Дифракция

Дифракция света
Прямолинейность распространения света в однородной среде настолько привычна, что
кажется самоочевидной. Прямолинейность света легко объяснить, исходя из представлений о
свете, как о потоке световых корпускул. Однако с точки зрения света в волновой теории эта
прямолинейность не является столь очевидной. Опыты показали, что закон прямолинейности
распространения света не является универсальным. Он нарушается при прохождении света
сквозь достаточно узкие щели и отверстия, а также при освещении небольших непрозрачных
препятствий. При этом на экране, установленном позади отверстия или препятствия, вместо
четко обозначенных областей света и тени наблюдаются системы интерференционных максимумов и минимумов. Такие явления, возникающие при распространении света в среде с резко
выраженными неоднородностями, получили название дифракции света.
Принцип Гюйгенса
Качественное поведение света за преградой может быть объяснено с помощью принципа
Гюйгенса, который позволяет установить способ построения фронта волны в момент времени
t  t по известному положению фронта в момент времени t. Согласно принципу Гюйгенса,
каждая точка, до которой доходит волновое движение, служит центром вторичных волн; огибающая этих волн даёт положение фронта волны в следующий момент времени.
Для неоднородной среды
Для однородной среды
(скорость света в среде различна) (скорость света в среде постоянна)
t+∆t
t
t  t
t
t
t  t
В такой постановке принцип Гюйгенса говорит лишь о направлении распространения
волнового фронта. Речь идёт собственно о распространении этой поверхности, а не о распространении волн. В этих условиях принцип Гюйгенса позволяет вывести основные законы геометрической оптики – законы преломления и отражения.
Пусть 1 – скорость распространения волны в первой среде, 2 – скорость распространения волны во второй,  – угол между перпендикуляром к фронту волны и перпендикуляром
к поверхности преломляющей среды. В момент t=0 точка С фронта волны достигла преломляющей среды и совпала с точкой О. Тогда за время  точка A фронта волны достигла в точке
В границы раздела. Из точки О, как из центра, вторичная волна распространяется на расстояние
Of. По принципу Гюйгенса действительное положение волнового фронта указывается огибаю-
щей
элементарных
волн
CA, OA  CO, fB  Of .
Очевидно, что OB 
–
плоскостью
Bf 2 f1 f .
Из
рисунка
видно,
что
Of
AB

. Подставляя AB  V1 , OF  V2 ,
sin  sin 
А
А’
С
n1
α
n2
O


В
f2
f1
f
γ
получаем: 1 sin   2 sin  . Отсюда следует:
sin  1 n2


 n21 – закон преломления света.
sin   2 n1
Рассмотрим отражение света. Подобно предыдущему:
Of
AB

;
sin  sin 
1 sin   1 sin 
sin   sin 
OB 
α β
   – закон отражения света
f
f1
f2
α
O
β
B
Принцип Гюйгенса-Френеля
Принцип Гюйгенса не даёт никаких указаний об интенсивности волн, распространяющихся в различных направлениях. Этот недостаток был устранен Френелем.
Во-первых: следуя Гюйгенсу, Френель считал, что при распространении волн, создаваемых источником SО, можно заменить источник эквивалентной ему системой вторичных источников и возбуждаемых ими вторичных волн. В качестве этих источников можно выбрать малые
участки любой замкнутой поверхности S, охватывающей SО.
Во-вторых: Френель предположил, что вторичные источники когерентны между собой,
поскольку эквивалентны одному и тому же источнику SО. Поэтому в любой точке вне вспомогательной поверхности S волны, реально распространяющиеся от источника SО, должны являться результатом интерференции всех вторичных волн.
В-третьих: Френель предположил, что для поверхности S, совпадающей с волновой
поверхностью, мощности вторичного излучения равных по площади участков одинаковы. Кроме того, каждый вторичный источник излучает свет преимущественно в направлении внешней

