1.6. Преобразование пассивных линейных электрических цепей

1
1.6. Преобразование пассивных линейных электрических цепей
Эквивалентное преобразование части пассивной электрической цепи
состоит в такой ее замене другой пассивной цепью, при которой остаются
неизменными токи и напряжения остальной цепи, не подвергшейся
преобразованию. К простейшим преобразованиям относятся замена
последовательно и параллельно соединенных потребителей эквивалентным
потребителем.
При
последовательном
соединении
роль
эквивалентного
сопротивления (или сопротивления эквивалентного потребителя) играет
сумма сопротивлений всех потребителей (рис. 1.11.).
n
R1
1
R2
Rn
2
Rэкв
1
2
R' экв   Ri
или
i 1
n
1
1

G экв i 1 Gi
Рис. 1.11.
(1.10)
Это следует из II закона Кирхгофа:
n
U 12  I  R1  I  R2    I  Rn  I   Ri  I  Rэкв.
(1.11)
i 1
При двух последовательно соединенных потребителях:
Rэкв  R1  R2
или
1
1
1


G экв G1 G2
 G экв 
G1  G2
.
G1  G2
(1.12)
При параллельном соединении роль эквивалентной проводимости (или
проводимости эквивалентного потребителя) играет сумма проводимостей
всех потребителей (рис. 1.12.).
1
R1
2
1
Gэкв
2
n
n
1
1

.
R экв i 1 R i
G экв   Gi или
i 1
R2
(1.13)
Это следует из I закона Кирхгофа:
I  I 1  I 2   I n  U 12  G1  U 12  G2  
Rn
n
 U 12  Gn  U 12   Gi  U 12  G экв.
Рис. 1.12.
i 1
При двух параллельно соединенных потребителях:
G экв  G1  G2
Rэкв
R R
 1 2
R1  R2
или
1
1
1


Rэкв R1 R2
(1.14)
2
Таким образом, для расчета цепей с последовательно включенными
потребителями целесообразно их свойства выражать значениями
сопротивлений, а для параллельно включенных – значениями
проводимостей.
Определение эквивалентного сопротивления при смешанном
соединении потребителей выполняется путем постепенного упрощения
(сворачивания) исходной цепи.
Пример.
R1
a
1. Параллельное соединение R1 и
R3
R2:
R6
c
R2
R12 
b
2.
R5
R4
R1  R2
R1  R2
Последовательное
соединение
R12 и R3: R123  R12  R3
3. Последовательное соединение R4
Рис. 1.13.
и R5:
R45  R4  R5
Rac 
4. Параллельное соединение R123 и R45:
R123  R45
R123  R45
5. Последовательное соединение Rас и R6: Rab  Rac  R6.
Таким образом, эквивалентное сопротивление
Rab
 R1  R2

 R3    R4  R5 

 R1  R2


 R6
R1  R2
 R4  R5
R1  R2
Более сложными являются взаимные преобразования потребителей,
соединенных звездой или треугольником. К таким преобразованиям следует
обращаться в тех случаях, когда в цепи, подлежащей упрощению, нельзя
выделить параллельное или последовательное соединения потребителей.
a
Ia
a
R3
Ia
I1
R23
R1
I3
Ic c
b
R2
I2
Ib
Ic
c
Рис. 1.14.
R13
R12
Ib
b
3
В узлах a, b, c и треугольник , и звезда на рис. 1.14. соединяются с
остальной частью схемы. Преобразование треугольника в звезду должно
быть таковым, чтобы при одинаковых значениях потенциалов одноименных
точек треугольника и звезды притекающие к этим точкам токи были
одинаковы, тогда вся внешняя схема «не заметит» произведенной замены.
Выразим Uab
треугольника через параметры потребителей и
притекающие к этим узлам токи. Запишем уравнения Кирхгофа для контура
и узлов a и b.
I 1  R1  I 2  R2  I 3  R3  0
узел a: I a  I 1  I 3  0  I 3  I 1  I a
узел b: I b  I 1  I 2  0  I 2  I b  I 1
Заменим в первом уравнении токи I3 и I2
выражения:
на соответствующие
I 1  R1  I b  R2  I 1  R2  I 1  R3  I a  R3  0
I 1   R1  R2  R3   I b  R2  I a  R3  0 
I1 
I a  R3  I b  R2
R1  R2  R3
По закону Ома напряжение Uab для соединения потребителей
треугольником:
U ab  I 1  R1  I a 
R1  R3
R1  R2
 Ib 
R1  R2  R3
R1  R2  R3
(1.15)
Теперь получим выражение для этого же напряжения при соединении
потребителей звездой:
U ab  I a  R13  I b  R12 .
(1.16)
Для эквивалентности данных цепей при произвольных значениях токов
Ia и Ib необходимо равенство напряжений Uab для соединения потребителей
треугольником и звездой. Это возможно только при одинаковых
коэффициентах уравнений (1.15) и (1.16), т.е.
R12 
R1  R2
R1  R2  R3
R13 
R1  R3
R1  R2  R3
(1.17)
Аналогично можно получить выражения для определения R 23 :
R23 
R2  R3
R1  R2  R3
(1.18)
Таким образом, сопротивление луча звезды равно произведению
сопротивлений прилегающих сторон треугольника, деленному на сумму
сопротивлений трех сторон треугольника.
4
Формулы обратного преобразования можно вывести независимо, либо
как следствие соотношений (1.17) и (1.18) через проводимости:
G1 
G12  G13
G21  G23  G13
G2 
G12  G23
G12  G23  G13
G3 
G13  G23
(1.19)
G12  G23  G13
или через сопротивления:
R12  R13
R23
R R
 13 23
R12
R1  R12  R13 
R3  R13  R23
R2  R12  R23 
R12  R23
R13
(1.20)
Следовательно, сопротивление стороны треугольника равно сумме
сопротивлений прилегающих лучей звезды и произведения их, деленного на
сопротивление третьего луча.