методы математической физикм

Специальные главы высшей математики
Часть 1. Методы математической физики
Рабочая программа, контрольные задания и методические указания для студентов
специальности 140404 – атомные электрические станции и установки
Институт дистанционного образования
Семестр
5
Лекции, часов
8
Установочных лекций, часов
2
Практические занятия ,часов
2
Контрольная работа
1
Самостоятельная работа, часов
83
Форма контроля
Томск 2010
зачет
Специальные главы высшей математики: рабочая программа, метод. указ. и контр.
задания для студентов спец. 140404 « атомные электрические станции и установки» ИДО/ Сост.
В.Д. Клопотов. Томск: Изд. ТПУ, 2010. –12с.
Рабочая программа, методические указания и контрольные задания рассмотрены и
рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры высшей математики №1 от 29
апреля 2010г.
Зав. кафедрой, профессор, д-р физ.мат.н.
К.П. Арефьев
Аннотация
Рабочая программа по курсу ”Специальные главы высшей математики”, часть 1 методы
математической физики для студентов специальности 140404 – атомные электрические
станции и установки уровня “дипломированный специалист” составлена на основе
профессиональной образовательной программы ТПУ. В программе подробно изложены
темы теоретических и практических разделов курса. Приведена почасовая разбивка всего
материала по темам. Представлен исчерпывающий список литературы для
теоретического и практического разделов.
1. Цели и задачи учебной дисциплины
1.1. Предмет, цели и задачи математической физики
Методы математической физики являются одной из фундаментальных дисциплин для
студентов данного направления. Она носит междисциплинарный характер. Основой этого курса
являются основные разделы математической физики – науки о математических моделях физики.
Сложные физические процессы описываются моделями, являющимися, как правило,
объединением нескольких базовых задач, в виде дифференциальных уравнений с частными
производными. Цели и задачи дисциплины «Специальные главы высшей математики» сводятся к
следующему:
 Воспитание достаточно высокой математической культуры, т.е. студент должен иметь
представление о роли и месте математики в современном обществе;
 Приобретение навыков логического мышления, оперирования с абстрактными объектами,
освоение основных математических понятий и символов для выражения количественных и
качественных отношений;
 Выработка навыков использования
математических методов и овладение основами
математического моделирования.
Студент должен: иметь представление:
 о точных и приближенных методах решения;
 о связи задач дифференциального и интегрального исчисления;
 о математическом моделировании;
знать и уметь использовать:
 основные понятия теории дифференциальных уравнений в частных производных;
 математические модели для типичных базовых задач и проводить необходимые расчеты в
рамках построенных моделей;
иметь опыт:
 употребления математической символики для выражения количественных и качественных
отношений объектов;
 применения математических методов в прикладных задачах;


аналитического и приближенного решения дифференциальных уравнений в частных
производных.
1.2. Общие методические указания
Учебная работа студента–заочника по изучению дисциплины «методы математической физики»
складывается из следующих элементов:
1.
2.
3.
4.
Посещение установочных лекций.
Самостоятельное изучение дисциплины по рекомендуемой литературе.
Выполнение контрольных заданий.
Зачет по дисциплине.
Самостоятельное изучение дисциплины по рекомендуемой литературе
Самостоятельная работа над учебным материалом является основным видом учебных занятий
студента–заочника. Изучать дисциплину рекомендуется по темам, предварительно
ознакомившись с содержанием каждой из них по программе. Избрав какое-либо учебное пособие
в качестве основного, следует придерживаться данного пособия при изучении, по крайней мере,
целого раздела или темы. Замена одного пособия другим в процессе обучения приводит к утрате
логической связи между отдельными вопросами. Но если одно пособие не дает полного или
ясного ответа на поставленные вопросы программы, необходимо обращаться к другим учебным
пособиям.
Для лучшего усвоения материала желательно вести конспект, который будет также полезен для
повторения в период подготовки к зачету.
Обзорные лекции по важнейшим разделам математической физики читаются в период
экзаменационной сессии в количестве 8 чесов.
2. Содержание теоретического раздела дисциплины
Тема 1. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными
Определение дифференциальных уравнений с частными производными. Классификация
дифференциальных уравнений второго порядка. Канонические формы линейных уравнений с
двумя независимыми переменными
Тема 2. Вывод основных уравнений математической физики
Вывод уравнения распространения тепла в ограниченном стержне. Вывод волнового уравнения
для поперечных колебаний струны. Уравнение распространения тепла в пространстве. Уравнение
Лапласа. Распространение тепла в неограниченном стержне. Условия однозначности.
Тема 3. Уравнения с частными производными в цилиндрических и полярных координатах
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Задача Дирихле для круга. Условия
однозначности.
