Косинский Ю.И., «Взаимодействие волны электрического поля с

Косинский Ю.И.
Взаимодействие волны электрического поля с оптической средой в
микроструктурной модели в случае падения волнового вектора на
плоскость среды под углом, при этом вектор электрического поля
находится в плоскости падения
В работе [1] была решена задача прохождения и отражения электрической
волны сквозь оптическую среду в представлении микроструктурной модели
взаимодействия. При этом волновой вектор падал под произвольным углом к
плоскости среды, а электрический вектор находился перпендикулярно плоскости
падения луча.
Интегральное уравнение для волн электрического поля, излучаемых
диполями, находящимися в плоскости решетки структуры среды в случае падения
возбуждающей волны электрического поля под углом
имело такой вид.
E l ( zl )  iA E 0 
ikCos ( ) zl
 ik ' 
 ikCos ( ) zl
zp
к
 E j (z j ) 
плоскости среды
ikCos ( ) z j
dz j 
zl
 ik ' 
ikCos ( ) zl
zl
 E j (z j ) 
 ikCos ( ) z j
dz j ,
z1
(1)
__
где
k  '  i
r
k
 2
N xyz  .
z
Cos( )
(2)
В данной работе будет решена задача прохождения и отражения
электрической
волны
сквозь
оптическую
среду
в
представлении
микроструктурной модели взаимодействия. При этом волновой вектор падает под
произвольным углом к плоскости среды, а электрический вектор находится в
плоскости падения луча.
Электрический вектор в плоскости падения на границе раздела сред при
прохождении (Рис. 1) и отражении (Рис. 2) испытывает следующие
преобразования.
-

/2-


Рис.1
Согласно рис.1, электрический вектор падающей волны на входе в оптическую
среду

E
терпит преобразование, превращаясь в электрический вектор

преломленной волны E  , согласно соотношению:


E   E Cos(   ) .
(3)
/2––




Рис.2
Согласно рис.2, электрический вектор преломленной волны на выходе из

оптической среды, двигающийся в среде в обратном направлении E  терпит

преобразование, превращаясь в электрический вектор отраженной волны E  ,
согласно соотношению:



E  E Sin( / 2     )  E Cos(   ) .
(4)
Если электрический вектор находится в плоскости падения луча,
интегральное уравнение (1), (2) для волн электрического поля, излучаемых
диполями, находящимися в плоскости решетки структуры среды в случае падения

возбуждающей волны электрического поля под углом
к плоскости среды,
учитывая соотношения (3), (4) будет иметь такой вид.
E l ( zl )  iA E 0 ikCos( ) zl 
zp
ikCos ( ) z j
 iCos(   ) k '  ikCos( ) zl E j ( z j ) 
dz j 
zl
(5)

zl
 iCos(   ) k ' ikCos( ) zl  E j ( z j ) 
 ikCos ( ) z j
dz j ,
z1
__
где
k  '  i
r
k
 2
N xyz  .
z
Cos( )
(6)
Для амплитуд суммарного (суммируются волны, излучаемые плоскими
источниками переизлучения ) электрического поля волн двух направлений,
распространяющихся в среде, в случае падения возбуждающей волны под углом
к плоскости среды, формулы будут иметь следующую функциональную
зависимость.

El  E0  i kCos( ) zl 
Cos(   )
zl
 E j (z j ) 
i kCos ( ) ( zl  z j )
,
(7)
z j  z1
El1  Cos(   )
zp
 E j (z j ) 
i kCos( ) ( z j  zl 1 )
,
z j  zl 1
где значения амплитуд волн источников переизлучения
(8)
E j ( z j ) необходимо
брать из решения уравнения (5).
При решении уравнения (5) для краткости записи введем обозначения:
k '  2N
k
,
Cos( )
A  k ' z , c  Cos(   ), d  Cos(   ),
(9)
__
k  kCos( ).
Прибавим в уравнение (7) слева и справа от равенства величину
Cos(   ) El ( zl ) ,
(10)
а в уравнение (8) прибавим слева и справа от равенства величину
Cos(   ) El ( zl ) .
(11)
После сложения, уравнения (7), (8) с учетом (10), (11) можно записать в таком
виде:
El  Cos(   ) El ( zl )  El1i k ( zl  zl 1 ) ,
(12)

