Движение зерновки во вращающемся канале

1 Принцип вибрационного перемещения
(вибротранспортирования)
Под вибрацией понимают механические колебания механических
систем, происходящих с большой частотой (обычно более одного колебания в секунду) и небольшой амплитудой. Специально создаваемая
вибрация широко используется во многих отраслях промышленности,
в том числе и для транспортирования различных материалов. В основу
такого перемещения положен принцип вибротранспортирования
(рис. 1), заключающийся в следующем [1].
Y
O
2
N
J
Fтр
Ax-
Ax+
Y
1
|J+|=|J-|
|Fтр+|=|Fтр-|
|N+|=|N-|
Ax-
Y
G
|J+|=|J-|
|Fтр+|≠|Fтр-|
|N+|=|N-|
в)
X
Ax+
|J+|≠|J-|
|Fтр+|=|Fтр-|
|N+|=|N-|
б)
t
X
J
Fтр
G
J
O
Ax+
O
N
G
Fтр
t
X
a)
N
t
Ax-
Y
O
N
J
Fтр
Ax-
Ax+
G
t
Ay+
X
t
Ay|J+|=|J-|
|Fтр+|≠|Fтр-|
|N+|≠|N-|
г)
Рис. 1 – К пояснению принципа вибротранспортирования
Пусть плоскость 1 (рис. 1, а) совершает гармонические симметричные колебания в направлении горизонтальной оси OХ с амплитудой
Ах. В этом случае на тело действуют следующие силы: сила тяжести
G = m·g, нормальная реакция N, сила трения скольжения Fтр и сила
инерции J. Если амплитуда колебаний невелика, то тело 2 может,
находясь в колебательном движении вместе с плоскостью, оставаться в
покое относительно плоскости. В таком случае процесс вибротранспортирования не возникает. Если же колебания плоскости будут достаточно интенсивными (см. рис. 1, а), тело начнет совершать относительное движение по плоскости то в положительном, то в отрицательном направлении вдоль оси OХ. Так как колебания плоскости симметричны и силы трения, препятствующие движению тела, одинаковы в
обоих направлениях относительного движения, то суммарное перемещение тела за цикл на горизонтальной плоскости будет равно нулю и
процесс вибротранспортирования не возникает. Заметим, что при таком колебательном процессе силы, которые могут вызвать движение,
симметричны. Главный принцип вибрационного перемещения – необходимость асимметрии сил, обеспечивающих перемещение тела в
определенном направлении. Например, наклонив площадку, находящуюся в колебательном движении, тело начнет перемещаться в сторону наклона. В этом случае, разложив силу тяжести на составляющие,
мы увидим, что возникла дополнительная постоянная сила, действующая в одном направлении – параллельно плоскости в сторону наклона.
Далее мы увидим, что можно организовать колебательный процесс,
при котором тело будет перемещаться вверх по наклонной поверхности.
Рассмотрим варианты обеспечивающие асимметрию сил и обеспечивающие реализацию процесса вибрационного перемещения.
Если плоскость будет колебаться по асимметричному закону (рис.
1, б) и на разных направлениях движения плоскости на тело будут действовать различные силы инерции (J+ ≠ J-), в то время как силы трения
одинаковы, то перемещение в различных направлениях колебаний
плоскости будут различные и возникнет вибротранспортирование. Колебания такого рода можно получить в основном ударными приводами
или кулачковым приводом. Такой способ вибротранспортирования
распространения не получил, так как работа вибропривода характеризуется тяжелыми динамическими условиями работы. Поэтому распространение получили способы с возбуждением гармонических колебаний, которые рассмотрены ниже.
Вибротранспортирование можно получить, создавая неодинаковые силы трения при различных направлениях движения колеблющейся плоскости. Так как Fтр = f∙N, то влиять на силу трения можно, изме-
2
няя либо коэффициент трения f (рис 1, в), либо нормальную реакцию N
(рис. 1, г).
Первый способ может быть реализован при использовании специальных материалов, имеющих в разных направлениях неодинаковый
коэффициент трения. Можно использовать кардоленту, то есть ленту
со сплошной игольчатой поверхностью, у которой наклон иголок выполнен в одном направлении. Тогда такая лента будет оказывать неодинаковые сопротивления при различных направлениях перемещения
по ней. Однако при использовании твердых материалов кардолента
будет быстро изнашиваться, а при использовании сыпучих материалов
будет забиваться примесями, что в том и другом случае приведет к
уменьшению или исчезновению эффекта перемещения.
Во втором варианте (см. рис. 1, г) плоскости сообщают дополнительные гармонические колебания вдоль оси OY. Тогда вдоль этой оси
на тело будет действовать дополнительная сила инерции. Пусть данные колебания осуществляются по закону А∙sin(k·t), где А, k – постоянные, t – время. Продифференцировав два раза данное уравнение, получим закон изменения ускорения плоскости: -A·k2·sin(k·t). Тогда нормальная реакция тела, находящегося на плоскости, при движении
плоскости вверх будет равна N = m·g + m·A·k·sin(k·t) и при движении
поверхности вниз N = m·g - m·A·k·sin(k·t). Таким образом, процесс вибротранспортирования осуществляется благодаря наличию неравенства
сил трения за счет изменения нормальной реакции при прямом и обратном скольжении в направлении оси ОХ.
