Лекция 4. Идеализированные пассивные элементы при гармоническом воздействии

Лекция 4. Идеализированные пассивные элементы
при гармоническом воздействии
Ток, напряжение, мощность сопротивления, емкости, индуктивности
при гармоническом воздействии. Комплексное сопротивление пассивных
элементов цепи. Активные и реактивные элементы.
Цели изучения
1) Описание основных пассивных элементов цепи при гармоническом
воздействии. Определение соотношений между током и напряжением, расчёт
мощности и энергии.
2) Применение метода комплексных амплитуд для определения тока и
напряжения на пассивных элементах.
4.1. Сопротивление
Пусть к идеализированному резистивному элементу сопротивлению (см.
рис. 1.1) приложено напряжение, изменяющееся по гармоническому закону
(рис. 4.1, а):
u R  2U R cost   u .
Определим
сопротивление
ток
сопротивления
iR
и
его
входное
iR
2I R
2U R
0
комплексное
Z R , а также построим диаграммы, характеризующие,
uR
 2
(4.1)
 2 
3 2 2 t
 2
0
 2 
3 2 2 t
i
u
а)
б)
PR 2U R I R

 2 0



 2
3 2 2 t
в)
зависимость тока, напряжения и мгновенной мощности сопротивления от
времени.
1
Рис. 4.1. Временные диаграммы напряжения (а), тока (б) и
мгновенной мощности (в) сопротивления
Связь между мгновенными значениями тока и напряжение линейного
сопротивления определяется законом Ома (1.9). Подставляя (4.1) в (1.9),
находим
iR 
2U R cost   u 
uR

.
R
R
(4.2)
Из выражения (4.2) видно, что при гармоническом внешнем воздействии
ток сопротивления является гармонической функцией времени той же
частоты, что и напряжение (рис. 4.1, б). В общем случае гармонический ток
через сопротивление


iR  2 I R cos t   i .
(4.3)
Сравнивая выражения (4.1) и (4.2), устанавливаем, что ток и напряжение
линейного сопротивления совпадают по фазе
u i  ,
а действующие значения напряжения и тока связаны между собой
соотношением I R  U R R , подобным закону Ома для мгновенных
значений.
Мгновенная
мощность
сопротивления
определяется
произведением мгновенных значений напряжения u R и тока iR :
p R  u R i R  2U R I R cos 2 t   .
Выражая cos 2 t    через косинус двойного
выражение для мгновенной мощности сопротивления
угла,
p R  U R I R  U R I R cos 2t   .
получаем
(4.4)
Из выражения (4.4) следует, что мгновенная мощность сопротивления
содержит две составляющие: постоянную, равную произведению
действующих значений напряжения и тока, и переменную, изменяющуюся во
времени по гармоническому закону с частотой, удвоенной по сравнению с
частотой воздействующего напряжения (рис. 4.1, в). В связи с тем, что ток и
напряжение сопротивления имеют одинаковые начальные фазы, они
одновременно достигают максимальных значений и одновременно проходят
через нуль (рис. 4.1, а, б). Мгновенная мощность сопротивления всегда
положительна.
Среднее значение мощности сопротивления за период называется
активной мощностью и равно произведению действующих значений
напряжения и тока:
P  Pср 
URIR T
1T
 p R dt 
 1  cos 2t   dt  U R I R .
T0
T 0
2
Активная мощность численно равна постоянной составляющей
мгновенной мощности и характеризует среднюю за период скорость
потребления сопротивлением энергии от источника.
Комплексные ток и напряжение сопротивления IR  I R e
j i

