Методическое_пособие

Министерство образования Российской Федерации
Министерство образования Ставропольского края
ГБОУ СПО Георгиевский региональный колледж
«Интеграл»
КУРСОВОЙ ПРОЕКТ
по специальности 230105
«Программное обеспечение вычислительной
техники и автоматизированных систем»
г. Георгиевск
2
Методические
указания для
студентов
по
выполнению курсового проекта для специальности 230105
«Программное обеспечение вычислительной техники и
автоматизированных
систем»
по
дисциплине
«Математические методы».
Составитель: Кардаильская С.А.
Рецензент: к.т.н. Алишев М.И.
3
Содержание
1. Введение…………………………………………………..4
2. Раздел 1. Правила оформления проекта………………...5
1.1. Требования к изложению текста
курсового проекта ……………………………………....5
1.2. Структура курсового проекта ……………………..6
1.3. Объем курсового проекта………………………….7
1.4. Оформление расчетной части курсового проекта...7
1.5. Оформление иллюстраций и таблиц……………...8
1.6. Литература…………………………………………..9
1.7. Оформление титульного листа…………………….9
3. Раздел 2. Практические задания………………………...10
2.1. Линейное программирование…………………….10
2.2. Транспортная задача………………………………29
2.3. Нелинейное программирование…………………..37
2.4. Системы массового обслуживания……………….43
2.5. Динамическое программирование………………..49
2.6. Теория игр………………………………………….52
2.7. Алгоритмы на графах……………………………..55
4. Приложение 1…………………………………………….60
5. Приложение 2…………………………………………….61
4
Введение
Выполнение
студентом
курсового
проекта
осуществляется на заключительном этапе изучения
учебной дисциплины «Математические методы», в ходе
которого осуществляется практическое применение
полученных знаний при решении задач.
Выполнение студентом курсового проекта по
дисциплине «Математические методы» проводится с
целью:
 систематизации
и
закрепления
полученных
теоретических знаний и практических умений;
 углубления теоретических знаний в соответствии с
заданной темой;
 формирования умения применять теоретические
знания при решении поставленных задач;
 формирования умения использовать справочную,
нормативную и правовую документацию;
 развития
творческой
инициативы,
самостоятельности,
ответственности
и
организованности;
 подготовки к итоговой аттестации.
Тематика
курсовых
проектов
приведена
в
приложении 2.
5
Правила оформления проекта
1.1. Требования к изложению текста курсового проекта
Текст курсового проекта излагается кратким четким
языком.
Терминология
и
обозначения
должны
соответствовать общепринятым нормам в научнотехнической литературе. Содержание курсового проекта
можно разбивать (если это необходимо) на разделы,
подразделы и пункты по следующей схеме:
1. Раздел (его наименование)
1.1. Нумерация пунктов первого раздела (его
наименование)
1.1.2. Нумерация пунктов первого подраздела (его
наименование) и т.д.
После названия раздела точка не ставится. Каждый
раздел начинается с новой страницы. Подчеркивать
заголовки не следует.
Номер страницы ставится в верхнем правом углу.
В тексте работы не допускается:
 сокращение обозначений единиц физических
величин, если они употребляются без цифр, за
исключением единиц в головках и боковиках
таблиц, в расшифровках формул;
 применять сокращение слов, кроме установленных
правилами
русской
орфографии,
а
также
соответствующими стандартами;
 использовать математический знак «-» перед
отрицательным значением величины. Вместо
знака«-» следует писать слово «минус»;
 применять индексы стандартов (ГОСТ, ОСТ) без
регистрационного номера.
При изложении текста указаний числа с размерностью
следует писать цифрами ( например, ток потребления не
более 15 мА), а без размерности – словами (например,
катушку пропитать два раза).
Значения символов,
числовых
коэффициентов,
входящих в формулу приводятся непосредственно под
6
формулой. Значение каждого символа пишется с новой
строки в той же последовательности, в какой эти символы
приведены в формуле. Первая строка символов должна
начинаться со слова «где» без двоеточия после него.
Все формулы в пояснительной записке нумеруются
арабскими цифрами в пределах раздела. Номер формулы
состоит из номера раздела и порядкового номера формулы,
разделенных точкой. Номер указывают с правой стороны
листа на уровне формулы в круглых скобках, например:
А В
НЭ  СЭ 
,
(1)
РЭ
где НЭ – новый элемент;
СЭ – элемент старого плана;
А и В – элементы старого плана, образующие
прямоугольник с элементами СЭ и РЭ;
РЭ – разрешающий элемент.
Ссылки в тексте на номер формулы дают в скобках,
например: «… в формуле (1)…».
В примечаниях к тексту и таблицам указываются
только справочные и поясняющие данные.
Если имеется одно примечание, его не нумеруют и
после слова «Примечание» ставят точку.
Если
примечаний
несколько,
после
слова
«Примечания» ставят двоеточие. Примечания в этом
случае нумеруют арабскими цифрами с точкой, например:
Примечания:
1. ____________________________
2. ____________________________
При ссылках в тексте на источники и литературу
следует в квадратных скобках приводить порядковый
номер по списку литературы с указанием использованных
страниц. Например: [7, С.10-12].
1.2. Структура курсового проекта
По структуре курсовой проект состоит из
пояснительной записки и практической части.
7
Пояснительная записка курсового проекта включает в
себя:
 введение, в котором раскрывается актуальность и
значение темы, формулируется цель;
 основные теоретические сведения, необходимые
для решения поставленных задач;
 расчетную часть, в которой приводится решение
задач;
 заключение, в котором содержатся выводы и
рекомендации
относительно
возможностей
использования материалов работы;
 список использованной литературы;
 приложения;
Практическая часть курсового проекта может быть
представлена
чертежами,
схемами,
графиками,
диаграммами, сценариями или продуктами творческой
деятельности в соответствии с выбранной темой.
1.3. Объем курсового проекта
Объем пояснительной записки курсового проекта
должен быть не менее 15 страниц печатного текста, объем
графической части – полтора-два листа формата А-1.
1.4. Оформление расчетной части курсового проекта
Порядок изложения расчетной части определяется
характером рассчитываемых величин.
Каждый расчет в общем случае должен содержать:
 задачу (с указанием, что требуется определить при
расчете);
 чертеж (если это необходимо);
 исходные данные;
 расчет;
 заключение.
Чертеж допускается вычерчивать в произвольном
масштабе, обеспечивающем четкое представление о
рассчитываемом изделии.
8
1.5. Оформление иллюстраций и таблиц
Все иллюстрации в курсовом проекте называются
рисунками. В пояснительной записке рисунки располагают
по возможности ближе к соответствующим частям текста.
Рисунки нумеруют в пределах раздела арабскими
цифрами. Номер рисунка состоит из номера раздела и
порядкового номера иллюстрации, разделенных точкой,
например, «рис. 3.1».
При необходимости иллюстрации могут иметь
наименование и поясняющие данные (подрисуночный
текст). Подрисуночный текст с номером рисунка
помещают под иллюстрацией.
Схемы, таблицы, чертежи, графики, приводимые в
тексте требований, могут выполняться на листах любых
форматов по ГОСТ 2.301 – 68.
Цифровой материал, как правило, оформляется в виде
таблиц. Таблица может иметь тематический заголовок,
который выполняется строчными буквами (кроме первой
прописной) и помещается над таблицей посередине.
Все таблицы, если их несколько, нумеруются в
пределах каждого раздела. Номер таблицы состоит из
номера раздела и порядкового номера таблицы,
разделенных точкой. Над правым верхним углом таблицы
помещают надпись «Таблица» с указанием номера таблицы
без знака «№». Слово «Таблица» при наличии
тематического заголовка пишут над заголовком.
Диагональное деление головки таблицы не
допускается. Высота строк таблицы должна быть не менее
8мм.
Заголовки граф указываются в единственном числе.
Заголовки граф начинаю с прописных букв, а подзаголовки
– со строчных. Если подзаголовки имеют самостоятельное
значение, их начинают с прописной буквы. Графу «№ п\п»
в таблицу не включают. Для облегчения ссылок в тексте
пояснительной записки допускается нумерация граф
таблицы.
9
Если цифровые данные в графах таблицы имеют
различную размерность, она указывается в заголовке
каждой графы. Если все параметры, размещенные в
таблице, имеют
одну размерность, сокращенное
обозначение единицы измерения помещают над таблицей.
Если все данные в строке имеют одну размерность, ее
указывают в соответствующей строке боковика таблицы.
Слова «более», «не более», «менее», «не менее», «в
пределах»
помещают
рядом
с
наименованием
соответствующего параметра или показателя (после
размерности) в боковике таблицы или заголовке графы.
Если цифровые или иные данные в графе не
приводятся, то в графе ставят прочерк. Числовые величины
в одной графе приводятся с одинаковым количеством
десятичных знаков.
Образец оформления таблицы приведен ниже.
Таблица 1.
Сырье
Расход сырья на 1т краски, т
А
Наружных
работ, Н
0,5
Внутренних
работ, В
1
В
1
0,5
2
3
Цена 1т,
тыс. руб.
Запасы
сырья, т
3
4
1.6. Литература
Литература
указывается
в
соответствии
с
действующими
нормами
для
научно-технической
литературы.
Пример.
1. Партыка Т.Л., Попов И. И. Математические
методы: Учебник. – М.: ФОРУМ: ИНФРА -М, 2005.
1.7. Оформление титульного листа
Оформление
титульного
листа
приведено
приложении 1.
в
10
Раздел 2. Практические задания
2.1. Линейное программирование
Примеры
№1.
Коммерческому отделу поручили проанализировать
совместную деятельность подразделений фабрики по
изготовлению и продаже двух видов краски для
внутренних (В) и наружных (Н) работ, которая поступает в
продажу по цене 3 тыс. руб. и 2 тыс. руб. за 1т. Для
производства красок используют два вида сырья А и В,
максимально возможные суточные запасы которых
составляют 3т и 4т. Расходы сырья на производство 1т
красок приведены в таблице.
Изучение конъюнктуры спроса на рынке сбыта
показало, что суточный спрос на краску для внутренних
работ никогда не превышал спроса на краску для
наружных работ более чем на 1,5 т, а спрос на краску для
внутренних работ никогда не превышал 2 т в сутки. Какое
количество краски каждого вида необходимо произвести
фабрике, чтобы доход от ее реализации был
максимальным?
Сырье
Расход сырья на 1т краски, т
А
Наружных
работ, Н
0,5
Внутренних
работ, В
1
В
1
0,5
2
3
Цена 1т,
тыс. руб.
Запасы
сырья, т
3
4
Построение экономико-математической модели
задачи
Поскольку в задаче необходимо определить объемы
производства красок для наружных и внутренних работ
обозначим xн и xв тонн соответственно.
Критерием, по которому определяется степень
достижения поставленной цели, является доход от продажи
11
краски, который должен быть максимально возможным.
На этом основании целевую функцию можно записать
таким образом:
F ( X )  (2 x H  3x B )  max .
Решение любой задачи осуществляется в рамках
ограниченных ресурсов. В данном случае необходимо
учесть ограничения на расход сырья, запасы которого на
фабрике ограничены, а также ограничения на спрос краски.
Математически это можно записать следующим образом:
0,5хн + хВ ≤ 3 запасы сырья А,
хН + 0,5хВ ≤ 4 запасы сырья В,
хВ _ хН ≤ 1,5 соотношение спроса на краски,
хВ ≤ 2 максимальная величина спроса на краску В.
Объемы производства и соответственно продажи
краски не могут принимать отрицательных значений. В
связи
с
этим
необходимо
записать
условие
неотрицательности переменных: хН ≥0; хВ ≥0.
Кроме
того,
известно,
что
план
фабрики
предусматривает
обязательный
выпуск
красок,
производство которых за всю историю не опускалось ниже,
чем хН ≥ 0,25 т, хВ ≥0,5 т.
Таким образом, в целом экономико-математическую
модель задачи можно представить в таком виде.
Определить суточные объемы производства красок –
вектор
Х  ( хН , хВ ),
который при заданных условиях-ограничениях
0,5 хН  хВ  3,
 х  0,5 х  4,
В
 Н
 хВ  хН  1,5,