3. Содержание практического раздела дисциплины
1. Классификация уравнений с частными производными второго порядка. Приведение к
каноническому виду.
2. Решение уравнения Штурма – Лиувилля с заданными краевыми условиями
(нахождение собственных чисел и собственных функций–задача Штурма – Лиувилля).
3. Решение первой смешанной задачи для волнового уравнения на отрезке методом
разделения переменных (метод Фурье).
4. Решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке
методом разделения переменных (метод Фурье).
5. Решение задачи Дирихле для круга.
4. Контрольная работа
4.1 Общие методические указания
Выполнение контрольной работы и рецензирование ее преподавателем преследует две цели:
1. Осуществление контроля за работой студента.
2. Оказание помощи студенту в вопросах, которые оказались для него слабо усвоенными или
непонятными.
Вариант контрольной работы соответствует личному шифру студента.
При выполнении контрольной работы следует руководствоваться следующим:
1. Контрольная работа выполняется в тетради школьного типа, на лицевой стороне которой
приводятся сведения о том, какого вуза и факультета является студент, номер группы,
курс, фамилия, имя, отчество, адрес, тема контрольной работы.
2. Для замечаний преподавателя на странице оставляются поля.
3. В конце контрольной работы необходимо указать, какими учебными пособиями или
учебниками студент пользовался.
После проверки контрольной работы студент обязан ответить на замечания, сделанные
преподавателем. В случае если контрольная работа не зачтена, она возвращается студенту для
доработки.
4.2. Варианты контрольных заданий
В каждом варианте нужно выполнить следующие задания:
1. Найти области гиперболичности, эллиптичности и параболичности уравнения
и исследовать их зависимость от 𝑙, где 𝑙 – числовой параметр.
2. Найти все собственные числа и собственные решения краевой задачи (задача
Штурма – Лиувилля)
3. Привести уравнение к каноническому виду.
4. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке.
5. Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на
отрезке.
6. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге.
Вариант 1
(𝑙 + 𝑥)𝑢𝑥𝑥 + 2𝑥𝑦𝑢𝑥𝑦 − 𝑦 2 𝑢𝑦𝑦 = 0
𝑦 ′′ + 𝜆𝑦 = 0, 1 ≤ 𝑥 ≤ 2, 𝑦(1) = 𝑦 ′ (2) = 0
𝑢𝑥𝑥 + 2𝑢𝑥𝑦 − 𝑢𝑦𝑦 + 𝑢𝑥 + 𝑢𝑦 = 0
𝑢𝑡𝑡 = 𝑢𝑥𝑥 , 0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑡 < ∞, 𝑢(𝑥, 0) = 𝑥(𝑥 − 1), 𝑢𝑡 (𝑥, 0) = 0
𝑢(0, 𝑡) = 0,
𝑢(1, 𝑡) = 0.
𝑥 2⁄ , 0 ≤ 𝑥 ≤ 3⁄
3
2
5. 𝑢𝑡 = 16𝑢𝑥𝑥 , 0 < 𝑥 < 3, 𝑡 > 0, 𝑢(𝑥, 0) =
3
3 − 𝑥, ⁄2 < 𝑥 ≤ 3
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(3, 𝑡) = 0.
6. ∆𝑢 = 0, 0 ≤ 𝑟 < 1, 𝑢/𝑟=1 = 2𝑐𝑜𝑠𝜑
1.
2.
3.
4.
Вариант 2
1. 𝑙𝑢𝑥𝑥 + 2𝑥𝑦𝑢𝑥𝑦 − 𝑦 2 𝑢𝑦𝑦 = 0
2. 𝑦 ′′ + 𝜆𝑦 = 0, 3⁄2 ≤ 𝑥 ≤ 2, 𝑦(3⁄2) = 𝑦 ′ (2) = 0
3. 𝑢𝑥𝑥 + 4𝑢𝑥𝑦 + 4𝑢𝑦𝑦 − 𝑢𝑥 − 2𝑢𝑦 = 0
4. 𝑢𝑡𝑡 = 𝑢𝑥𝑥 , 0 < 𝑥 < 3⁄2 , 0 < 𝑡 < ∞, 𝑢(𝑥, 0) = 𝑥(𝑥 − 3⁄2), 𝑢𝑡 (𝑥, 0) = 0
𝑢(0, 𝑡) = 0,
𝑢(3⁄2 , 𝑡) = 0.
5.
𝑢𝑡 = 𝑢𝑥𝑥 , 0 < 𝑥 < 2, 𝑡 > 0, 𝑢(𝑥, 0) =
𝑥2,
0≤𝑥≤1
2 − 𝑥, 1 < 𝑥 ≤ 2
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(2, 𝑡) = 0.
