Лекция 6. Энергетические процессы в цепях при гармоническом воздействии

Лекция 6. Энергетические процессы в цепях при
гармоническом воздействии
Мгновенная, активная, реактивная, полная и комплексная мощности.
Согласование источника энергии с нагрузкой по критерию максимальной
активной мощности.
Цели изучения
1. Рассмотрение энергетических процессов в пассивной цепи при
гармоническом воздействии.
2. Определение условий, при которых в нагрузке выделяется
максимальная активная мощность.
6.1. Мгновенная мощность пассивного двухполюсника
Рассмотрим произвольный линейный двухполюсник, не содержащий
источников энергии. Напряжение и ток на зажимах двухполюсника
изменяются
по
гармоническому
закону:
u  2U cost   u  ,
i  2 I cost   i  . Найдем мгновенную мощность двухполюсника
p  ui  2UI cost   u  cost   i  
 UI cos  UI cost   u   i 
,
(6.1)
где    u   i - сдвиг фаз между напряжением и током.
Как видно из выражения (2.67), мгновенная мощность пассивного
двухполюсника содержит постоянную составляющую UI cos , значение
которой зависит от сдвига фаз между током и напряжением, и переменную
составляющую UI cos t   u   i  , амплитуда, которой UI не зависит от
 . Среднее значение мгновенной мощности двухполюсника за период
(активная мощность) численно равно постоянной составляющей мгновенной
мощности
(6.2)
P  UI cos .
6.2. Активная, реактивная, полная и комплексная мощности
Активная мощность, которая была определена как среднее значение
мгновенной мощности за период, характеризует среднюю за период скорость
поступления энергии в двухполюсник и численно равна постоянной
составляющей мгновенной мощности (6.1). По знаку активной мощности
можно судить о направлении передачи энергии: при P  0 двухполюсник
потребляет энергию, при P  0 - отдает энергию остальной части цепи.
1
Очевидно, что для двухполюсников, не содержащих источников энергии,
активная мощность не может быть отрицательной.
Полной мощностью S называется величина, равная произведению
Im
~
S
0
Q
Re
0
Re

Im
PA Re
Z

Z
r 
б)
а)
Рис. 6.1. Треугольники мощностей (а) и сопротивлений (б)
произвольного пассивного двухполюсника
действующих значений тока и напряжения на зажимах цепи:
S  UI .
(6.3)
Полная мощность численно равна амплитуде переменной составляющей
мгновенной мощности. Активная мощность двухполюсника может быть
выражена через полную мощность:
(6.4)
P  S cos .
Из выражения (6.4) видно, что полная мощность есть максимально
возможное, значение активной мощности цепи, которое имеет место при
 0.
~
Комплексное число S , модуль которого равен полной мощности цепи S ,
а аргумент - углу сдвига фаз между током и напряжением  , называется
комплексной мощностью цепи
~
S  Se j .
(6.5)
~
Переходя от показательной формы записи S к тригонометрической
~
S  S cos  jS sin  ,
(6.6)
устанавливаем, что вещественная часть комплексной мощности равна
активной мощности цепи:

~
Re S  S cos  P .
(6.7)
Мнимая часть комплексной мощности представляет собой реактивную
мощность цепи