хВ  2,

 хН  0,25,

 хВ  0,5,
12
обеспечивает максимальный доход от продажи
краски в соответствии с целевой функцией:
F ( X )  (2 xH  3xB )  max .
Полученная модель является задачей линейного
программирования, так как все входящие в нее функции
линейны. Решение данной задачи возможно с
использованием геометрического или алгебраического
симплексного метода.
Рассмотрим решение ЗЛП различными методами.
№2.
Предприятие выпускает два вида продукции.
Обозначения норм расхода сырья и прибыли от единицы
продукции даны в таблице. Составить математическую
модель задачи об оптимальном плане выпуска продукции,
обеспечивающем
максимальную
прибыль,
при
ограниченных запасах ресурсов. Решить ЗЛП графически,
при
помощи
симплексных
таблиц.
Составить
двойственную задачу и найти ее решение.
Построение экономико-математической модели
задачи.
Поскольку в задаче необходимо определить количество
затраченных ресурсов, то количество сырья для
производства различной продукции обозначим через х 1 и
х2. Критерием, по которому определяется степень
достижения поставленной цели, является доход от продажи
продукции,
который
должен
быть
максимально
возможным. На этом основании целевую функцию можно
записать следующим образом:
F ( X )  (5 x1  3x 2 )  max .
Решение любой задачи осуществляется в рамках
ограниченных ресурсов. В данном случае необходимо
учесть ограничения на расход сырья, запасы которого не
бесконечны. Математически эти ограничения можно
записать следующим образом:
13
3х1 + х2 ≤ 30 – запасы сырья А,
х1 + х2 ≤ 20 – запасы сырья В.
Объемы производства и соответственно количество
сырья не могут принимать отрицательных значений. В
связи
с
этим
необходимо
записать
условие
неотрицательности переменных: х1, х2 ≥0.
Т.о., в целом экономико-математическую модель
задачи можно представить в таком виде: определить объем
производства – вектор Х  ( х1 , х 2 ), который при заданных
условиях ограничениях
3х1  х 2  30,

 х1  х 2  20,
 х , х  0,
 1 2
обеспечивает максимальный доход от реализации готовой
продукции в соответствии с целевой функцией:
F ( X )  (5 x1  3x 2 )  max .
Полученная модель является задачей линейного
программирования, т.к. все входящие в нее функции
линейны.
Геометрический метод.
Построим на плоскости Х1ОХ2 многоугольник
решений. Для этого в неравенствах системы ограничений и
условиях неотрицательности переменных знаки неравенств
заменим на знаки точных равенств:

3 х1  х 2  30,
(1)

( 2)
 х1  х 2  20,
 х1  0,
(3)

(4)
 х 2  0.
Построив прямые системы, найдем соответствующие
полуплоскости и их пересечение.
(1): 3х1 + х2 = 30,
(2): х1 + х2 = 20,
х2 = 30 – 3х1.
х2 = 20 – х1.
14
Составим таблицу:
Составим таблицу:
Х1
10
8
Х1
10
0
Х2
0
6
Х2
10
20
Многоугольником решений является четырехугольник
ОАВС, координаты точек которого удовлетворяют
условию неотрицательности переменных и неравенствам
системы ограничений задачи.
А
x2
В
15
F=0
N
С
(2)
x1
О
(1)
(4)
5
Для нахождения точек экстремума построим начальную
прямую F ( X )  (5 x1  3x 2 )  0 и вектор N (5; 3).
Передвигая прямую F(X)=0 в направлении вектора N ,
получим точку В, в которой начальная прямая покидает
область решений. Так как эта точка получена в результате
пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты
удовлетворяют уравнениям этих прямых:

3х1  х2  30,  х 2  30  3х1 ,  х1  5,




 х 2  15.
 х 2  20  х1 ,
 х1  х2  20,
Получили В(5, 15) – точка, в которой F имеет
максимальное значение.
Fmax ( X )  5  5  3  15  70.
15
Решим ЗЛП при помощи симплексных таблиц.
1) Составим 1-й опорный план. Для этого исходную
систему неравенств приведем к системе уравнений путем
введения дополнительных переменных х3 и х4:
3х1  х2  х3  30,

 х1  х2  х4  20,
Матрица коэффициентов А=(аij) этой системы
уравнений имеет следующий вид:
3 1 1 0
 .
А  
1 1 0 1
Векторы
- линейно независимы, т.к.
А3 , А4
определитель, составленный из компонент этих векторов,
отличен от нуля. Следовательно, соответствующие этим
векторам переменные х3 и х4 являются базисными и в этой
задаче определяют объемы неиспользованного сырья.
Решим систему уравнений относительно базисных
переменных:
 х3  30  3х1  х 2 ,

 х4  20  х1  х2 .
Функцию цели запишем в виде уравнения:
F ( X )  0  (5 x1  3x 2 ). Полагая, что х1 = х2 =0, получим
Х 1  (0,0,30,20) и F ( X )  0.
первый
опорный
план
Следовательно товары не продаются, доход равен нулю, а
сырье не используется. Первый план неоптимален, т.к. в
индексной троке находятся отрицательные коэффициенты:
-5, -3. За ведущий столбец выберем столбец,
соответствующий переменной х1, т.к. |-5|> |-3|. Элементы
столбца свободных членов симплексной таблицы делим на
элементы того же знака ведущего столбца. Результаты
заносим в отдельный столбец di. Строка, соответствующая
минимальному значению di, является ведущей, в первом
плане это первая строка, т.к. min (10, 20) = 10.
16
Разрешающий элемент стоит на пересечении
ведущей строки и ведущего столбца: а11 = 3.
2) План 2. Вместо переменной х3 в план 2 войдет
переменная х1. Строка, соответствующая переменной х1, в
плане 2, получается в результате деления всех элементов
строки х3 плана 1 на разрешающий элемент (РЭ) 3. Для
вычисления всех остальных элементов нового плана
воспользуемся формулой:
А В
НЭ  СЭ 
,
РЭ
где НЭ – новый элемент;
СЭ – элемент старого плана;
А и В – элементы старого плана, образующие
прямоугольник с элементами СЭ и РЭ;
РЭ – разрешающий элемент.
11 2
1
1
0
а 22  1 
 , а 23  0    , а 24  1   1,
3
3
3
3
3
5
1
5 5
а32  3 
 1 , а33  0 
 , а34  0  0  0,
3
3
3
3
30
 150
в 2  20 
 10, F ( X 2 )  0 
 50.
3
3
Все вычисленные элементы заносим в таблицу.
Min (30,15) = 15. Следовательно, разрешающая строка –
х4. Построенный 2 план также неоптимален, т.к. в
индексной строке есть отрицательный элемент -4/3,
поэтому разрешающий столбец х2. На их пересечении
стоит разрешающий элемент 2/3.
3) План 3. Вместо переменной х4 в план 3 войдет
переменная х2. тока, соответствующая переменной х2 в
плане 3, получается делением всех элементов строки х4
плана 2 на РЭ=2/3. Вычислим элементы плана3.
17
10  1 / 3
1/ 3
 5, а11  1  0  0, а14  0 
 1 / 2,
2/3
2/3
1/ 9
4/9
а13  1 / 3 
 1 / 2, а31  0  0  0, а33  5 / 3 
 1,
2/3
2/3
в1  10 
4/3
10  (4 / 3)
 2, F ( X 3 )  50 
 70.
2/3
2/3
Симплексная таблица
Базис- Знач Знач. коэффициентов
di
ные
баз. Х1
Х2
Х3
Х4
переем пер.
Х3
30
3
1
1
0
10
Х4
20
1
1
0
1
20
0
-5
-3
0
0
F(X 1)
а34  0 
План
1
Индексная
строка
2
Индексная
строка
3
X1
X4
F(X 2 )
10
10
50
1
0
0
1/3
2/3
-4/3
1/3
-1/3
5/3
0
1
0
X1
X2
F(X 3)
5
15
70
1
0
0
0
1
0
½
-1/2
1
-1/2
3/2
2
30
15
Индексная
строка
План 3 является оптимальным, .к. все коэффициенты в
индексной строк ≥0. Следовательно Х =(5, 15, 0, 0) и
F ( X ) = 70 ден. ед.
Составим и решим двойственную задачу.
Выпишем матрицу коэффициентов при неизвестных,
свободных членах и целевой функции:
18
 3 1 30 


 1 1 20  .
5 3



 3 1 5


Транспонируем ее:  1 1 3  .
 30 20 


Запишем двойственную задачу:
3 у1  у 2  5,

 у1  у 2  3, , и Z(Y)=( 30y1 + 20y2 ) min.