U R j u
и
e
R
U R  U R e j u имеют одинаковые аргументы и отличаются по модулю в R
раз. На комплексной плоскости U R и IR изображаются векторами, которые
совпадают по направлению и отличаются только масштабом (рис. 4.2, а)
Комплексное сопротивление Z R идеализированного резистивного
элемента – сопротивления равно отношению комплексных действующих
значений напряжения и тока:
Z R
Представляя комплексное
алгебраической формах
U R
 R.
IR
сопротивление
(4.5)
в
ZR
показательной
Z R  z R e j R  rR  jxR
и сравнивая (4.5) с (3.16), устанавливаем, что модуль
и
(4.6)
комплексного
UR
 R , его аргумент  R   u   i  0 и что
IR
комплексное входное сопротивление Z R идеализированного резистивного
сопротивления равен Z R 
элемента сопротивления содержит только вещественную составляющую:
rR  R , x R  0 .
Im
IR
U R

0
Im
Im
Re
0
а)
YR  1 R
ZR  R
Re
б)
0
Re
в)
Рис. 4.2. Векторные диаграммы для тока и напряжения (а),
комплексного сопротивления (б) и комплексной проводимости
сопротивления (в)
3
На комплексной плоскости Z R изображается вектором, направленным
вдоль вещественной оси (рис. 4.2, б). Комплексная проводимость
Y R 1 Z R  1 R также изображается вектором, направление которого
U R
IR
ZR  R
Рис. 4.3. Комплексная схема замещения участка цепи,
содержащего сопротивление
совпадает с направлением положительной вещественной полуоси (рис. 4.2,
в).
Комплексная схема замещения сопротивления (рис. 4.3) имеет такой же
вид, как и эквивалентная схема для мгновенных значений (см. рис. 1.2), и
отличается от неё только тем, что мгновенные значения тока iR и
напряжения
u R заменены их комплексными изображениями IR и U R .
4.2. Емкость
Рассмотрим емкость (см. рис. 1.4), к которой приложено напряжение,
изменяющееся по гармоническому закону:
uC  2U C cost   u .
Используя выражение (1.13) найдём
duC
 C 2U C sint   u  
dt


 2CU C cos t   u  .
2

iC  C
(4.7)
Как видно из (2.40), ток емкости изменяется по гармоническому закону
iC  2 I C cost   i ,
причем начальная фаза тока на  2 больше начальной фазы напряжения:
 i   u   2 , т. е. ток емкости опережает по фазе напряжение на 90°
(рис. 2.7, а).
Действующее значение тока емкости пропорционально действующему
значению напряжения: I C  CU C .
Мгновенная мощность емкости
pC при гармоническом воздействии
изменяется по гармоническому закону с частотой в два раза большей частоты
воздействующего напряжения (рис. 2.7, б):
4



 

2U C cost   u   2 I C cos t   u   
2 


 2U C I C cost   u  sint   u   U C I C sin 2t   u .
pC  uC iC 
uC , iC
iC
2 IC
PC
2U C
uC
0
 2
 2