~
Im S  S sin  Q .
(6.8)
Реактивная мощность характеризует процессы обмена энергией между
цепью и источником и численно равна максимальной скорости запасания
энергии в цепи. В зависимости от знака угла  реактивная мощность цепи
может быть либо положительной, либо отрицательной. По знаку реактивной
2
мощности, таким образом, можно судить о характере запасаемой энергии:
при Q  0 энергия запасается в магнитном поле цепи, при Q  0 в
электрическом. При Q  0 в цепи отсутствует обмен энергией с источником.
С учетом (6.7) и (6.8) выражение (6.6) можно записать следующим
образом:
~
S  P  jQ .
(6.9)
Отсюда следует, что комплексная мощность представляет собой
комплексное число, вещественная часть которого равна активной мощности
цепи P , а мнимая - реактивной Q .
~
~
Комплексному числу S можно поставить в соответствие вектор S ,
проекции которого на вещественную и мнимую оси равны, соответственно
P и Q (рис. 6.1, а). Прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной S ,
и катетами P и Q называется треугольником мощностей. Из рисунка
видно, что полная, активная и реактивная мощности связаны между собой
соотношением
S 2  P2  Q2 .
В связи с тем что треугольник мощностей цепи подобен треугольнику
~
сопротивлений этой же цепи (рис. 2.16, б), комплексная мощность S и её
компоненты S , P , Q могут быть выражены через комплексное
сопротивление цепи Z и его компоненты Z , r , x :
S  UI  I 2 Z ; Q  S sin 
P  S cos 
UIx
 I 2x ;
Z
UIr
~
 I 2 r ; S  Se j  I 2 Z e j  I 2 Z .
Z
(6.10)
Найдем связь между комплексной мощностью и комплексными
действующими значениями тока и напряжения на зажимах цепи. Подставляя
в (2.71) выражения (2.69) и (2.20), находим
~
S  UIe j u i   Ue j u Ie  ji  UI * ,
(6.11)
 j i
где I  Ie
- число, комплексно сопряженное с I (комплексно
сопряженный ток).
Таким образом, комплексная мощность цепи равна произведению
*
комплексного напряжения цепи U на комплексно сопряженный ток I .
Активная, реактивная, полная и комплексная мощности имеют
одинаковую размерность [Дж/с]. Однако для того, чтобы подчеркнуть
различный физический смысл, который вкладывается в эти понятия,
единицам данных величин присвоены различные названия. Активная
3
*
мощность, так же как и мгновенная мощность, выражается в ваттах [Вт],
полная и комплексная мощности - в вольт-амперах [ВА], реактивная
мощность - в вольт-амперах реактивных [Вар].
6.3. Баланс мощностей
Рассмотрим произвольную электрическую цепь, содержащую N
идеальных источников напряжения, M идеальных источников тока и H
идеализированных пассивных элементов. Пусть i R , u k - ток и напряжение
k -го элемента цепи. Из закона сохранения энергии следует, что сумма
мгновенных мощностей всех элементов цепи в каждый момент времени
равна нулю:
N M H
N M H
k 1
k 1
 pk 
 u k ik  0 .
(6.12)
Группируя члены, соответствующие идеализированным активным
( p k ист ) и идеализированным пассивным ( p k пот р) элементам, уравнение
(6.12) можно преобразовать к виду
N M
H
k 1
k 1
  p k ист   p k пот р .
(6.13)
Уравнение (6.13) называют уравнением (условием) баланса мгновенных
мощностей. Принимая во внимание, что мгновенная мощность любого
элемента характеризует скорость потребления энергии этим элементом
(потребляемая мощность), а мгновенная мощность, взятая со знаком минус,
характеризует скорость отдачи энергии этим элементом (отдаваемая
мощность), условие баланса мгновенных мощностей может быть
сформулировано следующим образом: сумма мгновенных мощностей,
отдаваемых всеми источниками, равна сумме мгновенных мощностей,
потребляемых всеми приемниками энергии (необходимо иметь в виду, что
потребляется и отдается не мощность, а электрическая энергия).
Можно показать, что условие, аналогичное (6.13), выполняется и для
комплексных мощностей всех элементов:
N M ~
H ~
  S k ист   S k пот р .
k 1
k 1
(6.14)
Уравнение (6.14) называется уравнением (условием) баланса комплексных
мощностей. Таким образом, сумма комплексных мощностей, отдаваемых
всеми идеализированными активными элементами, равна сумме
комплексных мощностей всех идеализированных пассивных элементов.
4
Для практических расчётов электрических цепей условие баланса
мощностей удобно представить в следующей форме
N
M
H
k 1
k 1
k 1
*
*
2
 E k I k  U k J k   I k Z k .
(6.15)
Левая часть выражения (6.15) представляет собой алгебраическую сумму
комплексных мощностей, отдаваемых всеми активными элементами.
E
Z
U
U
Z
а)
I
б)
Рис. 6.2. К определению знака комплексных мощностей:
а – отдаваемой источником напряжения;
б - отдаваемой источником тока
Слагаемое вида E k I *k есть произведение комплексного действующего
значения
э. д. с. источника напряжения на комплексно сопряженный ток этого
источника; слагаемое вида U k J *k равно произведению комплексного
напряжения на источнике, тока на комплексно сопряженный ток этого
источника. Слагаемые, состоящие в левой части выражения (6.15), берут со
знаком плюс, если направления токов и напряжений источников выбраны в
соответствии с рис. 6.2. В противном случае соответствующие слагаемые
берут со знаком минус. Правая часть уравнения (6.15) есть сумма
комплексных мощностей всех идеализированных пассивных элементов,
причем каждое слагаемое вида
I k2 Z k
равно произведению квадрата
действующего значения тока k -го идеализированного пассивного элемента
на его комплексное сопротивление.
Из условия баланса комплексных мощностей следуют условия баланса
активных и реактивных мощностей: активная мощность, отдаваемая всеми
источниками, равна активной мощности всех потребителей:
N


