Методы решения комбинаторных задач

Методы решения комбинаторных задач
Перебор возможных вариантов
Простые задачи решают обыкновенным полным перебором возможных вариантов
без составления различных таблиц и схем.
Задача 1.
Какие двузначные числа можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
Ответ: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45,
51, 52, 53, 54, 55.
Задача 2.
В финальном забеге на 100 м участвуют Иванов, Громов и Орлов. Назовите
возможные варианты распределения призовых мест.
Ответ:
Вариант1:
Вариант2:
Вариант3:
Вариант4:
Вариант5:
Вариант6:
1)
1)
1)
1)
1)
1)
Иванов, 2) Громов, 3) Орлов.
Иванов, 2) Орлов, 3) Громов.
Орлов, 2) Иванов, 3) Громов.
Орлов, 2) Громов, 3) Иванов.
Громов, 2) Орлов, 3) Иванов.
Громов, 2) Иванов, 3) Орлов.
Задача 3.
В кружок бального танца записались Петя, Коля, Витя, Олег, Таня, Оля, Наташа,
Света. Какие танцевальные пары девочки и мальчика могут образоваться?
Ответ:
1) Таня - Петя, 2) Таня - Коля, 3) Таня - Витя, 4) Таня - Олег, 5) Оля - Петя, 6) Оля
- Коля, 7) Оля - Витя, 8) Оля - Олег, 9) Наташа - Петя, 10) Наташа - Коля, 11)
Наташа - Витя, 12) Наташа - Олег, 13) Света - Петя, 14) Света - Коля, 15) Света Витя, 16) Света - Олег.
Дерево возможных вариантов
Самые разные комбинаторные задачи решаются с помощью составления
специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда и название
метода - дерево возможных вариантов.
Задача 4.
Какие трехзначные числа можно составить из цифр 0, 2, 4?
Решение. Построим дерево возможных вариантов, учитывая, что 0 не может быть
первой цифрой в числе.
Ответ: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424,
440, 442, 444.
Задача 5.
Школьные туристы решили совершить путешествие к горному озеру. Первый этап
пути можно преодолеть на поезде или автобусе. Второй этап - на байдарках,
велосипедах или пешком. И третий этап пути - пешком или с помощью канатной
дороги. Какие возможные варианты путешествия есть у школьных туристов?
Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив путешествие на
поезде П, на автобусе - А, на байдарках - Б, велосипедах - В, пешком - Х, на
канатной дороге - К.
Ответ: На рисунке перечислены все 12 возможных вариантов путешествия
школьных туристов.
Задача 6.
Запишите все возможные варианты расписания пяти уроков на день из предметов:
математика, русский язык, история, английский язык, физкультура, причем
математика должна быть вторым уроком.
Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив М - математика, Р русский язык, И - история, А - английский язык, Ф - физкультура.
Ответ: Всего 24 возможных варианта:
Р
М
И
А
Ф
Р
М
И
Ф
А
Р
М
А
И
Ф
Р
М
А
Ф
И
Р
М
Ф
И
А
Р
М
Ф
А
И
И
М
Р
А
Ф
И
М
Р
Ф
А
И
М
А
Р
Ф
И
М
А
Ф
Р
И
М
Ф
Р
А
И
М
Ф
А
Р
А
М
Р
И
Ф
А
М
Р
Ф
И
А
М
И
Р
Ф
А
М
И
Ф
Р
А
М
Ф
Р
И
А
М
Ф
И
Р
Ф
М
Р
И
А
Ф
М
Р
А
И
Ф
М
И
Р
А
Ф
М
И
А
Р
Ф
М
А
Р
И
Ф
М
А
И
Р
Задача 7.
Саша ходит в школу в брюках или джинсах, к ним одевает рубашки серого,
голубого, зеленого цвета или в клетку, а в качестве сменной обуви берет туфли
или кроссовки.
а) Сколько дней Саша сможет выглядеть по-новому?
б) Сколько дней при этом он будет ходить в кроссовках?
