1.5. Плоские и сферические волны

20.01.2016
3:19
57
Гл1_МдлнПредстППС_в_ОиЛзЭС
1.5. Плоские и сферические волны
Основы электромагнитной теории света, базирующейся на уравнениях Максвелла, были в основном сформулированы еще в XIX веке. Эта теория долгое время
не получала всеобщего признания. Сам Максвелл и его последователи пытались
описать электромагнитное поле с помощью механических моделей. Только потом,
когда идеи Максвелла стали более привычными, были постепенно оставлены попытки «объяснения» его уравнений на основе механики. В настоящее время не
возникает трудностей при представлении электромагнитного поля Максвелла в
виде некой субстанции, не сводящейся ни к чему более простому.
При наличии электрических зарядов и токов в пространстве устанавливается
возбужденное состояние, которое называют электромагнитным полем. Колебания
электрических зарядов в виде ограниченных движений в окрестности некоторого
среднего положения, обладающие той или иной степенью повторяемости, приводят к соответствующим изменениям состояния пространства. Электромагнитное
поле является частным случаем волнового поля. Это физическое поле, существующее в форме волн и описываемое с помощью совокупности пространственновременных распределений физических величин, характеризующих рассматриваемые волны.
Электромагнитные волны представляют собой изменения физического состоя-
ния среды (возмущения), обусловленные колебаниями электрических зарядов в
этой среде, распространяющиеся со скоростью света и несущие с собой энергию.
Их характеризуют векторами напряженности электрического поля E (Q, t ) и магнитной индукции B (Q, t ) . Вид волн определяется в результате решения волнового
уравнения, описывающего их распространение в пространстве, которое в свою
очередь получается из уравнений Максвелла [3,11,12].
В рамках скалярной теории дифракции в любой точке Q ( x, y, z ) однородной
среды в областях, свободных от токов и зарядов (в частности, отсутствуют источники излучения), вещественная функция u (Q, t ) , которая описывает световое
возмущение, удовлетворяет скалярному однородному волновому уравнению
1  2u
u 2
 0,
v  t2
(1.14)
20.01.2016
3:19
58
Гл1_МдлнПредстППС_в_ОиЛзЭС
где    2 /  x2  2 /  y2  2 /  z 2 – оператор Лапласа; v  c / n – скорость света в среде; с = 299776 ± 4 км/с – скорость света в вакууме; п – показатель преломления. В скалярной теории дифракции u (Q, t ) представляет собой одну из двух
взаимно перпендикулярных декартовых компонент Ex (Q, t ) и E y (Q, t ) электрического поля, колеблющихся в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. При этом волновое уравнение является наиболее полным заданием явного вида преобразующего дифференциального оператора Pдиф для построения ВнтрМП при решении любых оптических задач. Однако решить его удается только для небольшого числа частных случаев. Плоские и сферические волтип
ны – это первые изучаемые в теории ОиЛзЭС входные типовые сигналы s вх
.
1.5.1. Скалярные монохроматические волны
В любой волновой теории света элементарным сигналом считают монохроматическую волну, распространяющуюся в пространстве и во времени. Если ее
временная частота  tоптч лежит приблизительно в интервале от 4  1014 до 7,5 1014
Гц (соответственно длина волны в вакууме λ изменяется от 0,75 мкм до 0,4 мкм),
то она вызывает у человека физиологическое ощущение определенного цвета. Обратное, вообще говоря, неверно. Окрашенный свет, вызывающий определенное
субъективное ощущение цвета, может быть совокупностью монохроматических
волн с различными частотами.
Решение волнового уравнения (1.14), определяющее вид монохроматической
волны в точке Q ( x, y, z ) в момент времени t, можно представить в виде скалярной
функции
u (Q, t )  a (Q) cos [2tоптч t   (Q)].
(1.15)
Величину a (Q) , большую нуля, называют амплитудой, а аргумент косинуса
[2tоптч t   (Q)] – полной фазой, зависящей как от времени t  2tоптч t так и от
пространственных координат  (Q) . Величину
tоптч  1/ T   / 2
называют временной, или циклической, частотой оптического излучения (представляет число колебаний в секунду, Гц), которая по порядку величины равна 1014
Гц, а величину   2 tоптч – угловой частотой. Последняя определяет число
колебаний в 2  секунд. При замене t на t  Tоптч значение функции u (Q, t ) оста-
20.01.2016
3:19
59
Гл1_МдлнПредстППС_в_ОиЛзЭС
ется неизменным, поэтому Tоптч является временным периодом колебаний. Волновую функцию в форме (1.15) называют временным гармоническим оптическим сигналом. Она определяет монохроматическую волну. В случае линейно поляризо-
ванной волны u (Q, t ) характеризует напряженность электрического или магнитного поля как физическую величину.
