2 Геометрическая оптика. Системы тонких линз. Толстые линзы

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Системы тонких линз. Толстые линзы
Длительность: 90 минут
Умения и навыки: научиться рассчитывать оптическую силу, положение
главных плоскостей, фокусов для системы тонких линз и для толстой линзы, с
тем, чтобы использовать рассчитанные положения для построения хода лучей в
системе.
Замечания: задачи, отмеченные зеленым маркером, можно опустить при
работе с некоторыми группами. Задачи, отмеченные желтым маркером, можно
опустить.
Аудиторные задания: 45; 50; 52; 53; 56; 57; 62
Домашние задания: 44(а); 58; 59; 60
Основные формулы
Инвариант Аббе
n' n
  .
s' s
(1)
Связь между фокусными расстояниями и оптической силой
f 
n
;

f '
n'
.

(2)
Оптическая сила толстой линзы (фактически – система из двух
преломляющих поверхностей. Формула также справедлива и для системы двух
тонких линз, системы тонкой и толстой линз) с показателем преломления n0 и
толщиной d
  1   2 
d
1 2 ,
n
(3)
где
1 
n  n1
n n
; 2  2
R1
R2
34
(4)
оптические силы преломляющих поверхностей (в случае системы тонких линз
– оптические силы тонких линз).
При расчете толстых линз (или системы из нескольких линз, тонких или
толстых), линза заменяется двумя главными плоскостями: передней – Н и
задней – Н'. Эти плоскости делят все пространство на две части: пространство
предметов (перед Н), т.е. та часть пространства, в которой расположен предмет,
от которого идет свет (обычно левая часть рисунка); пространство изображений
(после Н'), т.е. пространство в котором возникает изображение.
Главные плоскости перпендикулярны оптической оси. Точки пересечения
с оптической осью тоже называются главными. В общем случае, в зависимости
от условия задачи, положение плоскостей относительно друг друга может быть
произвольным,
т.е.
передняя
главная
плоскость
может,
например,
располагаться за задней главной плоскостью. Все расстояния (фокусные, до
предмета и до изображения) отсчитываются от главных плоскостей. Расстояния
относящиеся, к пространству предметов отсчитываются от передней главной
плоскости, а относящиеся к пространству изображений – от задней главной
плоскости.
H'
H
n
n1
-X
X'
d
N
F
n2
N'
F'
O'
O
-xN
xN'
-f
f'
Расстояние от поверхностей толстых линз до главных плоскостей Н и Н':
d 
X   2;
n 
d 
X '    1
n 
(5)
Кроме главных точек вводятся две узловые точки N, N’ (узлы) – точки на
оптической оси, из которых предмет и изображение видны под одинаковым
углом. Расстояние от главных точек до узловых определяются по формулам
35
xN  f1  f 2 ; xN '  f1  f 2 ,
(6)
с учетом знаком фокусных расстояний. Для тонких линз, находящихся в
однородной среде:  f1  f 2  f , поэтому узловые точки совпадают с главными.
В расчетах используют «правило знаков»: расстояние, отсчитываемое от
главной плоскости, против распространения луча, берется со знаком «минус».
Алгоритм расчета толстых линз (систем тонких линз) следующий:
1) для каждой преломляющей поверхности линзы рассчитывается
оптическая сила (для системы двух тонких линз находятся оптические
силы этих линз);
2) вычисляется суммарная оптическая сила по формуле (3);
3) вычисляется положение главных оптических плоскостей относительно
поверхностей линз по формулам (5) (в случае системы двух тонких
линз положение главных плоскостей определяется относительно
центров линз);
4) вычисляются фокусные расстояние линз, и находится их положение
относительно главных плоскостей;
5) при
необходимости
вычисляют положение узловых точек по
формулам (6).
Если в задаче нужно найти положение изображения, зная положение
предмета, то используется инвариант Аббе (1), только расстояния до предметов
отсчитываются от главных плоскостей.
Если требуется построить ход лучей, то используют следующие правила:
1) луч, параллельный оптической оси, попадая на переднюю главную
плоскость, продолжается параллельно оптической оси до задней главной
плоскости, а после нее проходит через задний фокус;
2) луч, проходящий через передний фокус, из точки пересечения с передней
главной плоскостью, распространяется параллельно оптической оси;
3) луч, проходящий через передний узел, из точки пересечения с передней
главной плоскостью распространяется параллельно оптической оси до
36
пересечения с задней передней плоскостью, после чего распространяется
параллельно первоначальному направлению (из этой точки либо луч, либо его
продолжение должны пройти через задний узел).
H'
H
A
1
1'
3
N'
F
F'
N
3'
2
A'
2'
В некоторых задачах говорится про телескопические системы. Такие
системы обычно состоят из двух линз. Система называется телескопической,
если при установке на бесконечность положение заднего фокуса первой линзы,
обращенной к предмету, совпадает с передним фокусом второй линзы. Такая
система преобразует параллельный пучок в параллельный же. Если обе линзы
являются положительными, то система кеплерова, если вторая линза
(обращенная к глазу) отрицательная, то систему называют галилеевой.
Аудиторные задания
5.45 Галилева труба 10-кратного увеличения при установке на бесконечность
имеет длину 45 см. Определить:
а) фокусные расстояния объектива и окуляра трубы;
б) на какое расстояние надо передвинуть окуляр трубы, чтобы ясно увидеть
предметы на расстоянии 50 см.
Решение.
а) В галилеевой системе передний фокус окуляра находится за ним по ходу
луча. При установке на бесконечность свет после объектива должен попадать в
задний фокус объектива, который совпадает с передним фокусом окуляра, то
есть для фокусных расстояний можно записать уравнение
37
f1  l  f 2 ,
где l – расстояние между объективом и окуляром, а f1 , f2 – фокусные расстояния
объектива и окуляра, соответственно. Для зрительной трубы увеличение

