ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА МОСКВЫ «ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ» СТРУКТУРНОЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЕ (МОСКОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ) Методические рекомендации к выполнению практической работы № 4 «Расчет на прочность и жесткость бруса при растяжении (сжатии)» по дисциплине «Техническая механика» для специальностей 24.02.02 «Производство авиационных двигателей» 44.02.06 «Профессиональное обучение» Составитель: Сайманин А.С. – к.т.н., преподаватель высшей категории Москва 2014 ОДОБРЕНЫ предметной (цикловой) комиссией «Специальных дисциплин» Протокол №1 от 28 августа 2014 г. Председатель предметной (цикловой) комиссии ___________Сайманин А.С. Согласовано с методической службой колледжа ______________________ Составитель: Сайманин А.С. – к.т.н., преподаватель высшей категории Пояснительная записка Настоящие методические рекомендации предназначены для студентов специальностей 24.02.02 «Производство авиационных двигателей» и 44.02.06 «Профессиональное обучение» для выполнения практических и самостоятельных работ по разделу 2 «Сопротивление материалов» дисциплины «Техническая механика». В настоящих методических рекомендациях представлены варианты практической работы «Расчет на прочность и жесткость бруса при растяжении (сжатии)» и образец её выполнения. Настоящие методические рекомендации содержат необходимый теоретический материал для выполнения практической работы. Рекомендуемая литература Аркуша А.И. Техническая механика. Теоретическая механика и сопротивление материалов. - М.: Высшая школа, 2003. Ицкович Г.М., Минин М.С., Винокуров А.И. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов. - М.: Высшая школа, 2003. Олофинская В.П. Техническая механика. – М.:ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007. Эрдеди А.А. , Эрдеди Н.А. Теоретическая механика. Сопротивление материалов. - М.: Высшая школа, Академия, 2001. Обозначения F – сила, (Н); A – площадь поперечного сечения, (м2) L – длина, (м) Nx – продольная сила в сечении, (Н) σx – нормальное напряжение, (МПа) εх – продольная деформация, (безразмерная величина) ux – линейное перемещение, (м) Е – модуль упругости (для стали Е=2∙105МПа); [σ] – допускаемое нормальное напряжение (для стали [σ]=160 МПа). Содержание Основные понятия Растяжение (сжатие) – это такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор – нормальная (продольная) сила Nx . F F Nx F F F Nx F Nx>0 Растяжение Nx< 0 Сжатие Рис. 1 Нормальной силой в поперечном сечении бруса, называется равнодействующая внутренних нормальных сил, возникающих в этом сечении. Модуль и направление (знак) нормальной силы определяются из уравнений равновесия, составленного для отсечённой (оставленной после проведения сечения) части бруса. ∑Х=0 ост. части Нормальная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, т. е. Nx = ∑ Fix ост. части Правило знаков. При растяжении продольную силу принято считать положительной, при сжатии – отрицательной (см. рис. 1). Эпюра нормальных сил – это график функции Nx = f(х). Для построения эпюры Nx проводим ось, параллельную оси бруса. Это база эпюры. Если брус нагружен только сосредоточенными силами, то в пределах каждого из участков бруса нормальная сила постоянна, т.