153Титов_статья

УДК 537.86
ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ДВУХПУЧКОВОЙ
НЕУСТОЙЧИВОСТИ
А.В. Титов.
Саратовский Государственный Университет
им. Н.Г. Чернышевского
Двухпучковая неустойчивость – классический пример неустойчивости в
консервативных системах. К тому же эта неустойчивость является хрестоматийным
примером конвективной и абсолютной неустойчивостей (см., например, [1,2]).
В свое время делались попытки создания двухлучевых усилителей на основе
данного эффекта с целью продвижения в миллиметровый диапазон длин волн [3, 4].
Однако, на каком-то этапе эти исследования прекратились, в первую очередь из-за
низкой плотности электронных потоков и трудностей в изготовлении
мелкоструктурных элементов входных и выходных устройств.
Сегодня интерес к подобным устройствам возрождается. В частности, можно
упомянуть интригующие, но малопонятные тезисы доклада K. Birhofberger, B.E.
Carlsten, R. Faehl [5].
Современные работы в области вакуумной микроэлектроники с использованием
катодов с полевой эмиссией также позволяют надеяться на возрождение приборов типа
двухлучевой лампы.
В первой части настоящей работы проводится построение последовательной
линейной теории двухпучковой неустойчивости на основе теории связанных волн.
Рассматриваются двух-, трех- и четырехволновые взаимодействия двух электронных
пучков. Во второй части работы проводится построение приближенной нелинейной
теории двухпучковой неустойчивости, на основе которой производится расчет
коэффициента усиления двухлучевого усилителя.
1 ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ
Цель работы, представленной в данной главе, состояла в последовательном
рассмотрении различных вариантов взаимодействия попутных и встречных
электронных потоков на основе теории связанных волн пространственного заряда.
Рассмотрение включало двух-, трех- и четырехволновые взаимодействия. Система
уравнений, описывающая два одномерных электронных потока с гидродинамической
точки зрения имеет вид [6]:
i i

E 1 2,

j 0


  2i1
i
2
2
 2 jk e1 1  k e1
i1  j 0 k p1
E,

2

x

x


  2i
i
2
i 2  j 0 k 2p 2 E.
 22  2 jk e2 2  k e2
x
 x
Здесь k e1,2   / 1,2 ,
k p1,2  p1,2 / 1,2 , i1,2 – плотности токов, 1,2
(1.1)
– постоянные
составляющие скоростей электронных потоков, p1,2 – плазменные частоты, E –
амплитуда электрического поля, 0 – электрическая постоянная, j – мнимая единица.
Далее с помощью преобразования Лапласа из нее можно получить интегральную
форму уравнений для тока при нулевых начальных условиях
x

k p1   j ke1  k p1  x x

j k e1  k p1 
 j k e1  k p1  x
j k  k 
i
(x)


e
i
(

)e
d


e
i 2 ()e e1 p1 d 
 1

2


2j 
0
0


(1.2)

x
x

k p2   j ke 2  k p 2  x

j k  k 
 j k  k  x
j k  k 
i1 ()e e 2 p 2 d  e e 2 p 2  i1 ()e e 2 p 2 d 
i 2 (x)  
e

2j 

0
0

Из интегральной формы видно, что токи представляют собой сумму быстрой и
медленной волн. Далее можно легко получить систему уравнений в форме связанных
колебаний.
k
k
k
k
 di1б
di 2б
  j  k e2  k p2  i 2б  j p2 i1б  j p2 i1м
  j  k e1  k p1  i1б  j p1 i 2б  j p1 i 2м

dx
2
2
2
2
 dx
(1.4)

k p2
k p2
k p1
k p1
di 2м
 di1м
  j  k e2  k p2  i 2м  j
i1м 
i1м
 dx   j  k e1  k p1  i1м  j 2 i 2б  j 2 i 2м
dx
2
2
здесь i1б ,i1м ,i 2б ,i 2м – амплитуды тока быстрой волны и медленной волны первого и
второго потока соответственно, k e1,2   / 1,2 , k p1,2  p1,2 / 1,2 ,  – частота, 1,2 –
постоянные составляющие скоростей электронных потоков, p1,2 – плазменные
частоты.
Если искать решение для тока быстрой волны первого потока в виде
4
i1б  x    Ci e  jk i x ,
(1.5)
i 1
то выражения для остальных волн будут иметь вид:

 
4  2  k   k  k   k   k
i
e1
p1   i
e2  k p2    k i   k e2  k p2  

i1м  x     
 1 Ci e jki x (1.6)
2
k
k
i 1 
p1 p2



4 k   k  k  k   k
i
e1
p1   i
e2  k p2  
i 2б  x    
Ci e  jki x
(1.7)
k p1k p2
i 1
  k i   k e1  k p1    k i   k e2  k p2  