f1
.
f2
В эти два уравнения входят по две неизвестные, следовательно, эта система
уравнений может быть разрешена. Из второго уравнения находим f1  f 2 .
После подстановки этого выражения в первое уравнение, находим выражение
для фокусного расстояния окуляра
f2 
l
45

 5 см .
  1 10  1
Тогда f1 = 50 см.
б) При разглядывании через такую трубу объектов, находящихся на расстоянии
s = 50м, изображение, полученное в объективе, будет находиться от него на
расстоянии s’ = f1+x, отличающегося от фокусного на х. Для наблюдения
изображения, создаваемого объективом, нужно чтобы изображение находилось
в переднем фокусе окуляра. Следовательно, если изображение от объектива
будет смещенным на х от заднего фокуса объектива, то на такую же величину
надо будет сместить и окуляр.
Если х > 0, то окуляр надо отодвинуть от
объектива на х, в противном случае, окуляр нужно придвинуть на это
расстояние. Величину х можно найти из формулы тонкой линзы
1 1 1
 f   0,5  0,005 м.
 
 x 1 
s s ' f1
s  f1 50  0,5
2
Таким образом, получается, что окуляр должен быть сдвинут от объектива на
0,5 см.
5.50.
Оптические
силы
объектива
и
окуляра
микроскопа
равны
соответственно 100 и 20 дптр. Увеличение микроскопа равно 50. Каково
будет увеличение этого микроскопа, если расстоянием между объективом и
окуляром увеличить на 2.0 см?
38
Решение. Увеличение микроскопа определяется формулой
  1 2 LНЗ  ,
где Ф1, Ф2 – оптические силы объектива и окуляра, LНЗ – расстояние
наилучшего зрения Δ – расстояние между задним фокусом объектива и
передним фокусом окуляра. Таким образом, надо найти значение
 x  1 2 LНЗ (  x) .
Видно, что с увеличением расстояния между линзами, увеличение микроскопа
станет больше. В этой формуле неизвестно Δ, но его можно найти из первой
формулы


.
1 2 LНЗ
После подстановки этого выражения в (2), находим выражение для новой
величины
 x    1 2 LНЗ x =50+100·20·0,25·0,02=60.
5.52. Найти положение главных плоскостей, фокусов и узловых точек
двояковыпуклой тонкой симметричной стеклянной линзы с радиусом кривизны
поверхностей R=7,50 см, если с одной стороны её находится воздух, а с другой
вода.
Решение. В соответствии с формулами, определяющими положение главных
точек относительно вершин поверхности линзы (5), главные точки совпадают с
вершинами поверхностей линзы, а, следовательно, с центром линзы, так для
тонкой линзы d=0. Фокусные расстояния линзы определяются по формулам
(2):
f1  
1

