Lekziy O_zolotoi_proporcii (Malisheva VN)

Профессиональный конкурс работников образования
ВСЕРОССИЙСКИЙ ИНТЕРНЕТ-КОНКУРС
ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА
(2013/14 учебный год)
Управление культуры администрации города Магнитогорска
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
дополнительного образования детей
«Детская школа искусств № 1»
Номинация конкурса: Дополнительное образование детей и школьников
Лекция по теории музыки для учащихся выпускного класса ДШИ
«Divina sectio»
(о золотой пропорции)
Автор: Малышева Валентина Николаевна – преподаватель теоретических
дисциплин
Место выполнения работы: МБОУДОД ДШИ №1, г. Магнитогорск
Челябинской области, пр. Пушкина, д.17
«Человек останавливается, поражённый,
перед такими вещами, какие не могут
играть никакой роли в его жизни: перед
отражениями
схватить,
которые
воды,
перед
которые
отвесными
нельзя
нельзя
скалами,
засеять,
перед
удивительным цветом неба».
(Джон
Рескин,
английский
теоретик
искусства, XIX век).
Красота почти всегда понятна интуитивно, без предварительной
подготовки, поэтому люди часто считают, что математически точный закон
«обедняет искусство, лишает его некоей таинственности». Но это не так. Ещё
в Древней Греции были выработаны объективные критерии прекрасного.
Рассмотрим
составляющие
этих
критериев:
ритм,
симметрию,
пропорциональность. И симметрия и ритм покоятся на отношениях и
пропорциях, характеризующихся точными количественными значениями.
Симметрия - фундаментальное свойство природы. Она необходима для
сохранения устойчивости, надёжности и прочности материального мира.
Симметрия часто используется в разных видах искусства. Нагляднее
всего она видна в архитектуре. Древнегреческие архитекторы были
убеждены, что в своих произведениях они руководствуются законами,
которые управляют природой. Выбирая симметричные формы, художник тем
самым выражал своё понимание природной гармонии как устойчивости,
спокойствия и равновесия.
Но оказывается, на деле «природа почти симметрична, но не абсолютно
симметрична! Так, планетные орбиты, которые ещё Пифагором мыслились в
виде
совершенных
окружностей,
на
самом
деле
оказались
почти
окружностями, но всё-таки не окружностями, а эллипсами... Боги сотворили
свои законы только приближенно симметричными, чтобы мы не завидовали
их совершенству! Более серьёзной разгадки тайны приближённой симметрии
наука пока предложить не может» [4, с. 71-72].
В самом деле, симметрия красива, но безжизненна. Истинная красота
состоит в единстве противоположностей: симметрии и асимметрии. Можно
сказать, что симметрия - страж покоя, а асимметрия - двигатель жизни (см.
приложения рис. 1).
Примером удивительного сочетания симметрии и асимметрии является
Покровский собор в Москве (храм Василия Блаженною).
«...Симметричные архитектурные детали собора кружатся в своём
асимметричном, беспорядочном танце вокруг его центрального шатра: они
то поднимаются, то опускаются, то как бы набегают друг на друга, то
отстают, создавая впечатление радости и праздника» [4, с. 78-79].
А
если
подлинная
гармония
красоты
состоит
в
единстве
симметричного и асимметричного, значит, надо знать, в какой мере их
соотношение может допускаться. Учёные открыли, что наш взор при
эстетической оценке предметов окружающего мира всегда направлен в
третью четверть целого, где «неточности отстают на второй план, и мы не
только их не замечаем, но, напротив, нам все кажется безупречным и
пропорциональным» [3, с. 20].
«Возьмём простой пример: деление отрезка прямой. Пели отрезок
разделить пополам, зеркально - симметрично, то такое деление выглядит
уравновешенным, мёртвым. Пели же точку деления взять слишком близко к
одному из концов отрезка, то новая конфигурация будет чересчур
неуравновешенной и беспокойной. Только некоторая «золотая середина» <не
в геометрическом смысле> обеспечит нам желаемое единство симметрии и
асимметрии» [4, с. 78-79].
Эта «середина» определяется следующей пропорцией (соотношением)
меньшая часть отрезка так относится к большей, как большая ко все?
