить индуктивность в среднее положение, затем по показаниям приборов выставить
величину сопротивления R, равную XL
СР ,
и X C =2R. Далее, изменяя индуктивность от
LМИН до LМАК и следя за показаниями ваттметра, убедится в наличии единственного
резонанса. После этого следует снять показания приборов при различных значениях L.
Результаты занести в таблицу по форме табл.3.2.
Затем следует исследовать случай CR<0,5. Настройка этого варианта
производится незначительным уменьшением емкости с последующей проверкой ого, что
рабочий участок круговой диаграммы (толстая линия на рис.3.3) располагается по обе
стороны от вектора Ú. Проверка осуществляется с помощью ваттметра: при изменении
индуктивности от LМИН до L МАК стрелка ваттметра должна дважды переходить через
ноль, меняя при этом дважды знак; каждый режим нулевого положения стрелки
соответствует резонансу. После завершения настройки варианта “двух резонансов”
следует снять показания приборов при различных значениях L и результаты занести в
таблицу по форме табл.3.2.
Вариант “ отсутствия резонанса” устанавливается легко – путем увеличения
емкости до значения, при котором начинает выполняться условие XC < 2R. Для этого
случая следует провести измерения, аналогичные предыдущим.
Таблица 3.2
Исследование параллельного контура при изменении XL при условии:
R=_______, Ом; XC _______, Ом
Результаты измерений
U, B
I, А
I1, А
Результаты обработки
I2, А
знак 
XL= U/I,
Приме-
Ом
чания
Для каждого случая по результатам измерений и обработки построить
соответствующую круговую диаграмму и графики зависимостей I и I1 от индуктивности
(на одном рисунке).
3.4. Анализ результатов
В этом разделе следует прокомментировать полученные результаты и их
соответствие данным теоретического анализа.
3.5. Перечень контрольных вопросов
1. Нарисовать зависимости токов I, I1 , I2 параллельного контура от индуктивного
сопротивления XL .
2. Почему для расчета cos , вообще говоря, нельзя использовать показания ваттметра на
схеме рис.3.4?
3. В исследуемой цепи при изменении L возможен один режим резонанса. Как следует
изменить величину С (или величину R), чтобы в цепи резонанс стал невозможен
(чтобы стали возможны два режима резонанса) ?
4. Как получить направление вектора тока İ1 (в ветви R-L) по отношению к вектору
приложенного напряженияÚ, используя результаты исследования параллельного
контура при изменении С?
5. Как изменение С влияет на показания ваттметра?