2

t
3 2
(4.8)
UC IC

0
 2
 2


3 2
2
t
 2
i
C
а)
CU C2

 2
б)
CU C2


0
 2

3 2 2 t
в)
Рис. 4.4. Временные диаграммы напряжения, тока (а), мощности (б) и
энергии (в) ёмкости
Как видно из временных диаграмм, в течение половины периода
изменения мощности ток и напряжение емкости имеют одинаковый знак
(емкость заряжается), при этом мгновенная мощность емкости положительна.
В течение второй половины периода емкость отдает запасенную энергию
(разряжается), при этом ток и напряжение емкости имеют различные знаки, а
мгновенная мощность емкости отрицательна. Среднее значение мощности
емкости за период (активная мощность) равно нулю:
P
Энергия
1T
 pC dt  0.
T0
(4.9)
wC , запасенная в емкости, определяется в соответствии с
выражением (1.18), приложенным к ней напряжением:
wC 
CU C2
CU C2 1  cos 2t   u 
 CU C2 cos 2 t   u  
. (4.10)
2
2
Из выражения (2.43) видно, что энергия емкости содержит две
составляющие:
переменную
и
постоянную,
причем
переменная
5
составляющая энергии изменяется во времени по гармоническому закону с
частотой, равной 2 (рис. 2.7, в). Энергия емкости достигает максимального
значения в те моменты времени, когда напряжение на емкости максимально
по абсолютному значению; при уменьшении (по абсолютному значению)
напряжения на емкости запасенная в ней энергия уменьшается и становится
равной нулю в моменты времени, когда напряжение, на ёмкости равно нулю.
Таким образом, емкость периодически обменивается энергией с остальной
частью цепи, причем энергия, запасенная в емкости, является
неотрицательной величиной. Емкость не содержит внутренних источников
энергии и поэтому в процессе разрядки не может отдать больше энергии, чем
она получила от остальной части цепи в процессе зарядки.
В связи с тем что ток емкости iC опережает напряжение емкости uC по
на угол  2 , комплексные ток и напряжение емкости
I  I e ji  CU e j u  2  ; U  U e ju изображаются на комплексной
C
C
C
C
C
фазе
плоскости в виде двух векторов, расположенных таким образом, что вектор
IC повернут относительно вектора U C на угол  2 против часовой
стрелки (рис. 4.5, а). Комплексные сопротивление и проводимость емкости
Im
ZC 
i
jC
 2
0
U C
1  j 2
1
j

e


,

Im
C
jC
Im
C
IC
U C

j
1 0
  2 
2 Re
YC 
 Ce
jC .
ZC
u
Z   j C   jx
C
а)
Re
C
б)
(4.11)
YC  jC  jbC
0
  2
в)
(4.12)
Re
Рис. 4.5. Векторные диаграммы тока и напряжения (а), комплексного
сопротивления (б), а также комплексной проводимости (в) ёмкости
Сравнивая (4.11) и (4.12) с показательной и алгебраической формами
записи
комплексных
сопротивления
и
проводимости
Z C  Z C e jC  rC  jxC ; YC  Y C e jC  g C  jbC , находим модули,
аргументы, вещественные и мнимые составляющие входных сопротивления
6
и проводимости емкости: Z
C
 1 C  ; Y
g C  rC  0 ; xC   1 C  ; bC  C .
C
  C ;  C    2 ; C   2 ;
На комплексной плоскости Z C и YC , изображают векторами,
направленными соответственно вдоль отрицательной и положительной
мнимых полуосей (рис. 4.5, б, в). Комплексная схема замещения емкости
приведена на рис. 4.6.
IC
Z C  1  jC 
U C
Рис. 4.6. Комплексная схема замещения участка цепи, содержащего ёмкость
4.3. Индуктивность
Найдем напряжение u L на индуктивности (см. рис. 1.6), ток
изменяется по гармоническому закону:
iL которой
(4.13)
iL  2 I L cost   i .
Связь между мгновенными значениями тока и напряжения индуктивности
определяется выражением (1.22). Подставляя (2.46) в (1.22), получаем
diL
 L 2 I L sint   i  
dt


 2LI L cos t   i  .
2

iL  L
(4.14)
Как видно из (2.47), напряжение индуктивности, находящейся под
гармоническим воздействием, является гармонической функцией времени,
имеющей ту же частоту, что и воздействующий ток (рис. 4.7, а):
u L  2U L cost   u ,
причем начальная фаза напряжения на  2 больше начальной фазы тока
 u  i   2 .
Действующее значение напряжения на индуктивности пропорционально
действующему значению тока
U L  LI L .
7
Так же, как и мгновенная мощность емкости, мгновенная мощность
индуктивности pC при гармоническом воздействии изменяется по
2 (рис. 4.7, б):
2U L cost   u   2 I L cost   i  
гармоническому закону с частотой, равной
pL  uLiL 


 U L I L sin 2t   i .

