Графические методы решения задач с параметрами

Математика 11 класс - Практикум абитуриента
Марченко Любовь Васильевна, Костина Галина Викторовна, ДВГУПС
(Хабаровск)
ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С
ПАРАМЕТРАМИ
Проводимый в последние годы Единый
Государственный Экзамен по
математике включает в себя задачи различного уровня сложности. И если
задачи уровней А и В требуют от учащихся только правильной записи ответа
(сам ход решения не проверяется), то задачи уровня С предполагают не
только получение результата, но и подробное описание хода решения. При
этом, если первые из предлагаемых в части С задач (уравнения или системы
уравнений) довольно большая часть школьников решает, то к задачам с
параметрами, в основном, даже не приступают, поскольку эти задачи требуют
пространных рассуждений. Между тем, если попытаться решить эти задачи
графически, то результаты могут быть получены значительно быстрее.
В Дальневосточном государственном университете путей сообщения (г.
Хабаровск) уже не первый год варианты письменного экзамена включают задачи,
в которых требуется построить на плоскости в декартовой системе координат
множество решений системы неравенств с двумя переменными. Метод построения
решения следующий. Если дано неравенство f(x,y)>0 (или f(x,y)<0, f ( x, y )  0,
f ( x, y )  0 ), то сначала надо построить график функции f(x,y)=0. (Сразу следует
оговориться, что выражение «график функции» не совсем точное, если иметь в
виду однозначные функции. Вернее было бы говорить о множестве точек,
удовлетворяющих равенству.) Этот график определяет границу области решения
неравенства. При этом, если неравенство строгое, то границу изображают
пунктирной линией (точки графика не являются решениями неравенства). Если
неравенство нестрогое, то границу изображают сплошной линией, показывая, что
точки графика являются решениями неравенства.
Чтобы определить, по какую сторону границы располагается область
решения неравенства, достаточно выбрать произвольную точку плоскости, не
принадлежащую границе, и подставить координаты этой точки в исходное
неравенство. Если получено верное числовое неравенство, то все точки по ту
же сторону границы, что и выбранная точка, принадлежат области решения.
Если же подстановка координат выбранной точки не дает верного числового
неравенства, то областью решения будут точки, расположенные по другую
сторону границы (свойство непрерывных функций). На чертеже множество
решений неравенства изображают штриховкой.
При решении системы
неравенств решают каждое из неравенств, а затем выбирают точки, для
которых одновременно выполняются все неравенства системы (пересечение
множеств решений).
Пример 1. Построить на плоскости ХОУ множество точек, удовлетворяющих
 y  x2

системе неравенств:  x  y  2 .
y  x  2

Решение. Границей области решения первого неравенства является парабола
y  x 2 , а областью решения – точки, расположенные «выше» параболы. Границами
областей решения двух других неравенств являются прямые x + y = 2 и х – y = 2,
а областями решений – точки, расположенные «ниже» прямых. Область решения
системы неравенств изображена на рисунке 1.
x=
y+
y
2
y-
2
2
x=
y=x²
1
x
-2
-1
0
1
2
Рисунок 1
При построении рисунка желательно подписывать уравнения кривых.
Неравенства, входящие в систему, могут содержать знак модуля.
Предполагается также, что учащиеся умеют строить график функции y=f(kx+b),
если известен график функции y=f(x).
Каким же образом построение решения систем неравенств может помочь при
решении задач с параметрами? Рассмотрим это подробнее на примерах заданий
раздела С Единого Государственного Экзамена.
Пример 2 (задание С4, варианты 1-30, 2004 год). Найдите все значения параметра
а,
при
каждом
из
которых
множество
решений
неравенства
a 2  8a 
4a 2
 x( x  2a  4)
x
содержит какой-нибудь отрезок длины 2, но не
содержит никакого отрезка длиной 3.
Решение. Поскольку неравенство содержит две переменные х и а, то его решение
можно построить на плоскости в декартовой системе координат хоа
(горизонтальная ось ох, вертикальная ось оа). Сразу можно отметить, что
поскольку переменная х из неравенства находится в знаменателе, то x  0 , то есть
точки оси оа не являются решениями неравенства. Преобразуем неравенство к
более удобному виду:
4a 2
4a 2
 x 2  2ax  4 x , 0 
 x 2  2ax  4 x  a 2  8a ,
x
x
 4a 2