Решение двойственной задачи найдем, используя
признак оптимальности планов пары двойственных задач.
Составим матрицу А из коэффициентов векторов,
 3 1
 .
входящих в оптимальный базис: А = (А1, А2) = 
 1 1
Найдем обратную матрицу, используя метод Гаусса.
3 11 0
1 1 0 1
1 0 1/ 2  1/ 2
~
~
.
1 10 1
0 2 1 3
0 1  1/ 2 3 / 2
 1/ 2  1/ 2
 .
А 1  
  1/ 2 3 / 2 
Тогда оптимальный план двойственной задачи

У  С А 1 , где Сδ – матрица коэффициентов базисных
переменных:
 1/ 2  1/ 2 
  1 2.
У   С А 1  (5 3)  
  1/ 2 3 / 2 
Оптимальный план двойственной задачи равен:

У  1 2 , Z(Y*)=70. Т.к. выполняется условие признака
оптимальности, то У* - оптимальное решение задачи,
двойственной исходной.
19
Задачи для самостоятельного выполнения
№1. Построить экономико-математическую модель
определения структуры выпуска первых и вторых блюд
предприятия общественного питания при заданном
квартальном плане товарооборота 270 тыс. руб. и
получения максимального дохода на основе данных,
приведенных в таблице:
Ресурсы
Затраты труда
на
производство,
чел.-ч
Затраты труда
на обслуживание, чел.-ч
Издержки
производства
и обращения,
руб.
Доход, руб.
Товарооборот,
руб
Плановый
фонд
ресурсов
Нормативные затраты ресурсов на 100 блюд
1-е
2-е
2-е
2-е
2-е
блюда мясные рыбные молочные прочие
78000
3,4
5,0
38,0
2,6
23
130000
2,1
5,2
5,1
2,8
3
16300
4,3
6,9
6,7
26
4,1
270000
1,3
25
2,0
37
1,5
23
0,3
22
1,7
20
№2.
Для
поддержания
нормальной
жизнедеятельности человеку необходимо потреблять 118г
белков, 56 г жиров, 500 г углеводов, 8 г минеральных
солей. Количество питательных веществ, содержащихся в
1кг имеющихся в магазине продуктов питания, а также их
стоимость приведены в таблице. Требуется составить
суточный рацион, содержащий не менее суточной
потребности человека в необходимых питательных
веществах и обеспечивающий минимальную общую
стоимость продуктов.
20
Питательные
вещества
Белки,
г
Жиры,
г
Углеводы,
г
Минеральные
соли,
г
Стоимость
1кг
продукта,
руб
Содержание питательных веществ в 1кг
продуктов, qij
Мя- Ры- Мо- Мас- Сыр Кру- картосо
ба
локо ло
па
фель
180
190
30
70
260
130
21
Нормы
суточной
потребности
118
20
3
40
865
310
30
2
56
0
0
50
6
20
650
200
500
9
10
7
12
60
20
70
8
1,9
1
0,28
3,4
2,9
0,56
0,1
№3. Постройте на плоскости область решений
системы линейных неравенств и найдите максимальное и
минимальное значения линейной функции в этой области.
2.
 х1  5 х2  0,
 х  2 х  14,
7 x1  3x2  21,
2
 1
 x  x  0,
6 х1  36,
 1 2

5 x1  x2  5,
1. 2 х1  2 х2  4,
 x  1,
 3 х1  2 х2  6,
 1

 x  0, x2  0.
 х1  0, х2  0.
F ( X )  6 x1  4 x2  extr
3. Ответ: 30, Х(0;7,5) – макс.
6 x1  2 x2  12,
  x  2 x  5,
 1
2