длине отрезка.
Такое деление получило название «золотой пропорции», божественной
(divina sectio), великолепной пропорции. Немецкий математик и астроном
Иоганн Кеплер говорил о ней как об одном из сокровищ геометрии, которое
можно сравнить с драгоценным камнем.
В истории утвердились два варианта названий; золотая пропорция, или
золотое сечение (чаще второе).
Золотое сечение - красивейшее проявление гармонии. Оно - один из
основополагающих принципов природы. Природа любит повторяться. В
различных своих творениях, казалось бы, очень далёких друг от друга, она
может использовать одни и те же принципы.
Золотая пропорция выражает основные моменты живого роста:
стремительный взлёт юного побега до зрелости и замедленный рост «но
инерции» до момента цветения, когда достигшее полной силы растение
готовится дать жизнь новому побегу.
Угловое отклонение ветки растения равно примерно 138е. Это
соответствует меньшей из двух частей, на которые делится полный угол при
золотом сечении (Соотношение частей в этой пропорции составляет 38% и
62%).
В живой природе очень часто встречается спираль. Так «свёрнуты
раковины многих улиток и моллюсков, спираль встречается в соцветиях
растений
<например,
подсолнуха>,
даже
пауки,
сплетая
паутину,
закручивают нити вокруг центра по...спирали» [1, с. 60]. Такая спираль
называется логарифмической. Она пересекает все прямые, проходящие через
полюс (точку, с которой она начинает раскручиваться), под одним и тем же
углом. Инвариантность (сохранение) угла - самая удивительная особенность
данной кривой. Она также не меняет своей формы при увеличении размеров
(См. приложение рис. 2).
Золотое сечение существует в совершенно различных цивилизациях,
отделённых друг от друга тысячелетиями: в пирамиде Хеопса в Древнем
Египте и в храме Парфенон в Древней Греции, в храме Покрова на Нерли, в
ленинградском (петербургском) Адмиралтействе и в ультрасовременных
сооружениях архитекторов. Есть оно и в музыке, поэзии, изобразительном и
прикладном искусстве. Уже древние хорошо понимали, что в основе
совершенных
творений
искусства лежат математически безупречные
соотношения частей и элементов.
Обратимся к примерам.
Совершеннейшим из архитектурных сооружений, мраморным сводом
законов античного зодчества является храм Парфенон на акрополе в Афинах
(I век до н.э.).
Уникальность Парфенона осознавали уже в античности. Вот как писал
о нём древнегреческий писатель, историк и философ Плутарх (I век н.э.).
«Так вырастали эти строения, гордые в своём величии, непревзойдённые по
своей волшебной красоте. Такими они были потому, что мастера старались
превзойти друг друга, каждый из них своё ремесло превращал в
художественное творчество... Можно сказать, что в этих творениях живёт
душа, которая никогда не стареет».
Множество
учёных
стремились
раскрыть
секрет
могучего
эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя, и
приходили
к
выводу,
что
архитектурные
пропорции
Парфенона
пропорции
идеальною
представляют собой целый ряд золотых сечений.
В
пропорциях
храма
воспроизведены
человеческого тела (См. рис. 3,4).
Скульптура Поликлета «Дорифор» (копьеносец), как и изображение
Венеры на картине Боттичелли (ит. художник Раннего Возрождения. Одна из
самых знаменитых его картин «Рождение Венеры») является образцами
пропорциональности.
Недаром в Древней Греции появился афоризм «Человек - мера всех
вещей». В течение тысячелетий человек постигал себя как частицу природы,
находя в ней подобие себе.
В
древнерусской
архитектуре
пользовались
другими
антропометрическими мерами (так называются меры, взятые из пропорций
человеческого тела), но в них тоже заключено золотое сечение (См.
приложение, рис. 5).
В пропорциях храма Василия Блаженного находят восемь членов ряда
золотого сечения (См. рис. 6).
Особое значение издавна придавалось пентаграмме — пятиконечной
звезде («pente» - пять), насчитывающей уже около 3000 лет. Она была
изображена на вавилонских глиняных табличках, затем стала символом
научной школы Пифагора; в средние века служила охранным знаком от
саганы.