Расчеты, связанные с преобразованием гармонических сигналов, значительно
упрощаются, если вместо косинусоидальной гармоники использовать комплексную экспоненциальную гармонику. Нетрудно заметить, что (1.15) можно записать
в виде действительной части (Re) от комплексной гармонической функции координат и времени
u (Q, t )  Re {U (Q, t )}  Re {A (Q) exp ( i 2 tоптч t ) 
 Re {a (Q) exp [  i ( (Q)  2 tоптч t )],
U (Q, t )  A (Q) exp ( i 2 t t ) —
(1.16)
где
(1.17)
комплексный пространственно-временной гармонический оптический сигнал. Комплексную функцию координат
(1.18)
A (Q)  a (Q) exp [ i  (Q)]
называют комплексной амплитудой волны, или комплексным оптическим сигналом.
Так как зависимость от времени U (Q, t ) известна заранее, то задание комплексной
амплитуды A (Q) достаточно для описания светового возмущения.
Поверхность постоянной фазы, в любой точке Q (r ) которой в данный момент
времени фаза волны одинакова,
 (Q)  const,
называют волновым фронтом. Вообще говоря, поверхность постоянной фазы в
(1.18) не совпадает с поверхностью постоянной амплитуды. При этом говорят, что
такая волна неоднородна. Примером неоднородных волн служат эрмито-гауссовые
и лагерро-гауссовые волны на выходе лазера.
Если операции, производимые над u (Q, t ) , линейны, то для удобства математических выкладок символ Re в (1.16) опускается, а в (1.14) вещественная функция u (Q, t ) заменяется комплекснозначной U (Q, t ) . Тогда вещественная часть
окончательного выражения будет представлять собой изучаемую физическую величину. Делая переход к комплексным оптическим сигналам, следует помнить,
20.01.2016
3:19
Гл1_МдлнПредстППС_в_ОиЛзЭС
60
что фактически физическая величина напряженности E (Q, t ) электрического поля в электромагнитной волне всегда вещественна.
1.5.2. Интенсивность монохроматической волны
В основе взаимодействия света с фоточувствительной регистрирующей средой лежит экспериментальный факт, состоящий в том, что отклик среды (величина
электрического заряда, плотность почернения единицы объема галогенидосеребряной среды, степень отбеливания единицы объема фотохромной среды и т. п.)
есть функция энергии, поглощенной единичным объемом и усредненной за время,
большее по сравнению с периодом световых колебаний. Пусть E – вектор напряженности электрического поля в электромагнитной волне, именуемый для краткости электрический вектор, В/м, a D   а E – электрическое смещение, Кл/м2.
Здесь  а     – абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, в которой
распространяется волна;   8,85  1012 Ф/м – абсолютная диэлектрическая постоянная свободного пространства (электрическая постоянная); ε – безразмерная
относительная диэлектрическая проницаемость среды. Из теории Максвелла известно, что объемная плотность электрической энергии w , Дж/м3, т. е. энергии
электрического поля световой волны, в системе СИ описывается выражением
w  DE / 2   а E E / 2.
Тогда усредненное по времени значение
1
w  w 
2T
Tср

T
w (t ) dt   а E E / 2,
ср
где угловые скобки означают усреднение во времени, а 2Tср – интервал времени,
по которому проводится усреднение.
В любой точке световой волны величина и направление потока электрической
энергии за единицу времени через единичную площадку, нормальную к потоку,
определяется вектором Пойнтинга
П E  w v.
В классической оптике усредненную по времени величину П = П , Вт/м2,
этого вектора называют интенсивностью Iп (х, у), т.е. поверхностной плотностью
лучистого потока в точке
20.01.2016
3:19
61
Гл1_МдлнПредстППС_в_ОиЛзЭС
I п  П  w v  v  а ЕЕ / 2 .
(1.19)
2
 Вт   м Ф  В  
В системе СИ интенсивность I п также выражается в  2  = 
  .