 x1  x2  1,
 x1 , x2  0,
F ( X )  (2 x1  4 x2 )  extr.
F ( X )  14 x1  6 x2  extr
21
№4. Решить задачу о коммерческой деятельности
предприятия.
№5. Сформируйте вариант приготовления бензина
АИ-80 и АИ – 95, который обеспечивает максимальный
доход от продажи, если имеется 5т смеси 1-го сорта и 30 т
смеси 2-го сорта. На изготовление бензина АИ-80 идет 60%
смеси 1-го сорта и 40% смеси 2-го сорта, на изготовление
бензина АИ-95 идет 80% смеси 1-го сорта и 20% смеси 2-го
сорта. Реализуется 1т бензина АИ-80 за 5000 руб., а 1 АИ95 – за 6000 руб.
№6. Фирма производит два безалкогольных широко
популярных напитка «Колокольчик» и «Буратино». Для
производства 1л «Колокольчика» требуется 0,02 ч работы
оборудования, а для «Буратино» - 0,04 ч, а расход
специального ингредиента на них составляет 0,01 кг и 0,04
кг на 1л соответственно. Ежедневно в распоряжении
фирмы 16 кг специального ингредиента и 24ч работы
оборудования. Доход от продажи 1л «Колокольчика»
составляет 0,25 руб., а «Буратино» - 0,35 руб.
Определите
ежедневный
план
производства
напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный
доход от их продажи.
№7. Фирма производит для автомобилей запасные
части типа А и В. Фонд рабочего времени составляет 5000
чел.-ч в неделю. Для производства одной детали типа А
требуется 1 чел.-ч, а для производства одной детали типа В
– 2 чел-ч. Производственная мощность позволяет
выпускать максимум 2500 деталей типа А и 2000 деталей
типа В в неделю. Для производства детали типа А уходит
2кг полимерного материала и 5кг листового металла, а для
производства одной детали типа В – 4кг полимерного
материала и 3кг листового металла. Еженедельные запасы
каждого материала – по 10000 кг. Общее число
производимых деталей в течение одной недели должно
составлять не менее 1500 штук.
22
Определите, сколько деталей каждого вида
следует производить, чтобы обеспечить максимальный
доход от продажи за неделю, если доход от продаж одной
детали типа А и В составляет соответственно 1,1 руб. и 1.5
руб.
№8. Туристская фирма в летний сезон обслуживает
в среднем 7500 туристов и располагает флотилией из двух
типов судов, характеристики которых представлены в
таблице. В месяц выделяется 60000 т горючего.
Потребность в рабочей силе не превышает 700 человек.
Определите количество судов 1 и 2 типа, чтобы
обеспечить максимальный доход, который составляет от
эксплуатации судов 1-го типа – 20 млн руб., а 2-го типа –
10 млн руб. в месяц.
Показатели
Пассажировместимость,
чел
Горючее, т
Экипаж, чел
Судно
2
1000
1
2000
12000
250
7000
100
№9. Фирма производит и продает столы и шкафы
из древесины хвойных и лиственных пород. Расход
каждого вида в кубометрах на каждое изделие задан в
таблице. Определите максимальное количество столов и
шкафов, которое следует поставлять на продажу для
получения максимального дохода фирмы.
Расход древесины, м3
Хвойные
Лиственные
Цена изделия,
тыс. руб.
Стол
0,15
0,2
0,8
Шкаф
0,3
0,1
1,5
Запасы
древесины, м3
80
40
№10. Построить экономико-математическую модель
определения структуры выпуска блюд на предприятии
общественного питания, обеспечивающую максимальный
доход на основе заданных объемов, ресурсов и нормативов
23
затрат продуктов на первые
представленных в таблице
Ресурсы
Мясо, кг
Рыба, кг
Овощи,кг
Мука,
крупа, кг
Молоко,л
Доход,руб.
и
вторые
блюда,
Плановый
фонд
ресурсов
40000
25000
27000
20000
Нормативные затраты ресурсов на 100 блюд
1-е
2-е
2-е
2-е
2-е
блюда мясные рыбные молочные прочие
50000
6,5
1,3
4
2,5
3,2
2,1
8
3,8
2
2,6
10
3
2,3
2
1,5
4,6
2,8
21
0,3
1,7
№11. Малое предприятие выпускает чебуреки и
беляши. Мощность пекарни позволяет выпускать в день не
более 50 кг продукции. Ежедневно спрос на чебуреки не
превышает 260 штук, а на беляши – 240 штук. Суточные
запасы теста и мяса и расходы на производство каждой
единицы продукции приведены в таблице. Определить
оптимальный план ежедневного производства чебуреков и
беляшей, обеспечивающий максимальную выручку от
продажи.
Расход на производство, кг/шт.
чебурека
беляша
Мясо
Тесто
Цена, руб/кг
0,35
0,65
50
0,6
0,3
80
Суточные
запасы сырья,
кг
21
22
№12. Издательский дом издает два журнала:
«Автомеханик» и «Инструмент», которые печатаются в
трех типографиях: «Алмаз-Пресс», «Карелия – Принт» и
«Квадрат», где общее количество часов, отведенное для
печати, и производительность одной тысячи экземпляров
ограничены и представлены в таблице. Спрос на журнал
«Автомеханик» составляет 12 тыс. экз., а на журнал
«Инструмент» не более 7,5 тыс. экз. в месяц. Определите
24
оптимальное количество издаваемых журналов, которые
обеспечат максимальную выручку от продажи.
Типография
Время печати
экземпляров
«Автомеханик»
одной
тысячи
Алмаз-Пресс
Карелия
–
Принт
Квадрат
2
4
14
6
Ресурс
времени,
отведенный
типографией, ч
112
70
6
4
80
Оптовая цена,
руб/шт.
16
12
«Инструмент»
№13. Фирма решила открыть линию по
производству ваз и графинов и их декорирование. Затраты
сырья на производство этой продукции представлены в
таблице. Определите оптимальный объем выпуска
продукции, обеспечивающий максимальный доход от
продаж, если спрос на вазы не превышает 200 шт. в
неделю.
Сырье
Кобальт
Сусальное
золото
Оптовая
цена,руб/шт.
Расход сырья на производство
Ваза
Графин
20
13
18
10
700
560
Поставки
сырья
неделю, кг
30
12
в
№14. Фирма производит одежду для охотников,
туристов и охранных структур. Дополнительно фирма
решила изготавливать шапки и подстежки из натурального
меха. Затраты на производство этих изделий и запасы
сырья представлены в таблице. Спрос на шапки составляет
не более 600 штук в месяц, а подстежек – не более 400 шт.
в месяц. Определить объемы производства этих изделий,
обеспечивающих максимальный доход от продажи.
25
Сырье
Мех
Ткань
Оптовая цена,
руб/шт.
Расход сырья на производство,
дм
шапки
подстежки
22
140
1.5
30
410
840
Средний запас
в месяц, дм
61600
15000
№15.
Коммерческие
расчеты,
проведенные
студентами в деревне, привели к более выгодному
использованию плодов яблок и груш путем их засушки и
последующей продажи зимой в виде смеси сухофруктов,
варианты которых представлены в таблице.
Изучение спроса в магазине показало, что в день
продавалось 18 упаковок ссмеси1 и 54 упаковки смеси 2.
Из 1кг плодов получается 200г сушеных яблок, а груш –
250г. Определить оптимальное количество упаковок
сухофруктов по 1кг смесей первого и второго вида,
обеспечивающие максимальный доход от продажи.
Плоды
Анис (яблоки)
Штрейфлинг
(яблоки)
Груши
Оптовая цена,
руб/шт.
Вес в 1кг в составе сухофруктов
Смесь 1
Смесь 2
0,22
0,25
0,75
0,25
Сбор плодов,
кг/день
0
0,5
12,5
40
50
14
16
№16. кондитерская фабрика в Покрове освоила
выпуск новых видов шоколада «Лунная начинка» и
«Малиновый дождик», спрос на которые составляет
соответственно не более 12 тонн и 7,7 тонны в месяц. По
причине занятости трех цехов выпуском традиционных
видов шоколада, каждый цех может выделить только
ограниченный ресурс времени в месяц. В силу специфики
технологического оборудования затраты времени на
производство шоколада разные и представлены в таблице.
26
Определить
оптимальный
объем
выпуска
шоколада, обеспечивающий максимальную выручку от
продажи.
Время
на
шоколада, ч
«Лунная
начинка»
«Малиновый
дождик»
1
2
1
2
7
3
3
Оптовая цена,
руб/т
3
8000
2
6000
Номер цеха
производство
Время,
отведенное
цехами
под
производство,
ч/мес
56
35
40
№17. Конкуренция приводит к необходимости
торговым предприятиям заниматься еще и выпуском
продукции собственного производства, например салатов,
пиццы и т.п. Нормы затрат на производство разных видов
пиццы, объемы ресурсов и стоимость приведены в таблице.
Продукты
Грибы
Колбаса
Тесто
Цена за 100
шт., тыс руб
Нормы затрат на изготовление 100 шт.
пиццы, кг
ассорти
грибная
салями
6
7
2
5
2
8
10
8
6
9
6
5
Запасы
продуктов,
кг
20
18
25
№18. На кондитерскую фабрику перед Новым годом
поступили заказы на подарочные наборы конфет из трех
магазинов. Возможные варианты наборов, их стоимость и
оставшиеся товарные запасы на фабрике представлены в
таблице. Определить оптимальное количество подарочных
наборов, которые фабрика может предложить магазинам и
обеспечить максимальный доход от продажи.
27
Наименование
конфет
«Сникерс»
«Марс»
«Баунти»
Цена, руб.
Вес конфет в наборе, кг
А
Б
0,3
0,2
0,2
0,3
0,2
0,1
72
62
Запасы
конфет, кг
600
700
500
В
0,4
0,2
0,1
76
№19. Постройте экономико-математическую модель
определения
структуры
блюд
на
предприятии
общественного питания, обеспечивающую максимальный
доход на основе заданных нормативов затрат продуктов на
первые и вторые блюда, представленных в следующей
таблице:
Ресурсы
Мясо, кг
Рыба, кг
Овощи,кг
Мука,
крупа, кг
Молоко,л
Доход,руб.
Плановый
фонд
ресурсов
40000
25000
27000
20000
Нормативные затраты ресурсов на 100 блюд
1-е
2-е
2-е
2-е
2-е
блюда мясные рыбные молочные прочие
50000
6,5
1,3
4
2,5
3,2
2,1
8
3,8
2
2,6
10
3
2,3
2
1,5
4,6
2,8
21
0,3
1,7
№20. Предприниматель арендовал технологическую
линию деревообрабатывающих станков для изготовления
вагонки. Магазин «Стройматериалы» заказал комплекты из
трех элементов: две вагонки длиной 2м и одной вагонки
длиной 1,25м. Поставщик завозит на грузовом автомобиле
доски толщиной 20мм, шириной 100мм и длиной по 6,5м –
200 шт. и длиной по 4м – 50 шт. Рассчитайте, как
распилить доски, чтобы продать максимальное количество
комплектов.
№21 Составьте дешевый вариант 1т кормовой смеси в
соответствии с требованиями, представленными в
следующей таблице:
Питательные
вещества
Требования,
% от веса
Белок
Не менее 35
Содержание питательных веществ
Люцерновая Сухая Рыбная Соевый
мука
барда мука
шрот
17
25
60
45
28
Жиры
Клетчатка
Вес
Стоимость,
руб. за 1т
Не
менее
1,5
Не более 8
1т
?
2
5
7
0,5
25
1
70
3
1
90
1
1
150
6,5
1
100
№22. По предписанию врача пациенту необходимо
перейти на диету и за сезон употребить питательных
веществ, содержащихся во фруктах, в количествах,
указанных в таблицею Определите, какое количество
фруктов каждого вида необходимо купить за сезон, чтобы
выполнить предписание врача с минимальными расходами.
Вещества
Р1
Р2
Р3
Р4
Цена, руб за
1кг
Содержание питательных веществ в 1кг
фруктов
клубника
яблоки
смородина
3
2
1
1
3
4
0
0
5
1
0
1
1
0,5
0,8
Нормы
потреблеия,
г
30
70
40
50
№23. Постройте экономико – математическую модель
определения структуры выпуска первых и вторых блюд на
предприятии общественного питания при заданном
квартальном плане товарооборота 270000 руб. и получении
максимального дохода от реализации на основе данных,
приведенных в следующей таблице:
Ресурсы
Затраты труда
на
производство,
чел.-ч
Затраты труда
на обслуживание, чел.-ч
Издержки
производства
и обращения,
Плановый
фонд
ресурсов
Нормативные затраты ресурсов на 100 блюд
1-е
2-е
2-е
2-е
2-е
блюда мясные рыбные молочные прочие
80000
3,6
6,0
37,0
2,5
22
140000
2,2
5,3
5,2
2,7
3,1
17000
4,4
6,7
6,8
25
4,2
29
руб.
Доход, руб.
Товарооборот,
руб
300000
1,4
30
2,1
38
1,6
24
0,31
23
1,8
22
2.2. Транспортная задача
Решить транспортную задачу, исходные данные
которой (запасы груза у поставщиков Аi, потребность в
грузе у потребителей Вj и тарифы перевозок одной
единицы груза по каждому пути) задаются таблицей:
Bj
В1
В2
В3
В4
Аi
10
15
20
14
13
12
14
11
А1
20
15
14
15
12
А2
21
15
16
16
13
А3
18
Решение.
1)
Определим
тип
транспортной
задачи:
 Аi   B j  59 , следовательно имеем закрытую
транспортную задачу.
2)
Определим
первоначальное
базисное
распределение поставок, для этого воспользуемся методом
наименьших затрат.
а) Находим в таблице поставок клетку с наименьшим
коэффициентом затрат: х14. Поставка в эту клетку х14 = min
(20, 14) = 14. Т.к. спрос 4-го потребителя удовлетворен, то
4-й столбец таблицы поставок выпадает из последующего
рассмотрения.
б)
В
оставшейся
таблице
наименьшим
коэффициентом затрат обладает клетка х12. Поставка: х12 =
min (6, 15) = 6. Выпала 1-я строка.
в) Далее наименьшим коэффициентом затрат
обладает клетка х22. Поставка: х22 = min (21, 9) = 9. Выпал
2-й столбец.
г) Наименьшим коэффициентом затрат обладают
клетки х21, х23 и х31.
30
Х21 = min (12, 10) = 10,
X23 = min (12, 20) = 12,  max (10, 12) = 12.
X31 = min (18, 10) = 10,
Поставку, равную 12, даем в клетку х23. Выпала 2-я
строка.
Наименьшим коэффициентом затрат обладает клетка
х31. Поставка: х31 = min(18, 10) = 10.
е) Поставка в клетку х33 = 8.
Получили базисное распределение поставок (см.
табл.1).
Табл.1.
α1
α2
α3
α4
β1
20
10
15
13
12
6
β2
14
14
14
11
14
15
12
9
12
15
16
16
13
β3
18
10
8
Найдем суммарные затраты: F0 = 12 ·6 + 11·14 + 14·9
+ 15·12 + 15·10 + 16·8 = 810 де. ед.
3) Найдем оценки свободных клеток базисного
распределения поставок, т.е. выясним, является ли оно
оптимальным. Для этого воспользуемся методом
потенциалов: а) составим систему αi + βj = cij для занятых
клеток, полагая α1=0; б) вычислить Δij = αi + βj – cij – для
свободных клеток. Если среди оценок Δij нет
положительных (задача на минимум), то опорный план
является оптимальным.
21
15
20
31
б)
 1  0,
 1  0,
    12,
   12,
2
 1
 2
 1   4  11,
  4  11.


а)  2   2  14,   2  2,
    15,
   13,
3
 2
 3
 3   1  15,
  1  12,
    16.
  3.
3
 3
 3
11  12  13  1, 13  13  14  1,  21  14  15  1,
 24  13  12  1,  32  15  16  1,  34  14  13  1.
Первый план не является оптимальным, т.к. Δ24 и Δ34
>0.
4) Построим цикл пересчета. В клетку А2В4 поставим
знак «+». Теперь необходимо изменить объемы поставок,
записанных в ряде других занятых и связанных в ряде
других занятых и связанных с заполняемой циклом.
Вершинам цикла, начиная от вершины, находящейся в
свободной клетке, приписываем поочередно знаки «+» и
«-« .
12
+
11
6
14
14
9
12
+
Из объемов груза, стоящих в минусовых клетках,
выбираем наименьшее и обозначим его γ: γ = min{ 9, 14}=
9. Перераспределяем величину γ по циклу, прибавляя γ к
соответствующим объемам груза, стоящих в плюсовых
клетках и вычитая γ из объемов груза, находящихся в
минусовых клетках таблицы. В результате клетка, которая
ранее была свободной, становится занятой, а одна из
занятых клеток цикла становится свободной.
32
β1
20
α1
α2
α3
α4
10
15
20
14
13
12
14
11
15
β2
15
12
12
9
15
16
16
13
β3
18
10
8
5) Опять проверяем план на оптимальность.
 1  0,
 1  0,
    12,
   12,
2
 1
 2
 1   4  11,
  4  11.


