Динамические модели управления производственно

УДК 330.322.5
Журнал: «Экономический анализ: теория и практика»
Рубрика: «Экономико-математическое моделирование»
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННОФИНАНСОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬЮ ПРЕДПРИЯТИЯ.
DYNAMIC MODEL OF PRODUCTION-FINANCIAL ACTIVITY MANGEMENT.
АЛЕКСАНДР ВЛАДИМИРОВИЧ МИЩЕНКО,
доктор
экономических
наук,
профессор
кафедры
логистики,
Национальный
Исследовательский Институт – Высшая Школа Экономики
ALEXANDER VLADIMIROVICH MISHCHENKO,
PhD, professor of «Logistics»,
National Research University – Higher School of Economics
e-mail: nesterovich@gnext.ru
ОЛЬГА АНДРЕЕВНА АРТЕМЕНКО,
аспирантка кафедры «Математические методы в экономике»,
РЭУ им. Г.В.Плеханова.
OLGA ANDREEVNA ARTEMENKO,
postgraduate student, Russian Plekhanov University of Economics
e-mail: o.a.artemenko@gmail.com
Аннотация
В работе рассмотрены оптимизационные модели управления ограниченными
ресурсами промышленных предприятий. В первой части работы приведены задачи
управления
оборотным
капиталом
предприятия,
учитывающие
технологическую
последовательность операций производственного процесса. Во второй части статьи
предлагаются нелинейные оптимизационные модели, для различных целей использования
инвестиционных ресурсов. На примере промышленного предприятия проиллюстрирована
реализация задачи оптимизации управления потоками производственных ресурсов.
Abstract
This article dedicated to the optimization models of management limited resources of
industrial enterprises. The first part of the paper contains the models of working capital
management, that taking into account the technological sequence of operations of the production
process. The second part of the paper offers non-linear optimization models for different
purposes of use of investment resources. Implementation of the optimization model of
productive resources management was illustrated on the example of an industrial enterprise.
Ключевые слова:
оптимизационные модели, конвейерные системы, технологическая
операция, заемные средства.
Key words: optimization models, pipeline systems, manufacturing operations, borrowed funds.
I.
Оптимизационные
задачи
управления
материальными
и
производственными ресурсами в конвейерные системах.
В первой части работы будут рассмотрены так называемые конвейерные системы
обработки заявок
одновременной
операциях
в производственных системах, характеризующиеся параллельной
обработкой нескольких видов заявок на различных технологических
при
заданной
производственном
интенсивности
их
поступления
и
существующем
аппарате предприятия. Параллельность обработки одной партии
заявок на нескольких последовательных операциях достигается за счет
того, что
возможна передача любой части обработанных заявок на последующую операцию. В
традиционных же системах календарного планирования загрузки оборудования передача
на последующую операцию возможна лишь в ситуации, когда на предыдущей операции
полностью завершена обработка всей партии. Под заявками ниже мы будем понимать
материалы,
сырье,
полуфабрикаты,
вычислительных и информационных
незавершенное
производство,
документы
центров, транспортируемые грузы
и т.д. Для
обработки заявок необходимы производственные ресурсы, к которым относятся:
оборудование, транспортные средства, компьютеры, станки, приборы.
При моделировании конвейерных систем,
следующие показатели ее работы:
пользователя могут интересовать
общий объем обработанных заявок на всех
технологических операциях, прибыль (доход) предприятия от обработки заявок
нескольких
видов,
объем
незавершенного
производства
по
каждому
виду
обрабатываемых заявок, среднее время ожидания обработки и другие.
Перечисленные выше показатели работы системы во многом зависят от того,
насколько рационально используются производственные, материальные и финансовые
ресурсы предприятия.
I.1. Детерминированная модель управления производственными ресурсами.
В простейшем случае конвейерная система обработки может быть графически
задана ориентированным циклическим графом, состоящем из нескольких параллельных
цепочек, задающих перечень операций по каждому виду заявок и последовательность
обработки на этих операциях. Такой ориентированный граф еще называют П-сетью. На
входе П-сети подается поток материальных ресурсов
производства (или финансовый
поток, предназначенный для закупки материальных ресурсов), который должен быть
обработан с учетом имеющегося производственного арсенала на всех технологических