в) Сколько дней он будет ходить в рубашке в клетку и джинсах?
Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив Б - брюки, Д джинсы, С - серая рубашка, Г - голубая рубашка, З - зеленая рубашка, Р - рубашка
в клетку, Т - туфли, К - кроссовки.
Ответ: а) 16 дней; б) 8 дней; в) 2 дня.
Составление таблиц
Решить комбинаторные задачи можно с помощью таблиц. Они, как и дерево
возможных вариантов, наглядно представляют решение таких задач.
Задача 8.
Сколько нечетных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9?
Решение. Составим таблицу: слева первый столбец - первые цифры искомых
чисел, вверху первая строка - вторые цифры.
Ответ: 28.
Задача 9.
Маша, Оля, Вера, Ира, Андрей, Миша и Игорь готовились стать ведущими на
Новогоднем празднике. Назовите возможные варианты, если ведущими могут быть
только одна девочка и один мальчик.
Решение. Составим таблицу: слева первый столбец - имена девочек, вверху
первая строка - имена мальчиков.
Ответ: Все возможные варианты перечисляются в строках и столбцах таблицы.
Правило умножения
Этот метод решения комбинаторных задач применяется, когда не требуется
перечислять все возможные варианты, а нужно ответить на вопрос - сколько их
существует.
Задача 10.
В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для
трусов и футболок использовали белый, красный, синий и зеленый цвета, причем
были представлены все возможные варианты. Сколько команд участвовали в
турнире?
Решение.
Трусы могут быть белого, красного, синего или зеленого цвета, т.е. существует 4
варианта. Каждый из этих вариантов имеет 4 варианта цвета майки.
4 х 4 = 16.
Ответ: 16 команд.
Задача 11.
6 учеников сдают зачет по математатике. Сколькими способами их можно
расположить в списке?
Решение.
Первым в списке может оказаться любой из 6 учеников,
вторым в списке может быть любой из оставшихся 5 учеников,
третьим - любой из оставшихся 4 учеников,
четвертым - любой из оставшихся 3 учеников,
пятым - любой из оставшихся 2 учеников,
шестым - последний 1 ученик.
6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 720.
Ответ: 720 способами.
Задача 12.
Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 4, 6, 7?
Решение.
Первой в двузначном числе может быть 5 цифр ( цифра 0 не может быть первой в
числе), второй в двузначном числе может быть 4 цифры (0, 2, 4, 6, т.к. число
должно быть четным).
5 х 4 = 20.
Ответ: 20 чисел.
Мысль выпуска
Нет более могущественной силы, чем последовательность.
Задачи по теории вероятностей с решениями
Задания В10 ЕГЭ-2013
Любая задача по теории вероятностей в школьном курсе математики по большому
счету сводится к стандартной формуле:
где Р - искомая вероятность, n - общее число возможных событий, m - число
интересующих нас событий.
Главное - правильно определить ее компоненты. А вот здесь уже чаще всего нужны
дополнительные знания и умения применять различные методы решения
верятностных задач.
Простые задачи
Первый блок задач - задачи, которые решаются по формуле определения
вероятности буквально в одно действие.
1. В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 14
подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для
контроля насос не подтекает.
Решение.
Число вариантов выбора насосов: n = 2000. Число вариантов выбора исправных
насосов: m = 2000 - 14 = 1986.
Искомая вероятность:
Ответ: 0,993.
2. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 120 качественных сумок
приходится девять сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность
того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до
сотых.
3. В коробке лежат 5 красных, 7 зеленых и 2 синих кубика. Случайным
образом из коробки берут кубик. Какова вероятность того, что из коробки
взяли зеленый кубик?
3. В коробке лежат 5 красных, 7 зеленых и 2 синих кубика. Случайным
образом из коробки берут кубик. Какова вероятность того, что из коробки
взяли зеленый кубик?