для поверхности, граничащей с воздухом, и
f2 
n0
для

поверхности, граничащей с водой. По формуле (3) оптическая сила Ф тонкой
линзы определяется как сумма оптических сил поверхностей, её образующих.
Для поверхности, граничащей с воздухом, согласно (3), оптическая сила равна
1 
n n
n 1
, а для поверхности, граничащей с водой,  2  0
. В последнем
R
R
39
выражении использовано «правило знаков». Складывая эти выражения,
находим
 
2n  n0  1
.
R
Таким образом,
f1  
f2 
R
7,5

 11,2 см,
2n  n0  1
2  1,5  1,33  1
n0 R
1,33  7,5

 14,9 см.
2n  n0  1 2  1,5  1,33  1
С учётом знаков фокусных расстояний, согласно (6), находим
N1  f1  f 2  11,2  14,9  3,7 см, N 2  f 2  f1  14,9  11,2  3,7 см.
Следовательно, узловые точки будут совпадать и располагаться в воде.
5.53. Найти положения фокусов и главных плоскостей центрированных
оптических систем, показанных на рис.
d
d
O’
O
d
O’
O
О
О’
n
f1
f2
а)
f1
f2
б)
Ф1
в)
Ф2
а) телеобъектив – система из собирающей и рассеивающей тонких линз
(f1=1,5d, f2=–1,5d);
б) система из двух собирающих тонких линз (f1=1,5d, f2=0,5d);
в) толстая выпукло-вогнутая линза (d=4 см, n=1,5, Ф1=+50 дптр, Ф2= –50
дптр).
Решение. а) В тонких линзах главные плоскости совпадают с центром линзы
(см. задачу 5.52), поэтому отсчёт расстояний будем производить от линз.
Сначала найдём оптическую силу системы по формуле (3), в которой Ф1 и Ф2 –
оптические силы тонких линз, а d – расстояние между ними:
40
  1   2  d  1   2 
1
1
d
1



.
2
1,5d 1,5d 1,5d 
(1,5)2 d
Таким образом, такая система линз эквивалентна собирающей линзе. Первое
фокусное расстояние:
f1  
1
 (1,5)2 d ,

f2 
1
 (1,5)2 d .

второе фокусное расстояние:
Положение первой главной плоскости относительно первой линзы можно
найти по формуле (5):
2
(1,5)2 d
X d
d
 1,5  d ,

1,5d
аналогично для второй главной плоскости относительно второй линзы
X '  d
1
(1,5)2 d
 d
 1,5  d .

1,5d
То есть вторая главная плоскость системы расположена перед первой линзой на
расстоянии 0,5d от неё. Напомним, что фокусные расстояния f1 и f2
отсчитываются
от
первой
и
второй
главных
плоскостей
системы,
соответственно, поэтому первый фокус системы будет находиться на
расстоянии 3,75d от первой линзы, а второй фокус на расстоянии 0,75d от
второй линзы.
O
F'
F
O'
H'
H
б) Рассуждая аналогично как в а), находим оптическую силу системы
41
  1   2  d  1   2 
1
1
d
1
.



2
1,5d 0,5d 1,5  0,5  d
1,5  0,5  d
То есть система эквивалентна собирающей линзе, так как Ф > 0. Первое
фокусное расстояние
f1  
1
 1,5  0,5  d ,

f2 
1
 1,5  0,5  d .

второе фокусное расстояние
Положение первой главной плоскости относительно первой линзы
X d
2
1,5  0,5  d
d
 1,5  d ,

0,5d
т.е. эта плоскость находится за второй линзой на расстоянии 0,5d от неё.
Положение второй главной плоскости относительно второй линзы
X '  d
1
1,5  0,5  d
 d
 0,5  d ,

1,5d
т.е. эта плоскость расположена посередине между первой и второй линзой.
Поскольку
фокусные
расстояния
системы
отсчитываются
от
главных
плоскостей, то находим, что первый фокус находится между линзами на
расстоянии Х+f1 = 0,75d от первой линзы, а второй фокус находится за второй
линзой на расстоянии Х’+f2 = 0,25d от неё.
O
F
H'
O'
F'
H
в) Вычисляем оптическую силу такой линзы по формуле (3),
  1   2 
d
0,04
 1   2  50  50 
 50  (50)  66,7 дптр.
n
1,5
42
Линза собирающая. Положение первой главной плоскости относительно
первой поверхности
X
d 2 d
2
1 1
d
 