Данный вариант вибротранспортирования с изменением нормальной реакции за счет сообщения дополнительных колебаний плоскости 1 в направлении оси OY более надежен и прост в осуществлении.
Именно этот вариант положен в принцип вибротранспортирования во
всех современных технических решениях по перемещению тел с помощью вибрации.
Воздействием дополнительных сил можно повысить скорость перемещения. Так, организовав подачу воздушной струи воздуха в
направлении перемещения, увеличим скорость движения транспортируемых тел. Исходя из принципа вибротранспортирования, можем сказать, что это произошло в результате уменьшения проскальзывания тел
назад и увеличения проскальзывания вперед.
Вибрационное перемещение широко используется в переработке
зерновых продуктов. Так, по классификации процессов сепарации, изложенной в книге [2], указывается, что в семи способах из двенадцати
при помощи вибрации выполняется главная задача сепарирования –
3
перемещение частиц разделяемых фракций в различные области рабочего пространства. Кроме того, вибрацию применяют для подачи исходной смеси в рабочее пространство, для транспортирования промежуточных продуктов от одного рабочего органа к другому и для вывода полученных фракций из мест их концентрации в рабочем пространстве.
В качестве примера вредного проявления эффекта вибрационного
перемещения можно указать на возникновение под действием вибрации подвижности номинально неподвижных деталей машин (в частности, самоотвинчивание гаек).
Дальнейшее чтение предполагает, что читатель работает с программой MathCAD 6 Pro или более поздней версией этой программы и
при изучении данного материала будет выполнять на компьютере
предложенные примеры.
Для понимания математических моделей вибротранспортирования рассмотрим задачу, в которой напомним некоторые положения из
теоретической механики [3].
4
2 Гармонические колебания, амплитуда колебаний,
фаза колебаний, начальная фаза колебаний
В декартовой системе координат найдем уравнение движения
точки N кривошипа ON (рис. 2), вращающегося в плоскости XOY вокруг точки О.
Y
N
O
φ
X
M
Рис. 2
Длину кривошипа обозначим а; угол φ между неподвижной осью
ОХ и кривошипом изменяется пропорционально времени φ = k·t.
Чтобы найти уравнение движения точки N необходимо выразить
ее координаты х и у как функции времени. Используя тригонометрические соотношения прямоугольного треугольника, из рисунка найдем
координаты точки N:
x = ON·cos(φ) = a·cos(k·t),
(1)
y = ON·sin(φ) = a·sin(k·t).
(2)
Искомые уравнения (1, 2) представляют параметрические уравнения траектории точки. Для нахождения уравнения траектории точки в
явной форме необходимо из уравнений (1, 2) исключить время. Используем для этого MathCAD.
5
Вводим уравнения (1, 2) в MathCAD.
Из второго уравнения выражаем время. Для этого
маркер ввода ставим рядом с переменной t и обращаемся к меню Символика→Решить относительно
переменной.
←Полученное выражение копируем в буфер обмена
и заменяем им в уравнении (1) переменную t (дальнейшие действия показаны ниже).
←Это уравнение (1). Маркер ввода ставим рядом с
переменной t. Через обращение Символика→ Заменить переменную MathCAD выполняет аналитические преобразования.
←Получаем после замены. Затем обращаемся Символика→ Упростить.
←Результат после упрощения.
←Возводим левую и правую части уравнения в
квадрат и вновь упрощаем.
←Окончательный ответ в MathCAD.
Перенеся y2 в левую часть (это уже сделаем без программы
MathCAD), получаем:
х2 + у2 = а2.
(3)
Получили уравнение окружности радиусом а с центром в начале
координат, которое является уравнением траектории точки N.
Обозначим угол φ равным k·t +β, где k и β – постоянные величины и подставим его в уравнения (1) и (2), получим:
x = a·cos(k·t+β),
(4)
y = a·sin(k·t+β).
(5)
Если теперь какая – либо точка, назовем ее М (см. рис. 2), будет
6
двигаться прямолинейно, то есть вдоль одной оси, по закону, описываемым уравнением (4) или (5), то это движение называется гармоническим колебанием, а уравнение (4) или (5) уравнением прямолинейного
гармонического колебательного движения.
Пусть точка М движется прямолинейно по оси ОХ по закону (4).
Тогда точка О называется центр колебаний, величина а – амплитуда
колебаний – наибольшее отклонение колеблющейся точки от центра
колебаний, k·t +β называется фаза колебаний, β – начальная фаза колебаний (значение фазы в начальный момент, то есть при t = 0).
Графиком движения точки по уравнению прямолинейного гармонического колебательного движения будет косинусоида или синусоида.
Это в принципе одно и то же движение, так как sin(k·t) = cos(k·t - π/2).
Поэтому многие колебательные процессы описываются через синусоиду вида a·sin(k·t+β).