операциях и на выходе таким образом будет получена готовая продукция. Графически
такой процесс обработки для М видов заявок может быть представлен следующим
образом:
1,1
1,2
…
1, N1
2,1
2,2
…
2, N 2
…
M, N m
…
M,1
M,2
Рис.1. Технологическая последовательность операций П-сети.
Рассмотрим
задачу
оптимизации
управления
потоками
материальных
и
производственных ресурсов данной модели по критерию максимизации суммарного
маржинального дохода от произведенной продукции в периоде (0,Т), который будет
получен после ее реализации. С учетом указанных выше предположений необходимо в
этом случае решить следующую задачу оптимального управления:
T
M
 q
i 1
i
iNi
(t) dt  max
(1)
0
Здесь  i - маржинальный доход от выпуска одной единицы продукции вида i; q iN i (t) искомая интенсивность обработки заявок вида i на последней N i операции (i =1,2,…,M).
Пройдя обработку на операции 0 iNi , на выходе будет получена конечная продукция вида i
(i = 1,2,…,M). Учитывая, что ни на одной операции производственного цикла не может
быть обработано большее количество заявок, чем поступило, необходимо учитывать
следующее ограничение:
t
t
0
0
 qij (t ' )dt '  Vij (0)   qij1(t ' )dt ' ,
(2)
где i =1,2,…,M, j =1,2,…, N i , t  (0,T).
Здесь Vij (0) - объем незавершенного производства на операции 0 ij в момент t =0.
Далее будем предполагать, что обработка заявок на каждой операции происходит с
использованием производственных ресурсов, к которым относятся: станки, оборудование,
технологическая оснастка, обслуживающий персонал и другое. Объем этого вида ресурсов
задан с использованием вектора С = ( С 1 ,..., С m ). Для того, чтобы
на операции 0 ij
обеспечить единичную производительность, необходимы производственные ресурсы в
количестве заданном векторами  ij  ( ij1 ,  ij2 ,...,  ijm ) , i = 1,2,…,M; j =1,2,…, N i .
Если же необходимо обеспечить производительность q ij на операции 0 ij , то,
соответственно, требуемый объем производственных ресурсов задается как q ij   ij =
( qij   ij1 , qij   ij2 ,..., qij   ijm ) . При задании производительностей q ij (t) на каждой операции
q ij (i=1,2,…,M; j =1,2,…, N i ) объем используемых ресурсов не должен превышать
соответствующих компонент вектора С = ( С 1 ,..., С m ). Иными словами должно выполнятся
следующее неравенство:
M
Ni
 q
i 1 j 1
ij
(t ) ijl  C l , l = 1,2,…,M; t (0,T)
(3)
Количество выпущенной на интервале (0,T) продукции каждого вида не должно быть
выше объема спроса Pt i , что определяется следующим неравенством:
T
q
(t )dt  Pti , i = 1,2,…,M.
iNi
(4)
0
Рассмотрим алгоритм решения задачи (1) – (3) (без ограничения на спрос (4)) при условии,
что Vij (0) >0, i=1,2,…,M; j =1,2,…, N i .
В момент t =0 в этом случае необходимо назначить производительности q iN i (i = 1,2,…M),
обеспечивающие максимальный маржинальный доход за единицу времени, т.е.
M
 q
i 1
i
iNi
 max ,
(5)
при ограничениях:
M
q
1
iN I
 iNl  C l , l = 1,2,…,M
i
(6)
q iN i  0 , i = 1,2,…M
(7)
Задача (5) – (7) является задачей линейного программирования, решение которой не
представляет принципиальных трудностей. Получив решение задачи (5) – (7), которое
обозначим Q1Ni  (q11N1, q11N 2, ..., q11NM ) . Можно вычислить минимальный момент времени  1 ,
в который закончатся заявки на одной из операций O1N 1 ,..., OMNM .
Очевидно, что
 1 min
ViNi (0)
, i =1,2,…,M
1
qiNi
(7.1)
Если  1  T, то задача (1) –(3) решена. При этом оно будет оптимальным не только для
целевой функции (1), но и для целевой функции вида:
M
t
i 1
0
  i  qiNi (t ' )dt ' , t  (0, T )
Таким образом, предложенный подход дает решение задачи (1)-(3) для любого
временного интервала (0,t)  (0,T).
Пусть выполняется  1 <T и минимум в выражении (7.1) достигается на каком-либо
1  K1  M . В этом случае для организации выпуска продукции вида K1 необходимо
выделять производственные ресурсы не только на операцию O K1 N K 1 , но и на предыдущую
операцию O K1 N K 11 . Следовательно, производительности на конечных операциях, как и
ранее, назначаются исходя из того, что максимизируется целевая функция (5), а вместо
ограничений (6) – (7) используются следующие ограничения:
M
q
i 1
iNi
 iNl + qK1 N K 11iNl K 11  C l , l = 1,2,…,M
i
qK1 N K 1  qK1 N K 11 ,
(7.2)
(8)
qiNi  0, q K1 N K 11  0, i = l = 1,2,…,M
Ограничения (7.2) и (8) свидетельствуют о том, что производственные ресурсы для
выпуска продукции вида K1 должны выделятся не только на последнюю операцию, N K1 ,
но и на продукцию N K 1 1 .
Далее находится минимум следующих соотношений:

ViNi ( min K1 ) VK1 N K11 

, 2
,
2
qiNi
qiN K11 


min 
i 1, M
2
2
Здесь qiN
и qiN
- решение задачи (5), (7.2), (8).
K11
i
Таким образом, если Vij >0, то решение задачи (1)-(3) (без ограничения на спрос) сводится
к решению серии задач линейного программирования.
Если есть ограничения на спрос, то необходимо при решении задачи (1)-(4) отслеживать
момент времени  i , для которого
i
q
iN i
(t )dt  bi , i=1,2,…,M.
0
Далее с момента времени  i выпуск продукции вида i останавливается.
Рассмотрим ситуацию, когда есть еще ограничение на заказы, т.е.:
T
q
iN i
(t )dti  Zi , i=1,2,…,M,
0
Здесь Z i - объем продукции вида i, который необходимо поставить заказчику на
интервале времени (0,T).
В этом случае необходимо оценить объем незавершенного производства по всем видам
продукции, т.е. выполнение неравенства:
Ni
V
j 1
ij
 Z i , i=1,2,…,M.
(9)
Если ограничение (9) не выполняется, то при распределении финансового потока F(t),
направляемого на закупку материальных ресурсов производства для всех видов
продукции: F(t) = F1 (t)  F2 (t)  ...  FM (t) , необходимо обеспечить закупку этих ресурсов в
объемах необходимых для выполнения ограничения (9). Обозначим через  i - стоимость
материальных ресурсов всех видов для выпуска одной единицы продукции вида i и
введем еще один показатель uoi (t )  Fi (t ) /  i , i=1,2,…,M.
Таким образом uoi (t ) - это интенсивность потока материальных ресурсов, подаваемых на
начало технологической цепи выпуска продукции вида i (i = 1,2,…,M). В этом случае
объем материальных ресурсов, поставляемых к моменту t’  (0,T] для выпуска продукции
t'
вида i рассчитывается по формуле V oi (t ' )   ui 0 (t )dt .
0
В данной ситуации необходимым условием решения задачи (1)-(4),(9) является
M
существование таких uoi (t ) , где uoi (t )  Fi (t ) /  i и F(t)=  Fi (t ), что:
i 1
T
Ni
V   u
j 1
ij
i0
0
(t )dt  Zi , i =1,2,…, N i
(10)
Доказательство этого условия следует из того, что при невыполнении условия (10) для
какого-либо вида продукции заказ не может быть выполнен из-за недостатка
материальных ресурсов производства.
В то же время выполнение условия (10) еще не гарантирует выполнения заказа в силу
того, что несмотря на то, что все материальные ресурсы поставлены в необходимых
объемах, производственные мощности предприятия не могут обеспечить выпуск
продукции каждого вида в объемах Z i за период (0, Т).
Рассмотрим ситуацию, когда:
Z i  ViN i
(11)
Выполнение ограничения (11), в частности, означает, что объем незавершенного
производства на последней операции по каждому виду продукции достаточен для
выполнения заказа. В этом случае решение задачи оптимального управления (1)-(4),(9)
сведется к решению следующей задачи линейной оптимизации:
M
 q
i 1
iNi
iNi
 iNl  C l , l = 1,2,…,M
M
q
 max
i
i
(12)
(13)
1
T  qiNi  Z i , i= 1,2,…,M
(14)
T  q iN i  Pti , i= 1,2,…,M
(15)
qiNi >0 , i= 1,2,…,M
(16)
Здесь Т – продолжительность директивного периода (0,Т). Если задача (12)-(16)
имеет решение, то производительности qiNi являются постоянными в течение всего
интервала времени.
В том случае если задача (12)-(16) не имеет решения, необходимо инвестировать средства
в увеличение производственных мощностей, т.е. приобретение дополнительного
оборудования, станков, привлечение дополнительного количества обслуживающего
персонала. Таким образом мы должны перейти от производительных ресурсов, заданных
вектором С = ( С 1 ,..., С m ) к увеличенным производственным ресурсам С + y =
( С 1  y1 ,..., С m  y m ), где y j - дополнительное количество производственных ресурсов
вида j (j =1,2,…,M). Естественным требованием при приобретении дополнительного
производственного оборудования является минимизация затрат на его приобретение. Это
требование можно выполнить, решив следующую оптимизационную задачу:
y 
j
M
q
iNi
j
 min
(12.1)
 iN  C l  y l , l = 1,2,…,M
i
(13.1)
1
T  qiNi  Z i , i= 1,2,…,M
(14.1)
T  q iN i  Pti , i= 1,2,…,M
(15.1)
qiNi >0 , i= 1,2,…,M
(16.1)
yi  0, y i  Z 
(17.1)
Решив задачу (12.1) – (17.1) и получив в качестве решения объемы дополнительно
закупаемого оборудования y j , мы переходим к решению задачи (12)-(16) с учетом того,
что в правой части производственные ресурсы в количестве C l + yl (l = 1,2,…,M).
Если ограничение (11) для какого-либо вида продукции Р не выполняется, то
существует такое j, что
V pj  Z p , 1  p  M,
(17)
тогда задача оптимального управления (1)-(4), (9) сводится к решению следующей задачи
линейного программирования.
M
 q
i 1
i
iNi
 max
M
Np
i 1
k 1
(18)
 qiNi iNil   q pK lpK  C l , l =1,…,m
(19)
q pj  q pj 1  ...  q pNp
(20)
T  qiNi  Z i ,
(21)
i= 1,2,…,M
T  q iN i  Pti , i= 1,2,…,M
(22)
qiNi  0 , q pj  0 , i= 1,2,…,M, j =l,...,Np
(23)
Формулируя задачу оптимизации управления производственными ресурсами (18)(23) необходимо учитывать, что по виду продукции Р необходимо осуществить обработку
незавершенного производства не только на операциях O pNp , но и на предшествующих
операциях O pNp 1 ,..., O pl , что требует дополнительного привлечения производственных
ресурсов (ограничение (19)), а также согласование производительностей по операциям
продукции вида Р (ограничение (20)).
I.2. Оптимизация управления производственными ресурсами с учетом риска.
Формируя производственный план выпуска конечной продукции и загрузки
производственного оборудования (задача (1)-(4), (9)) лицо, принимающее решение (ЛПР),
не всегда может оценить будущий маржинальный доход  i (i= 1,2,…,M) по каждому виду
выпускаемой продукции.
В частности  i может быть задана как случайная величина с известными
дискретными распределениями вероятностей, т.е (величина  i принимает определенные
значения с некоторой вероятностью p q ):
 i1  p1
 i2  p 2
i
…q
 i  pq
ю
.
В этом случае при
. решении задачи (1)-(4), (9) естественно использовать в целевой
функции (1) вместо  i , математическое ожидание маржинального дохода  i :
i =
q

j 1
j
i
(24)
pj
Обозначим объем выпуска по каждому виду выпускаемой продукции в решении
задачи (1)-(4), (9) через Qi .
Очевидно, что:
T
Qi   qiNi (t )dt , i =1,2,…,M
(25)
0
Соответственно объем переменных издержек, связанный с выпуском одной единицы
продукции вида i через bi , (i=1,2,…,n). Тогда объем переменных издержек про продукции
вида i при производственной программе Q=( Q1 ,..., Qm ) , определяется как:
S i  bi Qi , i = 1,2,…,M
Обозначим долю затрат на выпуск продукции вида i при производственной программе Q
=( Q1 ,..., Qm ) через  i . Очевидно, что:
T
i =

