Раздел 19

Раздел 19
«Метод размерностей физических величин
для оценки периода колебаний»
Изучение функциональных зависимостей в физике имеет свои особенности:
аналитически записанная функциональная зависимость оперирует значениями величин. В
процессе решения задач отдается предпочтение получению этого решения в общем виде.
Если, осуществив все действия с единицами величин, получают единицы определяемой
величины, то полученное решение в общем виде верно. В данном случае метод действий с
единицами величин выступает операцией проверки решения в общем виде. Эти навыки
можно использовать для получения интересных выводов, новых обобщений, при
подготовке к олимпиадам по физике. Метод размерностей может быть использован для
определения функциональной зависимости определенной величины через заданные
условием величины.
Структура метода размерностей имеет вид:
1. Анализ условия задачи с целью выделения искомой величины, заданных величин и
выделения определенных условий и ограничений.
2. На основе размерностей составление исходного выражения, определяющего
функциональную зависимость искомой величины от заданных, в виде степенного
одночлена.
3. Составление равенства размерностей физических величин на основе записанной
зависимости. В левой части равенства стоит размерность искомой физической
величины, а в правой – вся совокупность размерностей данных в задаче величин с
неизвестными показателями степеней.
4. Определение показателей степеней путем составления системы уравнений и ее
решения.
5. Запись искомого выражения.
Рассмотрим применение метода размерностей при оценке периода колебаний
математического и пружинного маятников, периода колебаний электрического диполя в
однородном
электрическом
поле,
периода
колебаний
объема
газового
пузыря,
образовавшегося в результате глубинного подводного взрыва и собственной частоты
колебаний
сферической
капли,
находящейся
в
невесомости.
Общая
подборка
соответствует принципу «от простого к сложному».
1
Задача №1.
Используя метод размерностей физических величин, оценить период колебаний
математического маятника.
Решение
Будем считать, что период колебаний математического маятника зависит от массы груза
m, длины нити l, ускорения свободного падения g. Т. к. период колебаний связан с
круговой частотой выражением T 
2

, то необходимо установить зависимость круговой
частоты от массы груза, длины нити и ускорения свободного падения. Для этого
воспользуемся методом размерности физических величин, т.е. полагаем, что  ~ m a l b g d .
d
Переходим
к
размерности
физических
величин
м
с 1 ~ кг а м b  2  .
с 
Преобразуем
c 1 ~ кг а м b  d c 2 d , кг 0 м 0 c 1 ~ кг а м b  d c 2 d .
Получаем систему уравнений 0=a, 0=b+d, -1=-2d. Решением полученной системы
уравнений являются выражения a=0, d=
подставляем

1
2
1
2
~m l g ~
0
в
выражение
для
1
1
, b=- . Найденные значения показателей
2
2
круговой
частоты
 ~ mal b g d ,
получаем
g
. Т.е. мы получили выражение для периода колебаний методом
l
размерностей с точностью до безразмерного коэффициента T  2
l
.
g
Задача №2.
Используя метод размерностей физических величин, оценить период колебаний
пружинного маятника.
Решение
Будем считать, что период колебаний пружинного маятника зависит от массы груза
m, жесткости пружины k, ускорения свободного падения g. Т. к. период колебаний связан
с круговой частотой выражением T 
2

, то необходимо установить зависимость
круговой частоты от массы груза, жесткости пружины и ускорения свободного падения.
Для этого воспользуемся методом размерности физических величин, т.е. полагаем, что
2
b
d
Н  м
  2 .
 м  с 
 ~ m a k b g d . Переходим к размерности физических величин с 1 ~ кг a 
Преобразуем
с 1 ~ кг a Н b м b м d с 2 d  с 1 ~ кг a кг b м b c 2b м b м d с 2 d  с 1 ~ кг a b м b b  d c 2b  2 d 
кг 0 м 0 с 1 ~ кг a b м d c 2b  2 d . Получаем систему уравнений 0=a+b, 0=d, -1=-2b-2d. Решением
1
1
полученной системы уравнений являются выражения d=0, b= , a=- ,. Найденные
2
2
значения показателей подставляем в выражение для круговой частоты  ~ m a k b g d ,

1
1
получаем  ~ m 2 k 2 g 0 ~
k
. Т.е. мы получили выражение для периода колебаний
m
методом размерностей с точностью до безразмерного коэффициента T  2
m
.
k
Задача №3.
Используя метод размерностей физических величин, оценить период колебаний
электрического диполя в однородном электрическом поле.
Решение
Будем считать, что период колебаний электрического диполя в однородном
электрическом поле зависит от заряда q одного из «полюса» диполя, его массы m, длины
диполя l (расстояние между «полюсами» диполя, т.е. центрами положительного и
отрицательного зарядов) и от напряженности E однородного электрического поля. Сила
тяжести, действующая на электрический диполь, является постоянной и на величину
периода колебаний не влияет.
выражением T 
2