   0,02 м,
n  n d   
1 50
2
1
2
n
т.е. эта плоскость расположена перед первой поверхностью. Положение второй
главной плоскости относительно второй поверхности
X '
d 1
d
1
1
1
d
 

     0,02 см.
n 
n d   
2
50
2
1
2
n
Первое фокусное расстояние
f1  
1
3d

 0,015 м

8
от первой главной плоскости или на расстоянии Х+f1 = –0,035 м от первой
поверхности (перед ней). Второе фокусное расстояние
f2 
1 3d

 0,015 м
 8
от второй главной плоскости или на расстоянии Х’+f2 = –0,005 м от второй
поверхности (перед ней).
O
F
F'
H
O'
H'
5.56. Телеобъектив состоит из двух тонких линз – передней собирающей и
задней рассеивающей с оптическими силами 1  10 дптр и  2  10 дптр .
Найти:
а) фокусное расстояние и положение главных плоскостей этой системы, если
расстояние между линзами d=4,0 см;
43
б) расстояние d между линзами, при котором отношение фокусного
расстояния f системы к расстоянию L между собирающей линзой и задним
главным фокусом будет максимальным. Чему равно это отношение?
Решение.
а) Оптическая сила телеобъектива:
d
d 2 4,0 102 2
  1   2  1 2   1 
10  4 дптр
n
n
1,0
Положения главных плоскостей:
X
d 2
d 1
1
d 1
d 1
1


 0,1 м ; X '  


 0,1 м .
n 
n d 2
1
n 
n d 2
1
1
1
n
n
Фокусные расстояния:
f1  
1 3
1
1
   0,25 м ; f 2    0,25 м
 8

4
O F
F'
H
O'
H'
Передний фокус находится на расстоянии
X  f1  0,1  0,25  0,35 м
от собирающей линзы, а задний фокус на расстоянии
X ' f 2  0,1  0,25  0,15 м
от рассеивающей линзы.
б) Расстояние от собирающей линзы до заднего фокуса, с учетом
выражений предыдущей задачи:
L  d  X ' f 2  d 
1
1
1
1
 d 

1 
1 d 12
Максимум отношения
44
f2
1
1
1


2
2
L d 1 
1
1   d 1   d 1  1

d 

1 d 12 

ищется стандартным образом, и имеет место при выполнении условия
2d 12  1  1  2d 1  1  0  d 
1
 0,05 м .
21
При данном d отношение равно
f2
1
4
.


L  1 2 1
3
   1
2 2
5.57. Рассчитать положение главных плоскостей и фокусов толстой выпукловогнутой стеклянной линзы, если радиус кривизны выпуклой поверхности
R1=10,0 см, вогнутой R2=5,0 см и толщина линзы d=3,0 см.
Решение. Для вычисления оптической силы сначала вычислим оптические
силы сферических поверхностей:
1 
n  1 1,5  1
1  n 1  1,5

 5 дптр,  2 

 10 дптр.
R1
0,1
R2
0,05
Затем воспользуемся формулой (3):
  1   2 
d
0,03
 1   2  5  10 
 5  (10)  4 дптр.
n
1,5
Таким образом, эта линза рассеивающая. Найдем положение первой главной
плоскости относительно первой поверхности по формуле (5)
X
d  2 0,03  10 

 0,05 м,
n 
1,5  4 
положение второй главной плоскости относительно второй поверхности
X '
d 1
0,03 5

 0,025 м.
n 
1,5  4 
45
Обе главные плоскости расположены вне линзы со стороны её вогнутой
поверхности. Положение первого фокуса относительно первой главной
плоскости, согласно (3):
f1  
1
1