M
b Q
j 1
j
b q
i
bi Qi
j
iNi
(t )dt
0
(26)
M T
b q
i 1 0
i
iNi
(t )dt
В этом случае риск производственной программы Q задачи (1)-(4), (9) может быть оценен
следующим образом
M
M
i 1
i 1 i  j
R=   i2  2i  2 cov ij  i  j
(27)
Здесь  i2 - дисперсия маржинального дохода по продукции вида i, cov ij - ковариация
маржинального дохода продукции i и продукции j.
Таким образом, с учетом (24)-(27), модель оптимизации производственной программы по
финансовому критерию с учетом риска доходности производственной программы может
быть сформулирована следующим образом:
T
M
 q
i
i 1
iNi
(t )dt  max
(28)
0
t
q
t
ij
(t ' )dt '  Vij (0)   qij1 (t ' )dt '
0
(29)
0
t  (0, T ) i =1,2,…,M; j=1,2,…, N i
M
M
i 1
i 1 j i
 i2 2i  2 cov ij  i  j  Rq
(30)
Здесь Rq - допустимый уровень риска доходности производственной программы
Q=( Q1 ,..., Qm )
Np
M
 q
i 1
k 1
ij
(t ) ijl  C l
(31)
t  (0, T ) , l =1,…,m
T
q
iNi
(t )dt  Pt i , i = 1,2,…,M
(32)
iN i
(t )dti  Zi , i=1,2,…,M,
(33)
0
T
q
0
В модели (28)-(33) оптимизируется маржинальный доход от реализации продукции,
выпущенной на директивном периоде (0,Т), заданной соотношением (28). Напомним, что
 i  это маржинальный доход от реализации одной единицы продукции вида i.
Формула (29) задает балансовые ограничения на объем обработки незавершенного
производства на каждой операции Oij , для операции, когда технологическая схема
выпуска продукции задается П-сетью (i = 1,2,…,M; j=1,2,…, N i ).
Неравенство (30) задает ограничение на допустимый уровнеь риска доходности
производственной программы, где  i - определяются по формуле (26),  i2 - дисперсия
маржинального дохода по продукции вида i, cov ij -ковариация доходности продукции
вида i и продукции вида j. Неравенство (31) ограничивает производительность на каждой
операции
Oij ,
что связано с существующими производственными мощностями
предприятия. Соотношения (32) и (33) - это соответственно ограничения на объем спроса
и объем заказа на выпускаемую продукцию.
Анализ
I.3.
устойчивости
в
модели
оптимального
управления
производственными ресурсами предприятия.
Вернемся к модели (1)-(4), (9) и рассмотрим ситуацию линейного роста
маржинальной доходности  i от инфляции, т.е. будем предполагать, что при уровне
накопленной инфляции  , маржинальный доход  i ( ) =  i + ni  i  , где  - накопленная
инфляция в долях. Будем также считать, что для  допустимого решения задачи (1)-(4),
(9) Q=( Q1 ,..., Qm ) , компоненты вектора Q – целочисленны. Это соответствует реалиям
практически любого промышленного предприятия, выпускающего конечную продукцию
для потребителя. Обозначим множество всех допустимых производственных программ
модели (1)-(4), (9) через Qˆ  (Q1 ,..., Q L ) .
Учитывая,
целочисленность
векторов
Qj
(j=1,2,…,L)
число
допустимых
производственных программ будет конечным. Обозначим F j ( ) значение целой функции
(1) на производственной программе Q j при уровне накопленной инфляции  . Очевидно,
что в этом случае F j ( ) вычисляется по следующей формуле:
M
T
i 1
0
j
F ( ) =  (  i  ni  i  )  qiNi
(t )dt , j=1,2,…,M
j
Легко
видеть,
что
функция
F j ( )
является
линейной
относительно

и
dF j ( ) M
j
=  ni  i  qiNi
(t )dt , j=1,2,…,M.
d
i 1
0
T
Предположим, что при уровне накопленной инфляции  =0, оптимальной является
производственная программа Q l  (Q1l ,..., QMl ) . Будем считать также, что программы
множества Q̂ упорядочены по возрастанию производственных
dF j ( )
, j=1,2,…,L.
d
Таким образом, если p>q, то
dF p ( ) dF j ( )
, для любых 1  p  L и 1  q  L и p  q .