Красота формы пентаграммы, вытекающая из внутренней красоты её
математического строения, была замечена ещё в древности и с тех пор «не
устаёт радовать глаз художника и разум математика».
Каждый из пяти отрезков, составляющих эту фигуру, делит другой в
отношении золотого сечения. «Интересно, что стороны пентаграммы,
пересекаясь,
образуют
снова
правильный
пятиугольник,
в
котором
пересечение диагоналей даёт нам новую пентаграмму, а в пересечении её
сторон
мы
снова
видим
правильный
пятиугольник,
открывающий
возможность построения новой пентаграммы. И так далее до бесконечности»
[1, с. 60]. (См. рис. 7)
Таким образом, пентаграмма представляет собой вместилище золотых
пропорций.
Частями правильного звёздчатого пятиугольника являются «золотые»,
или
«возвышенные»
треугольники.
«Возвышенным»
называется
равнобедренный треугольник с углами при основании, равными 72°, а мри
вершине - 36°. Он обладает особым свойством: биссектриса угла при
основании делит противоположную сторону в отношении золотого сечения.
На таких треугольниках основана композиция «Джоконды» Леонардо да
Винчи.
Геометрические фигуры, в которых есть элементы, связанные друг с
другом золотой пропорцией, большинству людей кажутся красивыми.
Известно по опытам, что среди нескольких прямоугольников, предъявленных
испытуемым, примерно четверть людей выбирали «золотой» прямоугольник.
Книги, почтовые открытки, шоколадные плитки имеют эту форму.
Обратимся теперь к поэзии и музыке. Серьёзное научное исследование
существования золотого сечения в этих видах искусства провёл на заре XX
века Эмилий Карлович Розенов — учёный, музыкальный критик, пианист,
педагог, кандидат" математических наук (в 1884г. окончил Московский
университет) (См. приложение рис. 8).
Среди первых его научных работ статья «О применении закона
золотого деления к музыке» (1903г.), впоследствии переработанная в «Закон
золотого сечения в поэзии и музыке».
Он проанализировал стихотворения различных авторов, музыкальные
произведения разных эпох и жанров - народные песни, некоторые пьесы,
отрывки из композиции крупных форм (сонат, опер) И.С. Баха, В. Моцарта,
Ф. Шопена, Л. Бстховсна и пришёл к нескольким интересным выводам.
Во
всех
исследуемых
произведениях
обнаруживается
общая
закономерность, выраженная в определённых числовых соотношениях «золотом сечении». В музыке его задачи:
«1) устанавливать изящное, соразмерное отношение между целым и его
частями;
2) являться местом кульминаций целой формы или её частей по высоте. силе,
массе и напряжённости звука;
3) направлять внимание слушателя на те места музыкального произведения,
которым автор придаёт наиболее важное значение в связи с основной идеей
произведения, между которыми желает провести логическую связь...или на
которые хочет указать как на главные звенья в развитии общего плана» [5, с.
130].
Так же и при чтении стиха интонационный «кульминационный пункт»
естественно
попадает
также
на
золотое
сечение.
«В
обычном,
четырехстрофном отрывке он находится в середине третьей строфы... Форма
сонета (8 строк плюс 6) как бы сама приспособлена к золотому сечению и
кульминация падает на начало 9-й строки».
Есть и другие выводы, о которых будет сказано после знакомства с
образцами анализа произведений.
Итак, чтобы найти точку золотого сечения, надо целое, исследуемое
нами (количество строк в стихотворении, количество тактов в музыке)
умножить на коэффициент золотого сечения - дробь 0,618. (Целое может
быть как зеей формой, так и каким-либо разделом её).
Рассмотрим примеры.
М.Ю. Лермонмов «Бородино»
Стихотворение состоит из вступления и рассказа ветерана сражения.
«Самый рассказ распадается на две части: в первой описывается
ожидание боя, с течением времени всё более нарастающее в напряжении (как
бы непрерывное crescendo); во второй - самый бой, причём общее движение
этой картины к концу постепенно успокаивается и затихает (dеcrеscеndo)».