нормали n . Наконец, Френель предполагал, что в том случае, когда часть поверхности S покрыта непрозрачными экранами, вторичные волны излучаются только открытыми участками
поверхности S.
Объяснение прямолинейности распространения света по волновой теории.
Исходя из принципа Гюйгенса-Френеля, легко получить закон прямолинейности распространения света в свободной от препятствий однородной среде.
b+2λ
b+λ
SO
5
4
3 21
b
b+λ/2
S0
M
b+3λ/2
R
b+5λ/2
На рисунке R – радиус сферической волновой поверхности (R<SОM), где M – произвольная
точка, в которой нужно найти амплитуду световых колебаний E. Искомая амплитуда зависит от
результата интерференции вторичных волн.
Общее решение сложно, однако Френель предложил оригинальный метод разделения
поверхности S на зоны, позволяющие сильно упростить решение (метод зон Френеля): разобьём изображенную на рисунке волновую поверхность на кольцевые зоны, построенные так, что
расстояние от краёв каждой зоны до точки M отличаются на

(  –длина волны).
2
Вычислим площади зон:
а
bm=b+mλ/2
rm
SО
O
a – hm
M
b
hm
S m  S m  S m1 , где Sm и Sm-1 – площади круговых сегментов.
r  a  a  hm 
2
m
2
2


2
  b  m   b  hm  ;
2

2

r  2ahm  h  bm  m    2bhm  hm2 (величины hm2 взаимно уничтожаются).
2
2
2
m
2
m
2
Из предыдущего выражения получаем:

bm  m  
2
2
2  

hm 
(ввиду малости   m    bm ).
2a  b 
2
bm
Отсюда: hm 
. Тогда площади сфер Sm и Sm-1, используя известное выражение
2a  b 
2
2
для их нахождения, определяются по формулам:
S m  2ahm 
S m1 
ab
ab
ab
ab
m ;
m  1 ;
Используя полученные выражения, находим площадь сферического сегмента как разность площадей сфер Sm и Sm-1:
S m 
ab
ab
– из этой формулы следует, что площадь сегмента не зависит от m, т.е.
площади различных сегментов одинаковы, а это означает, что мощности излучения вторичных
волн с каждого сегмента равны.
Подставив hm в выражение для rm2, получаем:
ab
m .
ab
rm 
Из полученных результатов можно сделать следующий вывод: так как bm и угол между

нормалью n к поверхности сегмента и bm ) растет, то амплитуда световых колебаний Em
уменьшается монотонно:
E1 > E2 > … > Em-1 > Em > Em+1.
Фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами отличаются на  – т.е. источники вторичных волн, находящиеся на соседних зонах, излучают волны в противофазе. Поэтому:
E  E
E 
E1  E1
   E2  3    3  E4  5   ...
2  2
2   2
2 
Em1  Em1
Вследствие монотонности: Em 
С учетом этого:
2
E
E 1 .
2
E  E1  E2  E3  E4    E 
Из полученного результата следует, что если оставить только центральную зону открытой, то
амплитуда световой волны возрастет в 2 раза, а интенсивность световой волны – в 4 раза (поскольку интенсивность ~ E2).
Если поставить на пути световой волны пластинку, которая перекрывала бы все четные
или нечетные зоны, то интенсивность света в точке М резко возрастет. Такая пластинка называется зонной пластинкой.
Дифракция Френеля и Фраунгофера
Различают два вида дифракции. Если источник света и точка наблюдения расположены
от препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие, и лучи, идущие в точку
наблюдения, образуют практически параллельные лучи, говорят о дифракции в параллельных
лучах или о дифракции Фраунгофера. В противном случае говорят о дифракции Френеля.
Дифракцию Фраунгофера можно наблюдать, поместив за источником S и перед точкой наблюдения P по линзе так, чтобы S и Р оказались в фокальной плоскости соответствующей линзы.
S
b
P
Э
К
Р
А
Н

b2
Характер дифракции зависит от значения безразмерного параметра
, где  - длина

волны:
 1
b 
 1
 
 1
2
дифракция Фраунгофера
дифракция Френеля
геометрическая оптика
Дифракция Френеля
ДИФРАКЦИЯ НА КРУГЛОМ ОТВЕРСТИИ
Поставим на пути сферической световой волны непрозрачный экран с вырезанным в нем
круглым отверстием радиуса rо . Расположим экран так, чтобы перпендикуляр, опущенный из
источника света S , попал в центр отверстия.
P
S
P
P
rm
О
J
a
J
b
m – нечетное; m – четное
Eсли rm << a, b, где а – расстояние от источника S до преграды, b – расстояние от преграды до точки Р.
Если а и b удовлетворяют условию rm 
ab
m , где m – целое число, то отверстие
ab
оставит открытыми ровно m первых зон Френеля.
Амплитуда в точке P будет равна:
 для m нечетное
E  E1  E2  E3  E4    Em 
 для m четное
Используя разложение при объяснении прямолинейности распространения света по волновой теории, получаем:
E1 Em
m  нечетное 