(4.15)
u L , iL
2U L
2i L
UL
0
iL
 2
 2
PL U L I L

2

t
3 2

0
 2
 2


3 2
2
t
 2
u
L
а)
б)
LI L2

 2


0
 2

3 2 2 t
в)
Рис. 4.7. Временные диаграммы напряжения, тока (а), мощности (б) и
энергии (в) индуктивности
В связи с тем что в индуктивности отсутствует преобразование
электрической энергии в другие виды энергии, активная мощность
индуктивности равна нулю:
P
1T
 p L dt  0.
T0
Энергия wL , запасенная в магнитном поле индуктивности, определяется
мгновенным значением тока индуктивности:
wL 
LiL2 LI L2 1  cos 2t   i 

.
2
2
Так же, как и мгновенная энергия емкости, мгновенная энергия
индуктивности содержит постоянную и переменную составляющие, причем
переменная составляющая изменяется во времени по гармоническому закону
с частотой 2 (рис. 4.7, в).
8
Im
i
U L
 2
0
Im
IL
Im
Z L  jL  jx L
u
0
  2
Re
0
   2
YL   j
Re
L  
jbL
Re
в)
б)
а)
Рис. 4.8. Векторные диаграммы тока и напряжения (а), комплексного
сопротивления (б), и комплексной проводимости (в) индуктивности
Комплексный ток i L и комплексное напряжение u L индуктивности
определяются выражениями
IL  I L e j i ;
U L  U L e
j u
 LI L e
(4.16)
j  i  2 
(4.17)
и изображаются на комплексной плоскости в виде пары векторов, длины
которых в определенном масштабе равны действующим значениям
напряжения и тока индуктивности, причем вектор U L , повернут
относительно вектора
IL , на угол  2 против часовой стрелки (рис. 4.8, а).
Используя выражения (4.16), (4.17), находим комплексное сопротивление
Z L и комплексную проводимость Y L индуктивности:

j
U L
Z L    Le 2  jL
IL
j
(4.18)

1
e 2
1
j .
YL 



ZL
L
jL
L
(4.19)
Сравнивая (4.18) и (4.19) с показательной и алгебраической формами
записи
комплексных
сопротивления
и
проводимости
Z L  Z L e j L  rL  jxL ;
YL  Y L e jL  g L  jbL ,
находим
модули,
аргументы, вещественные и мнимые составляющие входных сопротивления
и
проводимости
индуктивности:
Z
L
 L ;
 L    2 ; g L  rL  0 ; x L  L ; bL   1 L  .
9
Y
L
 1 L  ;  L   2 ;
i
На комплексной плоскости Z L и Y L , изображают векторами,
ориентированными
соответственно
вдоль
положительного
или
отрицательного направления мнимой оси (рис. 4.8, б, в). Комплексная схема
замещения индуктивности приведена на рис. 4.9.
IL
U
Z L  j L
L
Рис. 4.9. Комплексная схема замещения участка цепи,
содержащего индуктивность
Выводы




Для линейных пассивных элементов при гармоническом воздействии
(токе, напряжении) реакция (напряжение, ток) будет гармонической
функцией той же частоты.
Ток и напряжение на сопротивлении изменяются синфазно,
сопротивление
при
этом
является
коэффициентом
пропорциональности. Мгновенная мощность сопротивления всегда
неотрицательна. Комплексное сопротивление сопротивления
равно R.
На ёмкости ток опережает напряжение на /2. Мгновенная мощность
знакопеременна, т.е. половину периода ёмкость накапливает
энергию, половину – отдаёт в цепь. Энергия ёмкости всегда
неотрицательна. Комплексное сопротивление ёмкости – величина
мнимая, уменьшается с ростом частоты.
На индуктивности ток отстаёт от напряжения на /2. Мгновенная
мощность знакопеременна, т.е. половину периода индуктивность
накапливает энергию, половину – отдаёт в цепь. Энергия
индуктивности всегда неотрицательна. Комплексное сопротивление
индуктивности – величина мнимая, увеличивается с ростом частоты.
10