6. ∆𝑢 = 0, 0 ≤ 𝑟 < 2, 𝑢/𝑟=2 = 𝑠𝑖𝑛𝜑
Вариант 3
1.
2.
3.
4.
(𝑙 − 𝑥)𝑢𝑥𝑥 + 2𝑥𝑦𝑢𝑥𝑦 − 𝑦 2 𝑢𝑦𝑦 = 0
𝑦 ′′ + 𝜆𝑦 = 0, 𝜋⁄2 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋, 𝑦(𝜋⁄2) = 𝑦 ′ (𝜋) = 0
𝑢𝑥𝑥 − 2𝑢𝑥𝑦 + 𝑢𝑦𝑦 + 2𝑢𝑥 − 2𝑢𝑦 = 0
𝑢𝑡𝑡 = 𝑢𝑥𝑥 , 0 < 𝑥 < 3⁄2 , 0 < 𝑡 < ∞, 𝑢(𝑥, 0) = 𝑥(𝑥 − 3⁄2), 𝑢𝑡 (𝑥, 0) = 0
𝑢(0, 𝑡) = 0,
𝑢(3⁄2 , 𝑡) = 0.
5.
𝑢𝑡 = 25𝑢𝑥𝑥 , 0 < 𝑥 < 5, 𝑡 > 0, 𝑢(𝑥, 0) =
6.
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(5, 𝑡) = 0.
∆𝑢 = 0, 0 ≤ 𝑟 < 1, 𝑢/𝑟=1 = 2𝑠𝑖𝑛𝜑
Вариант 4
1.
(𝑙 + 𝑦)𝑢𝑥𝑥 + 2𝑥𝑦𝑢𝑥𝑦 − 𝑦𝑢𝑦𝑦 = 0
2𝑥 2 /5, 0 ≤ 𝑥 ≤ 5/2
5 − 𝑥, 5/2 < 𝑥 ≤ 5
2.
3.
4.
5.
6.
𝑦 ′′ + 𝜆𝑦 = 0, 𝜋⁄4 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋⁄2 , 𝑦(𝜋⁄4) = 𝑦 ′ (𝜋⁄2) = 0
𝑢𝑥𝑥 + 6𝑢𝑥𝑦 + 9𝑢𝑦𝑦 + 𝑢𝑥 + 3𝑢𝑦 = 0
𝑢𝑡𝑡 = 4𝑢𝑥𝑥 , 0 < 𝑥 < 2, 0 < 𝑡 < ∞, 𝑢(𝑥, 0) = 𝑥(𝑥 − 2), 𝑢𝑡 (𝑥, 0) = 0
𝑢(0, 𝑡) = 0,
𝑢(2, 𝑡) = 0.
𝑥 2 /2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
𝑢𝑡 = 16𝑢𝑥𝑥 , 0 < 𝑥 < 4, 𝑡 > 0, 𝑢(𝑥, 0) =
4 − 𝑥, 2 < 𝑥 ≤ 4
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(4, 𝑡) = 0.
∆𝑢 = 0, 0 ≤ 𝑟 < 2, 𝑢/𝑟=2 = 𝑐𝑜𝑠𝜑
Вариант 5
1.
2.
3.
4.
(𝑙 − 𝑦)𝑢𝑥𝑥 + 2𝑥𝑦𝑢𝑥𝑦 − 𝑦𝑢𝑦𝑦 = 0
𝑦 ′′ + 𝜆𝑦 = 0, 1⁄2 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑦(1⁄2) = 𝑦 ′ (1) = 0
𝑢𝑥𝑥 − 6𝑢𝑥𝑦 + 9𝑢𝑦𝑦 − 2𝑢𝑥 + 6𝑢𝑦 = 0
𝑢𝑡𝑡 = 1⁄4 𝑢𝑥𝑥 , 0 < 𝑥 < 1⁄2 , 0 < 𝑡 < ∞, 𝑢(𝑥, 0) = 𝑥(𝑥 − 1⁄2), 𝑢𝑡 (𝑥, 0) = 0
𝑢(0, 𝑡) = 0,
𝑢(1⁄2 , 𝑡) = 0.
5.
𝑢𝑡 = 4𝑢𝑥𝑥 , 0 < 𝑥 < 5, 𝑡 > 0, 𝑢(𝑥, 0) =
6.
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(5, 𝑡) = 0.