Таким образом, рассказ занимает 91 стих (13 семистиший).
91x0,618=56,238.
Золотое сечение находится, следовательно, в начале 57-го стиха
рассказа. На этом месте стоит фраза: Ну ж был денёк!
«Фраза эта 1) одновременно завершает собою первую часть рассказа ожидание боя - и вводит во вторую - описание боя, 2) представляет из себя
кульминационный пункт возбуждённого ожидания и 3) концентрирует в себе
всё содержание рассказа настолько, что может быть непосредственно
отнесена к заглавию стихотворения».
М. Ю. Лермонтов «Три пальмы».
На этом примере выявляется самая утончённая роль золотого сечения.
Она заключается в установке строго соразмерных пропорций между всеми
основными мыслями произведения.
Первые две строфы - описание неподвижной картины пустыни. С
третьей строфы начинается развитие идеи «ропот» пальм, заканчивающийся
обвинением бога: «Не прав твой, о небо, святой приговор!» Ответ на такое
обвинение дают строки, находящиеся в отношении золотого сечения к 1-й, 2й, 13-й, 14-й, 18-й строкам. Произведя вычисления, мы увидим, что эти
отношения находятся в 37-й - 38-й строках (прибытие каравана); 41-й - 42-й
(радость пальм, что судьба сжалилась над ними); 44-й (пальмы срубают). 45я строка - «И пали без жизни питомцы столетий!» - даёт завершение
действия. Последнее золотое сечение к ней даёт 55-я строка. «И ныне всё
дико и пусто кругом» - «завершение идеи, - пишет Розенов, - в виде
неподвижной картины, противополагаемой начальной» [5, с. 128].
Если выписать все строки, связанные друг с другом золотым сечением,
можно яснее попять глубокую внутреннюю связь между мыслями,
выраженными в них.
(Буквой А, А1,2,3 обозначены строки, развивающие действие стихотворения.
Теми же буквами с дополнением буквы h - строки, составляющие золотые
сечения к ним).
А
В песчаных степях Аравийской земли
Три гордые пальмы высоко росли.
А1
И стали три пальмы на бога роптать:
«Нa толь мы родились, чтоб здесь увядать!
А2
Не прав твой, о небо, святой приговор!»
Ah
Вот к пальмам подходит, шумя, караван:
В тени их веселой раскинулся стан.
Alh
Приветствуют пальмы нежданных гостей,
И щедро поит их студеный ручей.
A2h Но только что сумрак на землю упал,
По корням упругим топор застучал!
A3
И пали без жизни питомцы столетий!
АЗh И ныне все дико и пусто кругом.
«Эти 13 строк из 60 образуют собою...ясный идейный конспект данного
стихотворения» (Розенов Э.К., стр. 128).
Конечно, такие формы рождались у Лермонтова не путём их
предварительного математического вычисления, а «совершенно безотчётно
под влиянием законов «природного творчества», в силу необычайно чуткости
к установленным природою формам живой красоты» (Там же).
*
*
*
Анализируя затем музыкальные произведения, автор приходит выводу,
что закон золотого сечения проявляется с особой яркостью и точностью в
произведениях, «сложившихся в законченных формах под влиянием
непосредственного вдохновения», что освобождает природный инстинкт
автора и опять же приближает проявление этого закона «природным
формам».
У Баха, например, закон золотого деления проявляется с поразительной
точностью в соотношениях крупных и мелких частей, как в строгих, так и в
свободных формах, что несомненно соответствует с характером этого
гениального мастера-труженика, сильным, здоровым и уравновешенным, с
его глубоко сосредоточенным отношением к работе и детально отделанной
манерою письма» [5, с. 156].
Приведем пример анализа Прелюдии Е-dur из I - го тома ХТК.
«Размер 12/8. Число тактов 24; число счетных единиц (четверть с
точкой) = 96.
А = 96; А х h <0,618> = 59,328. Золотое сечение на 60-й четверти с
точкой, то есть конце 15-го такта. Здесь - высшая интонация возвратившегося
начального мотива со знаком «marcato» на ноте а2. Отсюда интонация
спускается вплоть до конца» [5, с. 139].