 м   с м  м  
Кроме того, на практике для удобства используется сокращенное определение
интенсивности
I  2 Е Е  (4 / v а ) I п .
(1.20)
Так как интенсивность
I П  к П I , где к П  v  а / 4,
то всегда можно понять, какая интенсивность имеется в виду в данной ситуации.
Заметим, что на практике наряду с поверхностной плотностью лучистого потока I используется пространственно-угловая плотность, или сила излучения
I e ,  Вт/ср . В фотометрии она называется силой света Iv , кд  =  лм/ср .
В то же время основной интерес представляет отношение интенсивностей в
разных точках Q1 и Q2 волнового поля. Тогда благодаря пропорциональности
между I и I п отношение интенсивностей в этих двух точках однозначно определяется любым из двух выражений
  I (Q1 ) / I (Q2 )  I п (Q1 ) / I п (Q2 ) .
В общем случае электрический вектор монохроматической волны с учетом
(1.15) описывается выражением
E (Q, t )  a (Q) cos [2tоптч t  (Q)],

(1.21)

где a (Q)  ax (Q), a y (Q), a z (Q) – вектор амплитуды, tоптч  1014 Гц. Подставляя
(1.21) в (1.20), получим
Tср
I  (1/ T )

T
a 2 cos 2 (2 tоптч  ) dt  a 2 {1  [sin(4 tоптчTср  2) 
ср
 sin(4 tоптчTср  2) / 8 tоптчTср }.
Откуда при Tср >> 1/ tоптч  1014 с имеем
I (Q)  a 2 (Q)  ax2 (Q)  a 2y (Q)  az2 (Q) .
Таким образом, преимущество определения интенсивности в виде (1.20) состоит в том, что она определяется скалярным квадратом вектора амплитуды электрического поля, т. е. квадратом амплитуды.
20.01.2016
3:19
Гл1_МдлнПредстППС_в_ОиЛзЭС
62
Используя понятия комплексных амплитуд (1.17) и (1.18), выражение для интенсивности монохроматической волны можно представить в виде
2
2
(1.23)
I (Q)  U (Q, t )  A(Q)  a 2 (Q) .
Тогда в комплексном представлении интенсивность равна квадрату модуля комплексной амплитуды.
1.5.3.Однородные плоские монохроматические волны
Любое решение волнового уравнения (1.14) вида
(1.23)
U пл (Q, t )  s (r e ), t 
представляет собой плоскую волну, так как в каждый момент времени t0 величина
U пл (Q, t0 ) постоянна во всех точках плоскости, задаваемой векторным уравнением
в виде скалярного произведения
r e  d  const ,
где r ( x, y, z ) – радиус-вектор точки Q ; e (cosα,cos β,cos γ) – единичный вектор
нормали к плоскости, координаты которого определяются направляющими косинусами (рис. 1.4). Иначе говоря, плоская волна, фаза которой постоянна во всех
точках некоторой плоскости, имеет плоский волновой фронт.
Общее решение волнового уравнения (1.14) в виде (1.23), выражающее плоскую волну, которая распространяется в направлении вектора e со скоростью v ,
имеет вид
(1.24)
Uпл (Q, t )  s (r e )  v t   s1  t  (r e ) / v 
Аргумент функции s не меняется при замене величин d  r e и t на величины
d  v  t и t   t соответственно. Физически это означает, что возмущение s , которое в момент времени t было в плоскости, находящейся на расстоянии d от начала
координат, в более поздний момент времени t   t оказывается в плоскости, расположенной уже на расстоянии d  v  t от начала координат. Вводя в (1.17) в результате замены t нa t  (r e ) / v структуру плоского волнового фронта и учитывая,
что для однородной плоской волны A(Q)  a  const , получим скалярное комплексное выражение для электрического (магнитного) поля однородной плоской
монохроматической волны
U пл (Q, t )  a exp {i 2πνt [t  (r e / v )]}  a exp(i kn e r ) exp (i 2πν t ), (1.25)
где kn  2π / λ n ; λ  v / vt  v T – длина волны в среде с показателем преломления n. Длину волны
20.01.2016
3:19
63
Гл1_МдлнПредстППС_в_ОиЛзЭС
λ  c / vt  cT  n λ n
(1.26)
называют приведенной длиной волны (соответствует распространяющейся в вакууме монохроматической волне той же частоты). Вектор k n или k для вакуума
kn  (2π / λ n ) e ,
k  (2π / λ) e ,
направленный вдоль единичного вектора нормали (рис. 1.4), называют волновым
вектором. Его длину kn  2π / λ n , соответственно для вакуума k  2π / λ , назы-
вают волновым числом. Волновой вектор является обобщенным пространственным
аналогом временной угловой частоты ω  2π /T .