е. эпюра параллельна оси бруса. Значения нормальных сил откладываем в выбранном масштабе по оси эпюры. При этом положительные значения Nx (растяжение) откладывает вверх, а отрицательные - вниз от оси. В местах приложения сосредоточенных сил на эпюре получаются скачкообразные изменения ординат – «скачки». Размер «скачка» равен приложенной в этом сечении бруса внешней сосредоточенной силе. Эпюру принято штриховать. При этом штриховка перпендикулярна оси эпюры – каждая линия штриховки даёт в принятом масштабе значение нормальной силы в соответствующем поперечном сечении бруса. При растяжении (сжатии) в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные напряжения. σх = Nх/Aх , где Nх – продольная сила в поперечном сечении бруса. Aх - площадь поперечного сечения бруса. Правило знаков для нормальных напряжений то же, что и для нормальных сил. Эпюра нормальных напряжений – это график функции σх = f(х). Эпюру нормальных напряжений строят для последующего расчета бруса на прочность. По этой эпюре определяют поперечное сечение, в котором возникают наибольшее напряжение (σmax). Такое сечение называется опасным. Условие прочности при растяжении (сжатии): σmax ≤ [σ], где [σ] – допускаемое напряжение. Расчёт на прочность бывает: проверочным (проверка выполнения условия прочности), проектировочным (определение размеров поперечного сечения бруса, удовлетворяющим условию прочности), расчёт допускаемой нагрузки по условию прочности. Продольная деформация εх (относительное удлинение) – это отношение изменения длины участка бруса к его первоначальной длине. Продольную деформацию называют также линейной деформацией. εх= Nх/ЕAх Закон Гука для растяжения (сжатия): Продольные деформации прямо пропорциональны нормальным напряжениям. σх = Еεх , где Е – модуль упругости (модуль Юнга). Эта физическая величина постоянна для каждого материала и характеризует его жёсткость. Чем жёстче материал, тем меньше он деформируется при данном напряжении. Удлинение (укорочение) бруса – изменение его длины в результате действия нагрузки – приводит к перемещению (ux) его поперечных сечений вдоль оси Х. хi ux = Σ ui-1 + ∫ εx dx , 0 где Σ ui-1 - удлинение всех участков, предшествующих, рассматриваемому участку или перемещение последнего сечения предыдущего участка. хi ∫ εx dx - удлинение рассматриваемого участка на длине Х. 0 Практическая работа №4 «Расчет на прочность и жесткость бруса при растяжении (сжатии)» Раздел 2: «Сопротивление материалов». Тема: «Растяжение (сжатие)» Количество часов: 2 Цель работы: овладение студентами навыками расчёта на прочность и жёсткость при растяжении (сжатии). Форма контроля: ответы на вопросы, решение задач. Критерии оценки: «5» - 91-100% правильных ответов; «4» - 81-90% правильных ответов; «3» - 70-80% правильных ответов; «2» - менее 70% правильных ответов; Оснащение занятия: ПК, проектор, методические рекомендации. Х F2 F1 A1 L1 А2 L2 Рис. 2 Общая расчётная схема Требуется: 1. Определить опорную реакцию. 2. Определить величины нормальных (продольных) сил Nx на участках бруса и построить эпюры. 3. Определить величины нормальных напряжений σx на участках бруса и построить эпюры. 4. Определить величины продольных деформаций εх на участках бруса и построить эпюры. 5. Определить величины перемещений поперечных сечений ux бруса и построить эпюры. 6. Выполнить проектировочный расчёт на прочность. 