4. В кармане у Сережи находится 7 монет достоинством 5 рублей, 10 монет
достоинством 1 рубль и 8 монет достоинством 2 рубля. Мальчик случайным
образом вытаскивает одну монету из кармана. Какова вероятность того,
что будет вытащена не однорублевая монета?
5. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 17 из России, 22
из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки,
определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка,
выступающая первой, окажется из Китая.
Задачи с монетами, игральными кубиками, карточками
При кажущейся простоте этих задач в них есть "подводные камни". В условии
задачи часто не заданы явно ни число элементарных событий, ни число
благоприятных событий (событий, которые нас устраивают). В этом блоке
рассмотрим задачи, в которых используется метод перебора возможных вариантов.
6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды.
Найдите вероятность того, что орлов и решек выпадет одинаковое
количество.
Решение.
Выписываем все возможные варианты результатов бросаний:
ОО, ОР, РО, РР.
Число возможных вариантов n = 4.
По условию задачи нас устраивают варианты "ОР" и "РО". Следовательно, m = 2.
Искомая вероятность:
Ответ: 0,5.
7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды.
Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
8. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до
сотых.
9. В коробке лежат неразличимые на ощупь карточки с буквами О, К, О.
Какова вероятность того, что наудачу извлекая карточки из коробки и
выкладывая их на столе, получится слово OКO?
Как сосчитать общее число возможных вариантов событий в более
сложных случаях.
В решениях предыдущих задач просматривается проблема: при увеличении числа
бросаний монеты или игрального кубика, при увеличении числа карточек резко
возрастает общее число возможных вариантов. Поэтому нужно подключать знания
из комбинаторики.
Общее число возможных вариантов событий подсчитать несложно. Бросания
монеты, игрального кубика - события независимые и по правилу умножения для
двух бросаний монеты n = 2 2, для кубика n = 6 6; для q бросаний монеты
,
для кубика
. А вот с подсчетом благоприятных исходов сложнее. В каждом
отдельном случае, исходя из условий задачи, подсчет ведется самыми разными
способами.
В некоторых задачах при подсчете общего числа возможных вариантов и числа
благоприятных исходов будет использовано понятие числа сочетаний неупорядоченных наборов (подмножеств), состоящих из k элементов, взятых из
данных n элементов.
Число сочетаний из n элементов по k определяется по формуле:
10. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды.
Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
Решение.
Число возможных вариантов
По условию задачи благоприятный исход (орел не выпадет ни разу) возможен
только при комбинации "РРРР", т.е. один раз. Следовательно, m = 1.
Искомая вероятность:
Ответ: 0,0625.
11. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет 15 очков. Результат округлите до
сотых.
12. Одновременно бросают четыре игральных кубика. Какова вероятность
того, что на каждом из этих кубиков выпадет нечетное число очков?
Результат округлите до сотых.
13. В коробке лежат неразличимые на ощупь карточки с буквами С, Е, Р, В,
Е, Р. Какова вероятность того, что наудачу извлекая карточки из коробки и
выкладывая их на столе, получится слово СЕРВЕР?
14. В ящике 6 груш и 4 яблока. Наудачу выбираются 3 фрукта. Какова
вероятность, что все три фрукта – груши?
15. В корзине находятся 6 шаров, из них 4 белых и 2 черных. Из корзины
извлекается 3 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно
2 белых шара.
Сложение и умножение вероятностей
В решениях задач этого блока используются следующие утверждения из теории
вероятности.
Вероятность Р(С) наступления хотя бы одного из двух несовместных событий А и В
равна сумме их вероятностей.
Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
Вероятность противоположного события
: Р( ) = 1 - Р(А).
Вероятность Р(С) совместного наступления двух независимых событий А и В равна
призведению вероятностей событий А и В.
Р(С) = Р(А) Р(В)
16. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка
экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему
«Внешние углы», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему
«Вписанная окружность», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно
относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на
экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение.
Событие, когда на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух
тем, наступает тогда, когда наступает одно из событий: А) школьнику достается
вопрос на тему «Внешние углы», В) школьнику достается вопрос на тему
«Вписанная окружность». Очевидно, что эти события являются несовместными.