∆𝑢 = 0, 0 ≤ 𝑟 < 3, 𝑢/𝑟=3 = 2𝑠𝑖𝑛𝜑
2𝑥 2 /5, 0 ≤ 𝑥 ≤ 5/2
5 − 𝑥, 5/2 < 𝑥 ≤ 5
Вариант 6
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2𝑙𝑢𝑥𝑥 + 2𝑥𝑦𝑢𝑥𝑦 − 𝑦𝑢𝑦𝑦 = 0
𝑦 ′′ + 𝜆𝑦 = 0, 3⁄4 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑦(3⁄4) = 𝑦 ′ (1) = 0
𝑢𝑥𝑥 + 2𝑢𝑥𝑦 + 𝑢𝑦𝑦 − 3𝑢𝑥 − 3𝑢𝑦 = 0
𝑢𝑡𝑡 = 4𝑢𝑥𝑥 , 0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑡 < ∞, 𝑢(𝑥, 0) = 𝑥(𝑥 − 1), 𝑢𝑡 (𝑥, 0) = 0
𝑢(0, 𝑡) = 0,
𝑢(1, 𝑡) = 0.
2𝑥 2 /3, 0 ≤ 𝑥 ≤ 3/2
𝑢𝑡 = 𝑢𝑥𝑥 , 0 < 𝑥 < 3, 𝑡 > 0, 𝑢(𝑥, 0) =
3 − 𝑥, 3/2 < 𝑥 ≤ 3
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(3, 𝑡) = 0.
∆𝑢 = 0, 0 ≤ 𝑟 < 1, 𝑢/𝑟=1 = 4𝑠𝑖𝑛𝜑
Вариант 7
1.
2.
3.
4.
5.
𝑙𝑦𝑢𝑥𝑥 + 2𝑥𝑦𝑢𝑥𝑦 − 𝑦𝑢𝑦𝑦 = 0
𝑦 ′′ + 𝜆𝑦 = 0, 𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋, 𝑦(𝜋) = 𝑦 ′ (2𝜋) = 0
𝑢𝑥𝑥 − 4𝑢𝑥𝑦 + 𝑢𝑦𝑦 + 3𝑢𝑥 − 6𝑢𝑦 = 0
𝑢𝑡𝑡 = 4⁄9 𝑢𝑥𝑥 , 0 < 𝑥 < 2⁄3 , 0 < 𝑡 < ∞, 𝑢(𝑥, 0) = 𝑥(𝑥 − 2⁄3), 𝑢𝑡 (𝑥, 0) = 0
𝑢(0, 𝑡) = 0,
𝑢(2⁄3 , 𝑡) = 0.
𝑢𝑡 = 25𝑢𝑥𝑥 , 0 < 𝑥 < 8, 𝑡 > 0, 𝑢(𝑥, 0) =
𝑥 2 /4,
8 − 𝑥,
0≤𝑥≤4
4<𝑥≤8
6.
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(8, 𝑡) = 0.
∆𝑢 = 0, 0 ≤ 𝑟 < 4, 𝑢/𝑟=4 = 2𝑐𝑜𝑠𝜑
Вариант 8
1.
2.
3.
4.
5.
6.
4𝑙𝑦𝑢𝑥𝑥 + 2𝑥𝑦𝑢𝑥𝑦 − 𝑦𝑢𝑦𝑦 = 0
𝑦 ′′ + 𝜆𝑦 = 0, 𝜋⁄2 ≤ 𝑥 ≤ 3𝜋⁄4 , 𝑦(𝜋⁄2) = 𝑦 ′ (3𝜋⁄4) = 0
9𝑢𝑥𝑥 + 6𝑢𝑥𝑦 + 𝑢𝑦𝑦 − 9𝑢𝑥 − 3𝑢𝑦 = 0
𝑢𝑡𝑡 = 4𝑢𝑥𝑥 , 0 < 𝑥 < 1⁄2 , 0 < 𝑡 < ∞, 𝑢(𝑥, 0) = 𝑥(𝑥 − 1⁄2), 𝑢𝑡 (𝑥, 0) = 0
𝑢(0, 𝑡) = 0,
𝑢(1⁄2 , 𝑡) = 0.
𝑢𝑡 = 9𝑢𝑥𝑥 , 0 < 𝑥 < 2, 𝑡 > 0, 𝑢(𝑥, 0) =
𝑥2,
0≤𝑥≤1
2 − 𝑥, 1 < 𝑥 ≤ 2
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(2, 𝑡) = 0.