 i k ( zl  1  zl )
El  Cos(   ) El ( zl )  El 1
.
Левую и правую часть уравнения (5) умножим на величину Cos(   ) и от
интегралов в правой части перейдем к суммам. В итоге запишем.
_
__
__
Cos(   )El  r E0i kzl  r B
__ zl
 r
 E j
zp
 E j
ik ( z j  zl )

z j  zl
 ik ( z j  zl )
(13)
,
z1
где введены обозначения:
kCos2 (   )
r  Cos (   )ik '  i 2 Nxy
.
(14)
Cos( )
В уравнении (13) выделим из сумм слагаемое, пропорциональное El ( zl ) . Затем
__
2
перенесем слагаемое в левую часть уравнения. В результате запишем.
E l (zl )Cos(   )(1  rB 2 )  rE 0 ikzl 
zp
ik ( z  z )
 rB
E j (z j ) j l 
z j  zl 1

r
zl 1
 E j (z j )
ik ( zl  z j )
(15)
.
z j  z1
В (15) введены обозначения. B 
Cos(   )
.
Cos(   )
Поделив уравнение (15) на коэффициент в левой части при
соотношения (12), можем записать:
(16)
El ( zl ) и использовав
Cos(   ) El ( zl )  r ( zl ) El1i k ( zl  zl 1 )  r ( zl ) BEl1i k ( zl 1 zl ) ,
где в (15), (17) введены обозначения
kCos(   ) 2
r
r  i 2 N xy
, r ( zl ) 
,
2
Cos( )
1  rB
k '  2 N xyz
kCos(   ) 2
.
Cos( )
(18)
(17)
Подставим значение амплитуды волны переизлучающей плоскости (17) в систему
уравнений (12). В результате получим.
El  (1  r ) El1i k ( zl  zl 1 )  BrEl1i k ( zl 1  zl ) ,
(19)
El  (1  B 2 r ) El1i k ( zl 1  zl )  B rEl1i k ( zl  zl 1 ) .
(20)
Из уравнения (20) легко получается такая зависимость:
E l 1i k ( z l 1  z l )  
Br
1  cB 2 r
E l1i k ( z l  z l 1 ) 
1

E
l
.
1  B2 r
(21)
Подставив соотношение (21) в уравнение (19) совместно с уравнением (21)
получим систему из двух уравнений:
_
  
r 2 B 2   i k ( zl  zl 1 )
rB

E

1

r

E


E
,


 l
l

1
l
2
2


1  rB 
1  rB

E l1

_
rB
1  rB
 i k ( 2 zl  zl 1  zl 1 )
E
l
1 
2

1
1  rB
_
 i k ( zl  zl 1 )
E

.
l
2
(22)
Имея следующие соотношения, можно упростить коэффициенты в уравнении
(22):
_
r
r
_
1  r B2
 zl 
_
_
r
1
r 2 B2
2
, r
,
 1 r B , 1 r 
 1  r . (23)
1  rB2
1  rB2
1  rB2
_
zl  1  zl  1
2 z  z l  1  zl  1
,  2 zl  l
.
2
(24)
Учитывая соотношения (22), (23), систему уравнений (22) запишем в матричной
форме:
 El1  El 
 

M l ( zl )
(25)
  ,
 
 E l   E l 1 
где матрица
Ml
в матричном соотношении (25) равна:
_
 _
 ik
 1  r ( zl ) 
_
2 

M l ( zl )   i k  zl 
_
_
2
i
k
  r B  zl

zl



_
.
 _
2  i k  zl 
1  r ( zl ) B  



_
r B
_
i k  2 zl
(26)
При равенстве расстояний между переизлучающими плоскостями матричные
элементы матрицы (26) примут вид:
_
_


i
(
1

i
r
)

i
r
B




M  
,
_
_
2

i

 i r B
(1  i r B )  


(27)
где в элементах матрицы (27) введены обозначения:
_
  k z  kCos( ) z ,
_
r  2Nxy
kCos2 (   )
.
Cos( )
(28)
Найдем собственные значения матрицы (27). Матричные элементы матрицы в
общем виде обозначим так:
 a11 a12 
M  
.
 a21 a22 
(29)
Собственные значения матрицы (29) находятся из матричного уравнения:
 a11 a12   E1 
 E1 

     .
 a21 a22   E2 
 E2 
(30)
Они равны
 1,2
2
a  a22
a a 
 11
  11 22   a12 a21 .