Значит, искомая вероятность равна:
Р = 0,1 + 0,2 = 0,3.
Ответ: 0,3.
17. Завод изготавливает 95% стандартных изделий, причем из них 86%
первого сорта. Найдите вероятность того, что изделие, изготовленное на
этом заводе окажется первого сорта
18. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть
неисправен с вероятностью 0,12 независимо от другого автомата. Найдите
вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
19. В тоговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность
того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,25. Вероятность
того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите
вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
20. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от
друга. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания
рабочего для первого станка 0,9, для второго - 0,8, для третьего 0,7.
Найдите вероятность того, что в течение часа по крайней мере один станок
из станков не потребует внимания рабочего.
Автор Марона Арсанис
В решениях задач этого блока используются следующие утверждения из теории
вероятности.
Вероятность Р(С) наступления хотя бы одного из двух несовместных событий А и В
равна сумме их вероятностей.
Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
Вероятность противоположного события
: Р( ) = 1 - Р(А).
Вероятность Р(С) совместного наступления двух независимых событий А и В равна
призведению вероятностей событий А и В.
Р(С) = Р(А) Р(В)
) В лотерее разыгрывается 100 билетов, среди которых 10 – выигрышные. Студент
купил 2 билета. Какова вероятность, что он выиграл хотя бы на один билет?
3) В студенческой лотерее на 100 билетов приходится 5 денежных и 5 вещевых
выигрышей. Студент приобрёл 2 билета. Какова вероятность, что он выиграл и вещь и
деньги?
Решение 2) Фраза "хотя бы на один" показывает, что искомую вероятность удобно
вычислять, используя противоположные события. Так в начале не выиграть на один
билет студент может с вероятностью
, а затем он может не выиграть на другой
билет с вероятностью
. Тогда искомая вероятность есть:
Решение 3) На первый билет получить выигрыш какого-то типа можно с вероятностью
. А на второй билет после этого получить выигрыш другого типа можно с
вероятностью
. В итоге искомая вероятность есть:
Иваныч писал(а):
1) Четырёхтомное сочинение расположено на полке в произвольном порядке. Какова
вероятность, что номера томов идут подряд?
В продолжение. (i) На эти книжки "вслепую" надели суперобложки. Какова вероятность того, что
хотя бы одна книжка попала в свою суперобложку?
Ответ: .
Правильно?
Соломинку разломили на три части. С какой вероятностью из этих обломков можно
"собрать" треугольник?
Ответ:
Хорошая задача на использование геометрического определения вероятности.
Решение. Пусть соломинка имеет длину , тогда её части имеют длины:
,
,
. Ясно, что с геометрической точки зрения всевозможные значения
определяют ГМТ в виде треугольника с вершинами
Благоприятные случаи определяются системой неравенств для сторон
треугольника, который надо собрать:
и
с площадью .
,
,
Последняя система неравенств описывает треугольник благоприятных ГМТ с вершинами
, который имеет площадь . Отношение площади треугольника благоприятных ГМТ к
площади треугольника всех возможных ГМТ дает ответ:
1) Коэффициенты и квадратного уравнения выбираются наугад из сегмента . Какова
вероятность, что корни этого уравнения будут действительными?
2) В урне находится 3 белых и 4 чёрных шара. Из урны наугад выбирается 3 шара.
Какова вероятность, что 2 из них будут чёрными, а 1 – белым?
3) В урне имеется 3 белых и 2 чёрных шара. Все шары наугад по одному вынимаются.
Какова вероятность, что последним будет чёрный шар?
1) Условие уточните, есть два вида квадратного уравнения и о каком сегменте идет
речь?