а)  2   3  15,   2  1,
    12,
   14,
4
 2
 3




15
,
 3
  1  13,
1
    16.
  2.
3
 3
 3
б)
21
15
5
14
11  13  13  0, 13  14  14  0,  21  14  15  1,
 22  13  14  1,  32  14  16  2,  34  13  13  0.
План оптимален. Найдем суммарные затраты:
F0 = 12 ·15 + 11·5 + 15·12 + 9·12 + 15·10 + 16·8 = 801
ден. ед. Экономия составила 9 ден. ед.
Задачи для самостоятельного выполнения
№1. Поставщики товара – оптовые коммерческие
предприятия А1, А2, …, Аm имеют товаров соответственно
в количестве а1, а2,…, аm и розничные торговые
предприятия В1, В2,…, Вn – подали заявку на закупку
товаров в объемах соответственно: b1, b2,…,bn. Тарифы
перевозок единицы груза с каждого из пунктов поставки в
соответствующие пункты потребления заданы в виде
матрицы С. Найдите такой план перевозки груза от
33
поставщиков к потребителям, чтобы совокупные затраты
на перевозку были минимальными.
1) а1 = 222
а2 = 188
а3 = 210
а4 = 380
b1= 125
b2=75
b3=200
b4=380
b5=220
 23 21 11

 7 17 5
С 
2 16 8

 3 9 21

8 3

2 4
4 3

8 4 
 8 23 21 19 


 28 16 5 7 
С 
7 15 4 5 


 6 4 21 3 


№2. Фирма «Союз» обеспечивает доставку видео- и
аудиокассет с четырех складов, расположенных в разных
точках города в четыре магазина. Запас кассет, имеющихся
на складах, а также объемы заказов магазинов и тарифы на
доставку представлены в транспортной таблице.
Определите объемы перевозок, обеспечивающих их
минимальные затраты.
2) a1=190
a2=310
a3=260
a4=240
Склады
№1
№2
№3
№4
Заказы,
шт
Магазины
№1
2
5
3
4
190
b1=500
b2=120
b3=180
b4=200
№2
6
1
2
5
170
№3
4
9
2
10
110
№4
3
2
6
3
30
Запасы,
тыс. шт
120
240
80
60
№3. Московский филиал фирмы, выпускающей
газированные напитки приблизительно равного спроса
(«Груша», «Колокольчик», «Тархун»), складируемые в
разных местах, должен поставить свою продукцию в
четыре крупных московских супермаркета: №1, №2, №3,
№4. Каждая упаковка содержит 12 бутылок емкостью 1,5л.
Тарифы на доставку товара, объемы запасов и заказы на
34
продукцию приведены в таблице. Определите
оптимальный план поставок газированных напитков в
супермаркеты города, а также вид транспортного средства
для поставки продукции и затраты на перевозку.
Склады
«Груша»
«Колокольчик»
«Тархун»
Заказы, шт
Супермаркеты
№1
№2
6
4
5
7
9
4
150
250
№3
9
8
6
150
№4
5
6
7
350
Запасы,
тыс. шт
400
300
200
№4. Автотранспортная компания обеспечивает
доставку шин с трех оптовых складов, расположенных в
Москве, Нижнем Новгороде и Покрове в пять магазинов в
Чебоксарах, Ниже Новгороде, Вязниках, Набережных
челнах и Казани. Объемы запасов шин на складах, объемы
заявок магазинов и тарифы на перевозку приведены в
транспортной таблице. Составьте оптимальный план,
обеспечивающий минимальные транспортные расходы
перевозок.
Склады в
городах
Магазины
Чебоксары
Москва
Нижний
Новгород
Покров
Заявки
Запасы
Вязники
14
6
Нижний
Новгород
8
1
Казань
6
2
Набережные
Челны
20
12
16
8
350
400
12
200
6
280
4
240
18
220
14
210
400
№5. Фирма «Московия» заключила контракт с
компанией АЛРОСА на покупку промышленного золота
для его реализации в пяти городах в объемах: Самара –
80кг, Москва – 260кг, Ростов-на-Дону – 100кг, СанктПетербург – 140кг, Нижний Новгород – 120кг.
Компания располагает тремя месторождениями
«Мирное», «Удачный» и «Полевое», которые планируют за
год выработать соответственно 200, 250 и 250кг золота.
Определите
минимальную
стоимость
фрахта
специализированного
транспорта,
обеспечивающую
35
полное удовлетворение заявок покупателей, при
заданной матрице тарифов.
 7 9 15 4 18 


С  13 25 8 15 5 
 5 11 6 20 12 


№6. На двух складах а и В находится по 90 т
горючего. Перевозка одной тонны горючего со склада А в
пункты 1, 2, 3 соответственно стоит 1, 3 и 5 ден. ед., а
перевозка одной тонны со склада В в те же пункты –
соответственно 2, 5 и 4 ден. ед. В каждый пункт надо
доставить по одинаковому количеству тонн горючего.
Составить такой план перевозки горючего, при котором
транспортные расходы будут наименьшими.
№7. В резерве трех железнодорожных станций А, В и
С находится соответственно 60, 80 и 100 вагонов.
Составить оптимальный план перегона этих вагонов к
четырем пунктам погрузки хлеба, если пункту №1
необходимо 40 вагонов, №2 – 60 вагонов, №3 – 80 вагонов
и №4 – 60 вагонов. Стоимости перегонов одного вагона со
станции А в указанные пункты соответственно равны 1, 2,
3, 4 ден. д., со станции В – 4, 3, 2, 0 ден. ед. и со станции С
– 0, 2, 2, 1 ден. ед.
№8. Завод имеет три цеха А, В, С и четыре склада №
1, 2, 3, 4. Цех А производит 30 тыс. шт. изделий, цех В – 40
тыс. шт., цех С – 20 тыс. шт. Пропускная способность
складов за то же время характеризуется следующими
показателями: склад №1 – 20 тыс. шт., склад №2 – 30 тыс.
шт., склад №3 – 30 тыс. шт., склад №4 – 10 тыс. шт.
Стоимость перевозки 1 тыс. шт. изделий из цеха А в
склады №1, 2, 3, 4 соответственно равны 2, 3, 2, 4 ден. ед.,
из цеха В – 3, 2, 5, 1 ден.ед, а из цеха С – 4, 3, 2, 6 ден. ед.
Составить такой план перевозки изделий, при котором
расходы на перевозку 90 тыс. шт. изделий были бы
наименьшими.
36
№9. На трех складах А, В, С находится сортовое
зерно соответственно 10, 15, 25 т, которое надо доставить в
четыре пункта: пункту №1 – 5т, №2 – 10 т, №3 – 20 т, №4 –
15 т. Стоимости доставки одной тонны со склада А в
указанные пункты соответственно равны 8, 3, 5, 2 ден.ед.,
со склада В – 4, 1, 6, 7 ден. ед и со склада С – 1, 9, 4, 3 ден.
ед. Составить оптимальный план перевозки зерна в четыре
пункта, минимизирующий стоимость перевозок.
№10. Решить транспортные задачи.
а)
Пос- Мощтавность
щики поставщиков
1
50
2
5
3
45
4
50
б)
Поставщики
1
2
3
в)
Поставщики
1
2
3
Потребители и их спрос
1
2
3
4
5
6
10
35
15
25
55
10
5
7
6
3
Мощность
поставщиков
50
60
60
Мощность
поставщиков
350
300
250
7
5
4
1
1
8
8
7
5
6
3
4
4
3
2
2
Потребители
спрос
1
2
60
60
и
2
2
6
2
5
7
3
4
5
9
4
5
3
их
3
50
Потребители и их спрос
1
2
3
450
250
100
6
6
8
4
9
2
4
5
10
4
900
5
8
6
37
г)
Поставщики
1
2
3
4
д)
Поставщики
1
2
3
Мощность
поставщиков
25
18
12
15
Потребители и их спрос
1
2
3
15
25
8
Мощность
поставщиков
60
70
70
Потребители и их спрос
1
2
3
50
50
40
2
3
1
4
5
4
7
4
5
8
3
4
5
3
3
7
4
2
6
5
4
4
12
6
5
5
8
4
60
3
8
7
2.3. Нелинейное программирование
Рассмотрим
решение
задачи
нелинейного
программирования различными методами.
Найти наибольшее значение функции Z(x, y) = 3x + y
при условиях ограничениях
 х 2  у 2  40,
 2
2
 х  у  4,
 х , у  0.

Классические методы определения экстремумов.
1)
Найдем
стационарные
точки,
используя
необходимое условие экстремума.
z
z
 3,
 1. Т.к. частные производные первого
x
y
порядка не равны нулю, то стационарных точек функция
не имеет.
38
2) Исследуем функцию на границах.
а) Пусть х2 + у2 = 40, тогда х  40  у 2 . Подставим
полученное выражение в функцию z(x,y):
z  3 40  y 2  y .
Получили функцию одной переменной,
критические точки этой функции.
 Область определения функции:
40  y 2  0  y  (2 10 , 2 10 ).
 Найдем нули производной:
z 
 3 y  40  y 2
40  y 2
найдем
,
z   0  40  y 2  3 y,  y 2  4, y  2 ( ОДЗ ).
х  40  2 2  6.
Получили критическую точку А(6, 2).
б) Пусть х2 + у2 = 4, тогда х  4  у 2 . Подставим
полученное выражение в функцию z(x,y):
z  3 4  y2  y .
Получили функцию одной переменной,
критические точки этой функции.
 Область определения функции:
4  y 2  0  y  (2, 2).
 Найдем нули производной:
z 
 3y  4  y 2
4  y2
,
z   0  4  y 2  3 y,  y 2 
х  4
найдем
4
2
10
,y

( ОДЗ ).
10
5
10
4
36
6
3 10



.
10
10
5
10
39
 3 10 10 
.
,
Получили критическую точку В 

5
5


3) Найдем значение функции z(x, y) в точках А , В и
сравним их:
z 6,2   3  6  2  20
 3 10 10 
3 10
10
  3
z 
,