d
d
В этом случае, если l>L, то рост маржинального дохода на производственной программе
Q k (k>L) по мере
накопления инфляции. Следовательно каждое из уравнений вида
F l ( ) = F k ( ) , k=1,…,L
будет иметь одно положительное решение. Обозначим эти
решения как  k1 и выберем min  k1 =  1p (p>l).
Очевидно, что при уровне накопленной инфляции  более чем  1p , производственная
программа Q l утрачивает оптимальность и оптимальной становится производственная
программа Q p (p>l). Повторяя предыдущую цепочку рассуждений для множества
производственных программ Q p , Q p 1 ,…, Q L , найдем следующую производственную
программу Q j , и, соответствующее значение накопленной инфляции  j2 (j>p), при
котором оптимальной становится производственная программа Q j . Очевидно, что через
конечное число итерации и при некотором уровне накопленной инфляции оптимальной
станет
производственная
накопленной
программа
L .
инфляции
QL .
Обозначим
Дальнейший
производственные не произойдет в силу того, что
переход
соответствующий
на
новые
уровень
оптимальные
dF L ( ) dF j ( )
для всех

d
d
j=l,l+1,…,L–1 и для всех   ( L , ) . Таким образом доказано следующее утверждение.
Утверждение. Пусть множество Qˆ  (Q1 ,..., Q L ) задает множество всех допустимых
решений (1)-(4), (9). В том случае, если маржинальный доход по каждому виду
выпущенной продукции растет по линейному закону  i ( ) =  i + ni  i  , i=1,2,…,M.
относительно накопленной инфляции  , то интервал изменения инфляции  (   (0, ) )
может быть таким образом разбит на конечное число отрезков (0, 1 ), (1 ,  2 )... (  k , ) , что
при изменении инфляции в рамках одного отрезка (  p 1 ,  p ) оптимальной остается одна и
та же производственная программа Q p  Qˆ .
I.4. Интервальное задание маржинального дохода.
Рассмотрим задачу (1)-(4),(9) в условиях, когда маржинальный доход по каждому виду
выпускаемой продукции может принимать любое значение из заданного интервала

1
i


,  i2 , т.е.  i   i1 ,  i2

. В этом случае возникает проблема какие решения из
множества допустимых
производственных программ

Q̂  Q1 ,..., Q L

i
оптимальными и на каком множестве возможных значений
могут
быть
они остаются
оптимальными. Иными словами можно ли разбить многомерный параллелепипед
n

значений маржинальной доходности выпускаемой продукции P=   i1 ,  i2

на области
i 1
O1 ,..., OV так чтобы выполнялись следующие два условия:
V
1.
O
P
j
j 1
2. Для каждой O j существует некоторая производственная программа Q j , которая
остается оптимальной для всех значений   Q j (  (1 ,  2 ,...,  M )
Решение этой задачи сводится к организации следующей процедуры.
1. Формирование множества потенциально оптимальных производственных программ.

Для этого строится множество интервалов F1 j , F2j

j=1,2,…,L, где
целевой функции (1) на производственной программе Q j
F1 j - значение
при условии, что
маржинальный доход  i   i1 (i = 1,2,…, M) . F2 j - значение целевой функции (1) на
производственной программе Q j при условии, что маржинальный доход  i   i2 .
2. Формирование множества потенциально оптимальных производственных программ
ˆ.
QПО  Q
Для этого необходимо осуществить следующие шаги:
2.1. Определить
max F2
j
= F2l1 (1  l1  L)
_____
j  1, L
Включить в QПО производственную программу Q l1 .
2.2. Определить
max F1
j
= F1l2 (1  l 2  L)
_____
j  1, L
Включить в QПО производственную программу Q l2 .
2.3. Включить в QПО все производственные программы Q j  Qˆ , дл которых F2 j > F1l2
3. После
того,
как
сформировано
множество
потенциально
оптимальных
производственных программ QПО , определим для каких значений  j  F (j=1,2,…,M)
производственная программа Q i является оптимальной. Легко видеть, что область
изменения маржинального дохода  j , на которой оптимально будет производственная
программа Q i определяется следующей системой неравенств:
 1j   j   j2
M
M