∆𝑢 = 0, 0 ≤ 𝑟 < 2, 𝑢/𝑟=2 = 2𝑠𝑖𝑛𝜑
Вариант 9
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(𝑙 + 1)𝑢𝑥𝑥 + 2𝑥𝑦𝑢𝑥𝑦 − 𝑦𝑢𝑦𝑦 = 0
𝑦 ′′ + 𝜆𝑦 = 0, 1 ≤ 𝑥 ≤ 3⁄2 , 𝑦(1) = 𝑦 ′ (3⁄2) = 0
𝑢𝑥𝑥 + 8𝑢𝑥𝑦 + 16𝑢𝑦𝑦 − 𝑢𝑥 − 4𝑢𝑦 = 0
𝑢𝑡𝑡 = 𝑢𝑥𝑥 , 0 < 𝑥 < 2, 0 < 𝑡 < ∞, 𝑢(𝑥, 0) = 𝑥(𝑥 − 2), 𝑢𝑡 (𝑥, 0) = 0
𝑢(0, 𝑡) = 0,
𝑢(2, 𝑡) = 0.
2𝑥 2 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 1/2
𝑢𝑡 = 16𝑢𝑥𝑥 , 0 < 𝑥 < 1, 𝑡 > 0, 𝑢(𝑥, 0) =
1 − 𝑥, 1/2 < 𝑥 ≤ 1
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(1, 𝑡) = 0.
∆𝑢 = 0, 0 ≤ 𝑟 < 1, 𝑢/𝑟=1 = 8𝑠𝑖𝑛𝜑
Вариант 10
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(𝑙 − 4)𝑢𝑥𝑥 + 2𝑥𝑦𝑢𝑥𝑦 − 𝑦 2 𝑢𝑦𝑦 = 0
𝑦 ′′ + 𝜆𝑦 = 0, 1⁄4 ≤ 𝑥 ≤ 1⁄2 , 𝑦(1⁄4) = 𝑦 ′ (1⁄2) = 0
𝑢𝑥𝑥 − 2𝑢𝑥𝑦 + 𝑢𝑦𝑦 + 4𝑢𝑥 − 4𝑢𝑦 = 0
𝑢𝑡𝑡 = 16𝑢𝑥𝑥 , 0 < 𝑥 < 3, 0 < 𝑡 < ∞, 𝑢(𝑥, 0) = 𝑥(𝑥 − 3), 𝑢𝑡 (𝑥, 0) = 0
𝑢(0, 𝑡) = 0,
𝑢(3, 𝑡) = 0.
𝑥 2 /2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
𝑢𝑡 = 4𝑢𝑥𝑥 , 0 < 𝑥 < 4, 𝑡 > 0, 𝑢(𝑥, 0) =
4 − 𝑥, 2 < 𝑥 ≤ 4
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(4, 𝑡) = 0.
∆𝑢 = 0, 0 ≤ 𝑟 < 2, 𝑢/𝑟=2 = 5𝑐𝑜𝑠𝜑
5.Типовые примеры решения задач
Задача 1. Найти области гиперболичности, эллиптичности и параболичности уравнения
(𝑙 + 𝑥)𝑢𝑥𝑥 + 2𝑥𝑦𝑢𝑥𝑦 − 𝑦 2 𝑢𝑦𝑦 = 0
(1)
И исследовать их зависимость от 𝑙, где 𝑙 – числовой параметр.
Решение. Дискриминант уравнения (1) равен
2
𝑎12
− 𝑎11 𝑎22 = 𝑥 2 𝑦 2 + (𝑙 + 𝑥)𝑦 2 = 𝑦 2 (𝑥 2 + 𝑥 + 𝑙) = 𝑦 2 (𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )
Где 𝑥1 = −
1−√1−4𝑙
,
2
𝑥2 = −
1+√1−4𝑙
.
2
1
При 𝑙 < 4 , дискриминант уравнения (1) будет больше нуля когда 𝑥 < 𝑥1 , а также при 𝑥 > 𝑥2 и
уравнение в этом случае будет гиперболично, а при 𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2 оно эллиптично, поскольку
дискриминант уравнения будет меньше нуля, прямые 𝑥 = 𝑥1 , и 𝑥 = 𝑥2 , 𝑦 = 0 состоят из точек
1
1
1
параболичности. При 𝑙 = 4 область эллиптичности исчезает, так как 𝑥1 = 𝑥2 = − 2; прямая 𝑥 = − 2
1
состоит из точек параболичности. При 𝑙 > 4 уравнение гиперболично всюду.
Задача 2. Найти решение 𝑦 = 𝑦(𝑥) дифференциального уравнения
𝑦 ′′ + 𝜆𝑦 = 0,
(2)
1 ≤ 𝑥 ≤ 2, 𝑦(1) = 𝑦 ′ (2) = 0
(3)
Решение. Рассмотрим три случая. 1) 𝜆 < 0.Общее решение уравнения (2) имеет вид
𝑦 = 𝐶1 𝑠ℎ√−𝜆 (𝑥 − 1) + 𝐶2 𝑐ℎ√−𝜆 (𝑥 − 1)
Из условия 𝑦(1) = 0 находим 𝐶2 = 0, 𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑠ℎ√−𝜆 (𝑥 − 1).