 0,25 м,

(4)
а для второго фокуса, относительно второй главной плоскости
f2 
1
1

 0,25 м.
 (4)
Первый фокус расположен вне линзы на расстоянии 0,3 м от первой
поверхности линзы по направлению луча, а второй фокус вне линзы на
расстоянии 0,225 м от второй поверхности против направления луча.
5.62. Телескопическая система образована из двух стеклянных шаров, радиусы
которых R1=5,0 см и R2=1,0 см. Каковы расстояния между центрами этих
шаров и увеличение системы, если объективом является больший шар?
Решение.
Для шара радиуса R оптические силы поверхностей:
1   2 
n 1
,
R
поэтому оптическая сила шара
d
n  1 2 R  n  1
 n  1
  21   12  2


2
n
R
n
nR
R2
2
Положение главных плоскостей шара
X
2 R 1 2 R  n  1 Rn
2 R 1
2 R  n  1 Rn

 R; X  

 R .
n 
n
R 2(n  1)
n 
n
R 2(n  1)
Таким образом, у шара главные плоскости совпадают и проходят через центр
шара. Фокусные расстояния у стеклянного шара (n = 3/2):
f1  
1
nR
3
1
nR
3

  R ; f2  
 R.

2(n  1)
2
 2(n  1) 2
46
Фокусы находятся в полутора радиусах от центра шара: передний перед шаром,
задний за ним.
Так как по условию задаче система телескопическая, то задний фокус большого
шара совпадает с передним фокусом малого шара, т.е.:
d  f 2, R1  f1, R2  1,5 R1  R2   9 см .
Увеличение телескопической системы

f R1
f R2

R1
 5,0 .
R2
Домашние задания
5.44 На рисунке показана центрированная система, состоящая из трёх тонких
линз. Система находится в воздухе.
5,0 см
5,0 см
O’
O
+10,0 дптр -10,0 дптр
+10,0 дптр
Определить:
а) положение точки схождения параллельного пучка, падающего слева после
прохождения через систему;
Решение. Сначала рассмотрим первые две линзы. Система из этих линз имеет
оптическую силу
  1   2  d  1   2  10  10  0,05  10  (10)  5 дптр.
Положение
главных
плоскостей
этой
системы:
передней
относительно первой линзы
X1  d
2
2
1 1
d


 0,1 м,

d  1   2 1 10
и задней относительно второй линзы
47
плоскости
X 2  d
1
1
1
1
 d 

   0,1 м,

d  1   2
2
10
т.е. эта плоскость расположена перед первой линзой на расстоянии 5 см от неё.
Получившаяся система изображена на рисунке (положение линз изображено
штриховой линией)
-X1
-X2
d'
H1
H'1
Теперь добавим в систему третью линзу. Расстояние d’ между этой линзой и
системой первых двух линз сейчас будет отсчитываться от задней главной
плоскости первой системы H1' до третьей линзы (третья линза тонкая, поэтому
главные плоскости расположены в центре линзы) d’ = –X2 +5 см = 15 см. Снова
находим оптическую силу такой системы
 '    3  d '    3  5  10  0,15  5  10  7,5 дптр.
Передняя главная плоскость всей системы расположена на расстоянии
X1'  d '
3
10
 0,15 
 0,2 м
'
7,5
от первой главной плоскости H1 , т.е. совпадает с положением третьей линзы.
Задняя главная плоскость всей системы расположена на расстоянии
X 2'  d '

5
 0,15 
 0,1м
'
7,5
от третьей линзы, т.е. совпадает с положением первой линзы. Система главных
плоскостей системы из трех линз показана на рисунке
48
-X'2
X'1
H1
H'1
H'
H
Таким образом, систему из трех линз можно заменить системой главных
плоскостей H и H’, оптическая сила такой системы равна  ' .
а) параллельный пучок, падающий слева, должен попасть в задний фокус всей
системы. Задний фокус всей системы находится на расстоянии
f '
1
1

 0,133 м
 ' 7,5
от главной плоскости Н’. Следовательно, задний фокус системы находится на
расстоянии
X 2'  f '  0,1  0,133  0,033 м
от третьей линзы (за ней).
5.58 Центрированная оптическая система состоит из двух тонких линз с
фокусными расстояниями f1 и f2, причём расстояние между линзам равно d.
Данную систему требуется заменить одной тонкой линзой, которая при
любом положении объекта давала бы такое же поперечное увеличение, как и
предыдущая система. Каким должно быть фокусное расстояние этой линзы и
её положение относительно системы из двух линз?
Решение. Между линзами воздух, поэтому n = 1. Оптическая сила системы
двух
тонких
линз
  1   2 
d
1 1
1
f  f d
.
 1   2    d
 1 2
n
f1 f 2
f1  f 2
f1  f 2
Следовательно, фокусное расстояние этой линзы
 f1  f 2  f 
1
f1  f 2
.