Т. к. период колебаний связан с круговой частотой
, то необходимо установить зависимость круговой частоты от заряда,
массы, длины и напряженности электрического поля. Для этого воспользуемся методом
размерности физических величин, т.е. полагаем, что  ~ q a m b l c E d . Переходим к
d
м
Н 
размерности физических величин с 1 ~ Кл a кг b м c 
 . Т.к. Н  кг 2 , то после
с
 Кл 
преобразований получаем с 1 ~ Кл a d кг b  d м c  d c 2 d  Кл 0 кг 0 м 0 c 1 ~ Кл a d кг b  d м c  d c 2 d .
Получаем систему уравнений 0=a-d, 0=b+d, 0=c+d, -1=-2d. Решением являются
выражения d 
1
1
1
1
, c   , a  , b   . Найденные значения показателей подставляем
2
2
2
2
3
1

1

1
1
в выражение для круговой частоты  ~ q a m b l c E d , получаем  ~ q 2 m 2 l 2 E 2 ~
qE
.
ml
Тогда выражение для периода колебаний электрического диполя в однородном
электрическом поле методом размерностей с точностью до безразмерного коэффициента
принимает вид T  2
ml
.
qE
Рассмотрим иной подход к решению представленной задачи и сравним полученный
результат.
Определите период колебаний полярной молекулы в однородном электрическом поле,
напряжённость которого 300 В/см. Полярную молекулу можно представить в виде
жёсткой гантельки длиной l= 108см, на концах которой находятся две материальные
точки массой m = 1027 кг, несущие на себе заряды +q и –q соответственно (q = 1,6 ∙1019
Кл). Карташов
С.Н. [email protected] (МБОУ СОШ с. Маис, Никольский р-н,
Пензенская обл.). Решение задач на нахождение периода колебаний. Электронное
приложение к журналу «Физика» №6/2012.
В состоянии равновесия дипольная молекула должна располагаться вдоль силовой линии
напряжённости электрического поля. Будем считать, что
отрицательный заряд
отклонился вниз, а положительный вверх от силовой линии (см. рис.), где угол α очень
мал.
Пусть точка О – центр тяжести дипольной молекулы. На отрицательный заряд действуют
кулоновская сила Fкул1 и сила упругости «стержня» диполя
этих сил
Fупр1 . Равнодействующая
F1 равна векторной их сумме: F1  Fкул1  Fупр1. Она-то и является силой,
возвращающей диполь в положение равновесия, направлена по касательной к траектории
заряда. Аналогично для второго заряда такой силой является
F2 . Модуль F1 = Fкул1 ∙ sin
4
α. Так как α мал, то можно считать, что сила
силы
F1 почти параллельна оси Х. Тогда проекция
F1 на ось Х равна
F1x = –Fкул1 ∙ sinα.
(1)
Знак «–» здесь потому, что угол α и проекция F1x разного знака. Из треугольника
ОАВ найдём sinα =
ÀÂ
1
. Но АО = l, АВ пусть будет х. Тогда
ÀÎ
2
sinα =
2õ
.
l
(2)
Подставив (2) в (1), имеем
F1x = –Fкул1 ∙
2õ
.
l
(3)
2õ
.
l
(4)
Так как кулоновская сила Fкул1 = qE, то
F1x = –qE ∙
По второму закону Ньютона, F1x = max. Уравнение (4) примет вид max= –qE ∙
2õ
и
l
тогда
ax = -–
2qE
x
ml
(5)
– уравнение гармонических колебаний дипольной молекулы. Из него следует, что
собственная циклическая частота колебаний
0 =
2qE
. Соответственно период
m
колебаний
T = 2π
ml
. Подстановка числовых данных даёт ответ: T = 2 ∙ 1011 с.
2qE
5
Задача №4.
Используя метод размерностей физических величин, оценить период колебаний
объема газового пузыря, образовавшегося в результате глубинного подводного взрыва.
Считать, что величина периода зависит от давления, плотности воды и полной энергии
взрыва.
Решение
С учетом условия задачи полагаем, что T ~ p a  b E c . Переходим к размерности
a
b
м
 Н   кг 
с
физических величин с ~  2   3  Н  м  . Т.к. Н  кг  2 , то после преобразований
с
м  м 
1
получаем с 1 ~ кг a b c м  a 3b  2c c 2 a 2c  кг 0 м 0 c1 ~ кг a b c м  a 3b  2c c 2 a 2c . Получаем систему
5
уравнений 0=a+b+c, 0=-a-3b+2c, 1=-2a-2c. Решением являются выражения a   ,
6
b
1
1
, c  . Найденные значения показателей подставляем в выражение для периода
2
3
колебаний объема газового пузыря T ~ p a  b E c , получаем T ~
 3 E
6
p5
.
Задача №5.
Оценить собственную частоту колебаний сферической капли, находящейся в
невесомости.
Решение
Для оценки частоты будем считать, что ее величина зависит от радиуса капли R,
плотности  и коэффициента поверхностного натяжения , т.е.  ~ R a  b c . Переходим к
с
размерности физических величин с
1
~ м кг м
a
b
 3b
м
Н 
  , т.к. Н  кг 2 , получаем
с
 м
с 1 ~ м a кг b м 3b кг c с 2c  c 1 ~ м a 3b кг b c с 2c  м 0 кг 0 с 0 c 1 ~ м a 3b кг b  c с 2c .
Получаем
систему уравнений 0=a-3b, 0=b+c, -1=-2c. Решением являются выражения c 
b
1
,
2
1
3
, a   . Найденные значения показателей подставляем в выражение для частоты
2
2

3
2

1
2
1
2
~R   ,~R   ~
a
b
c
1
R3


.

6