Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике

Мендель Виктор Васильевич (МИФ-2, №4, 2005)
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ НА ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
Задачи с параметрами представлены в ЕГЭ по математике в частях B и C. В
части В, как правило, предполагается определить значение параметра, при котором
выполнено некоторое экстремальное условие для функции или выражения.
В части С, при решении задач предполагается сначала произвести
определенные преобразования и упрощения, а затем проанализировать полученные
выражения для определения нужных значений параметра, удовлетворяющих, порой,
самым экзотичным условиям.
В данной статье мы не ставим целью научить методам решения задач с
параметрами (об этом не раз шла речь в нашем журнале, методам решения задач с
параметрами посвящена помещенная в этом номере статья Т.С. Кармаковой). Мы
предполагаем познакомить читателей с несколько непривычными формулировками
задач КИМах ЕГЭ и оригинальными (хотя и не очень сложными) методами их
решения.
Рассмотрим примеры, аналогичные тем, которые давались на ЕГЭ в части В.
Пример 1. Определить, при каком значении параметра b функция f ( x)  2 x bx 2  16
принимает наименьшее значение при x0  3 .
Решение. Корень квадратный из выражения принимает наименьшее значение тогда,
когда выражение под корнем наименьшее. Выражение 2 x bx2  16 наименьшее, когда
наименьшее – первое слагаемое. Функция g ( x)  2 x bx2 наименьшая, когда
наименьшая степень h( x)  x 2  bx  2 . Квадратичная функция принимает наименьшее
2
2
2
b
2
значение в своей вершине, при значении x0  . По условию x0  3 , поэтому b  6 .
Замечание. При решении заданий части В предполагается только краткая запись
ответа в специально отведенные поля. Поэтому у вас нет необходимости полностью и
подробно записывать все решение.
Пример 2. Определите, при каком положительном значении параметра a
наибольшее значение функции f ( x)  3x 2  ax  2 равно 5.
Решение. Наибольшее значение квадратичная функция принимает в своей вершине
a2
a
a
 2 . Приравняв это выражение к 5 и
при x0  
 . Это значение равно
12
2(3) 6
учитывая, что параметр – положительное число, получим a  6 .
Рассмотрим теперь примеры задач их части С.
Пример 3. Найдите все значения параметра a , при каждом из которых множество
решений неравенства
a 2  8a 
4a 2
 x( x  2a  4) содержит какой-нибудь отрезок
x
длиной 2, но не содержит никакого отрезка длиной 3.
Решение.
1) Проведем равносильные преобразования.
a 2  8a 
4a 2
 x( x  2a  4) ,
x
x 2  2ax  a 2 
4a 2  4 x 2  8ax
4(a 2  x 2  2ax)
, ( x  a) 2 
,
x
x
1  4 ( x  a ) 2  0 , ( x  4)( x  a) 2  0 .


x
x

4a 2
 4 x  8a ,
x
( x  a) 2 
2) Так как ( x  a) 2  0 , то
x
и x  4 должны быть противоположных знаков, т.е.
0  x  4
, равносильную исходному неравенству. При a  0 и при
x  a
a  4 множество решений – это интервал (0; 4) . При a  (0; 4) множество решений –
получаем систему 
это объединение (0; a)  (a; 4) двух интервалов.
3) Интервал (0; 4) содержит отрезок длины 3. Значит, a  0 и a  4 не удовлетворяют
условию задачи.
Если 0  a  1 , то в интервале (a; 4) , длина которого больше 3, есть отрезок
длиной 3 и такие a не удовлетворяют условию задачи. Если 3  a  4 , то в интервале
(0; a ) , длина которого больше 3, есть отрезок длиной 3 и такие a не удовлетворяют
условию задачи.
4) Если 1  a  2 (если 2  a  3 ), то длины интервалов (0; a ) и (a; 4) не больше 3.
Поэтому в них нет отрезков длиной 3. При этом длина интервала (a; 4) (длина
интервала (0; a ) ), больше 2. Поэтому в них есть отрезок длиной 2 и, значит, такие a
удовлетворяют условию задачи. Если же a  2 , то в объединении (0; 2)  (2; 4) нет
отрезков длиной 2, так как длины этих интервалов равны 2. Значит, a  2 не
удовлетворяет условию задачи.
0
1 а
2
3
4
0
1
а=2
3
4
Ответ: [1; 2)  (2; 3] .
Пример 4. Даны два уравнения:
log (2 x 10  p )  2 p  5  8x
3
и
x  10 
x
8 x 2  (3 p  16) x  115 .
x( p  11)
Значение параметра p выбирается так, что 10  p  0, p   11 и число различных
корней первого уравнения равно сумме числа p  7 и числа различных корней второго
уравнения. Решите первое уравнение при каждом значении параметра, выбранном
таким образом.
Решение.
1) Так как
10  p  0 , то функция y  log (2 x 10  p ) определена на промежутке
3
(0; ) . Так как основание логарифма больше 1, то эта функция возрастает.
Линейная функция y  2 p  5  8 x убывает, т.к. коэффициент при x отрицателен.
Поэтому число n корней уравнения (1) равно 0 или 1.
2) С возрастанием x функция y  log (2 x 10  p ) возрастает неограниченно. При
3
достаточно больших x ее график расположен выше прямой y  2 p  5  8 x . При
приближении x к нулю значения функции y  log (2 x 10  p )
3
неограниченно
убывают и ее график окажется ниже этой прямой. Значит, прямая и график функции
пересекутся, т.е. n  1 .
3) Число 0 не является корнем уравнения (2). При x  0 уравнение (2) равносильно
уравнениям:
x 2 ( p  11)  10( p  11)  8x 2  (3 p  16) x  115 ,
( p  3) x 2  (3 p  16) x  10 p  5  0 ,
( x  5)(( p  3) x  (2 p  1))  0 . (3)
Уравнение (3) всегда имеет ненулевой корень x  5 . Поэтому число k различных
корней уравнения (2) равно 1 или 2.
4) По условию 1  ( p  7)  k , т.е. p  8  k . Поэтому p  6 или p  7 . Если p  7 , то
k  1, а уравнение (3) примет вид ( x  5)(10 x  13)  0 . У него 2 ненулевых корня, т.е.
k  2 , что противоречит условию k  1. Если p  6 , то k  2 , а уравнение (3) примет
вид ( x  5)(9 x  11)  0 . У него 2 ненулевых корня, т.е. k  2 . Значит, p  6
удовлетворяет условию задачи.
log (4 x)  7  8x
3
5) При p  6 уравнение (1) примет вид
. Его единственным корнем
является число x  0,75 , т.к. log 3  1, 7  6  1 .
3
Ответ: 0,75 .
Пример 5. Найдите все положительные значения параметра a , при каждом из
которых для любого числа из отрезка [2; 2] верно неравенство 3x  a x  11  3 .
Решение.
1) По определению модуля исходное неравенство равносильно совокупности
неравенств
3x  a x  11  3
3x  a x  14
, т.е. 
.