2
2
E
E
E  1  m1  Em m  четное 
2
2
E
Поскольку амплитуды соседних волн практически одинаковы, то
E m1
E
 Em  m . В
2
2
итоге:
E
E1 Em  для m нечетное


2
2  для m четное
Для малых m амплитуда Em мало отличается от E1. Поэтому при m – нечетных амплитуда в точке P будет приближенно равна Е1, при m – четных амплитуда в точке P будет приближенно равна нулю. Если убрать преграду, то амплитуда в точке P станет равна
E1
. Таким об2
разом отверстие, открывающее небольшое нечетное число зон, приводит к увеличению амплитуды в два раза, а интенсивности – в четыре раза.
ДИФРАКЦИЯ ОТ КРУГЛОГО ДИСКА
r0
О
S
a
PJ
b
Если диск закроет m первых зон Френеля, то амплитуда в точке P будет равна:
E
E
E

E  Em 1  Em  2  Em  3  ...  m 1   m 1  Am  2  m  3   ...
2
2 2

0
E
E  m 1 В центре максимум (светлое пятно).
2
ДИФРАКЦИЯ НА КРАЮ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОГО ЭКРАНА
Считаем для простоты волну плоской. Расположим полуплоскость так, чтобы она совпала с одной из волновых поверхностей.
Волновая поверхность
экран
X
J
Jo
1/ 4 J o
Дифракция Фраунгофера
ДИФРАКЦИЯ НА ЩЕЛИ
Пусть параллельный пучок монохроматического света падает нормально на экран, в котором прорезана узкая щель ВС: ширина щели b = ВС и длина  >> b.
Если бы свет распространялся прямолинейно, то на экране в точке FO наблюдалось бы
изображение источника. Однако вследствие дифракции на экране наблюдаются чередующиеся
минимумы и максимумы.
B
C
φ
φ
D
M
М
Л
N
N
ЭКРАН
Fφ
F0
В побочном фокусе линзы собираются все параллельные лучи, падающие на линзу под
углом  к ее оптической оси. Оптическая разность хода лучей CN и ВМ:
  b  sin  .
Щель ВС можно разбить на зоны Френеля. При этом, если число зон Френеля равно
четному числу, то наблюдения минимум (соседние зоны изучают в противофазе). Ширина каждой зоны Френеля  

2 sin 
. С учетом размеров и количества зон Френеля условия макси-
мума и минимума запишутся в виде:
b sin   2m

2
b sin   2m  1
m  1,2,3, 

2
– дифракционный min.
m  1,2,3,
– дифракционный max.
При   0 наблюдается центральный максимум. Интенсивность света распределяется
по закону:
J
  b sin   
 sin    

J  J 0  
 b sin  



2
– 2 –1
0
1
2
b sin 

НА ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКЕ
Система из большого числа одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей,
лежащих в одной плоскости и разделенных непрозрачными промежутками, равными по ширине:
a = AB, CD, EK и т.д. – ширина
непрозрачного промежутка;
b = BC, DE, и т.д. – ширина прозрачного А
B
C
D
E
К
промежутка;
d = a + b – период решетки;
1/d = n – число штрихов
φ
φ
на единицу длины;
N = nL – полное число штрихов.
Многочисленные световые пучки,
M N
посылаемые отдельными щелями,
Л
будут интегрировать.
Для одинаковых точек B и D разность хода
  d  sin  .
В теории получны следующие
выражения для главных
F
FO
максимумов и минимумов:
Экран
d  sin   2m

b  sin   2m
2

2
m  0,1,2,3,
m  1,2,3,
– главные максимумы.
– главные минимумы.
Кроме главных максимумов имеется большое число слабых побочных максимумов, разделенных дополнительными минимумами:
d sin    p