4
0  
 4 x  8a   a 2  2ax  x 2 , 0  (a 2  2ax  x 2 )  (a 2  2ax  x 2 ) ,
x
 x

4

2
2
2 4  x 
2 4
0  a  x   a  x  , a  x    1  0 или a  x 
 0.
x
x
x 
Поскольку a  x 2  0 для всех действительных х и а, кроме х=а, то достаточно
4 x
 0 . Дробь положительна, если ее числитель и
потребовать, чтобы
x
a 2  8a 


знаменатель одного и того же знака. Таким образом, полученное после
преобразований неравенство равносильно двум системам неравенств:
 ax
 ax


4  x  0 или 4  x  0 .
 x0
 x0


Вторая система не имеет решений, поскольку неравенства x  0 и 4  x  0 не
могут выполняться одновременно.
Для построения области решения первой системы неравенств изобразим на
плоскости хоа прямые х=а, х=0 (ось оа), х=4. Все прямые (за исключением оси)
изображаются пунктиром, поскольку неравенства, входящие в систему, строгие.
Областью решения исходного неравенства будет полоса 0  x  4 с вырезанной
прямой a  x (рисунок 2).
a
4
3
2
1
x
0
1
2
3
Рисунок 2
4
Для a  3 и a  1 множество решений исходного неравенства относительно
переменной х содержит отрезки длиной 3, поэтому требование задачи выполняется
на промежутке от 1 до 3, причем значение параметра а=2 исключается, так как при
а=2 решение неравенства представляет собой два интервала длиной 2, но ни одного
отрезка этой длины. Окончательно запишем, что при a  1;2  2;3 выполняются
требования задачи.
Пример 3 (задание С4, варианты 31-60, 2004 год). Найдите все значения
параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства
1
a 8  a  2 2a 
 1 
 2  содержит какой-нибудь отрезок длиной 4 и при этом сам
x x
x
x 
содержится в каком-нибудь отрезке длиной 7.
Решение. Преобразуем исходное неравенство:
x  a 8( x 2  ax  2 x  2a) x  a 8( x( x  a )  2( x  a ))

,
,

x
x3
x
x3
x  a 8( x  a )( x  2) 8( x  a)( x  2)  x 2 ( x  a)
( x  a)(8 x  16  x 2 )

 0,
 0,
,
x
x3
x3
x3
( x  a)( 4  x) 2
(a  x)( 4  x) 2


0
 0.
или
x3
x3
Поскольку (4  x) 2  0 для всех действительных х, кроме х=4, а дробь
положительна, если ее числитель и знаменатель одного знака, то неравенство
равносильно двум системам неравенств:
 x4
 x4


a  x  0 или a  x  0 .
 x0
 x0


Границами решений этих неравенств на плоскости хоа являются прямые х=4,
а-х=0, х=0 (ось оа). Поскольку неравенства строгие, то точки, принадлежащие
указанным прямым, не являются решениями, поэтому прямые (за исключением оси
оа) изображаются пунктиром. Подстановка координат произвольных точек
позволяет заштриховать нужную часть плоскости, соответствующую множеству
решений (рисунок 3).
a
12
a-x=0
8
4
x
0
4
-4
-7
Рисунок 3
Теперь, используя полученный рисунок, выберем те значения параметра а, при
которых множество значений х включает в себя отрезок длиной не менее 4 и не
более 7. Это условие выполнятся для a   7;4 .
Следующий пример взят из статьи Б. Писаревского «Единый государственный
экзамен по математике», опубликованной в журнале «Квант», №2 , 2004 г.(с. 4043). Как указано в публикации, пример относится к третьей части варианта ЕГЭ по
математике 2003 года. Данный пример приведен в журнале с полным решением,
полученным обычным аналитическим путем. Приводимое ниже решение,
предлагаемое авторами данной статьи, использует графические построения.