7. Определить перемещение свободного конца бруса. Задания Варианты практической работы №4 № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 F1 3F 2F -3F F 2F 3F 2F 2F -3F 2F 3F 2F -3F 2F F 3F -2F F -F 2F -3F F -F 2F 3F 2F -3F F -3F 2F F2 -F 3F 2F 3F 3F -F F 3F F -F 2F F F 3F -3F 2F 2F 3F 3F F 2F 2F 3F F 2F 3F F 2F 2F 3F A1 3A 3A 2A A 2A A 3A 2A 2A 3A A 2A 3A 2A A 3A 2A 3A 2A A 2A 2A 3A 2A 3A 2A A 3A 3A 2A A2 A 2A A 3A 3A 2A A 3A A 2A 2A 3A 2A A 3A 2A A A 3A 2A 3A A A A A 3A 2A A A 3A L1 2L 3L L 2L L 2L 3L L 2L 3L 2L L 3L 2L L 3L 2L L 3L 2L L L 3L 2L L 2L L L 2L 3L L2 L L 2L 3L 3L L 2L 3L L 2L 3L 3L 2L 3L 2L 2L 3L 2L L L 2L 2L L L 3L L 2L 3L 3L 2L Примечания. 1. Общую расчётную схему (Рис. 2) следует преобразовать в заданную расчётную схему в соответствии с исходными данными из таблицы вариантов. 2. Знак «минус» перед силой Fi означает, что сила должна быть направлена в сторону, противоположную положительному направлению оси Х. 3. Числовой расчет (пункты 6 и 7) производится в размерностях международной системы единиц СИ после выполнения работы в общем виде. 4. Исходные данные для п.п.6 и 7: F=1кН; L=0,1м; Е=2∙105МПа; [σ]=160 МПа Алгоритм выполнения задания Расчетная схема бруса, представленная на рис 3. составлена из общей расчётной схемы для следующих исходных данных: F 3F F2 5F A1 2A A2 5А L1 5L L2 L 5F 3F 2А Х 5A 5L L Рис. 3 Вначале проведём подготовительную работу (рис.4). 1. Направляем оси координат Х – вдоль оси бруса, Y – вертикально вверх. 2. Разбиваем брус на участки. Признаками границ участка являются сечения бруса, где: - расположены опоры; - приложены сосредоточенные силы; - где происходит резкое изменение размеров сечения; - свободный конец бруса. Таким образом, в данном случае получаем два участка. Обозначим их 1 и 2 соответственно. 3. Так как определять внутренние силовые факторы будем методом сечений, наметим эти произвольные сечения на участках 1 и 2 с текущими координатами Х1 и Х2 соответственно. 4. Так как брус нагружен только вдоль оси, очевидно, что в заделке возникает только одна реактивная сила (реакция). Произвольно направляем реактивную силу R. Если в результате решения уравнения равновесия мы получим положительное значение реакции R, значит, направление реакции было выбрано верно. В противном случае следует изменить направление реакции на противоположное, и в дальнейших расчетах считать её положительной. 1. Определение опорной реакции Реакцию в заделке определяем из уравнения равновесия ΣХ = 0; Если направление силы совпадает с положительным направлением оси Х, то в уравнение равновесия она войдёт со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус. -R+3F+5F=0; Решив уравнение равновесия относительно R, получим: R=8F. Y 2 1 R=8F 5F 3F Х 2А 5A Х1 Х2 5L L Рис. 4 2. Определение величин нормальных (продольных) сил Nx на участках бруса и построение эпюр Для этого применяем метод сечений: 1. Мысленно разрезаем брус в произвольном сечении; 2. Отбрасываем любую часть бруса (в данном случае, на первом участке отбросим правую часть, а на втором – левую); 3. Заменяем отброшенную часть неизвестной силой Nx , направив её от сечения, предполагая, что рассматриваемый участок испытывает растяжение; 4. Уравновешиваем оставшуюся часть: ΣХ = 0. Участок 1 Y R=8F Nх Х 2А Х1 Рис. 5 Уравнение равновесия для оставшейся части: ΣХ = -8F+Nx= 0; Решив уравнение относительно Nx, получим: Nx=8F. На участке 1 нормальная сила Nx >0, следовательно, участок растянут. Участок 2 5А Nx 5F Х L-X2 Рис. 6 Уравнение равновесия для оставшейся части: ΣХ = 5F-Nx= 0; Решив уравнение относительно Nx, получим: Nx=5F. На участке 2 нормальная сила Nx >0, следовательно, участок растянут. По результатам расчетов строим эпюры Nx. (рис.6). 