Симметрия, передача хода и дерево позиций. Д.А. Пермяков, М

Симметрия, передача хода и дерево позиций. Д.А.
Пермяков, М.Б. Скопенков (8–10)
Целью данного цикла задач является знакомство с некоторыми красивыми идеями теории игр. Довольно часто в задачах элементарной теории
игр встречаются следующие 3 идеи:
I. Симметричная стратегия (а также ее обобщение - дополняющая
стратегия).
I. Двое по очереди выкладывают доминошки на доску 8 × 9. Каждая
доминошка покрывает ровно две клетки доски, каждая клетка может быть
покрыта не более, чем одной доминошкой. Проигрывает тот игрок, который
не может положить очередную доминошку. Кто выигрывает при правильной игре? Как он должен для этого играть?
II. Передача хода.
II. В двухходовых шахматах фигуры ходят по обычным правилам, только за каждый ход разрешается сделать ровно два хода одной фигурой. Цель
игры - съесть короля соперника. Докажите, что белые в двухходовых шахматах могут играть так, что заведомо не проиграют (то есть либо выиграют,
либо сыграют вничью.)
III. Дерево позиций (”ставь на минус!”).
III. Ферзь стоит на d1. Двое по очереди ходят им по направлению вверх,
вправо или вправо-вверх. Выигрывает тот, кто поставит его на h8. Кто выигрывает при правильной игре и как он должен для этого играть?
В следующих задачах необходимо выяснить, кто из игроков может выиграть независимо от игры противника.
1. В соседних углах доски 9х9 стоят черная и белая ладьи, остальные
клетки заняты серыми пешками. Два игрока ходят по очереди, каждый
своей ладьей, причем каждым ходом нужно съесть либо серую пешку, либо
ладью противника. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
2. На шахматной доске стоит король. Двое по очереди ходят им. Проигрывает игрок, после хода которого король оказывается в клетке, в которой
побывал ранее.
3. На одном столе лежит 34 камня, в другой 42. Играют двое. За ход
можно переложить со стола, на котором лежит n камней, на другой стол
число камней, равное делителю числа n. Проигрывает игрок, после хода
которого будет расположение камней, уже встречавшееся в игре. Камни
считаются одинаковыми, столы - разными.
4. На бесконечной клетчатой бумаге двое по очереди закрашивают единичные отрезки между узлами сетки, каждый своим цветом. Цель первого
получить замкнутую ломаную своего цвета. Игра длится сколь угодно долго. Сможет ли второй помешать своему противнику?
5. На доске написано число 2. За ход разрешается прибавить к числу на
доске любой из его делителей, меньший самого числа. Выигрывает тот, кто
первым получит число больше 1000000.
0 Материал
Системы дистанционного обучения математике http://math.olymp.mioo.ru
6. На столе лежит две кучки спичек: в одной m, в другой n спичек,
m > 2n. Играют двое. За ход можно взять из одной кучки ненулевое число
спичек, делящееся на число спичек во второй кучке. Выигрывает взявший
последнюю спичку из какой-нибудь кучки.
7. Город представляет собой прямоугольную сетку 10х12. Две компании
по очереди ставят на неосвещенных перекрестках фонари. Каждый фонарь
освещает в городе прямоугольник с вершиной в этом фонаре, являющийся
северо-восточным углом города. Проигрывает компания, которая осветит
последний перекресток.
8. Два игрока играют на доске m × n в следующую игру. У них есть
белый и черный король соответственно, стоящие в противоположных углах
доски. Они передвигают своих королей (по правилам шахмат) поочередно
так, чтобы расстояние между центрами клеток, на которых стоят короли,
уменьшалось (королям разрешается занимать соседние клетки). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
Дополнительные задачи.
9. В центре квадрата находится волк, а в углах - по собаке. Скорость
собаки в 1, 5 раза больше скорости волка, но они могут перемещаться только
по границе квадрата. Известно, что волк задирает собаку, а две собаки
задирают волка. Сможет ли волк выбежать за пределы квадрата?
10. Даны две кучки спичек. В одной 1997, в другой 1998 спичек. Двое
играют в следующую игру: при своем ходе каждый выбрасывает одну из
двух кучек, а другую делит на две не обязательно равные кучки. Проигравшим считается тот, кто не может разделить кучку на две части. Может
ли первый игрок выиграть при правильной игре второго? Как он должен
для этого играть?
11. Назовем натуральное число разрешенным, если оно имеет не более
20 различных простых делителей. Вначале имеется кучка из 2004! камней.
Двое по очереди берут из кучки по разрешенному количеству камней, выигрывает тот, кто возьмет последний камень. Кто выигрывает при правильной
игре - тот, кто берет камни первым, или его соперник?
12. На шахматной доске 1000×1000 стоит черный король и 499 белых ладей. Докажите, что черный король независимо от игры белых может стать
под удар белой ладьи.
13. Есть чашечные весы и n гирь различного веса. Докажите, что можно
выкладывать гири по одной на весы в таком порядке, чтобы порядок, в
котором перевешивают левая и правая чаши был любым наперед заданным.
Контрольные вопросы.
I. К какому результату приведет симметричная стратегия черных (зеркальносимметричное копирование ходов противника) в обычных шахматах при
правильной игре белых?
(a) к ничьей; (b) к выигрышу белых; (c) к выигрышу черных.
II. Правила шахмат без цугцванга отличаются от правил обычных шахмат только добавлением возможности пропустить свой ход для каждого из
игроков. Могут ли черные выиграть при правильной игре белых?