3
x

a
x

11


3
3
x

a
x

8


 x(3  a )  14
2) Пусть 0  a  3 . Если x  0 , то x   x и тогда получаем 
. Так как
 x(3  a )  8
3  a  0 , то x(3  a)  0  8 , а значит, x - решение совокупности. Если x  0 , то
 x(3  a)  14
8   14


. Так как a  3  0 , то x 0;

; .
x  x и тогда получаем 

 a  3  a  3 
 x(3  a)  8
Итак, при 0  a  3 множеством решений является объединение двух промежутков
8 

 14

 
;  .
  ;

a

3
a

3




14
8 

 0 , то отрезок  2; 2 может располагаться только в   ;
3) Так как
.
a3
a  3 

8
 2 , 8  2a  6 ,
Получаем неравенство относительно параметра 0  a  3 :
a3
2a  2 , a  1 . Значит, в этом случае 0  a  1 .
 

4) Пусть a  3 . Если x  0 , то, как и в 2), x  0;

; .

 a  3  a  3 
8
14
 x(3  a)  14
 x  14 /(3  a)
Если x  0 , то, как и в 2), 
. Так как 3  a  0 , то 
. Итак,
 x  8 /(3  a)
 x(3  a)  8
при a  3 множеством решений является объединение трех промежутков
14   8
8   14



;

;  .
  ;


3  a  3  a a  3  a  3 

14
14
5) Так как
0 и
 0 , то отрезок  2; 2 может располагаться только в
3a
a3
8
8 
 8
 3  a ; a  3  . Поэтому a  3  2 , 8  2a  6 . Значит, a  1 и значения параметра
Ответ: (0; 1] .
a  3 не удовлетворяют условию задачи.
Задачи для самостоятельного решения
М.11.2.1. Определить, при каком значении параметра b функция f ( x)  2 x  2bx7  11
принимает наименьшее значение при x0  1 .
2
М.11.2.2. Определите, при каком положительном значении параметра a наибольшее
значение функции f ( x)  5x 2  ax  7 равно 13.
М.11.2.3. Определите наименьшее значение параметра a, при котором уравнение
sin x  1  2 cos 2
x
 a 2 имеет решение.
2
М.11.2.4. Найдите все значения параметра a , при каждом из которых множество
1
решений неравенства
a 8  a  2 2a 
 1 
 2
x x
x
x 
содержит какой-нибудь отрезок
длиной 4 и при этом содержится в некотором отрезке длиной 7.
М.11.2.5. Даны два уравнения:
3
x  4( p  18) x  23 p  238
2


 10  (3  p  1) x .
 x  10 и 2 sin 2   x
2 x3
x  9 x  20
Значение параметра р выбирается так, что p  1 и число различных корней первого
уравнения равно произведению числа p и числа различных корней второго уравнения.
Решите второе уравнение при каждом значении параметра, выбранном таким образом.
М.11.2.6. Найдите все значения a, при которых область определения функции
y   a x0,5  x  a 3 

 x
1 2 x logx a
 a 3,5 

0, 5
содержит ровно три целых числа.