Так как выражение (1.25) не изменяется при замене d  r e на d  λ n то λ n ,
является пространственным периодом плоской волны. Для задания ориентации
пространственных гармонических осцилляции в плоской волне на практике очень
удобно ввести векторы пространственной частоты
ν n  (1/ λ n ) e , ν  (1/ λ) e ,
(1.27)
направления которых совпадают с направлением распространения e , а длины соответственно равны
(1.28)
ν n  ν n  1/ λ n , ν  ν  1/ λ.
Они задают число пространственных периодов (осцилляций) в волне, укладывающихся на единице длины, 1/мм, соответственно в среде или в вакууме, и по аналогии с временной частотой ν t называются пространственными частотами. Это
еще более углубляет аналогию между волновым вектором k  2πν и угловой частотой ω  2πν t .
В итоге комплексную амплитуду однородной плоской монохроматической волны
можно представить в виде
Aпл (Q)  a exp (ikne r )  a exp (i kn r )  a exp (i 2π ν n r );
(1.29)
U пл (Q, t )  Aпл (Q) exp (i 2πν t t )  a exp (i 2πν n r ) exp (i 2πν t t ).
(1.30)
В (1.30) в соответствии с (1.24) фаза d  2πν n r увеличивается с ростом расстояния d от начала координат, а фаза t  2πνt t уменьшается с ростом времени
t. Выбор такого правила знаков в плоской волне обусловлен описанием ее распространения в направлении вектора e . Он не имеет существенного значения, так как
практический интерес представляет не абсолютная величина фазы, а разность фаз.
В то же время в рамках выбранного правила знаков процесс распространения
плоской волны сводится к следующему. Для любой точки некоторой плоскости
20.01.2016
3:19
64
Гл1_МдлнПредстППС_в_ОиЛзЭС
d  r e согласно (1.30) полная фаза волны в момент времени t постоянна и равна
  2π (ν n r  ν t t )  2π(ν n d  ν t t ) . В более поздний момент времени t   t полная
фаза будет иметь то же значение на большем расстоянии d  v  t от начала координат   2π[ν n (d  v  t )  νt (t   t ) , так как λ n v   t , в то время как на прежнем расстоянии d она уменьшается. В результате плоский волновой фронт перемещается в пространстве в направлении, которое в зависимости от специфики задачи можно охарактеризовать одним из трех коллинеарных векторов – единичным
вектором нормали e , вектором пространственной частоты ν или волновым вектором k (рис. 1.4).
Таким образом, однородная плоская монохроматическая волна (1.30) является
тем важным частным случаем комплексного временного гармонического сигнала
(1.17), который позволяет с единых позиций рассматривать частотно-временные и
пространственно-частотные гармонические осцилляции произвольной монохроматической электромагнитной волны, представляемой в виде суммы плоских волн.
Это в свою очередь служит первым шагом на пути создания общей частотной МП
ОЭС при описании множества S входных сигналов набором плоских волн.
Для описания плоской волны, распространяющейся в противоположном
направлении, надо во всех полученных выражениях заменить векторы e , ν n , kn на
противоположные e ,  ν n ,  kn .
Тогда на основании (1.29) комплексная амплитуда примет вид
*
Aпл
(Q)  a exp i (2π/λ)e r   a exp (i kn r )  a exp (i 2π ν n r ).
Нетрудно видеть, что противоположному направлению распространения соот-
ветствует комплексно-сопряженная амплитуда. В этом, в частности, проявляется
одно из преимуществ введения комплексного оптического сигнала. Другое преимущество использования комплексной амплитуды выясняется при переходе к координатному представлению однородной плоской монохроматической волны.