2
2
(31)
Если подставить матричные значения из матрицы (27) в собственное значение
(31) мы получим:
 1,2
 _
2  1/ 2 

_
_

  
 r

r
r


_



2
2
2  

 1  i k z  _
(1  B )   1  _
(1  B ) 
(
1

B
)
 .
_


 2 k z
 k z
 2 k z
  



 



(32)
В соотношениях (27), (31), (32) были учтены следующие упрощения:
_
_
  k z  1, Sin( )    k z , Cos( )  1,
_
r  1 .
В квадратных скобках соотношения (32) были отброшены слагаемые, которые по
величине <<1.
Введя обозначения, запишем:
_
_
1,2  1  i k z (  u)  i k z (  u) ,
(33)
где обозначения имеют следующие значения:
2

_
_



r
 r
 


u  1  _
(1  B 2 )   _
(1  B 2 ) 


 k z
2
k

z

 


 

1/ 2
,
(34)
_
r

(1  B )   N xyz 
2
_
2 k z
Cos 2 (   )
Cos 2 ( )
Cos2 (   )
r  2 Nxy k
,
Cos( )
_
Cos(   )
B
, k  kCos( ).
Cos(   )
(1  B 2 ),
(35)
_
(36)
(37)
Соотношение (33) для собственного значения можно представить как два первых
слагаемых разложения экспоненты в виду бесконечно малой величины
  z kCos( ) .
 1,2  1  i    u  i    u .
(38)
Если для матрицы (27), (28) матричного уравнения (25) собственные значения (38)
найдены, то матричное уравнение и матрицу можно представить в таком виде:
 E l 
 E l1 
  1 0  1




    M    , M  (T ) 0   (T ) ,

2
 El 1 
 El 
(39)
где (Т) – преобразующая матрица, (Т-1) – обратная преобразующей матрице таким
образом, что (Т)(Т-1)=(1).
(40)
Матричные элементы обратной матрицы выражаются через матричные элементы
преобразующей матрицы таким образом:
 T11 T12 
 T22  T12 
1
(T )  
 , (T )  
.
 T21 T22 
  T21 T11 
(40)
Матричные элементы преобразующей матрицы выражаются через матричные
элементы основной матрицы таким образом:
 T11 T12 
(T )  

 T21 T22 
Сделав замену индексов
справа, получим:
 a12

a12 ( 2   1 )   1  a11
a12 

 2  a11  .
1
l  l  1в
(41)
матричном соотношении (39) слева и
 E l 1
 E l 2 




    M   
 El 
 E l 1 
.
(42)
Подставим вектор (42) справа в матричное соотношение (39).
 
 E l 

E
l

  ( M ) 2   2 
  
  .
 E l 1
 E l 1 
Еще раз сделаем замену индексов в матричном соотношении (42).
(43)
 E l 2 
 E l 3 




    M   
 E l 1 
 El 2 
(44)
и подставим в матричное соотношение (43). В результате получим.
 
 E l 

E

  ( M ) 3  l  3 
  
  .
 E l 1
 El 2 
Если в оптическом слое среды переизлучающих плоскостей
(45)
p
матричное соотношение для слоя среды запишется:

 E p 

E

  ( M ) p  0 
  .
E 
 E1 
 p  1
В матричном соотношении (46) имеется ввиду
P  1 такой плоскости нет.
L
 1,
z
(46)

E p
1  0 , так как с номером
В итоге для матрицы слоя оптической среды, используя соотношения (39),
(40), (46), имеем функциональную зависимость.
 (  1) p 0 
 (T 1)
( M )  ( M ) p  (T )
.
(47)
 0 ( ) p 

2 
Найдем матричные элементы преобразующей (41) матрицы (Т). Из (27), (29), (38)
следует:
a12 (  2
 _

  1 )    r Bi 2 u


1/ 2
 _ 
  2 B r  u


1/ 2
,  1   2  2i u,
_
 1,2  a11  i  1     u,   
(48)
r (1  B 2 )
2
.
Используя экспоненциальное представление собственного значения (38), а также
(40), (41), (48) для функциональной зависимости (47) можно записать:
ikCos( ) uL


0  1
p
ikCos( ) L 
 (T )
( M )  ( M )  (T ) 
,
(49)

 ikCos( ) uL 
 0 



B_
B_

r

r


1
(T ) 



,
B_ 

i 2 r u  (1     u) (1     u)
(50)


 (1     u)
1

(T 1 ) 

