Экзаменационная программа по курсу « Теория функций комплексной переменной»

Экзаменационная программа
по курсу « Теория функций комплексной переменной»
3 курс, 5 семестр 2015/16 уч. год
1. Понятие производной и дифференцируемости функций по комплексному переменному.
Критерий дифференцируемости в точке. Понятие функции регулярной в области.
2. Теорема об обратной функции. Главная регулярная ветвь логарифма.
3. Понятие интеграла по кривой от функции комплексного переменного. Основные
свойства интегралов. Интегральная теорема Коши для регулярной функции в
односвязной области.
4. Интегральная теорема Коши для регулярной функции в случае односвязной звездной
области и в случае неодносвязной области.
5. Интегральная формула Коши.
6. Интеграл типа Коши. Теорема о дифференцировании интеграла типа Коши. Бесконечная
дифференцируемость регулярных функций.
7. Степенной ряд и круг его сходимости. Ряд Тейлора. Разложение регулярной функции в
степенной ряд.
8. Теоремы Вейерштрасса. Регулярность суммы степенного ряда.
9. Понятие ряда Лорана и его кольцо сходимости. Разложение в ряд Лорана функции,
регулярной в кольце.
10.Теорема единственности регулярной функции.
11.Понятие первообразной. Достаточное условие существования первообразной
непрерывной функции. Формула Ньютона- Лейбница.
12. Теорема Морера. Теорема о стирании разреза.
13.Классификация изолированных особых точек однозначного характера по структуре
главной части лорановского разложения.
14.Понятие вычета. Теорема Коши о вычетах. Вычисление вычетов.

15. Вычисление несобственных интегралов вида



R  x  dx,  R  x  ei x dx , где R  x  
рациональная функция с помощью вычетов. Лемма Жордана.
16.Приращение аргумента вдоль гладкого контура, его интегральное представление и
свойства.
17.Существование регулярных ветвей многозначной функции Ln( z ) в односвязной
области, их общий вид.
18.Понятие целой функции. Вид целой функции, модуль которой ограничен на
бесконечности степенью модуля аргумента. Теорема Лиувилля.
19.Теорема Сохоцкого. Теорема Пикара (без доказательства).
20.Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема алгебры.
21.Мероморфные функции. Теорема о разложении мероморфной функции в конечную
сумму простейших дробей.
22. Теорема Коши-Адамара (НА ДОСРОЧНОМ ЭКЗАМЕНЕ НЕ СПРАШИВАЕТСЯ).
23.Лемма об открытости. Принцип сохранения области. Однолистность и многолистность в
малом.
24. Понятие конформного отображения в области на комплексной плоскости. Критерий
конформности в точке.
25. Понятие конформного отображения в расширенной комплексной плоскости. Примеры
построения конформного отображения полуплоскости на единичный круг и единичного
круга на себя.
26.Дробно-линейная функция и ее свойства: 1) конформность; 2) образы окружности и
прямой; 3) симметричные точки.
27.Функция Жуковского и ее свойства: 1) конформность; 2) образы лучей и окружностей.
28. Конформные отображения, осуществляемые степенной и экспоненциальной функциями.
29.Гармонические функции двух переменных. Их связь с регулярными функциями. Принцип
максимума и минимума гармонической функции.
30.Принцип максимума модуля регулярной функции. Лемма Шварца.
31.Общий вид конформного отображения единичного круга на себя.
32.Теорема о единственности конформного отображения.
Теорема Римана о существовании. конформного отображения (без доказательства).
Каждый пункт программы соответствует билету с таким же номером.
Темы, по которым подобраны задачи в билетах.
1) Задача на нахождение конформного отображения (без нормировки);
2) Задача на нахождение конформного отображения с нормировкой;
3) Найти и исследовать все особые точки функции;
4) Найти вычеты во всех изолированных особых точках;
5) Восстановить регулярную функцию по гармонической;
6) Проверить дифференцируемость по условиям Коши-Римана;
7) Вычислить интеграл по замкнутому контуру;
8) Вычислить интеграл по оси R (с использованием леммы Жордана);
9) Найти число нулей многочлена (на теорему Руше);
10) Разложить функцию в ряд Лорана;
11) На теорему единственности (аналогично задачам в задании).