Так как ученики на практике очень мало знакомы с «Хорошо
темперированным клавиром», им трудно представить себе его музыку, даже
один
раз
сыгранную.
Поэтому
автором-составителем
лекции
были
проанализированы более популярные у учащихся и известные им пьесы
И.С. Баха: несколько инвенций. В них есть золотые сечения, и они
выполняют роль тех мест, на которые автор «хочет указать как на главные
звенья в развитии общего плана».
Примеры:
1. Двухголосная инвенция C-dur.
Размер С; число тактов 22.
22 x 0,618= 13,59.
Золотое сечение в 13-14-м тактах. Здесь происходит модуляция в аmoll, что совпадает с кульминацией пьесы и окончанием второй части
формы.
2. Двухголосная инвенция с-тоll.
Размер С; число тактов 27.
27 x 0,618=16,68.
С 11-го такта начинается вторая часть, где «нижний голос первым
берет слово» и повторяются все темы (А, В, С, D, Е).
17-й такт, вычисленный как точка золотого сечения, можно считать
кульминационным, так как здесь появляется мажорная тема D.
3. Двухголосная инвенция d-moll.
Размер 3/8; число тактов 52. Из них - последние 4 такта приходятся на коду,
то есть дополнение. Расчет ведется на 48 тактов.
48 x 0,618 = 29,6.
30-й такт - середина второй части – тема в ля миноре с трелью в
нижнем голосе.
4. Двухголосная инвенция F-dur.
Размер 3/4; число тактов 34.
34 x 0,618-21.
Тональность ре минор, утвердившаяся двумя тактами раньше. С 21-ю
такта начинается нисходящая секвенция, развивающая относительно новый
материал. Развитие секвенции приводит к репризе в субдоминантовой
тональности.
5. Двухголосная инвенция a-moll
Размер С; число тактов 25.
25 x 0,618= 15,45.
В точке золотого сечения располагаются такты, связующие 2-ю и 3-ю
часть пьесы. В них находится цепочка уменьшенных септаккордов в d. С, е
(верхний голос), а. Подчеркнуто это место и динамически (р subito e sempre).
6. Трехголосная инвенция g-mol/.
Размер 3/8; количество тактов 72. 8 тактов - кода (по другим редакциям
3 такта).
Таким образом, золотое сечение находится между 40-м и 44-м тактом.
(64 х 0,618 = 39,5; 67 х 0,618 - 41,4)
Сюда приходится расширенное 1-е предложение 3-й части инвенции. f,
risoluto, нисходящая секвенция подчеркивают момент кульминации.
7. Трехголосная инвенция е-тоll.
Размер 3/4. Количество тактов 44.
44 x 0,618 = 27,19.
Тональность D-dur; вторая половина 2-й части пьесы. Это наиболее
спокойная и умиротворенная ее часть (появление Ре мажора отмечено словом
dolce).
Анализируя форму инвенции, Ф. Бузони пишет: «Вторая часть,
распадающаяся на две почти одинаковые половины, по величине оказывается
такой же, как первая и третья части вместе взятые. Нужно представить себе
архитектурную идею соотношения центрального здания и его двух боковых
флигелей, чтобы найти полное оправдание аналогичной в данном случае
музыкальной форме» [2, с. 63]. (Бузони Ферруччо (1866-1924) - композитор,
пианист, дирижер, педагог. При жизни Бузони снискал широкую известность
как непревзойденный пианист-виртуоз, выдающийся интерпретатор музыки
Баха, Бетховена, Листа, а также как педагог).
Предлагаю
также
анализ
«хрестоматийных»
произведений
из
школьною репертуара, принадлежащих высокоталантливым и гениальным
авторам, которые знакомы и часто играемы учащимися.
Эту интересную работу могут провести и сами школьники не без
пользы для себя.
1. Чайковский. «Старинная французская песенка».
В этой хорошо известной пьесе кульминация прослушивается и
определяется без труда. Математический расчет это подтверждает.
Размер 2/4. Количество тактов 32.
32 x 0,618=19,7.
20-й и 21-й такт - подход к кульминации, приходящийся на
субдоминанту.