i
l
  j Q j    j Q j
j 1
 j 1
j=1,2,…,M
(34)
l  i Q l Q ПО
Таким образом, система неравенств (34) задает многоугольник, при применении на
j
котором значений маржинального дохода
(j=1,2,…,M) оптимальной остается
производственная программа Q i .
II. Нелинейные
модели
управления
производственными
инвестициями.
В данном разделе рассмотрен подход, позволяющий разработать оптимальную
стратегию использования заемных средств на уровне предприятия. Кредит может быть
использован как для закупки нового оборудования в случае расширения производства или
модернизации основных фондов, так и для текущего финансирования деятельности в виде
вложений
в
оборотные
средства.
Этот
подход
заключается
в
построении
оптимизационных задач с учетом специфики деятельности предприятия, предпосылках об
исходных данных, а также требуемой точности полученных решений. Они являются
обобщением линейных и позволяют учесть расширенный набор ограничений, а также
определенные предпосылки касательно исходных данных. В этих моделях заложена
предпосылка о зависимости цены и переменных издержек от объема выпуска продукции,
а также зависимости цены ресурса от объема его закупки – что является отражением
действительности, так как при больших объемах возможно снижение закупочных цен со
стороны поставщиков. Динамическая детерминированная модель учитывает фактор
времени, речь идет об интенсивности выпуска продукции в определенный момент
времени, что может быть особо использовано при факте сезонных колебаний спроса на
продукцию. Также в модель заложено влияние внешних факторов на маржинальный
доход предприятия и интенсивность спроса.
управления кредитом используется
Стохастическая модель оптимального
в предположении, что маржинальный доход –
случайная функция, поэтому для построения данной модели необходима накопленная
статистика. Ввиду случайной природы маржинального дохода возникает ограничение на
риск - его дисперсию. Как и в динамической задаче, здесь учитывается виляние внешних
условий.
II.1. Динамическая детерминированная модель управления кредитными ресурсами.
Данный вид модели содержит фактор времени, для учета изменения основных
параметров в различные периоды. В этом случае выражение целевой функции
преобразуется к следующему виду:  i (t , x, y (t )) - маржинальный доход от единицы
реализуемой продукции i в момент t, при выбранной производственной программе
X   X 1 ,..., X n  и внешних условиях в момент t , заданных вектором y(t). К внешним
условиям можно отнести такие факторы как уровень инфляции, уровень безработицы,
цены на энергоносители. С помощью данной задачи определяются xi (t ) - интенсивность
выпуска (реализации) продукции вида i в момент времени t. Тогда объем выпуска
T
(реализации) продукции i на отрезке времени (0, Т) соответственно равен: xi   xi (t )dt .
0
Здесь использовались следующие обозначения: Lj – объем имеющихся материальносырьевых ресурсов вида j, zj – объем дополнительных материально-сырьевых ресурсов
вида j, 
j
- стоимостная оценка материально-сырьевых ресурсов,  j ( z , x, y (t )) -
стоимость материально-сырьевых ресурсов, зависящая от объема выпуска, объема закупок
и момента t  , в который эти закупки производились, τj – эффективное время
использования единицы оборудования вида j на период планирования, kj – число единиц
оборудования вида j, Ipt i (t , x, y(t ), f i (t , x, y(t )) - интенсивность спроса, на продукцию i, где
f i (t , x, y(t ) - функция, выражающая интенсивность продаж.
Учитывая описанные выше параметры, модель можно формализовать следующим
образом.
Целевая функция максимизации маржинального дохода:
n T
 
i 1 0
i
(t , x, y(t )) xi (t )dt  max
(35.)
T
xi   xi (t )dt
0
ограничение на объем материально-сырьевых ресурсов:
(35.1)
n
l
i 1
ij
 xi  L j  z j j  1, m ;
(36)
условие на равномерную загрузку мощностей:
t
n
T
i 1
il
( x)   xi (t ' )dt ' 
0
t
 k l l , t  (0, T )
T
(37)
ограничение на интенсивность использования производственных ресурсов:
n
T
j 1
il
( x) xi   l k l , l  1, k , t  (0, T )
ограничение, учитывающее спрос на продукцию:
xi (t )  Ipt i (t , x, y(t ), f i (t , x, y(t )) , t  (0, T )
(38)
ограничение на закупки материально – сырьевых ресурсов в пределах объема кредита:
M
z 
j 1
j
j
( z, x, y(t ))  V , t  (0, T ) ,
(39)
где t  - момент закупки.
ограничение на целочисленность переменных:
xi  I ,
(40)
Решение задачи (35) – (40) можно осуществить путем разбиения периода (0,T) на
интервалы (0, t 1 ),..., (t N 1 , T ) и на каждом интервале решать нелинейную статическую
задачу управления кредитными ресурсами. Далее решение динамической задачи
получается путем «слияния» решений на всех временных интервалах вида (t j , t j 1 ) .
Обоснованность данного подхода базируется на теореме о том, что любую гладкую
непрерывно дифференцируемую функцию можно со сколь угодно большой точностью
аппроксимировать кусочно-постоянными функциями, при выполнении условия:
T
T
0
0
|  i (t )dt   к.п. (t ) |  ,
где  к.п. (t ) - кусочно-постоянная функция.
Рассмотрим механизм разбиения подробней.
(41)
Детализируем детерминированную динамическую модель (35)-(40), сформулированную в
данном разделе для любого интервала. Будем считать, что на этих интервалах
маржинальный доход  iq (t , x, y (t )), q=0,1,…,N-1 – не зависит от времени, а интенсивность


производства xiq (t ) - постоянна для любого периода времени t из интервала t q , t q 1 .
Интенсивность спроса и отпускные цены на продукцию в этом промежутке времени также
считаются
постоянными,
Ipt iq (t , x, y (t ), ai (t , x, y (t ))  const .
т.е.
Тогда
указанную
динамическую модель (35)-(40) можно представить в виде статической оптимизационной
задачи. Производственная программа выпуска продукции в определенный период
времени
задается
x q  ( x1q ,..., x nq ), q  1,2..., N .
вектором:
Задача
формализуется
следующим образом:
Максимизация целевой функции:
n