Из условия 𝑦 ′ (2) = 0 получаем 𝐶1 = 0, т.е. 𝑦(𝑥) ≡ 0;
2) 𝜆 = 0. Общее решение уравнения (2) имеет вид 𝑦(𝑥) = С1 𝑥 + 𝐶2
Из условия (3) следует С1 = 𝐶2 = 0, т.е. 𝑦(𝑥) ≡ 0.
3) 𝜆 > 0. Общее решение уравнения (2) имеет вид
𝑦(𝑥) = С1 𝑠𝑖𝑛√𝜆 (𝑥 − 1) + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠√𝜆 (𝑥 − 1)
Из условия 𝑦(1) = 0 получаем 𝐶2 = 0, 𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑠𝑖𝑛√𝜆 (𝑥 − 1). Условия 𝑦 ′ (2) = 0 приводит к
уравнению С1 √𝜆 𝑐𝑜𝑠√𝜆 = 0. Так как √𝜆 ≠ 0 и С1 ≠ 0, то 𝑐𝑜𝑠√𝜆 = 0, откуда следует
√𝜆 = 𝜋⁄2 + 𝜋𝑛, 𝑛 = 1,2, …, таким образом, собственные значения задачи (2) – (3) равны
𝜆𝑛 = (𝜋⁄2 + 𝜋𝑛)2 , 𝑛 = 1,2, …,
Собственные функции – 𝑦𝑛 = sin(𝜋⁄2 + 𝜋𝑛) (𝑥 − 1), 𝑛 = 1,2, ….
Задача 3. Привести к каноническому виду уравнение
𝑥2
𝑑2 𝑢
𝑑2 𝑢
2
−
𝑦
=0
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦 2
Решение. Здесь 𝑎 = 𝑥 2 , 𝑏 = 0, 𝑐 = −𝑦 2 , 𝑏 2 − 𝑎𝑐 = 𝑥 2 𝑦 2 > 0, следовательно, это уравнение
гиперболического типа. Составим характеристическое уравнение:
𝑥 2 (𝑑𝑦)2 − 𝑦 2 (𝑑𝑥)2 = 0 или (𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑥)(𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥) = 0
Получаем два дифференциальных уравнения
𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑥 = 0 и 𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 = 0
Разделим переменные и проинтегрируем
𝑑𝑦
𝑦
+
𝑑𝑥
𝑥
= 0 , 𝑙𝑛𝑦 + 𝑙𝑛𝑥 = 𝑙𝑛𝐶1
𝑑𝑦
𝑦
−
𝑑𝑥
𝑥
= 0 , 𝑙𝑛𝑦 − 𝑙𝑛𝑥 = 𝑙𝑛𝐶2
После потенцирования получим 𝑥𝑦 = 𝐶1 и 𝑦⁄𝑥=𝐶2
Введем новые переменные 𝜉 = 𝑥𝑦, 𝜂 = 𝑦⁄𝑥
𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝜉 𝜕𝑢 𝜕𝜂 𝜕𝑢
𝜕𝑢 𝑦
=
+
=
𝑦−
;
𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝜂 𝜕𝑥 𝜕𝜉
𝜕𝜂 𝑥 2
𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝜉 𝜕𝑢 𝜕𝜂 𝜕𝑢
𝜕𝑢 1
=
+
=
𝑥+
;
𝜕𝑦 𝜕𝜉 𝜕𝑦 𝜕𝜂 𝜕𝑦 𝜕𝜉
𝜕𝜂 𝑥
𝜕2𝑢
𝜕 𝜕𝑢
𝜕 𝜕𝑢 𝑦
𝜕 2 𝑢 𝜕𝜉 𝜕 2 𝑢 𝜕𝜂
=
(
𝑦)
−
(
)
=
+
(
)𝑦 −
𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 𝜕𝜉
𝜕𝑥 𝜕𝜂 𝑥 2
𝜕𝜉 2 𝜕𝑥 𝜕𝜉𝜕𝜂 𝜕𝑥