N
(p = 1, 2, 3, …, кроме N, 2N, 3N,…, где N – число штрихов в решетке).
Выражение для интенсивности света имеет следующее выражение:
  b sin  
2   Nd sin  
sin 2 
 sin 







J  J0

;
2
2   d sin  
  b sin  
sin










Дифракция рентгеновских лучей
Если две дифракционные решетки расположить одну за другой так, чтобы их штрихи
были взаимно перпендикулярными, то при попадании на эту систему возникает следующая
картина: дифракционная решетка, штрихи которой вертикальны, дает в горизонтальном
направлении ряд максимумов, положения которых определяется условием:
d  sin 1  2m1

2
m1  0,1, 2, 3,  .
Дифракционная решетка с горизонтальными штрихами даст в вертикальном направлении максимумы, положения которых определяется условием:
d  sin  2  2m2

2
m2  0,1, 2, 3,  .
В итоге дифракционная картина будет иметь вид правильно расположенных пятен, каждому из которых соответствуют два целочисленных индекса m1 и m2. Подобная дифракционная
решетка получается, если вместо двух различных решеток взять одну прозрачную пластину с
нанесенными на нее двумя системами взаимно перпендикулярных штрихов. Такую пластину
определяют как двумерную периодическую структуру. Зная  и измерив 1 и  2 , по приведенным формулам можно рассчитать периоды структур d1 и d2. Из формулы также видно, что
для возникновения дифракционных максимумов необходимо, чтобы d   , поскольку
sin   1 . Дифракция наблюдается также на трехмерных структурах, т.е. пространственных образованиях, обнаруживающих периодичность по трем не лежащих в одной плоскости направлениям. Такими структурами, например, является все кристаллические тела. Однако период их
мал (~10-10 м), а потому дифракция видимого света в кристаллических телах не наблюдается.
Условие d   может быть выполнено в этом случае только для рентгеновских лучей. Впервые
дифракция рентгеновских лучей в кристаллах наблюдалась в 1913г. в опыте Лауэ, Фридриха и
Книппинга. Найдем условие образования дифракционных максимумов от трехметровой структуры. Для этого совместим направления, в которых обнаруживается периодичность структуры с
координатными осями X, Y, Z. Рассмотрим вначале ось X: пусть  O – угол между падающими
лучами и осью X. Каждый элемент структуры, до которой дошла волна, является источником
вторичных волн. Пусть вторичные волны распространяются под углом  к оси X.
d1 cos 
α
α0
Х
d1
d1 cos O
Оптическая разность хода между соседними лучами:
d1 cos   cos  O  .
Они будут взаимно усиливаться, если:
d1 cos   cos  O   m1 m1  0,1, 2, 3,  .
Аналогично для осей Y, Z условие максимума:
d 2 cos   cos  O   m2 m2  0,1, 2, 3,  ,
d 2 cos   cos  O   m2
m2  0,1, 2, 3, .
Записанные формулы – формулы Лауэ. В направлениях, удовлетворяющих одновременно этим трем условиям, происходит взаимное усиление колебаний от всех элементов, образующих пространственную структуру. В случае прямоугольной системы координат:
cos 2   cos 2   cos 2   1
Русский ученый Ю.В. Вульф и английские ученые Брэгги показали независимо друг от
друга, что рассчитать дифракционную картину от кристаллической решетки можно следующим
способом:


 
d
Пунктиром указаны равностоящие друг от друга атомные плоскости, проходящие через
узлы кристаллической решетки.  – угол скольжения, под которым падает плоская волна. Интерферируют волны, отраженные от различных атомных слоев. Условие усиления волн:
2d sin   m
m  1, 2, 3, 
– формула Вульфа – Брэггов
Расчет по формуле Вульфа – Брэггов и по формулам Лауэ приводит к совпадающим результатам. Дифракция рентгеновых лучей от кристаллов находит два основных применения:
исследование спектрального состава рентгеновского излучения (рентгеновская спектроскопия)
и изучения структуры кристаллов (рентгеноструктурный анализ).