 2 10

5 
5
5
 5
zmax= 20 в точке А(6, 2).
Геометрический метод
Выполним чертеж.
а) Уравнение х2 + у2 = 40 описывает окружность с
центром в точке О(0,0) и радиусом 40 .
б) Уравнение х2 + у2 = 4 описывает окружность с
центром в точке О(0,0) и радиусом 2.
в) Пусть Z1 = 1, тогда 3х + у = 1; у=1-3х. Для
построения прямой нужно знать две точки, составим
таблицу.
Х
0
1
У
1
-2
А
Z1
40
D
 40
N
0
-2
2
С
Z2
В
40
40
г) Пусть Z2 = 2, тогда 3х + у = 2; у=2-3х. Для
построения прямой нужно знать две точки, составим
таблицу.
Х
0
1
У
2
-1
д) Многоугольником решений является криволинейный
четырехугольник АВСD, координаты точек которого
удовлетворяют условию неотрицательности переменных и
неравенствам системы ограничений задачи.
е) Из начала координат перпендикулярно Z2 проводим
вектор возрастания функции Z(x, y). Передвигая прямую Z2
в направлении вектора N , получим точку К, в которой
начальная прямая покидает область решений.
ж) Найдем координаты точки К. Эта точка является
точкой пересечения касательной к внешней окружности
x2+y2=40 с угловым коэффициентом k = -3. Т.к. k=
= у (К ) = -3, то преобразуем функцию у  40  х 2 .
х
у 
;
40  х 2
х
 3,  х  3 40  х 2  х  6, у  2.
2
40  х
Получили К(6,2), Zmax(K) = 20.
№1.
функций:
Задачи для самостоятельного выполнения:
Найти локальный экстремум следующих
 Z= x3 + y3 – 3xy;
 Z= x3y2(12 – x – y), x>0, y>0;
 Z= x2 + xy + y2 + x – y + 1.
№2. Исследовать на экстремум функции:
 Z= 2x – 4y – x2 – y2;
 Z=x2/2 + 2xy + y/2 – 4x – 5y;
 Z = 4(x – y) – x2 – y2;
№3. Исследовать выпуклость следующих функций:
41
 Z=2/x при x>0;
 Z = е 2 х1  х2 ;
 Z = 5 – x2 – y2;
 Z = -1/x1 – 1/x2 при x1>0, x2>0.
№4. Решить геометрически задачи выпуклого
программирования:
a)Z=( 2–x12–x22 ) б) z=( xy) max, в) z= (1 – x2 – y2 )
если x2 + y2≤ 1.
 min в круге
max
2
(х-1)2+ (у-1)2≤ 1
 х 2  4  х1 ,

 х1  х 2  1,
 х  0, х  0.
2
 1
г) z = (x2 – y2 ) д)
max, min в круге z=(x2+2xy–4x+8y)
x2 + y2 ≤ 4.
 max, min в
прямоугольнике,
ограниченном
прямыми:
х=0,
у=0, х=1, у=2.
е)
Z=(3x2-5y2-6y+
+20y + 5 )  max,
min
в
треугольнике,
ограниченном
осями координат
и прямой х+у=5.
№5. Найти глобальный экстремум (наибольшее и
наименьшее значения) функции z в области решений
системы неравенств. Дать геометрическое решение.
б) z=x2+y2-2x-10y+26
z  x12  2 x 2  3
 х1  2 х2  4,
а)  x12  x 22  10,


5 х1  2 х2  20,
 x1 , x 2  0.
 х , х  0.
1
2

2
2
z  xy,
z  e  x  y (2 x 2  3 y 2 ),
в)
г)  0  x  3,
x 2  y 2  4.

2 x  y  8.
2
д) z=x +1
е) z=x
42
 х  у  9,

 х  у  0,
 х  2 у  0.

2
2
 х  у  9,

 х  1  0,
 х  2  0.

2
2
№6. Найти градиент функции в точке М(1,1):
- U= x2 +y2 +ln(x2+y2);
- U=e2x-y+2x;
- Z=xy.
№7. Найти производную функции Z(x,y) в точке
М(х,у) в направлении вектора l(n,m):
- Z(x,y)=3 x2 -2xy+y2 , М(1,2), l(4,-3)
х3
у3
- Z(x,y)=
 4 ху 
, М(3,2), l(-1,2)
2
3
- Z(x, y)=x2 – y + 2, M(4,1), l(-1, -1)
№8. Графически решить:
а) z=x+1max,
б) Z=x+2max,
у

2

2
х
,
1


у  х 2  1,

2

4
 у  х  3

2
 у  5   х.
3

№9. Построить область решений данных систем
неравенств:
 х 2  у 2  9,
 ху  4  0,


а)  х  3  0,
б)  у  х  0,
 у  4  0.
 х  0.


 y  x 2,
в)  2
2
 x  y  1.

y  x 2  2x
д)  2
2
 x  y  2 x  6 y  9  0.
 y  x3 ,
ж) 
 y  3  x.
 y   x 2  1,
г) 
 x  y  2.
 у  х,
е) 
 у  4  0,5 x.
2 y  x 2  2 x  0,
з) 
 3 y  x  3  0.
43
2.4. Системы массового обслуживания
Рассмотрим решение задачи:
Поток покупателей в магазине – простейший с
интенсивностью 160 покупателей в час. Работают четыре
продавца, причем каждого покупателя обслуживает один
продавец, затрачивая на обслуживание в среднем 1,5
минуты. Все покупатели – «нетерпеливые», то есть, если
все продавцы заняты, то покупатель уходит, не дожидаясь
обслуживания.
Моделировать
процесс
гибели
и
размножения по числу занятых продавцов. Рассчитать
финальные вероятности состояния процесса; суммарное за
день время простоя продавцов, если магазин работает 10
часов; абсолютную пропускную способность магазина.
Решение. Построим модель процесса «гибели и
размножения», используя условие задачи. Т.к. имеются 4
канала, то имеем 4+1 предельных состояний:
S0 – все каналы свободны, к=0,
S1 – занят только 1 канал, к=1,
S2 – заняты только 2 канала, к=2,
S3 – заняты только 3 канала, к=3,
S4 – заняты все 4 канала, к=4.
Граф состояний процесса «гибели и размножения»
представлен на рис.1.
Рис. 1.
λ
λ
S0
S1
μ
λ
S2
2μ
λ
S3
3μ
S4
4μ
Воспользуемся формулами Эрланга для определения
вероятностей состояний процесса:
1
 n k 
k

P0  
,
P

 P0 ,   .
k

k!

 k  0 k! 
44
Тобс=1,5/60=1/40ч. μ=1/Тобс = 40 кл/час
интенсивность обслуживания.
Ρ=λ/μ = 160/40=4 – интенсивность нагрузки.

2 3 4 
Р0  1   



2!
3!
4! 