8 x 5

Пример 4. Из области определения функции y  log 0,8  a a  a x 5  взяли все целые


положительные числа и сложили их. Найдите все положительные значения а, при
которых такая сумма будет больше 8, но меньше 15.
Решение. Согласно свойствам логарифмической функции, должно выполняться
8 x 5
8 x 5
неравенство a a  a x 5  0 или a a  a x 5 . Кроме того, x  5 , поскольку выражение
( x  5) записано в знаменателе дроби, и из свойств показательной функции следует,
что a  0, a  1 . Тогда выше приведенное неравенство выполняется в двух случаях:
 a 1
 0  a 1


8x  5
8x  5
или a 
.
a 
x5
x5


 x  5
 x  5
Линиями, определяющими границы области решений неравенств, являются
8x  5
. Для удобства
x5
8x  5  8  5  7
построения последней преобразуем правую часть и запишем a 
или
x5
прямые а=1, а=0 (горизонтальная ось ох) и гипербола a 
35
8( x  5)
35
, a 8
. Данную гиперболу удобно построить, заметив, что

x5
( x  5) x  5
35
она получена параллельным переносом гиперболы a  
(перенос по
x
a
вертикальной оси вверх на 8 единиц и по горизонтальной влево на 5 единиц).
Все линии (за исключением координатной оси ох) изображаются пунктиром,
поскольку неравенства строгие.
Область решения этих двух систем неравенств изображена на рисунке 4. Сразу
можно заметить, что для a  8 и 0  a  1 область определения функции содержит
бесконечно много целых положительных чисел. Поэтому для указанных
промежутков а условия задачи не выполняются. Следовательно, надо рассмотреть
промежуток 1  a  8 . Благодаря чертежу, можно сузить и этот промежуток,
ограничившись значениями 4  a  5 . Действительно, по мере возрастания
параметра а от 1 до 8, количество целых положительных значений х, входящих в
область определения увеличивается. Например, при 1  a  2 в область определения
входит только одно целое положительное значение х=1, а для 2  a  4 -- значения
1, 2, 3, сумма которых меньше 8. Для 5  a в область определения входят такие
значения х, как 1, 2, 3, 4, 5, сумма которых равна 15, что не удовлетворяет
требованиям задачи. Рассмотрим более подробно промежуток 4  a  5 . Нас
интересуют такие значения параметра а, при которых в область определения
функции будут попадать значения 1, 2, 3, 4, но не попадет значение х=5. Границей
8x  5
, в уравнение которой
x5
37
мы и подставим значения х=4 и х=5. При х=4, получим a  , а для х=5 получим
9
9
 37 9 
a  . Таким образом, условия задачи выполняются при a   ;  .
2
 9 2
x=5
области решения неравенства является гипербола a 
a
8
6
4
2
-12 -10
-5
a=1
0
x
a=8-35/(x+5)
Рисунок 4.
Предлагаемый способ решения не является универсальным, а лишь одним из
возможных.
Действительно, в выше приведенных примерах чертеж помогал в выборе
решения. Но иногда подсказки рисунка бывает недостаточно, и приходится
проводить еще и аналитические рассуждения. Так, при решении примера С4
(варианты 61-90. 2004 год), аналитическая часть оказалась весьма существенной.
Приведем краткое изложение решения без подробного описания построения
кривых. Авторы полагают, что в данном конкретном примере графическое решение
оказалось не столь очевидным в сравнении с выше приведенными задачами, хотя
оно и позволило облегчить поиск решения.
Пример 5 (задание С4, варианты 61-90, 2004 год). Найдите все положительные
значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства
ax  5 x  8  2 содержится в некотором отрезке длиной 10 и при этом содержит
какой-нибудь отрезок длиной 2.
Решение. Запишем исходное неравенство в виде двойного неравенства
 2  ax  5 x  8  2 или 6  ax  5 x  10 . Рассмотрим следующие случаи.
1 случай. Если x  0 , то 6  x(a  5)  10 . Так как по условию a  0 ,
6
10
6
10
x
. Графиками функций x 
и x
являются гиперболы с
a5
a5
a5
a5
асимптотами a  5 и х=0. Построим ветви гипербол, соответствующие значениям
6
10
x
, находятся
a  0 . Множество точек, удовлетворяющих неравенству
a5
a5
то
между ветвями гипербол (рисунок 5).
a
6
5
4
X=6/(a-5)
3
2
X=10/(a+5)
1
X=10/(a-5)
X=6/(a+5)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
Рисунок 5
10
6
x
. (При
a5
a 5
a  5 неравенство не имеет смысла, так как рассматриваем случай x  0 .) Построим
6
10
ветви гипербол x 
и x
, соответствующие значениям 0  a  5 и x  0 .
a5
a5
10
6
x
Множество точек, удовлетворяющих неравенству
, находится
a5
a 5
2 случай. Если x  0 и 0  a  5 , то 6  x(a  5)  10 или.
между ветвями гипербол.. Из чертежа видно, что отрезок длиной 2 может
x
находиться только между ветвями гипербол
6
a5
и x
10
, то есть
a5
10
6
2