Найдем период колебаний Т – промежуток времени, в течение которого точка совершает одно полное колебание, то есть возвращается в
исходное положение с той же по величине и направлению скоростью.
Определим его величину из условия, что фаза колебаний за один период увеличилась на 2∙π:
(k·t + β) +2∙π =k·(t + T)+ β,
то есть T = 2∙π/k. Отсюда следует, что величина k определяет число колебаний материальной точки за 2∙π секунд и называется круговая
частота колебаний.
Рассмотрим теперь следующую задачу.
Пусть точка движется согласно уравнениям
x = a·cos(k·t+β1),
(6)
y = b·cos(k·t+β2)
(7)
или по уравнениям
x = a·sin(k·t+β1),
(8)
y =b·sin(k·t+β2).
(9)
По уравнениям (6, 7) или (8, 9) точка движется в плоскости и совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль осей OX и OY.
Дадим числовые значения переменным в формулах (6, 7, 8, 9) и
выполним построения в MathCAD графиков движения точки по этим
уравнениям (рис. 3).
Получили совершенно одинаковые графики. Эти графики получены для колебательного процесса протекающего в течение одного
периода T. Если рассматривать движение точки за время меньшее чем
период колебаний (проверьте, уменьшив время движения), то увидим,
что отличие будет только в начале движения, которое задается фазо-
7
вым углом между колебаниями и для тригонометрических функций
синус и косинус он составляет π/2.
Рис. 3 – Графики движения
Построим анимационные графики, по которым будем наблюдать
перемещение точки. MathCAD имеет встроенную переменную
FRAME, с помощью которой создаются анимационные клипы. Эта
переменная должна быть внесена в тот объект (уравнение, график),
который подвергается анимации. Введите в MathCAD информацию,
показанную на рис.4. Поскольку графики MathCAD автоматически
масштабирует, введите границы по осям, чтобы сохранить постоянный
масштаб рисунка в течение анимации. Введите по оси ординат в верхнее поле 5, нижнее - минус 5, по оси абсцисс справа введите 10, слева минус 10 (см. рис. 4).
8
Рис. 4
Выберите меню Окно→Анимация→Создать. Появится диалоговое окно и в поле До установите нижнюю границу переменной FRAME
равную 100. Все остальное оставьте без изменения. Затем выделите
пунктирным прямоугольником сразу два графика. После этого вам
станет доступна кнопка Создать. Щелкните по ней и начнется создаваться анимационный клип. После создания клипа воспроизведите его.
По анимационным графикам видно, что начало движения происходит из разных мест. Закройте диалоговое окно, нажав на кнопку
Отмена. Измените на верхнем графике начальные фазы колебаний,
отняв от β1 и β2 величину π/2. Вновь создайте аналогичный анимационный клип. Просматривая его, убеждаемся, что по уравнениям (6, 7) и
9
(8, 9) имеем совершенно одинаковый график движения. Закройте диалоговое окно.
Продолжим рассматривать задачу.
Обозначим ε = β1 – β2. Эту разность начальных фаз колебаний
называют фазовым углом между перемещениями по осям ОХ и ОУ.
Тогда уравнения (6, 7) можно записать в следующем виде
x = a·cos(k·t+ε),
(10)
y = b·cos(k·t).
(11)
Исключив из уравнений (11) время, после преобразований можно
получить уравнение траектории точки в явном виде. Эти преобразования делать не будем (выполнить самостоятельно), покажем только, что
это будет уравнение эллипса с центром в начале координат:
(х/а)2 + (у/b)2 = sin2(ε) + 2·x·y·cos(ε)/(a·b).
Сейчас важно выяснить как меняется траектория точки при изменении разности фаз ε = β1 – β2.
Построим анимационный график, в котором увидим это влияние.
Введите в MathCAD информацию из рисунка 5.
Рис. 5
Создайте дальше анимационный клип, введя в диалоговое окно
нижнюю границу переменной FRAME, равную 100. Тогда угол ε будет
меняться от 0 до 2∙π.
Просматривая анимационный график, видим, что во всех случаях
движение точки совершается по эллипсу, который вписывается в пря-
10
моугольник со сторонами 2∙а и 2·b. Когда фазы колебаний по осям ОХ
и ОУ одинаковы (ε =n·π, где n=0, ±1, ±2…), эллипс вырождается в две
совпадающие прямые линии, проходящие по диагонали прямоугольника. В технических объектах, использующих принцип вибротранспортирования, необходимо добиваться, чтобы разность фаз ε оставалась
неизменной, иначе вибротранспортирование будет происходить то в
одну, то в другую сторону.
11
Литература
1 Усенко Н.А., Бляхеров И.С. Автоматические загрузочно – ориентирующие устройства.- М.: Машиностроение, 1984. – 112с., ил.
2 Процессы сепарирования на зерноперерабатывающих предприятиях / В.В. Гортинский, А.Б. Демский, М.А. Борискин. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Колос, 1980.- 304 с., ил.
3 Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Том первый: Учебное пособие. – М.:
Физматгиз, 1963. – 484 с., ил.
12