Вектор пространственной частоты ν  (ν x , ν y , ν z ) перпендикулярен трехмерной
плоскостной периодической решетке, состоящей, например, из максимумов пространственно-частотной гармоники, которая соответствует комплексной амплитуде плоской волны в фиксированный момент времени и тем самым задает ее ориентацию. На рис. 1.5 приведена решетка с вектором ν , лежащим в плоскости хz, так
20.01.2016
3:19
65
Гл1_МдлнПредстППС_в_ОиЛзЭС
что ее реберные грани перпендикулярны этой плоскости (параллельны оси у). С
учетом (1.27) координаты
ν x  cos α /  , ν y  cos β / λ , ν z  cos γ / λ
(1.31)
называют координатными пространственными частотами соответственно вдоль
осей х, у, z. Если направление распространения ν (или e ) составляет с какой-либо
осью угол меньше 90°, то соответствующая координатная пространственная частота положительна. Если угол больше 90°, то частота отрицательна. В оптике координатные пространственные частоты часто выражаются через дополнительные
углы (углы падения) θ1  900  α , θ 2  900  β , θ3  900  γ , так что ν x  sin θ1 / λ ,
ν y  sin θ2 / λ , ν z  sin θ3 / λ . Тогда, переходя в (1.29) к координатной форме записи
скалярного произведения ν r , получим
Aпл ( x, y, z )  a exp [i 2π(ν x x  ν y y  ν z z )] 
cosα
cos β
cos γ
x
y
z )] 
λ
λ
λ
sinθ1
sinθ 2
sinθ3
 a exp [i 2π(
x
y
z )].
λ
λ
λ
В частности, плоская волна, распространяющаяся в направлении
 a exp [i 2π(
(1.32)
ν  (ν x ,0, ν z ) , параллельном плоскости хz ( β = 90°, рис. 1.5), имеет в произвольной точке Q ( x, y, z ) комплексную амплитуду
cosα
cos γ
x
z )].
λ
λ
При z  0 получим выражение для комплексной амплитуды в точке P ( x, y, 0)
Aпл ( x, z )  a exp [i 2π(ν x x  ν z z )]  a exp [i 2π(
плоскости х0у
Aпл ( x)  a exp (i 2πν x x)  a exp [i 2π (cosα / λ) x] .
Наконец, если ν x  0 ( α = 900 ), то комплексная амплитуда плоской волны, распространяющейся в направлении оси z , в точке Q( x, y, z ) имеет вид
Aпл ( z )  a exp (i 2πν z z )  a exp [i 2π(cos γ / λ) z ] ,
а в точке P( x, y,0) она будет
Aпл (0)  a  const .
Оптико-физический смысл координатных пространственных частот заключается в том, что их знаки определяют направление распространения плоской волны,
20.01.2016
3:19
Гл1_МдлнПредстППС_в_ОиЛзЭС
66
а численные значения обратно пропорциональны пространственным периодам Tx ,
Ty , Tz трехмерной плоскостной решетки вдоль соответствующих координатных
осей
Tx  1/ | ν x |  λ / | cosα | , Ty  1/ | ν y |  λ / | cos β | , Tz  1/ | ν z |  λ / | cos γ | .
Для волны, распространяющейся в направлении ν  (ν x ,0, ν z ) (рис. 1.5) с вектором ν , лежащим в I квадранте, частоты ν x  0 , ν y  0 , ν z  0 , так что
Tz  1/ ν z  λ / cos γ .
Ty   ,
В этом случае Tx и Tz определяют пространственные периоды плоских решеток,
Tx  1/ ν x  λ / cosα ,
которые получаются в сечениях трехмерной решетки плоскостями ху и zу. Для II
квадранта ν x  0 , ν z  0 , для III квадранта ν x  0 , ν z  0 , а для IV ν x  0 , ν z  0 .
На основании (1.28) и (1.31) координатные пространственные частоты в плоской волне связаны соотношением
ν 2x  ν 2y  ν 2z  1/ λ 2 ,
откуда ν z 
 (1/ λ)(1  λ 2 ν 2x
1
2 2 2
 λ νy) ,
где знак определяется знаком cos γ . Тогда
согласно (1.32) можно описать процесс распространения комплексной амплитуды
плоской волны в пространстве, если выразить Aпл (Q) через Aпл ( P )
z (1  λ 2 ν 2x
1
2 2 2
 λ ν y ) ],
Aпл (Q)  Aпл ( P) exp [i k
где Aпл ( P)  Aпл ( x, y,0)  a exp [i 2π(ν x x  ν y y )] . В результате комплексная амплитуда плоской волны Aпл (Q) на произвольном расстоянии z от начала координат оказывается равной произведению комплексной амплитуды Aпл ( P ) в плоскости ху на комплексную экспоненциальную функцию распространения [см. (2.18)]
hсп (ν x , ν y , z)  exp [i k
z(1  λ 2 ν 2x
1
2 2 2
 λ ν y ) ],
(1.33)
описывающую фазовую пространственно-частотную дисперсию. В соответствии с
выбранным правилом знаков с ростом z фаза волны увеличивается. Как показано
в 2.2.2 (см. 2.18) это выражение идентифицирует когерентную передаточную
функцию когерентного слоя свободного пространства.