2) Решение через условные вероятности и правило сумм:
Первый белый:
Второй белый:
Третий белый:
Cумма дает ответ:
Комбинаторное решение:
3) Эта задача тянет как раз на В10, если поменять последнего на первого: ,
хотя сначала тоже считал через условные вероятности и правило сумм
1) В урну, содержащую 2 шара, опущен 1 белый шар; после чего из урны наудачу
вынут 1 шар. Какова вероятность, что это будет белый шар, если равновозможен любой
первоначальный состав урны?
2) В урне находится 7 шаров, среди которых 3 белых. Наугад вынимается 2 шара.
Какова вероятность, что оба они белые?
3) В барабане револьвера 7 гнёзд и вставлено 5 патронов. Дважды барабан наугад
прокручивается, и каждый раз нажимается курок. Какова вероятность, что выстрела не
будет?
1)
2)
(это уже не первая подобная задача в Вашей серии)
3) Я переформулировал задачу так: Какова вероятность, что при игре в русскую
рулетку стрелок останется жив после двух спусков курка?
ответа, вероятность невелика остаться в живых
, как видно из
Все же очевидно, можно например так: Введём две гипотезы:
изначально была во второй колоде,
- вытащенная карта
;
- вытащенная карта была переложена из первой колоды,
Случайное событие
.
- вытащенная карта - дама.
По формуле полной вероятности находим
.
Можно и по другому. Просто напросто смешай две колоды самым произвольным
образом и тащи карту. Какова будет вероятность вытащить даму?
1 Противовирусные средства:
Гриппферон (производитель «Фирн-М», Россия) – капли 10 тыс. МЕ/мл 10 мл – 238,90 руб.
Интерферон (производитель ОАО им. Мечникова «Биомед», Красногорск, Россия) – 55,50 руб.
Активный компонент: ИНТЕРФЕРОН АЛЬФА (INTERFERON ALFA)
2 Лечение простуды и гриппа:
Тамифлю – капс. 75 мг, 10 шт. (Roche, Франция) – 1587,90 руб.
Активный компонент: ОСЕЛТАМИВИР (OSELTAMIVIR)
Ингавирин – капс. 90 мг, 7 шт. (ОАО «Валента Фармацевтика», Россия) – 470,20 руб.
Состоит из имидазолилэтанамид пентандиовой кислоты
3 Капли от насморка:
Ксимелин – капли назальные 0,05%, фл. 10 мл (Nycomed, Австрия) – 99,00 руб.
Галазолин – капли назальные 0,05%, фл. 10 мл (Polfa/Warsaw Pharmaceutical Works, Польша) –
46,00 руб.
Активный компонент: КСИЛОМЕТАЗОЛИН (КCILOMETAZOLIN)
4 Препараты от молочницы:
Дифлюкан 50 мг, 7 капс. (Pfizer, Франция) – 699,00 руб.
Флюкостат 50 мг, 7 капс. (ОАО «Фармстандарт-Лексредства», Курск, Россия) – 260,10 руб.
Активный компонент: ФЛУКОНАЗОЛ (FLUCONAZOLE)
5 Противогрибковые средства:
Ламизил – гель 1%, 15 г (Novartis Pharma, Швейцария) – 430,00 руб.
Фунготербин – крем 1%, 15 г («Нижфарм», Н. Новгород, Россия) – 159,00 руб.
Активный компонент: ТЕРБИНАФИН (TERBINAFINE)
Орунгал – капс. 100 мг, 14 шт. (Janssen Pharmaceutica, Бельгия) – 2473,30 руб.
Румикоз – капс. 100 мг, 15 шт. (ОАО «Валента Фармацевтика», Россия) – 647,30 руб.
Активный компонент: ИТРАКОНАЗОЛ (ITRAKONAZOLE)
6 Средства для лечения опорно-двигательного аппарата, мази:
Вольтарен-эмульгель 1%, 20 г (Novartis Consumer Health/Novartis, Швейцария) – 155,00 руб.
Диклофенак – мазь 1%, туба 30 г (ОАО «Синтез» АКО», Курган, Россия) – 22,00 руб.