2. Чайковский. «Баба Яга».
Размер 6/8. Пьеса занимает 45,5 тактов, или 91 метрическую долю
равную четверти с точкой.
91 х0,618 = 56
В 28-м такте находится реприза пьесы в высоком регистре (своего рода
кульминация полета сказочного персонажа).
3. П. Чайковский. «Марш деревянных солдатиков»
Размер 2/4. 48 тактов.
48 x 0,618 = 29.
Здесь мы наблюдаем наибольшее удаление от основной тональности Ddur, а также подход к репризе.
Рассмотрим несколько пьес из «Детского альбома» А.Т. Гречанинова.
Гречанинов
-
композитор,
строго
приверженный
классическим
традициям; человек чрезвычайно добросовестного, даже педантичного
характера. Его детские пьесы - своего рода образцы пианистических
приемов, образов, близких детям. Естественно было предположить, что они
будут и образцами построения музыкальной формы. Так и получилось. Во
всех проанализированных пьесах есть золотое сечение, приходящееся на
кульминационные моменты:
1. «В разлуке» - 12-й
- 13-й такт (перед возвращением в основную
тональность).
2. «Верхом на лошадке» - в момент наибольшего удаления от
тональности, отмеченного автором словами «Слишком далеко заехал».
3. «Необычайное происшествие» - 13-й такт (accelerando, хроматическое
движение).
4. «Мазурка» - 15-й такт (переход к репризе, доминанта си минора).
5. Вальс F-dur - золотое сечение отмечает границы формы: в 1-й части повторение темы; во 2-й части — переход к репризе и ее начало.
Были взяты и другие пьесы, известные старшеклассникам:
1. Э. Григ. «Смерть Озе» (переложение для фортепиано).
Размер С. 45 тактов.
45 x 0,618 = 27,8.
В 28-м такте находится самая скорбная тема в высоком регистре.
Дальше до конца пьесы идет только спад динамики, постепенное и
неуклонное движение в низкий регистр.
2. М. Глинка. Ноктюрн «Разлука».
Ярко выраженной точки золотого сечения в пьесе нет. Вся пьеса
занимает 115 тактов. Если не считать 8 тактов вступления и 15 последних
тактов, которые представляют собой заключение, остается 92 такта.
92 x 0,618 = 56,8.
Обращается внимание на 57-й такт - переход к репризе, что является,
конечно, важным моментом формы.
3. Ф. Мендельсон. Песня венецианского гондольера g-moll.
Размер 6/8. Число тактов - 46. Из них 6 тактов являются вступлением.
40 x 0,618 = 24,7.
Именно в 25-м такте находится самый напряженный момент развития,
кульминация - отклонение в субдоминантовую тональность - и самые
напряженные и неустойчивые гармонии.
Рассмотрим также несколько пьес крупной формы, часто изучаемых в
школе.
1. В. Моцарт. Сонатина C-dur № 6, 1 часть.
Если взять отдельно экспозицию (37 тактов х 0,618 = 22,8) и
разработку-репризу (35 тактов х 0,618 = 21,6), то оказывается, что обе эти
точки приходятся на начало побочной партии.
То же самое наблюдается, если взять форму в целом. Видимо,
побочной партии композитор придавал большое значение (72 такта х 0,618 =
44,49).
2. Я. Дюссек. Соната № 6 Es-dur, I часть, соч. 20.
В экспозиции, занимающей 36 тактов, точка золотого сечения
приходится на побочную партию в B-dur'e. Ей предшествуют 2 такта,
которых не будет в репризе, начинающихся сразу ff (после рр связующей
темы). Это кульминация первого раздела.
В разработке-репризе (44 такта х 0,618 = 27,19) тоже отмечается
побочная партия в основной тональности.
В целой форме точка золотого сечения приходится на переход к
репризе (80 тактов х 0,618 = 49,44) с доминантовым органным пунктом,
хроматическими звуками и остановкой на Д7.
Между собой эти точки - в экспозиции и во всей форме - тоже
находятся в отношении золотого сечения друг к другу.
3. Л Бетховен. Соната № 20. G-dur, часть I.