Однородная плоская монохроматическая волна является одним из основных
типовых оптических сигналов СП. Сдвиговая симметрия плоской волны естественным образом совпадает со сдвиговой симметрией однородного СП, ибо при
20.01.2016
3:19
67
Гл1_МдлнПредстППС_в_ОиЛзЭС
любом сдвиге в плоскости, совпадающей с волновым фронтом, комплексная амплитуда плоской волны не меняется. Поэтому описание ее распространения лежит
в основе пространственно-частотной ВншМП СП.
1.5.4. Однородные сферические монохроматические волны
Сферической волной называют любое решение волнового уравнения (1.14)
вида
U сф (Q, t )  s (r , t ) ,
(1.34)
где r  ( x 2  y 2  z 2 )1/ 2 . Иначе говоря, в случае сферической волны величина U сф
в каждый момент времени постоянна на сфере r  const . Общее решение (1.34),
выражающее сферическую волну, расходящуюся от начала координат, имеет вид
U рсх (Q, t )  s (r  v t ) / r .
Множитель 1/ r выражает закон сохранения энергии при распространении сферической волны и учитывает, что интенсивность сферической волны
2
I (r )  [ s (r  v t ) / r 2 ] 4π r 2  4π s (r  v t )
2
(1.35)
остается постоянной в процессе распространения. Здесь 4π r 2 — площадь поверхности сферы, а  – символ пропорциональности.
Скалярное комплексное выражение для электрического поля сферической
расходящейся монохроматической волны получается из (1.17) в результате замены
t на t  r / v , так что с учетом однородности A(Q)  a / r имеем
a
r
a
2π
exp [i 2πνt (t  )]  exp (i r ) exp (i 2πν t t ).
r
v
r
λn
Откуда комплексная амплитуда однородной сферической расходящейся монохромаU рсх (Q, t ) 
тической волны
(1.36)
Aрсх (Q)  (a / r ) exp (iknr )  (a / r ) exp (i 2πν nr ) .
Так как общее выражение для сферической волны, сходящейся к началу координат, имеет вид
U сх (Q, t )  s (r  v t ) / r ,
то комплексно сопряженная амплитуда
*
(1.37)
Aсх (Q)  Aрсх
(Q)  (a / r ) exp ( iknr)  ( a / r) exp ( i2πν nr )
соответствует однородной сферической сходящейся монохроматической волне.
Сравнение выражений (1.29) и (1.36) показывает, что плоская и сферическая
волны локально похожи друг на друга. В самом деле, на достаточно большом рас-
20.01.2016
3:19
68
Гл1_МдлнПредстППС_в_ОиЛзЭС
стоянии от начала координат в некоторой малой окрестности можно приближенно
считать, что, например, векторы ν n и r коллинеарны, так что ν n r  ν n r . Это и
означает локальное совпадение комплексных амплитуд Aпл и Aрсх .
В окрестности некоторой оси, например z , сферическую волну удобно рассматривать в параксиальном приближении. В этом случае величину r в знаменателе (1.36) можно приближенно заменить на z , а в фазовом множителе разложить по
биному
r  z [1  ( x 2  y 2 ) / z 2 ]1/ 2  z  ( x 2  y 2 ) / 2 z.
Тогда для комплексной амплитуды имеем
a
πν
exp (i 2πν n z ) exp [i n ( x 2  y 2 )] 
z
z
a
2π
π 2
 exp (i z ) exp [i
( x  y 2 )]
z
λn
λn z
Aрсх ( x, y, z ) 
(1.38)
Таким образом, в параксиальном (квадратичном) приближении сферическая волна
аппроксимируется параболической волной.
Однородная сферическая монохроматическая волна, так же как и плоская
волна, является типовым оптическим сигналом СП. Центральная, осевая и плоскостная симметрия сферической волны соответствуют изотропности СП. При этом
описание множества S входных сигналов набором сферических волн приводит к
построению пространственно-координатной ВншМП СП.