Активный компонент: ДИКЛОФЕНАК (DICLOFENAC)
7 Антисептические средства:
Гексикон – р-р 0,05%, 100 мл («Нижфарм», Н. Новгород, Россия) – 130,00 руб.
Хлоргексидин – р-р 0,05%, 100 мл («Биоген» НПЦ», Пенза, Россия) – 20,00 руб.
Активный компонент: ХЛОРГЕКСИДИН (CHLORHEXIDINE)
8 Диуретики, мочегонные средства:
Арифон – табл. п/о 2,5 мг, 30 шт. (Servier, Франция) – 386,60 руб.
Индапамид – табл. п/о 2,5 мг, 30 шт. (Hemofarm koncern A.D., Югославия) – 74,90 руб.
Активный компонент: ИНДАПАМИД (INDAPAMIDE)
9 Средства для лечения заболеваний сердечно-сосудистой системы:
Норвакс – табл. 5 мг, 30 шт. (Pfizer/ Heinrich Mack, Германия) – 447,20 руб.
Амлодипин – табл. 5 мг, 30 шт. (ЗАО «Анонфарма Продакшн», Россия) – 63,30 руб.
Активный компонент: АМЛОДИПИН (AMLODIPINE)
10 Препараты для профилактики и лечения заболеваний печени:
Эссенциале Форте Н – капс. 300 мг, 30 шт. (Aventis/ Nattermann A. and Cie. GmbH, Германия) –
400,50 руб.
Эсливер – капс. 300 мг, 30 шт. («Нижфарм», Н. Новгород, Россия) – 235,00 руб.
Активный компонент: ФОСФОЛИПИДЫ
11 Средства для лечения желудочно-кишечного тракта:
Мезим форте – табл. п/о 20 шт. (Berlin-Chemie/Menarini Group, Германия) – 63,00 руб.
Панкреатин – табл. п/о 20 шт. («Биосинтез», Пенза, Россия) – 19,90 руб.
Активный компонент: ПАНКРЕАТИН (PANCREATIN)
(цены даны средние по Москве)
Совет: спрашивайте в аптеке аналог того или иного препарата.
Иммунал,
настойка эхинацеи, состав один в один.
Всегда покупаю морскую соль в аптеке (25 р) и развожу в стакане воды изотонический р-р адриатического моря готов!
(Солин, Аквалор, аквамарис и т.д.) - аналог физраствор, или р-р морской соли
Лазолван --- мукалтин!!!
Пара - Ноотропил и пирацетам, первое почти 300 р, второе - 43 р
Но-шпа - аналог-Дротаверин
Иммунал - аналог спиртовой экстракт эхинацеи
Отривин,Ксимелин, Ринонорм,Суприма-Ноз, Тизин-ксил-аналог-ксилен,риностоп(на
Ксилометазолине)
Эссенциале форте-аналог-Эссливер
Лазолван-аналог Амброксал,Амброгексал,Амбробене
Вольтарен-аналог Ортофен
Сумамед-аналог хемомицин,Азитромицин,Сумамецин и др.
Дифлюкан-аналог Флюкостат
Гептрал-Гептор
Зиртек - аналог зодак, цетрин
мазь Бепантен это тот же российский Д-пантенол
мезим, фестал - аналог панкреатин
Магне В6 - аналог магнелис (наш, российский) Цены 400 и 200 руб соответственно
Заменить дорогой Предуктал МВ-можно Римекор
лоперамид - аналог имодиума
амоксиклав - амоксициллин;
дифлазон, дифлюкан, медофлюкон, микомакс, микосист - это флуконазол;
трихопол (79 р) - метронидазол (10 руб. 90 коп.)
Амбробене 130-140р ( таблетки)- амброксол за 26 руб.
Зовиракс - аналог Ацикловир
Флуконазол - 23 рубля, Флюкостат около 180 рублей, Дифлюкан 400-500 рублей.
«ФОРМЫ И МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ ОБЩЕУЧЕБНЫХ
КОМПЕТЕНЦИЙ УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ ФИЗИКИ»