3. Определение величин нормальных напряжений σx и построение эпюр σх = Nх/Aх , где Nx – нормальная (продольная) сила на участке бруса. Aх - площадь поперечного сечения участка бруса. Участок 1 σx = 8F/2A =4F/A Участок 2 σx = 5F/5A = F/A Строим эпюры нормальных напряжений (рис. 6). 4. Определение величин линейных деформаций и построение эпюр εх = Nх/EAx , где E – модуль упругости первого рода (модуль Юнга). Примечание. Произведение ЕАх называется жесткостью при растяжении. Участок 1 εх = 8F/2EA = 4F/EA Участок 2 εх = 5F/5EA = F/EA Строим эпюры линейных деформаций (рис.6). 5. Определение величин линейных перемещений сечений бруса и построение эпюр хi ux = Σ ui-1 + ∫εx dx , 0 где Σ ui-1 - удлинение всех участков, предшествующих рассматриваемому участку или перемещение последнего сечения предыдущего участка. хi ∫εx dx - удлинение рассматриваемого участка на длине Х. 0 Участок 1. На первом участке Σ ui-1 = 0. х1 uх = ∫ 4 F dx = 4 Fх1 0 ЕА ЕА при х1 = 0; ux = 0; при х1 = 5L; ux = 20 FL ЕА Участок 2. На втором участке Σ ui -1 = 20 FL ЕА Это удлинение первого участка или перемещение его последнего сечения. x2 ux = 20FL + ∫ F_dx = 20FL + F х2 ЕА 0 EA EA ЕА при х2=0; ux = 20FL при х2=L EA ux = 21FL EA Строим эпюры линейных перемещений (рис.6). Примечания к эпюрам. 1. Эпюра Nх не зависит от координаты Х, поэтому имеет вид прямоугольника в пределах участка. В тех сечениях, где приложены сосредоточенные силы (внешние силы или реакции опор), на эпюре наблюдаются скачки, равные величинам этих сил. 2. Эпюры σx и εх также не зависят от координаты Х, поэтому имеют вид прямоугольника в пределах участка и в общем виде идентичны. 3. Эпюра ux. Первое сечение участка 1 жестко заделано, поэтому не перемещается uх=0. Эпюра не может иметь скачков (кроме свободного конца бруса). Эпюра линейно зависит от координаты Х. 4. Необходимо соблюдать пропорции в эпюрах на разных участках, в зависимости от значений соответствующих величин. 5. Положительные значения величин Nх, σx, выше нулевой линии, отрицательные – ниже. εх, ux откладываются Y 1 2 R=8F 5F 3F 2А 5А Х1 Х2 5L L 8F 5F + Nх 4F A F A + σx 4F EA εх F EA + + 20FL/ЕА ux Рис. 7 21FL ЕА Х 6. Проектировочный расчет на прочность Условие прочности при растяжении (сжатии) где σmax σmax ≤[σ] , - максимальные (вне зависимости от знака) нормальные напряжения, действующие в сечениях бруса. В данном случае максимальные напряжения действуют на первом участке. σmax= 4F ≤ [σ] A Допускаемое значение площади поперечного сечения [A] ≥ 4F [σ] = 4∙103 = 2,5∙ 10-5 м2 ; 160∙106 Для стержня с квадратным поперечным сечением сторона [a] ≥ 5∙10-3 м Принимаем а=0,005м. Тогда площади участков А1=5∙10-5 м2, А2=12,5∙10-5 м2. 7. Определение перемещения свободного конца бруса uх = 21FL = 21∙1000∙0,1 = 4,2∙10-4м (0,42 мм) EA 2∙1011∙2,5∙10-5 Контрольные вопросы и задания к защите практической работы №4 1. Определить реакцию в заделке Х F Х А 6F 2A 4F A L L Рис. 8 2. Построить эпюры внутренних силовых факторов А A 3F 2A L L Рис. 9 3. Построить эпюры напряжений F 2A А 5F A L L Рис. 10 Х 4. Построить эпюры деформаций. L Х F Х А 5F 2A F L Рис. 11 5. Построить эпюры перемещений. А 3F 2A L L Рис. 12 6. Определить опасное сечение бруса. F А F 2A L L Рис. 13 Х