i 1
q
i
(42)
( xiq y (t ))  xiq  max
ограничение на объем материально-сырьевых ресурсов, с учетом запасов прошлого
периода:
n
x
i 1
q
i
(43)
l ij  Lqj1  Z qj
ограничение на интенсивность использования производственных ресурсов:
n
T
i 1
il
(44)
( x q )  xiq    lq  k l
ограничение, учитывающее спрос на продукцию:
n
x
i 1
q
i
(45)
  pt iq ( x q , y k (t ), ai ( x q , y (t ))
ограничение на закупки материально – сырьевых ресурсов в пределах объема кредита:
M
z
j 1
q
j
 jq 
(46)
V
N
Сделаем несколько замечаний к данной модели:
1. Решая задачу (42)-(46), для любого q = 0, 1,…,N ,
Ipt iq (t ) 
Pt iq
.
 q
примем xiq (t ) 
xiq
, а
 q
2. Если на интервале (t q , t q 1 ) кредит использован в размере меньшем, чем
V
, то
N
остаток переносится на следующий период.
M
3. xi (t )  j lij - интенсивность денежного потока, при интенсивности выпуска x i (t ) ,
j 1
тогда если кредит выдается не единожды, а траншами, суммарный объем которых
составляет величину V, ограничение (46) перепишется в виде:
N
M
i 1
j 1
 xi (t )  j lij  vi (t ) , для любого t  (0, T )
(47)
T
 v (t )dt  V .
i
0
II.1. Стохастическая модель оптимального управления кредитом.
В отличие от предыдущих моделей, где предполагалось, что цена реализации
продукции, а также спрос на нее являются заданными величинами, в этой модели эти
величины являются случайными. В связи с этим в данной модели дополнительным
ограничением – является ограничение на риск закупок. Для использования данной модели
необходима значительная накопленная статистика, в следствие чего процесс ее
построения является достаточно трудоемким. Поэтому в случае если случайность в
значениях
основных
параметрах
несущественна,
целесообразнее
использование
динамической детерминированной модели. Введем некоторые пояснения, после которых,
можно сформулировать общий вид модели.
 i (t , x, y(t )) - случайная функция маржинального дохода при продаже одной
единицы продукции вида i, i=1,2…,n. Как и в предыдущей модели y(t)- вектор внешних
условий. Тогда целевая функция модели имеет вид:
n T
 
i 1 0
где
 i (t , x, y(t ))
i
(t , x, y(t ))  xi (t )dt  max ,
(48)
- математическое ожидание случайной функции  i (t , x, y(t )) ,
рассматриваемой как случайный процесс, а  i (t , x, y(t ))  xi (t ) - интенсивность денежного
потока в момент t. Как и в предыдущих моделях объем выпуска (реализации) продукции i
на отрезке времени (0, Т) соответственно равен:
T
xi   xi (t )dt ,
(48.1)
0
ограничение на объем материально-сырьевых ресурсов:
n
l
i 1
ij
xi  L j  z j , j  1, m ,
(49)
ограничение на производственные мощности:
n
T
i 1
il
( X )xi   l k l , l  1, k ,
(50)
ограничение, учитывающее спрос на продукцию:
xi (t )  Ipt i (t , f i (t , x, y(t )) , t  (0, T )
(51)
ограничение на приобретение дополнительных материально-сырьевых ресурсов в
пределах объема кредита:
M
z 
j 1
Это
ограничение
n
Zt i   lij  j ( z, x, y (t ))
можно
j
j
(52)
( z, x, y(t ))  V
представить
в
несколько
ином
виде.
Пусть
- переменные затраты на производство единицы продукции вида
i 1
n
i. Тогда Zt   Zt i  xi  V - ограничение на покупку ресурсов в пределах кредита, а
i 1
i 
xi Zt i
- доля кредита, потраченная на приобретение материально-сырьевых ресурсов
V
для производства продукции вида i за весь период.
Теперь можно ввести условие, ограничивающее риск, являющийся дисперсией
маржинального дохода либо
а) в пределах допустимого значения, либо б) согласно
минмаксному критерию:
n
n
 i2 (t, x, y(t ))i2  2 cov ij (t, x, y(t ))i  j  Dгр ,
i 1
i 1 i  j
(53.а)
где cov ij -это ковариация маржинальной доходности i-го и j-го продукта;
дисперсия случайной величины  i - маржинального дохода i-го актива,
 i2 - это
n