 1
  34 
 3
Р1 
Р2 
1
1!
2
2!
3
1
–
16 64 256 

 1  4  

2
6
24 

1
1
 0,029  доля времени простоя.
 Р0  4  0,029  0,116,
 Р0  8  0,029  0,232,
64
 0,029  0,309,
3!
6
4
256
Р4 
 Р0 
 0,029  0,309  Ротк .
4!
24
Найдем относительную пропускную способность:
Q=Pобс=1 - Ротк=1 – 0,309 = 0,691.
Найдем абсолютную пропускную способность:
А=λQ = 160·0,691 = 110,56 кл/ч.
Найдем суммарное время простоя за 10ч:
60  29%
Р0=0, 029 = 2,9%, Х  мин
 17,4%.
100%
Вывод: доля не обслуженных клиентов составляет
31%, а обслуженных клиентов 69%, абсолютная
пропускная способность равна 111 клиентам в час,
суммарное время простоя за 1 день работы – 17,4 мин.
Р3 
 Р0 
Задачи для самостоятельного выполнения:
№1.
Построить граф состояний следующего
случайного процесса: система состоит из двух автоматов
по продаже газированной воды, каждый из которых в
45
случайный момент времени может быть либо занятым,
либо свободным.
№2. Найти предельные вероятности для систем S,
граф которых изображен на рис.2, рис.3.
Рис.2
Рис.3
S0
2
4
3
S1
2
3
S2
S0
S1
5
1
S3
3
S2
4
2
№3. Рассматривается круглосуточная работа пункта
проведения профилактического осмотра автомашин с
одним каналом. На осмотр и выявление дефектов каждой
машины затрачивается в среднем 0,5 ч. На осмотр
поступает в среднем 36 машин в сутки. Потоки заявок и
обслуживаний – простейшие. Если машина, прибывшая в
пункт осмотра, не застает ни одного канала свободным, она
покидает пункт осмотра необслуженной. Определить
вероятности состояний и характеристики обслуживания
профилактического пункта осмотра.
№4. Решить задачу №3 для случая 4 каналов. Найти
число каналов, при котором относительная пропускная
способность осмотра будет не менее 0,9.
№5.
Анализируется
работа
междугородного
переговорного пункта в небольшом городке. Пункт имеет
один телефонный аппарат для переговоров. В среднем за
сутки поступает 240 заявок на переговоры. Средняя
продолжительность переговоров составляет 5 мин.
Никаких ограничений на длину очереди нет. Потоки заявок
и обслуживаний простейшие. Определить предельные
46
вероятности состояний и характеристики обслуживания
переговорного пункта в стационарном режиме.
№6. Решить задачу №5 для случая n=3 телефонных
аппаратов.
№7. Решить задачи №3, 4 при условии, что машина,
прибывшая на пункт осмотра, покидает этот пункт лишь в
случае, если в очереди на осмотр стоят более 5 машин.
№8. Решить задачи №5,6 при условии, что длина
очереди не должна превышать 60 чел.
№9. Одноканальная СМО с отказами представляет
собой одну телефонную линию. Вызов, пришедший в
момент,
когда
линия
занята,
получает
отказ.
Интенсивность потока вызовов λ=0,8 (вызовов в минуту).
Средняя продолжительность разговора Tобс = 1,5 мин. Все
потоки простейшие. Определить предельные значения:
относительной пропускной способности, абсолютной
пропускной способности, вероятности отказа.
№10. Решить задачу №9 для случая n=3. Найти
вероятности состояний, абсолютную и относительную
пропускную способности, вероятность отказа и среднее
число занятых каналов.
№11. Автозаправочная станция с двумя колонками
предназначена для обслуживания машин. Поток машин,
прибывающих на АЗС, имеет интенсивность λ=2 (машины
в минуту), среднее время обслуживания одной машины – 2
минуты. Площадка у АЗС может вместить очередь не более
3 машин. Найти характеристики СМО.
№12. АЗС с двумя колонками обслуживает поток
машин с интенсивностью λ=0,8 (машин в минуту), среднее
время обслуживания одной машины – 2 минуты. В данном
районе нет другой АЗС, так что очередь машин перед АЗС
может расти практически неограниченно. Найти
характеристики СМО.
№13. АЗС представляет собой СМО с одним каналом
обслуживания. Площадка при станции допускает
пребывание в очереди на заправку не более трех машин
47
одновременно. Поток машин , пребывающих для
заправки, имеет интенсивность λ=1 (машина в минуту).
Процесс заправки продолжается в среднем 1,25 мин.
Определить характеристики СМО.
№14. Пусть в городе А каждый год 4% жителей
переселяются в пригороды, а 1% жителей пригородов
переселяется в город. Предполагая, что число жителей
города и его пригородов остается постоянным, найти
окончательное распределение жителей между городом и
пригородом.
№15. Некий профессор старается не слишком часто
опаздывать на лекции. Если он однажды опоздал, то в 85%
случаев он в следующий раз приходит вовремя. Если он
пришел вовремя, то в следующий раз в 25% случаев он
опаздывает. Как часто в конечном счете он опаздывает на
лекции.
№16. Известно, что заявки на телефонные переговоры
в телевизионном ателье поступают с интенсивностью λ=90
заявок в час, а средняя продолжительность разговора по
телефону – 2 мин. Определить показатели эффективности
работы СМО при наличии одного телефонного номера.
№17. В условиях задачи №13 определить
оптимальное число телефонных номеров в телевизионном
ателье,
если
условием
оптимальности
считать
удовлетворение в среднем из каждых 100 заявок не менее
90 заявок на переговоры.
№18. В вычислительный центр коллективного
пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от
предприятий на вычислительные работы. Если работают
все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается,
и предприятие вынуждено обратиться в другой
вычислительный центр. Среднее время работы с одним
заказом составляет 3ч. Интенсивность потока заявок 0,25
(1/ч). Найти предельные вероятности состояний и
показатели эффективности работы вычислительного
центра.
48
№19. В порту имеется один причал для разгрузки
судов. Интенсивность потока судов равна 0,4 (судов в
сутки). Среднее время разгрузки одного судна составляет 2
суток. Предполагается, что очередь может быть
неограниченной длины. Найти показатели эффективности
работы причала, а также вероятность того, что ожидают
разгрузки не более чем 2 судна.
№20. В универсаме к узлу расчета поступает поток
покупателей с интенсивностью λ=81 чел. в час. Средняя
продолжительность обслуживания контролером-кассиром
одного покупателя – 2 мин. Определить характеристики
данной СМО.
№21. На оптовую базу поступают на разгрузку три
автомобиля в час (λ=3). Среднее время разгрузки (Тобс)
одного автомобиля – 10 мин. Определить характеристики
одноканальной СМО с неограниченной очередью.
№22. На автозаправочной станции имеется четыре
колонки по отпуску моторного топлива. Каждые три
минуты прибывает автомобиль на заправку (λ=3). Среднее
время обслуживания одного автомобиля (Тобс) равно 1 мин.
Определить финальные вероятности состояний СМО и
вероятность отказа в обслуживании.
№23. На оптовую базу поступают на разгрузку
четыре автомобиля в час (λ=4). Среднее время разгрузки
(Тобс) одного автомобиля – 20 мин. Определить
характеристики одноканальной СМО с неограниченной
очередью.
№24. На автозаправочной станции имеется две
колонки по отпуску моторного топлива. Каждые три
минуты прибывает автомобиль на заправку (λ=3). Среднее
время обслуживания одного автомобиля (Тобс) равно 2 мин.
Определить финальные вероятности состояний СМО и
вероятность отказа в обслуживании.
Определить предельные вероятности состояний и
характеристики обслуживания.
49
№25. Железнодорожная касса с двумя окошками
продает билеты в два пункта А и В. Интенсивность потока
пассажиров, желающих купить билеты, для обоих пунктов
одинакова и равна 0,45 (пассажиров в минуту). На
обслуживание пассажиров кассир тратит в среднем 2 мин.
Рассматриваются два варианта продажи билетов: первый –
билеты продаются в одной кассе с двумя окошками
одновременно в оба пункта А и В; второй – билеты
продаются в двух специализированных кассах, одна только
в пункт А, другая – только в пункт В. Сравни два варианта
продажи билетов по основным характеристикам
обслуживания.
№26. По условию задачи №15 найти показатели
эффективности работы причала. Известно, что приходящее
судно покидает причал (без разгрузки), если в очереди на
разгрузку стоит более 3 судов.
2.5. Динамическое программирование
Рассмотрим решение задачи.
Найти оптимальное распределение ресурсов S0 между
двумя отраслями производств I и II в течение 4 лет, если
заданы функции доходов f1(x) и f2(x) для каждой отрасли,
функции возврата q1(x) и q2(x). S0=40000 ед., f1(x)=0,4x,
f2(x)=0,3x, q1(x)=0,5x, q2(x)=0,8x.
Решение. а) Процесс распределения средств между
двумя отраслями производства разворачивается во времен,
решения принимаются в начале каждого года,
следовательно, осуществляется деление на шаги: номер
шага – номер года. Управляемая система – две отрасли
производства, а управление состоит в выделении средств
каждой отрасли в очередном году. Переменных управления
на каждом шаге две: xk - количество средств, выделенных I
отрасли, и yk – II отрасли.
Уравнение состояний
s k  q1 ( xk )  q2 (s k 1  xk )
50
выражают остаток средств, возвращенных в конце
k-го года.
Показатель эффективности k-го шага – прибыль,
полученная в конце k-го года от обеих отраслей:
f1 ( xk )  f 2 ( s k 1  xk ).
Суммарный показатель эффективности – целевая
функция задачи – прибыль за n лет:
Z   f1 ( xk )  f 2 ( sk 1  xk ).
Пусть Z k ( s k 1 ) - условная оптимальная прибыль за nk+1 лет, начиная с k-го года до n-го года включительно,
при условии, что имеющиеся на начало k-го года средства
sk-1 в дальнейшем распределялись оптимально. Тогда
оптимальная прибыль за n лет Zmax = Z 1 ( s 0 ) .
Уравнения Беллмана имеют вид:
Z n ( s n 1 )  max { f1 ( x n )  f 2 ( s n 1  x n )},
0 xn  sn 1
Z k ( s k 1 )  max { f1 ( x k )  f 2 ( s k 1  x k )  Z k1 ( s k )},
0 xk  sk 1
(k  n  1, n  2,...,2).
б) Используем данные задачи.
Уравнение состояний примет вид:
s k  0,5 xk  0,8( s k 1  xk ), или s k  0,8s k 1  0,3xk
Целевая функция k-го шага
0,4 xk  0,3( s k 1  xk )  0,3s k 1  0,1xk
Целевая функция задачи
4
4
k 1
k 1
(1)
(2)
Z   (0,4 x k  0,3( s k 1  x k ))   (0,1x k  0,3s k 1 )
(3)
Уравнения Беллмана
Z 4 ( s3 )  max {0,1x4  0,3s3 }
(4)
Z k ( s k 1 )  max {0,4 xk  0,3( s k 1  xk )  Z k1 ( s k )}
(5)
0  x 4  s3
0 xk  sk 1
51
1 этап. Условная оптимизация.
4-й шаг. Используем уравнение (4). Обозначим через
Z4 функцию, стоящую в скобках, Z4 = 0,1х4 + 0,3s3;
функция Z4 линейная, возрастающая, т.к. 0,1>0.
Поэтому максимум достигается на конце интервала
[0,s3], т.е. при х 4  s3 .
3-й шаг. Найдем s3 из (1): s3 = 0,8 s2 – 0,3х3
Уравнение:
Z 3 ( s 2 )  max {0,4 х3  0,3( s 2  x3 )  0,4 s3 } 
0 x3  s 2
 max {0,4 x3  0,3s 2  0,3 x3  0,4 s3 } 
0 x3  s 2
 max {0,52 s 2  0,02 x3 }
0 x3  s 2
Пусть Z3 = 0,52s2 - 0,02х3 – линейная функция,
убывающая, т.к. -0,02<0, следовательно, она
достигает наибольшего значения в начале отрезка
[0,s2], т.е. при х3=0. Отсюда Z 3  0,52 s 2 , при х3  0.
2-й шаг. Найдем s2 из (1): s2 = 0,8 s1 – 0,3х2.
Z 2 ( s1 )  max {0,4 х3  0,3( s1  x 2 )  Z 3 ( s 2 } 
0 x2  s1
 max {0,4 x 2  0,3( s1  x 2 )  0,52(0,8s1  0,3 x 2 )} 
0 x2  s1
 max {0,716 s1  0,056 x 2 }
0 x3  s 2
Пусть Z2 = 0,716s1-0,056х2 – линейная функция,
убывающая, т.к. -0,056<0, следовательно, она
достигает наибольшего значения в начале отрезка
[0,s1] при х2=0. Отсюда Z 2  0,716s1 , при x2  0 .
1-й шаг. s1 = 0,8 s0 – 0,3х1
Z1 ( s 0 )  max {0,4 x1  0,3( s0  x1 )  0,716(0,8s0  0,3x1 )} 
0 x1  s0
 max {0,8728s 0  0,148 x1 }
0 x1  s0
Пусть Z1 = 0,8728s0-0,1148х1 –убывающая линейная
функция, т.к. -0,1148 <0, следовательно, она
52
достигает наибольшего значения в начале отрезка
[0,s0], т.е. при х1=0. Z 1  0,8728s 0 .
На этом условная оптимизация заканчивается.
Используя ее результат и исходные данные, получим
Z max  Z 1 (40000)  34912.
Задачи для самостоятельного выполнения:
№1. Найти оптимальное распределение ресурсов S0
между двумя отраслями производств I и II в течение 4 лет,
если заданы функции доходов f1(x) и f2(x) для каждой
отрасли, функции возврата q1(x) и q2(x). S0=10000 ед.,
f1(x)=0,6x, f2(x)=0,5x, q1(x)=0,7x, q2(x)=0,8x.
№2. Найти оптимальное распределение средств
между n предприятиями при улови, что прибыль f(x),
полученная от каждого предприятия, является функцией от
вложенных в него средств х. Вложения кратны Δх, а
функции f(x) заданы таблично.
Х
1
2
3
4
5
6
7
8
9
S0=9,
F1(x) 5
9
12 14 15 18 20 24 27 N=3,
F2(x) 7
9
11 13 16 19 21 22 25 Δx=1.
F3(x) 6
10 13 15 16 18 21 22 25
№3. В условиях задачи 2 найти оптимальное
распределение средств s0=8.
№4. Найти оптимальное распределение ресурсов S0
между двумя отраслями производств I и II в течение 4 лет,
если заданы функции доходов f1(x) и f2(x) для каждой
отрасли, функции возврата q1(x) и q2(x). S0=10000 ед.,
f1(x)=0,1x, f2(x)=0,5x, q1(x)=0,75x, q2(x)=0,3x.
№5. Решить задачу 1 и 4 при условии, что в начале
каждого года дополнительно поступают средства в
размерах Δs=10000.
2.6. Теория игр
Пример 1. Найти решение игры, заданной матрицей:
53
1 4 3 3


2 1 3 7
 3 6 3 3 .