Так же, как и у Моцарта, золотое сечение в экспозиции (52 такта х
0,618 = 32,136) и разработке-репризе (71 такт х 0,618 = 43,8) приходится на
середину побочной партии, где меняется регистр и тема проводится октавой
выше.
Если же взять всю форму (123 такта х 0,618 = 76), золотое сечение
находим в связующей партии в репризе.
4. Ф. Кулау. Сонатина A-dur, соч.59, № 1, часть I.
В экспозиции в 21-22-м тактах начинается побочная партия.
В целом в I части (89 тактов х 0,618 = 55) на 55-й такт приходится
кульминация
разработки
(появляется
тональность
d-moll,
минорная
субдоминанта. Довольно большое развитие в ней приводит к доминанте
основной тональност – A-dur).
5. Ф. Кулау. Сонатина C-dur, соч.55, № I, часть I
Экспозиция - 20 тактов х 0,618 = 12,36. Здесь мы слышим вершину
побочной партии, отмеченную sf . Разработка и реприза - 42 такта х 0,618 =
25,95. В 30-м такте происходит отклонение в субдоминантовую тональность
F-dur.
Вся часть - 62 такта х 0,618 = 38,3.
В этом и последующих тактах главная партия появляется в d-moll'e.
Таким образом, опять подчеркивается отклонение в сторону субдоминанты
(d-moll, F-dur).
Часть II.
Размер 3/8.
116 тактов х 0,618 = 71,68.
71-73-й такт после контрастного эпизода espressivo в F-dur'e возвращает
слушателей к главной теме.
Можно посчитать и по-другому. Основной музыкальный материал
части заканчивается в 104-м такте. Дальше идет кода, ничего нового не
вносящая в развитие. Её задача - закрепить тональность C-dur.
Тогда 104 такта х 0,618 = 64,27. Это середина F- dur'нoгo эпизода,
своего рода кульминация.
6. Ф. Кулау. Сонатина G-dur, соч.88, № 2, часть I.
Размер 3/4. Экспозиция 29 тактов. Из них 2 такта - связка (трель).
29x0,618=17,9.
Здесь происходит модуляция в D-dur, после чего экспозиция
завершается общими формами движения.
Разработка и реприза - 56 тактов. (56 х 0,618 = 34,6). Начинается
побочная партия, не имеющая яркой самостоятельной мелодии, по
неустойчивая в тональном отношении, что можно считать кульминационным
моментом развития формы.
И, наконец, два произведения, относящиеся к классическим образцам.
1. В. Моцарт. Соната C-dur, 1 часть№15 (К № 545)
73 такта. Размер С. (73 такта х 0,618 - 45). Появляется главная партия в
субдоминантовой тональности (F-dur).
2. Й. Гайдн. Симфония № 103. Es-dur, часть I.
Точки золотого сечения подчеркивают: в экспозиции (54 такта х 0,618
= 33,37) - кульминационный момент;
В разработке + реприза (107 тактов х 0,618 = 66) - начало репризы.
В целой форме (161 такт х 0,618 = 94,5) - кульминацию всей части момент наибольшего удаления от основной тональности.
*
*
*
Зачем
привлекать к
музыке
математику?
Ведь,
казалось
бы,
исполнитель всегда может почувствовать и подчеркнуть все кульминации и
важнейшие разделы формы. И это правда. Но... приведу слова великого
математика XVII - начала XV1I1 века Готфрида Лейбница: «Музыка - это
радость души, которая вычисляет, сама того не зная».
А вот художники часто сознательно прибегают к математике.
Например, работая над картиной «Боярыня Морозова», В.И. Суриков долго
искал расстояние от рамы до изображения саней, чтобы создать иллюзию их
движения.
«Действительные размеры каждого предмета найти нужно. Важно
найти замок, чтобы все части соединить. Это настоящая математика».
Когда картину смотрел Л.П. Толстой с женой, они посоветовали
художнику срезать низ, мотивируя тем, что он не нужен, мешает. На это
Суриков возразил: «А там ничего убавить нельзя - сани не поедут».
В заключение беседы приведу пример интересного исследования,
проведённого Л.Л. Сабанеевым в 1959г.