i 1
i
1,
 i  0 , t  (0, T )
n
n
min max  i2 (t , x, y(t )) i2  2 cov ij (t , x, y(t )) i  j  Dгр ,
x
t
i 1
i 1 i  j
(53.б)
однако последнее условие может быть неразрешимо, если в качестве Dгр выбрано очень
малое значение. В этом случае необходимо последовательное увеличение значения этой
величины.
Если в модели (48)-(53) случайными являются еще и параметры  j , Til и pti , то
дополнительно вводятся следующие ограничения:
1
D (  j )  Dгр
(54)
D(Til ( x))  Dгр2
(55)
D( Ipt i (t , f i (t , x, y(t )))  Dгр3 (t ) , t  (0, T )
(56)
где D( Ipti (t , f i (t , x, y(t ))) - дисперсия случайной функции Ipti (t , f i (t , x, y(t )) .
Данная модель - многокритериальная задача максимизации функционала (48) при
ограничениях на количественные оценки риска доходности производственной программы,
риска недостаточности производственной мощности при выпуске продукции, по
выбранной производственной программе, риска недопроизводства, риска недостаточности
кредитных ресурсов для обеспечения производства необходимым материальными
ресурсами.
Таким образом, получена стохастическая нелинейная задача оптимального
управления кредитными ресурсами при выпуске и реализации предприятием продукции.
Задача нацелена на максимизацию ожидаемого маржинального дохода в условиях
ограничений на объемы производства, производственные мощности, спрос на продукцию,
кредитные ресурсы и потенциальные риски превышения случайными переменными
модели их допустимых значений.
Решение задачи (45)-(56) – это выбор такой производственной программы
T
X   X 1 ,..., X n  , интенсивностей реализации xi (t ) : xi   xi (t )dt и вектора закупок Z,
0
которые максимизировали бы функционал (48) при ограничениях (49) –(56).
III. Пример расчета оптимального использования производственных
ресурсов в динамической модели управления производственными
процессами.
В
данном
разделе
приведем
иллюстративный
пример
применения
детерминированной модели управления производственными ресурсами Красноярского
Металлургического Завода «Старт».
На рис.2 представлена схема производства и виды выпускаемой продукции завода.
Перед менеджментом стоит задача оптимизации производства последних четырех видов
продукции: арматурной, оцинкованной, оттоженной и сварочной проволоки, поскольку
они имеют достаточно схожие технологические процессы и часть операций проводится на
одинаковом оборудовании.
Рис.2 Схема производства и виды продукции КМЗ «Старт».
Приведем основные параметры производства и реализации продукции, необходимые для
применения модели.
Таблица 1
Маржинальный доход по видам продукции т.руб/тн
Маржинальный
доход от
реализации
единицы
Наименование продукции
продукции
1 Оцинкованная проволока
8,3
2 Оттоженная проволока
6,8
3 Сварочная проволока
5,6
4 Арматурная проволока
6,5
Технологический процесс изготовления проволоки включает ряд классических операций:
Размотка
Чистка
Отжиг
Охлаждение
Намотка
Готовая
Продукция
Рис.3 Укрупненная схема производства проволоки.
Для
каждого
вида
проволоки
существуют
некоторые
особенности
технологического процесса. Так, при изготовлении оцинкованной проволоки добавляется
стадия цинкования в растворе цинка, а для сварочной проволоки предусмотрена операция
нанесения особых смазок, обеспечивающих антикоррозийную защиту, обе эти стадии
предшествуют стадии охлаждения проволоки.
Детерминированная модель подразумевает проведение ряда итеративных процедур
по нахождению оптимальных производительностей, начиная с последней операции.
Поэтому для первой итерации сосредоточим внимание на операции намотки проволоки.
В распоряжении завода находятся 24 намоточных станка, производительность
которых представлена в таблице 2.
Таблица 2
Производительность намоточных станков, т/день
Производительность
Наименование продукции
1 станка
1 Оцинкованная проволока
12
2 Оттоженная проволока
14
3 Сварочная проволока
19
4 Арматурная проволока
Тогда
15,5
оптимизационная задача загрузки намоточных станков предприятия будет
сформулирована следующим образом:
8.3  12  х1  6.8  14  х2  5.6  19 х 3 6.5  15.5  х4  max
х1 + х2 + х3 + х4  24
xi  Z  , i=1,..,4
Решить эту оптимизационную задачу можно симплекс-методом с помощью Excel.
При заданных ограничениях значение маржинального дохода будет равно 2553,6 тыс.
рублей. При этом решение
задачи следующее: x1  0, x2  0, x3  24, x4  0 . Таким
образом, все 24 станка используются для намотки сварочной проволоки. Очевидно, что
общий объем сварочной проволоки готовой к продаже равен 456 тонн (рассчитан как
произведение количества станков на их производительность).
Незавершенное
производство
на
конечной
стадии
производства
(намотке
проволоки) задано следующими значениями:
Таблица 3
Объем незавершенного производства на конечной стадии ViN (0) , тонн
i
Объем незавершенного
Наименование продукции
1 Оцинкованная проволока
2 Оттоженная проволока
производства
511,8
213
3 Сварочная проволока
820,8
4 Арматурная проволока
709,4
Тогда получаем, что через время  1  820,8 / 456  1,8 дня полностью закончится
незавершенное производство на стадии намотки сварочной проволоки.
Далее переходим ко второму этапу итерационной процедуры. Для того чтобы
продолжить выпуск сварочной проволоки необходимо выделить ресурсы на стадию
охлаждения проволоки.
Допустим, данная процедура длится в течение 0,5
дня.
Охлаждение проводится в специальных ваннах, вместимость которых ограничена (200
тонн/день), поэтому учтем, что производительность сварочной проволоки не должна
превышать 400 тонн/день.
С учетом вышеприведенных данных, оптимальная целевая функция на этом этапе
будет выглядеть следующим образом:
8.3  12  х1  6.8  14  х2  5.6  0,5  19 х 3 6.5  15.5  х4  max
х1 + х2 + х3 + х4  24
0,5 19 х3  400
xi  Z  , i=1,..,4
Получим оптимальное решение задачи x1  0, x2  0, x3  0, x4  24 , т.е. на данном
этапе все станки используются для намотки арматурной проволоки. Маржинальный доход
равен 2418 тыс. рублей. Данный этап продлится  2  709,4 /( 24 15,5)  1,907 дня. Т.е.
через это время закончится все незавершенное производство арматурной проволоки на
этапе намотки.
Мы получили оптимальное распределение производственных программ для первых
3,707 дня. Аналогичным образом можно продолжить расчеты до момента времени, когда
будет обработан весь объем незавершенного производства на оставшихся операциях
производственного процесса.
Литература
1. Шапиро Дж. Моделирование цепей поставок. - С-П: «Питер» 2007.
2. Ван Хорн Дж. Основы управления финансами. - М.: Финансы и статистика, 2004.
3. Мищенко А.В. Методы управления ограниченными ресурсами в логистических
системах. - М.: Инфра-М, 2011
List of references
1.
Shapiro J. Modeling the Supply Chain. – S-P.: “Piter” 2007.
2. Van Horne J. Fundamentals of financial management. – M: Finance and Statistic, 2004.
3. Mishchenko A.V. Methods of control limited resources in logistics. М.: Infra-M, 2011