(a) могут; (b) не могут.
III. Кто выигрывает в игре из задачи III, если в начальный момент
ферзь стоит на клетке f4?
(a) первый игрок; (b) второй игрок.
Решения.
Зачетные задачи: 1 3 4 5 6 8.
I. Ответ: выигрывает первый игрок. Решение: первым ходом первый
игрок кладет доминошку в центр доски (то есть на две клетки, примыкающие к центру), а в дальнейшем симметрично копирует ходы второго игрока
(используя центральную симметрию относительно центра доски).
II. Предположим, что выигрышная стратегия в этой игре есть у черных. Тогда сделаем белыми первый ход Kb1-c3-b1 (два последовательных
прыжка конем, после которых он возвращается на исходную клетку), и в
дальнейшем будем играть в соответствии с этой выигрышной стратегией.
Ясно, что действуя таким образом, белые заведомо не проиграют. Полученное противоречие показывает, что у белых существует беспроигрышная
стратегия.
Замечание. Было бы неправильно говорить, что после хода Kb1-c3-b1
возникла начальная позиция, но с ходом черных. Дело в том, что позиция
в шахматах определяется не только положнием фигур на доске, но также и
некоторой дополнительной информацией (ввиду правила о праве на рокировку, правила 3 ходов и правила 50 ходов). Обсуждение тонкостей данного
доказательства можно найти в книге А.Е. Карпов, Е.Я. Гик. Шахматный
калейдоскоп. Библиотечка ”Квант”, выпуск 13 (1981).
III. Наша цель — поставить в каждую клетку доски 8x8 число 1 или 2,
в зависимости от того, какой игрок выигрывает при начальном положении
ферзя на данной клетке. Будем заполнять клетки шахматной доски последовательно, начиная с 8-й горизонтали, вертикали ’h’ и диагонали a1-h8.
Ясно, что в любой клетке 8-й горизонтали, вертикали ’h’ и диагонали a1h8 (кроме клетки h8) нужно поставить число 1. Нетрудно усмотреть, что
дальше клетки заполняются, исходя из следующих двух правил:
(1) если из данной клетки можно сделать допустимый ход в клетку, в
которой стоит число 2, то в данной клетке нужно поставить число 1;
(2) если при любом допустимом ходе из данной клетки мы попадаем в
клетку с числом 1, то в данной клетке нужно поставить число 2.
Пользуясь этими правилами, мы заполним все клетки шахматной доски.
Число, которое окажется на клетке c1, покажет нам, кто выигрывает в
рассматриваемой игре.
Приведем результат заполнения клеток шахматной доски.
1) Ставим число 1 в клетках a8, b8, c8, d8, e8, f8, g8, h1, h2, h3, h4, h5,
h6, h7, a1, b2, c3, d4, e5, f6, g7.
2) Ставим число 2 в клетках f7 и g6.
3) Ставим число 1 в клетках a7, b7, c7, d7, e7, a6, b6, c6, d6, e6, f1, f2, f3,
f4, f5, g1, g2, g3, g4, g5, a2, b3, c4, d5, b1, c2, d3, e4.
4) Ставим число 2 в клетках c5 и e3.
5) Ставим число 1 в клетках a5, b5, a3, b4, c1, d2, e1.
6) Ставим число 2 в клетках a4 и d1.
Итак, в клетке d1 стоит число 2. Значит, в нашей игре выигрывает второй игрок. Его выигрышная стратегия такова: после каждого хода первого
игрока он должен вновь поставить ферзя на клетку, в которой стоит число
2 (то есть на одну из клеток e3, f7, g6).
2. Дополняющая стратегия. Докажем, что выигрывает первый игрок.
Разобьем доску на "доминошки т.е. пары соседних по стороне клеток. Каждым ходом первый игрок будет передвигать короля во вторую клетку той
доминошки, где он перед этим ходом оказался. Тогда после каждого хода
первого игрока король побывает для каждой доминошки либо в обеих ее
клетках, либо ни в одной из них. Значит, после хода второго он сможет
сделать очередной ход по нашей стратегии.
5. Передача хода. Первый игрок напишет число 3, второй число 4. Далее первый может написать число 6, а может написать число 5, и тогда
второй напишет число 6. После написания числа 6 выигрышная стратегия
есть либо у ходящего, либо у его противника. Так как первый игрок после написания числа 6 может по своему желанию оказаться и ходящим, и
противником ходящего, он может воспользоваться выигрышной стратегией.
Таким образом, мы не показали, как именно должен играть первый игрок,
но доказали, что у него есть выигрышная стратегия.
8. Указание. Построение дерева позиций. Поставим в клетку с координатами (x; y) таблицы m×n число 1, если при игре на доске x×y выигрывает
первый игрок, и число 2, если выигрывает второй игрок. Будем заполнять
таблицу последовательно, начиная с клеток (1; 2) и (2; 1). В этих клетках
поставим 2, а в дальнейшем будем пользоваться следующими правилами:
(1) если из данной клетки можно сделать ход королем в клетку, в которой стоит число 2, причем так, чтобы расстояние до центра клетки (1; 1)
уменьшилось, то ставим в данной клетке число 1;
(2) если при любом ходе королем из данной клетки (таком, что расстояние до центра клетки (1; 1) уменьшается) мы попадаем в клетку с числом
1, то ставим в данной клетке число 2.
Замечание. Нужно обратить внимание, что возможны ходы, при которых расстояние между центрами клеток, на которых стоят короли, уменьшается, но при этом разность координат этих центров по одной из осей
увеличивается.