 3 3 2 4


Решение. Все расчеты удобно проводить в таблице, в
которой, кроме матрицы Р, введены столбец αi и строка βi.
Ai В1
В2
В3
В4
αi
Bi
A1
1
4
3
3
1
A2
2
1
3
7
1
A3
3
6
3
3
3
A4
3
3
2
4
2
βi
3
6
3
7
α=3
β=3
Анализируя строки матрицы (стратегии игрока А),
заполняем столбец αi : α1=1, α2=1, α3=3, α4=2 –
минимальные числа в строках 1, 2, 3, 4. Аналогично β1=3,
β2=6, β3=3, β4=7 – максимальные числа в столбцах1, 2, 3, 4
соотвественно.
Нижняя
цена
игры
α
= max  i  max( 1,1,3,2)  3 (наибольшее число в столбце αi)
i 1, 2,3, 4
и
верхняя
цена
игры
  min  j  min( 3,6,3,7)  3
j 1, 2,3, 4
(наименьшее число в строке). Эти значения равны, т.е. α=β,
и достигаются в точках (А3, В3) и (А3, В1). Цена игры ν=3.
Задачи для самостоятельного выполнения:
№1. Предприятие выпускает скоропортящуюся
продукцию, которую может сразу отправить потребителю
(стратегия А1), отправить на склад для хранения (стратегия
А2) или подвергнуть дополнительной обработке (стратегия
А3) для длительного хранения. Потребитель может
приобрести продукцию: немедленно (стратегия игрока В1),
54
в течение небольшого времени (В2), после длительного
периода времени (В3).
Определить оптимальные
пропорции продукции для применения стратегий А1, А2,
А3,
руководствуясь
«минимаксным
критерием»,
предварительно упростив матрицу, при матрице затрат,
представленной в таблице:
Ai В1
В2
В3
Bi
A1
2
5
8
A2
7
6
10
A3
12
10
8
№2. Игрок А записывает одно из двух чисел: 1или 2,
игрок В – одно из трех чисел: 1, 2, 3. Если оба числа
одинаковой четности, то А выигрывает и выигрыш равен
сумме этих чисел, если четности выбранных игроками
чисел не совпадают, то В выигрывает, выигрыш равен
сумме этих чисел. Построить платежную матрицу игры,
определить нижнюю и верхнюю цены игры и проверить
наличие седловой точки.
В задачах 3-8 для следующих платежных матиц
определить нижнюю и верхнюю цены игры, минимаксные
стратегии и оптимальные решения игры, если существует
седловая точка.
 2 5 3
 4 5 3
 0,3 0,6 0,8 






№3.  0,9 0,4 0,2 
№4.  6 7 4 
6 4 5
№5. 
 5 2 3
 0,7 0,5 0,4 
3 7 6






 2 3 4


№6.
№7.
№8.
4
5
6
7
9
4
9
5
3




8 9 9 4






3 4 6 5 6 
7 8 6 9
6 5 8 7
 7 6 10 8 11
7 4 2 6
3 4 5 6






8 5 4 7 3 
8 3 4 7




55
В задачах № 9-14 решить и дать графическую
интерпретацию для следующих игр 2×2.
 2 2 
 2 3
 4  2



№9. 
№10. 
№11. 
 1  1
1 2
1 3 
 3 3 
 6 10 
 1 1 



№12. 
№13. 
№14. 
10 8 
 1  1
 2  1
№15. Найти решения игр путем сведения их к задаче
линейного программирования, используя платежные
матрицы задач №4, 6,7.
№16. Найти решение игры, предварительно упростив
ее:
 3  2 5  1


4 0 6 1 
2 1 3 2 


1 3 7 4 


№17. Магазин может завезти в различных
пропорциях товары трех типов (А1, А2, А3); их реализация
и прибыль магазина зависят от вида товара и состояния
спроса.
Предполагается, что спрос может иметь три
состояния (В1, В2, В3) и не прогнозируется. Определить
оптимальные пропорции в закупке товаров из условия
максимизации средней гарантированной прибыли при
следующей матрице прибыли.
Тип
Спрос
товара В1
В2
В3
А1
20
15
10
А2
16
12
14
А3
13
18
15
2.7. Алгоритмы на графах
Рассмотрим решение следующей задачи: для сетевого
графика рассчитать ранние и поздние сроки свершения
56
событий, начала и окончания работ; определить резервы
времени полных путей и событий, резервы времени работ.
5
1
6
2
0
3
3
2
3
Решение. Здесь Lкр= (0, 1, 3), Ткр= 11.
Поскольку событию (0) не предшествуют какие-либо
работы, tp(0)=0. Далее, в событие (1) входит единственная
работа (0,0), поэтому tp(1) = tp(0) + t(0,1) = 0 + 5 =5.
Событию (2) предшествуют два пути (0,1, 2) и (0,2)
длительности соответственно 7 и 3, поэтому tp(2)=max
{7,3} = 7. Полные пути имеют длительности 11, 10, 6,
поэтому: tp(3) = max {11, 10, 6} = 11 = Tкр.
Найдем поздние сроки наступления событий.
tп(0) = 11 – max {6, 11, 10} = 11 – 11 =0.
tп(1) = 11- max{6, 5} = 5= tp(1), tп(2) = 11 – 3 = 8,
tп(3) = 11 = tp(3)=Tкр.
Резерв события (времени): R(0) =0; R(1) = 5 – 5 =0;
R(2) = 8-7=1; R(3)= 11-11=0.
Ранний срок начала: tрн(0,1)= tрн(0,2) =0; tрн(1,2) =
tрн(1,3) = 5; tрн(2,3) = 7.
Ранний срок окончания работы: tpo(0, 1)=tp(0) +t(0,1) =
=0+5 = 5; tpo(0, 2)=tp(0) + t(0, 2) = 0+3 = 3; tpo(1, 2)=tp(1) +
+t(1, 2) = 5+2= 7; tpo(1, 3)=tp(1) +t(1, 3) = 5+6 = 11;
tpo(2, 3)=tp(2) +t(2, 3) = 7+3 = 10.
Поздний срок окончания: tпо(0, 1) = tп(1) = 5; tпо(0, 2) =
=tпо(1, 2) = tп(2) = 8; tпо(1, 3) = tпо(2, 3) = tп(3) = 11.
Поздний срок начала: tпн(0, 1) = tп(1) – t(0,1) = 5-5 = 0;
tпн(0, 2) = tп(2) – t(0,2) = 8-3 = 5; tпн(1, 2) = tп(2) – t(1,2) = 8-2 = 6; tпн(1, 3) = tп(3) – t(1, 3) = 11- 6 = 5; tпн(2, 3) =
= tп(3) –t(2, 3)= 11 - 3= 8.
Резерв пути: R(0, 1, 3) = 11-11=0; R(0, 1, 2,3) =
=11-10=1; R(0, 2, 3) = 11-6=5.
57
Резерв работ: Rп(0,1)= tп(1) – tp(0) – t(0,1) = 5-0-5=0;
Rп(0, 2)= tп(2) – tp(0) – t(0, 2) = 8 – 0 – 3 = 5;
Rп(1, 2)= tп(2) – tp(1) – t(1, 2) = 8 – 5 – 2 = 1;
Rп(1, 3)= tп(3) – tp(1) – t(1, 3) = 11 – 5 – 6 = 0;
Rп(2, 3)= tп(3) – tp(2) – t(2, 3) = 11 – 7 – 3 = 1.
Задачи для самостоятельного выполнения
№1.
Найти
продолжительность
выполнения
комплекса работ, временные характеристики событий и
работ для сетевого графика:
А)
В
А 3
Д
7
1
3

1
8
С
2
6
β
К
5
5
Е
Б)
А
Д
1
2
10
α
5
3
β
4
В
В)
6
6
4
5
6
7
С
3
1
2
9
5
58
Г)
2
2
3
3
4
8
3
1
3
2
2
9
6
5
Д)
5
7
12
4
4
5
4
10
Е)
12
18
30
15
22
30
25
32
35
9
20
5
25
15
42
4
59
Ж)
10
8
15
5
16
7
З)
10
3
15
9
7
9
5
16
10
60
Приложение 1
Министерство образования Российской Федерации
Министерство образования Ставропольского края
ГБОУ СПО Георгиевский региональный колледж
«Интеграл»
КУРСОВОЙ ПРОЕКТ
по дисциплине «Математические методы»
тема: «_____________________________»
Разработал
Руководитель
Иванов Иван
Кардаильская С.А.
Иванович
Дата___________
Группа ПО-41
Оценка_________
Дата __________
Подпись________
Подпись________
Георгиевск
2012
61
Приложение 2
Темы курсовых работ
для специальности 230105 « Программное обеспечение
вычислительной техники и автоматизированных систем»
по дисциплине «Математические методы»
1 Математические модели. Использование
математических моделей в экономике.
2 Математические модели. Применение математических
моделей в информатике.
3 Марковский процесс.
4 Процесс гибели и размножения.
5 Системы массового обслуживания.
6 Одноканальная СМО с отказами.
7 Одноканальная СМО с ограниченной очередью.
8 Одноканальная СМО с неограниченной очередью.
9 Многоканальная СМО с неограниченной очередью.
10 Линейные неравенства.
11 Область решений системы линейных неравенств.
12 Графическое решение задач линейного
программирования.
13 Применение метода Жордана-Гаусса при решении задач
линейного программирования.
14 Максимум линейной функции.
15 Симплексные таблицы.
16 Применение симплексных таблиц для решения задач
линейного программирования.
17 Двойственные задачи в теории линейного
программирования.
18 Транспортная задача.
19 Основные приемы решения транспортных задач.
20 Функции нескольких аргументов. Определение
экстремумов.
21 Классические способы определения экстремумов
функций нескольких переменных.
22 Приближенное решение задач нелинейного
62
программирования.
23 Графическое решение задач нелинейного
программирования.
24 Имитационное моделирование.
25 Минимум линейной функции.
26 Максимум линейной функции.
27 Алгоритмы на графах.
28 Игровые модели.
29 Решение игр в смешанных стратегиях.
30 Геометрическая интерпретация игры 2× 2.
31 Приведение матричной игры к задаче линейного
программирования.
32 Теория принятия решения.