M


H
*
*
2
 Re E k I k   Re U k J k   I k rk ;
k 1
k 1
k 1
реактивная мощность всех источников равна реактивной мощности всех
потребителей:
N


M


H
*
*
2
 Im E k I k   Im U k J k   I k xk ,
k 1
k 1
5
k 1
где rk и xk - вещественная и мнимая составляющие комплексного
сопротивления
k -го элемента.
6.4. Согласование источника энергии с нагрузкой
Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника энергии и
нагрузки. Пусть источник энергии представлен последовательной схемой
замещения (рис. 6.3), причем его внутреннее сопротивление имеет
комплексный характер: Z i  ri  jxi .
I
Zi
E
ZН
U
Рис. 6.3. Схема замещения источника энергии с нагрузкой
Задача согласования источника энергии с нагрузкой заключается в
выборе, такого сопротивления нагрузки Z н  rн  jx н , при котором в цепи
будут выполняться условия, называемые критериями согласования.
Рассмотрим согласование источника с нагрузкой по критерию наибольшей
активной мощности, передаваемой в нагрузку.
Активная мощность нагрузки в соответствии с (6.10)
P  I 2 rн 
E 2 rн
ri  rн 2  xi  xн 2
.
(6.16)
Как видно из (6.16), P является функцией двух переменных rн и x н . В
связи с тем, что вещественная rн и мнимая x н составляющие
сопротивления нагрузки не зависят одна от другой, выбор значения каждой
из этих величин, соответствующего максимуму P , можно производить в
отдельности.
Величина x н входит только в знаменатель выражения (6.16). Очевидно,
что максимальное значение активной мощности по этой переменной P m ax
будет достигнуто, если
xн   xi .
(6.17)
6
При этом P m ax  P x
н  xi

E 2 rн
ri  rн 2
.
Для определения значения rн , соответствующего наибольшему
возможному значению (максимум максиморум) активной мощности нагрузки
P m axm ax , продифференцируем P m ax по rн и приравняем нулю
полученное выражение:
dPm ax ri  rн 2  2 rн ri  rн  2

E 0.
drн
ri  rн 4
Иначе
ri  rн 2  2rн ri  rн   0 .
(6.18)
Решая уравнение (2.84), находим значение вещественной составляющей
сопротивления нагрузки
rн   ri ,
(6.19)
при котором активная мощность P достигает наибольшего возможного
значения:
P maxmax  P max r r  P
н
i
rн ri
xн  xi

E2
.
4 ri
(6.20)
Выводы
 Мгновенная мощность пассивного двухполюсника содержит
постоянную составляющую, значение которой зависит от сдвига фаз
между током и напряжением, и переменную составляющую,
амплитуда которой не зависит от сдвига фаз между током и
напряжением.
 Среднее значение мгновенной мощности двухполюсника за период
(активная мощность) численно равно постоянной составляющей
мгновенной мощности.
 Реактивная мощность характеризует процессы обмена энергией
между цепью и источником и численно равна максимальной
скорости запасания энергии в цепи. В зависимости от знака угла 
реактивная мощность цепи может быть либо положительной, либо
отрицательной.
 Комплексная мощность представляет собой комплексное число,
вещественная часть которого равна активной мощности цепи, а
мнимая – реактивной.
 Баланс мощностей: Сумма мгновенных мощностей, отдаваемых
всеми источниками, равна сумме мгновенных мощностей,
потребляемых всеми приемниками энергии. При гармоническом
воздействии: сумма комплексных мощностей, отдаваемых всеми
7
Рис.
2.8.

Im
i
Векторные
u
диаграммы
тока и
напряже Im
пРис. 2.8.
Векторные 
диаграммы
тока и
напряжения
(а),
комплексног
о
сопротивлен
ия (б), а
также
комплексной
проводимост
и (в) ёмкости
ротивления
(б), а также
комплексной
проводимост
и (в) ёмкости
идеализированными
активными
элементами,
равна
сумме
комплексных мощностей всех идеализированных пассивных
элементов.
Активная мощность в нагрузке максимальна, если активная часть
сопротивления нагрузки и источника равны, а реактивные части этих
сопротивлений равны по абсолютной величине, но противоположны
по знаку.
8