−(
−(
𝜕 2 𝑢 𝜕𝜉 𝜕 2 𝑢 𝜕𝜂 𝑦 𝜕𝑢 2𝑦
𝜕2𝑢
𝜕2𝑢 𝑦
+ 2
=
𝑦
+
) 2+
(
)𝑦 −
𝜕𝜂𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝜂 𝜕𝑥 𝑥
𝜕𝜂 𝑥 3
𝜕𝜉 2
𝜕𝜉𝜕𝜂 𝑥 2
𝜕2𝑢
𝜕 2 𝑢 𝑦 𝑦 𝜕𝑢 2𝑦 𝜕 2 𝑢 2
𝜕2𝑢 𝑦2 𝜕2𝑢 𝑦2
𝜕𝑢 𝑦
𝑦 − 2 2) 2 +
=
𝑦
−
2
+ 2 4+2
;
3
2
2
𝜕𝜂𝜕𝜉
𝜕𝜂 𝑥 𝑥
𝜕𝜂 𝑥
𝜕𝜉
𝜕𝜉𝜕𝜂 𝑥
𝜕𝜂 𝑥
𝜕𝜂 𝑥 3
𝜕2𝑢
𝜕 2 𝑢 𝜕𝜉 𝜕 2 𝑢 𝜕𝜂
𝜕 2 𝑢 𝜕𝜉 𝜕 2 𝑢 𝜕𝜂 1
=
+
𝑥
+
+
(
)
(
) =
𝜕𝑦 2
𝜕𝜉 2 𝜕𝑦 𝜕𝜉𝜕𝜂 𝜕𝑦
𝜕𝜂𝜕𝜉 𝜕𝑦 𝜕𝜂 2 𝜕𝑦 𝑥
𝜕2𝑢
𝜕2𝑢 1
𝜕2𝑢
𝜕2𝑢 1 1 𝜕2𝑢 2
𝜕2𝑢
𝜕2𝑢 1
𝑥+ 2 ) = 2 𝑥 +2
+
;
( 2𝑥+
)𝑥 + (
𝜕𝜉
𝜕𝜉𝜕𝜂 𝑥
𝜕𝜂𝜕𝜉
𝜕𝜂 𝑥 𝑥 𝜕𝜉
𝜕𝜉𝜕𝜂 𝜕𝜂 2 𝑥 2
Подставим в дифференциальное уравнение найденные для вторых производных выражения,
получим
𝑥2 (
𝜕2𝑢 2
𝜕2𝑢 𝑦2 𝜕2𝑢 𝑦2
𝜕𝑢 𝑦
𝜕2𝑢 2
𝜕2𝑢
𝜕2𝑢 1
2
𝑦
−
2
+
+
2
−
−𝑦
𝑥
+
2
+
)
(
)=0
𝜕𝜉 2
𝜕𝜉𝜕𝜂 𝑥 2 𝜕𝜂 2 𝑥 4
𝜕𝜂 𝑥 3
𝜕𝜉 2
𝜕𝜉𝜕𝜂 𝜕𝜂 2 𝑥 2
−4
𝜕2𝑢 2
𝜕𝑢 𝑦
𝜕2𝑢
1 𝜕𝑢 1
𝜕2𝑢
1 𝜕𝑢
𝑦 +2
= 0;
+
= 0;
+
= 0;
𝜕𝜉𝜕𝜂
𝜕𝜂 𝑥
𝜕𝜉𝜕𝜂 2 𝜕𝜂 𝑥𝑦
𝜕𝜉𝜕𝜂 2𝜉 𝜕𝜂
Уравнение приведено к каноническому виду.
2
д 2U ( x, t )
2 д U ( x , t )
=
а
дt 2
дx 2
Задача 4. Найти решение уравнения
удовлетворяющее краевым условиям: U(0,t) = 0 ; U(l,t) = 0;
U(x,0) = x2;
дU ( x,0)
= 0.
дt
(4)
(5)
(6)
Решение. Будем искать частное решение, удовлетворяющее краевым условиям, в виде
произведения двух функций X(x) и T(t).
U(x,t) = X(x)T(t).
Подставим это решение в уравнение (4)
д 2U ( x, t )
= X(x)T(t);
дt 2
д 2U ( x, t )
=T(t) X(x);
дx 2
X(x)T(t) = T(t) X(x)
Разделим в последнем уравнении переменные, получим
T (t )
X ( x)

.
2
X ( x)
a T (t )
(7)
В левой части равенства (7) стоит функция от t, а в правой от x. Равенство может быть
возможно, когда левая и правая части не зависят ни от x, ни от t и равна константе, то есть
T (t )
X ( x)

= - .
Отсюда получим
2
X ( x)
a T (t )
X(x) + X(x) = 0;
T(t) +а2Т(t) = 0.
Общее решение этих уравнений будет:
X(x) = Аcos  x + Bsin  x
Т(t) = Ccos a  t + Dsin a  t
(8)
(9)
Здесь A,B,C,D – произвольные постоянные.
Решение U(x,t) будет иметь вид
U(x,t) = (Аcos  x + Bsin  x)( Ccos a  t + Dsin a  t)
Найдем А и B используя граничные условия.