Леонид Леонидович Сабанеев (1881-1968) - см. Приложение, рис. 9 профессор Московского университета, автор научных работ по математике и
естествознанию и музыкант в «трёх лицах» - критик, композитор, пианист.
Наибольшую известность он получил как критик. В своей жизни Сабанеев
встречался со многими знаменитыми людьми Серебряного века России
(конец XIX - начало XX века) и, благодаря таланту рассказчика, сделал
читателей «очевидцами» этой эпохи.
Изучая проявление принципа золотого сечения в огромном количестве
музыкальных и литературных произведений, учёный задумался, нельзя ли
ожидать проявления этого принципа и в человеческой жизни? В природе он
является следствием законов роста организмов, «но ведь и человек — тоже
организм».
Выбрав для исследования около 800 биографий великих людей в
области политики, науки, искусства Сабанеев изучил их и пришёл к выводу,
что принцип золотого сечения почти 100-процентно подтверждается. Обычно
в жизни великих людей золотых сечений два - «одно соответствует выходу
гения на путь своей гениальности, другое — кульминация жизни и её
достижений» [6, с. 221].
В год золотого сечения своей жизни:
- Ньютон завершил «Математические начала натуральной философии»;
- Наполеон короновался императором;
- Пётр Первый основа Петербург;
- Пушкин написал «Бориса Годунова», «Евгения Онегина», «Пророка»;
- Мусоргский закончил оперу «Борис Годунов»;
- Менделеев создал «Периодическую систему элементов»;
- Ленин основал партию большевиков;
- Сталин стал генеральным секретарём партии, то есть диктатором выполнил
«задачу жизни»;
- у Л. Толстого первое золотое сечение точно совпадает с написанием
«Войны и мира», вторая же (важнейшая) кульминация связана не с
литературными событиями его жизни, а с духовными исканиями писателя.
На этом не закончились исследования критика в поисках проявления
законов золотого сечения в человеческой жизни. «Дело в том, что сели
известна дата рождения «гения» или выдающееся человека и если есть
данные для того, чтобы уже при его жизни утверждать факт достижения им
кульминационного
пункта
жизни,
то
достаточно
небольшого
арифметического вычисления, чтобы предсказать и конец его жизни...
Достаточно возраст данного лица в момент кульминации помножить на 0,62
и произведение прибавить к его возрасту, тогда сумма выразит его возраст в
момент смерти...». Периоды роста и увядания между собою образуют
отношение золотого сечения. «Я сделал вычисления с двумя объектами,
которые давали повод, чтобы считать, что их кульминация уже достигнута...
Эти два лица были — Рахманинов и Глазунов» [6, с. 222].
Кульминация творчества Л.Н. Глазунова - последние две симфонии
(1907-1908гг.). Дата смерти - по вычислению - должна была произойти в
1935г., что и последовало.
Кульминационный период С.В. Рахманинова был достигнут в год
написания кантаты «Колокола» (с этим соглашался и сам композитор). Кроме
того, на это же время пришлась кульминация его славы как пианиста.
Сабанеев «предсказал» кончину Рахманинова в 1942-43гг. (годы жизни
композитора 1873-1943).
Таким образом, природа стихийно сотворила совершенные формы, а
человек сознательно следует им в своем творчестве.
И сам человек, являясь частью природы, живёт но её законам.
Список литературы.
1. Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии. Гуманитарно - математический
курс. – М.: Школа-Пресс, 1998. – 160с. (Библиотека журнала
«Математика в школе». Вып.7).
2. Бах И.С. Инвенции (двухголосные и трехголосные). Редакция Ф. Бузони.
– М.: Музыка, 1971., – 63 с.
3. Виноградов Г., Красовская Е. Занимательная теория музыки. – М.:
Советский композитор, 1991. – 192с.
4. Волошинов А.В. Математика и искусство. – М: Просвещение, 1992. –
335с.
5. Розенов Э.К. Статьи о музыке. Избранное. Общ. ред. В. В. Протопопова. –
М: Музыка, 1988. – 271с.
6. Сабанеев Л.Л. Воспоминания о России. – М.: Классика - XXI, 2005. –
268с.