 2 или
 1 . Отсюда a  5  2 ,  2  a  5  2 , 3  a  7 . С учетом
a5 a5
a 5
того, что 0  a  5 , получим 3  a  5 . Но, так как решения исходного неравенства
10
10
10

 10 или
 1.
должны содержаться в отрезке длиной 10, то
2
a5 a5
a  25
Решая полученное неравенство, придем к соотношению: a 2  25  10 , откуда
a 2  25  10
a 2  25  10
.
или
a 2  35
a 2  15
Учитывая, что 0  a  5 , получим a  15 . Объединяя два множества 3  a  5 и
a  15 , делаем вывод, что при 3  a  15 множество решений неравенства
ax  5 x  8  2 содержится в некотором отрезке длиной 10 и при этом содержит
какой-нибудь отрезок длиной 2.
Авторы надеются, что предложенный в данной статье метод решения поможет
при решении задач с параметрами. Все замечания и добавления по данному
вопросу будут с благодарностью приняты.
Задачи для самостоятельного решения
Предлагаем читателям задачи для самостоятельного решения. Все ниже
приведенные задачи взяты или из вариантов вступительных экзаменов в
различные вузы, или из задач ЕГЭ по математике разных лет. Свои решения
оформляйте в отдельной тетради и направляйте по адресу: 680000, г. Хабаровск,
ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ, ХКЗФМШ.
М.11.3.1.
Найдите
все значения параметра p , при каждом из которых
множество решений неравенства  p  x 2  p  x  2  0 не содержит ни одного
решения неравенства x 2  1 . (Ответ: p   ,0  3, .)
М.11.3.2.
Найдите все значения параметра q , при каждом из которых множество
решений неравенства q  x 2 q  2 x  8  0 не содержит ни одного решения
неравенства x 2  4 . (Ответ: q   ,0 12, .)
a
4  0 выполняется при всех
М.11.3.3.
При каких значениях a неравенство
x  2a
2  x  4 ? (Ответ: a  (2;8) .)
М.11.3.4.
Найдите все значения параметра a , при которых из неравенства
1 1
ax 2  x  4a  2  0 следует неравенство  2  x  0 . (Ответ: a   ,  .)
4 2
М.11.3.5.
При
каких
значениях
неравенство
a
1

( x  3  2a)( x  3a  2)  0 выполняется при всех 2  x  3 ? (Ответ: a    ,   3,  .)
3

М.11.3.6.
Решить неравенство 2 x  a  x  1. (Ответ: если a  2 , то решений нет;
x
 a 1

; a  1 .)
если a  2 , то x  1; если a  2 , то x  
 3