B_ 
i 2 r u   (1     u)



r 
 
B _  ,
 r
 
B
_
(51)
Прямое произведение матриц (50), (51) в матричном произведении (49) приводит
к следующим функциональным зависимостям для матричных элементов матрицы
(49) слоя оптической среды.
ik  L
M11 
 uCos(kuL)  i (1  

u

 )Sin (kuL) ,
(52)
_
M12  i

r
i k L
B
u

Sin( kuL) ,
(53)
_
M 21  i

r
i k L
u
B

Sin( kuL) ,
(54)
M 22
 ik  L

uCos(kuL)  i (1    )Sin(kuL)
u


,
(55)
В матричных элементах (52) – (55) введены обозначения:
k  kCos( ),
 NCos 2 (   )
 
(1  B 2 ),
2
Cos ( )
(56)
 NCos 2 (   )
2

(
1

B
).
Cos 2 ( )
Cos2 (   )
r  2 Nxy k
,   z kCos( ) .
Cos( )
_
u  1  2    2 .
В обозначениях (56)
оптической среды,
(57)
(58)
 – угол падения возбуждающей волны на плоскость слоя
–
угол преломления падающей волны,

N–
объемная
плотность атомов оптической среды,
– поляризуемость атомов оптической
среды.
Следует заметить, что матрица слоя среды (52) –(55) обладает свойством
аддитивности
( M ( L1 ))( M ( L2 ))  ( M ( L1  L2 )) ,
а детерминант этой матрицы равен по модулю единице.
Det ( M )  M11 M 22  M12 M 21  1  i 2 k  L .
Матричное соотношение (46) перепишем в таком виде:
 E 0 
 E p 
   ( M ) 
  .
 0 
 E1 
(59)
(60)
(61)
Если известны матричные элементы (52) – (55) матрицы матричного соотношения
(55), неизвестные амплитуды прошедшей и отраженной волн находятся из
системы двух уравнений матричного соотношения (61) таким образом:
E p  E0
Det ( M )
M ( L)
, E1   E0 21
M 22 ( L)
M 22 ( L) .
(62)
Если подставить матричные значения (52) – (55) в функциональные зависимости
(62), мы получим следующие соотношения:
ik  L

4u
E p  E0
,
2
2
D (1   )  u
Cos(   )   ikuL  ikuL

,
Cos(   )
D
1  u    ikuL 1  u   ikuL
D 


 .
1 u  
1 u  
E1
E0
(63)
(64)
Найдем амплитуды встречных волн внутри слоя среды из матричного
соотношения
 E j 
 E0 

  ( M ( z )) 
j   ,
 E 
 E1 
 j 1 
(65)
из которого следует система двух уравнений
E j  M11 ( z j ) E 0 M12 ( z j ) E1 ,
E j 1  M 21 ( z j ) E0  M 22 ( z j ) E1 .
Значение отраженной волны
и в итоге получим:
(66)
E1 в уравнении (66) подставим из соотношения (62)
E j  E0
E j 1

M11 ( z j ) M 22 ( L)  M12 ( z j ) M 21 ( L)
E0
,
M 22 ( L)
M 22 ( L) M 21 ( z j )  M 22 ( z j ) M 21 ( L)
M 22 ( L)
(67)
.
Матричные элементы матрицы в плоскости с координатой z слоя среды равны
_
M (Z ) 

ik  z
2u
*
_
_
_


 i k_ uz
i k uz
i k u z
i k u z 
 (1     u)

 (1     u)
B (    ) 






*

_
_
_
_


  B (   )  i k u z    i k u z   (1    u) i k u z  (1    u)  i k u z 









(68)
Подставив матричные элементы (52)–(55) матрицы слоя среды и матричные
элементы матрицы с координатой плоскости (z) (68) в соотношение (67), получим:
E j (z )  E0
_
ik  zj
*
1  u   i k u( L  z j ) 1  u   i k u( L  z j )



1 u  
1 u  
*
,
_
_
1  u   i k u L 1  u   i k u L

_

1 u  
1 u  
_
_
(69)
E j 1   E0B
_
_
i k  zj
i k u ( L z )
*
_
 i k u ( L z )
j
j


*
.
_
_
1  u   i k u L 1  u   i k u L



1 u  
1 u  
Литература
1. Косинский Ю.И., Взаимодействие волны электрического поля с
оптической средой в микроструктурной модели в случае падения
волнового вектора на плоскость cреды под углом, при этом вектор
электрического поля перпендикулярен плоскости падения луча, 1–15,
(2002).
(70)