 f1  f 2  d
49
Положение главных плоскостей системы относительно первой и второй линз,
соответственно:
X


d 2
f1
d
;
n 
 f1  f 2  d 
X '


d 1
f2
 d 
.
n 
 f1  f 2  d 
Поскольку фокусные расстояния равны, то, согласно (6), узловые точки
системы совпадают с главными точками системы.
В такой системе
изображение строится следующим образом:
-s
s'
1
y
1'
2
F'
N2
N1
O
H
O'
2'
-y'
H'
Лучи 2 и 2’ составляют одинаковый угол с оптической осью, поэтому
поперечное увеличение системы:

y' s'

y s
Но расстояния s и s’ связаны между собой соотношением Аббе (1):
1 1
s
.
    s' 
s' s
s  1
То есть поперечное увеличение системы

s'
1

s s  1
зависит только от расстояния до первой главной плоскости и оптической силы
системы. Таким образом, если система заменяется тонкой линзой, то она
должна иметь такую же оптическую силу, как и система, и находится в точке
положения передней главной плоскости системы, т.е. на удалении X от первой
линзы. В этом случае заменяющая систему тонкая линза будет давать такое же
поперечное увеличение, как и система линз.
50
5.59 Система состоит из собирающей тонкой симметричной стеклянной
линзы с радиусом кривизны поверхностей R=38 см и плоского зеркала,
расположенного перпендикулярно к оптической оси линзы. Расстояние между
линзой и зеркалом l=12 см. Какова будет оптическая сила этой системы, если
пространство между линзой и зеркалом заполнить водой?
Решение. Луч света проходит в воде от линзы до зеркала путь l, затем проходит
такой же путь от зеркала до линзы. Плоское зеркало оптической силы не имеет,
поэтому такая система представляет собой систему из двух линз одинаковой
оптической силы Ф’, расположенных на расстоянии 2l друг от друга.
Промежуток между линзами заполнен водой с показателем преломления n0.
Оптическую силу линзы, у которой с одной стороны воздух, а с другой – вода
уже
находили
' 
в
задаче
5.52,
она
равна
2n  n0  1 2  1,5  1,33  1

 1,76 дптр. Для расчёта оптической силы
R
0,38
системы воспользуемся формулой (4):
   '  '
2l
2  0,12
  '  '  2  1,76 
(1,76) 2  3 дптр.
n0
1,33
5.60. При какой толщине выпукло-вогнутая толстая стеклянная линза в
воздухе будет:
а) телескопической, если радиус кривизны ее выпуклой поверхности больше
больше, чем радиус кривизны вогнутой поверхности R  1,5 см ?
б) иметь оптическую силу, равную –1,0 дптр, если радиусы кривизны ее
выпуклой и вогнутой поверхностей равны соответственно 10,0 и 7,5 см?
Решение.
а)
У
телескопической
системы
положение
заднего
фокуса
передней
поверхности совпадает с положением переднего фокуса задней поверхности.
Главные плоскости этих поверхностей совпадают с касательными к ним в точке
пересечения
оптической
оси.
Положения
фокусов
этих
поверхностей
относительно главных поверхностей можно найти по формулам (2):
51
f 1' 
n
nR
n
nR
n
 1 ; f2  
 2 
 R1  R 
1 n  1
2
1 n n 1
Задний фокус передней поверхности находится справа от нее по ходу лучей,
передний фокус задней поверхности также находится справа от нее по ходу
лучей. Поэтому, расстояние между поверхностями
d  f1'  f 2 
nR
 0,045 м .
n 1
б) По формуле (3) для суммарной оптической силы, с учетом формулы (4) для
оптической силы, можно записать следующее выражение
n  1 n  1 d  n  1
,



R1
R2
n R1R2
2
из которого, для заданной оптической силы Ф, находим выражение для
толщины линзы:
 RR

 1
1   nR R
( R  R1 ) 
  0,03 м .
d      n  1     1 22  n  1 2 2   2


R
R
n

1
n

1
n

1
 1
2  





52