Из граничных условий (5) следует, что при х = 0 и при х = l функция U(x,t) при любом t
равна нулю. Поскольку U(x,t) =T(t)X(x), то в этом случае должны равняться нулю либо T(t),
либо X(x). T(t) не может тождественно равняться нулю, поскольку тогда бы U(x,t)
равнялась нулю при любом х и t, что условию задачи противоречит. Следовательно, Х(х)
должно удовлетворять условию (5), то есть Х(0) = 0, Х(l) = 0. Из (8) следует:
0 = А1 + В0;
0 = Аcos  l +Вsin  l. Отсюда получим А = 0 и
Вsin  l = 0. B  0, так как при B = 0 и А = 0, X тоже будет равен нулю, что противоречит
n
, ( n =1,2,....) n  0, поскольку тогда
l
X(x) = 0 и U(x,t) тождественно равно нулю, что невозможно. Значит
условию. Значит sin  l = 0. И
 =
 = 0,
n
x . Для найденных собственных значений  решение уравнения (4) можно
l
записать так:
X(x) = Вsin
Un(x,t) = sin
n
an
an
x (Cncos
t + Dnsin
t ).
l
l
l
(10)
Каждому n соответствует свое решение Un со своими постоянными Сп и Dn. Постоянная B
включена в Сп и Dn. Эти постоянные должны быть такими, чтобы решение соответствовало
n
x.
начальным условиям (6). При t = 0 уравнение (10) примет вид:
x2 = Cn sin
l
n
x.
Отсюда Cn = x2/ sin
l
Подставив найденное значение Сn в (9), получим:
Un(x,t) = x2 cos
an
n
an
t + Dn sin
x sin
t .
l
l
l
Для определения Dn воспользуемся вторым начальным условием (6).
дU ( x,0)
an 2 an
n
an
t + Dn sin
x cos
t)=0
=( x sin
дt
l
l
l
l
При t = 0, из последнего выражения получается Dn
sin
an
n
x = 0.
sin
l
l
n
x не может равняться нулю при всех значениях x, значит Dn = 0.
l
Решением уравнения (14 с краевыми условиями (5 – 6) будет:
Un(x,t) = x2 cos
an
t .
l
Сумма всех решений также является решением:

U(x,t) =
U
n 1

n
( x, t ) =  x2 cos
n 1
an
t.
l
Применим метод разделения переменных
теплопроводности:
Задача 5.
для решения уравнения
дT
д 2T
 a2 2 .
дt
дx
(11)
Решение этого уравнения будем искать в виде произведения двух функций, каждая из
которых зависит от одной переменной:
Т(x,t) = V(x)U(t)
(12)
Поскольку это произведение есть решение, подставим его в уравнение (11), найдя
предварительно частные производные.
дT
 V(x)U(t);
дt
дТ
= V(x)U(t);
дx
V(x) U(t) = a2V(x)U(t) или
д 2T
= V(x)U(t).
дx 2
(13)
U (t )
V (x)

  2
2
a U (t ) V(x)
(14)
Каждое из отношений (14) не может зависеть ни от x, ни от t и поэтому, равно константе,
которую обозначим -2. Из (14) получим два уравнения:
U(t) + 2 a2U(t) = 0 и V(x) + 2V(x) = 0.
Для их решения запишем характеристические уравнения и найдем их корни:
1). r + a22 = 0; r = - a22.
Решение первого уравнения будет иметь вид: U(t) = С1
e a
2   2t
.
Где С1 – произвольная константа.
2).
r2 +2 = 0,
r2 = -2,
r1,2 =  i
Так как корни характеристического уравнения комплексные, решение второго
уравнения примет такой вид:
V(t) = Acos x + Bsin x ,
где A, B – произвольные константы.
Подставим найденные значения в (12), получим:
Т(x,t) =
e a
2   2t
[ A() cos x + B() sin x ]
(15)
Постоянная С1 включена в A() и B().
Множество значений  находяться из краевых условий и называються собственными
значениями для данной краевой задачи. Каждому собственному значению 
соответствует свое решение (15) и свои константы А и В. Поэтому их можно считать
функциями .
Сумма решений (15) так же является решением:

Т(x,t) =
 T ( x, t ) , n – номер собственного значения .
n 1
n
7. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
1.
2.
3.
4.
5.
6.1.
Литература обязательная
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. –М.: Московский
университет, 1999. -798 с.
Багров В.Г., Белов В.В., Задорожный В.Н., Трифонов А.Ю. Методы математической физики.
– Томск, 2002. – 645 с.
6.2.
Литература дополнительная
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2. – М.: Наука, 1976. –
576 с.
Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1969. – 288 с.
Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1981. – 512 с.