  C e  jki x
i 2м  x     
 i
k p1k p2
i 1 


Далее
зададим
начальные
условия.
Пусть
они
Если
ввести
i1б  0  i1б0 , i1м  0  i1м0 , i2б  0   i2б0 , i2м  0   i2м0 .
4
(1.8)
имеют
вид
безразмерные
параметры k e1L  e1 , k p1L  p1 , k p2 L  p2 , k1L  1 , k 2 L  2 , k 3L  3 , k 4 L  4 ,
x / L  X , где L – длина пространства взаимодействия, то можно получить следующую
систему уравнений для нахождения констант:
4

Ci  i1б0


i 1



 4 
 2 i   e1   p1   i  e2   p2   i   e2   p2  

 1 Ci  i1м0
 
2
p1p2

 i 1 

(1.9)
 



4    
e1   p1   i    e2   p2  

 i
Ci  i 2б0


p1p2
i 1



4 

 i   e1   p1   i  e2   p2   


 Ci  i 2м0


p1p2
i 1 





2
На рис.1.1. приведено распределение токов волн пространственного
заряда для случая попутных потоков при i1б0  i1м0  0, и i 2б0  i2м0  0 . Как видно из
рисунка, амплитуды всех волн возрастают вдоль по длине системы. Эта диаграмма
соответствует теории двухлучевой лампы.
Аналогичным образом можно провести выкладки для случая встречных потоков.
Зададим граничные условия в виде i1б  0   i1б0 , i1м  0   i1м0 , i 2б  L   i 2бL , i2м  L   i2мL .
На рис.1.2. показано распределение токов волн пространственного заряда при
i1б0  i1м0  0 , и i 2бL  i 2мL  0 .
От общего случая четырехволнового взаимодействия можно легко перейти к
I
I
S 1.41
S
0.55
2
1.75
1.5
1.25
1
10
8
6
0.75
0.5
0.25
4
2
X
0.2
0.4
0.6
0.8
X
1
Рис.1.1. Распределение токов волн для случая
попутных потоков. Сплошная и мелкопунктирная линия описывают амплитуды токов
БВПЗ и МВПЗ первого потока соответственно.
Крупно-пунктирная линия и линия «пунктирточка» описывают БВПЗ и МВПЗ второго
потока соответственно. Здесь I – безразмерная
амплитуда тока, X – безразмерная координата, S
– отношение скоростей первого и второго
потока.
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Рис.1.2. Распределение токов волн для случая
встречных потоков. Верхняя и нижняя
пунктирные линии описывают МВПЗ и БВПЗ
первого потока соответственно. Верхняя и
нижняя сплошные линии описывают БВПЗ и
МВПЗ второго потока соответственно. Здесь I –
безразмерная амплитуда тока, X – безразмерная
координата, S – отношение скоростей первого и
второго потока.
случаям двух- и трехволнового взаимодействия путем «выключения» из
взаимодействия одной или двух волн. Эти приближения позволяют проводить
некоторые аналогии между процессами в двухлучевой лампе и процессами в ЛБВ и
ЛОВ. В частности из-за совпадения в некоторых случаях структур дисперсионных
соотношений и схожего характера пространственного распределения токов волн.
Выводы по первой главе
Построена последовательная линейная теория двухпотокового взаимодействия
на основе метода связанных волн, что позволило подробно изучить: двух-, трех и
четырехволновые взаимодействия. Для случая встречных электронных потоков столь
подробное исследование проведено впервые.
2 НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ
Во второй главе построена последовательная приближенная нелинейная теория
двухпучковой неустойчивости в применении к двухлучевому усилителю. В первой
части описано построение нелинейной теории двухпотоковой неустойчивости, а во
второй приведен расчет коэффициента усиления двухлучевого усилителя с
использованием полученной теории.
1. Основные уравнения и их решения.
3
Рассмотрим пространство, в котором взаимодействуют два электронных потока.
Предположим, что один из них до входа в это пространство был промодулирован
сигналом с частотой  полем отрезка замедляющей системы (ЗС).
Для учета обгона одних электронов другим удобно ввести координаты
Лагранжа. Введем время в лагранжевой системе координат. Пусть теперь времена
t1,2  x, t 0  – это моменты времени, в которые электроны первого и второго потока,
влетевшие в пространство взаимодействия в момент t 0 , окажутся в точке с
координатой x [4].
x
t1 (x, t 0 )  t 0 
 1 (x, t 0 ) ;
(2.1)
v 01
x
t 2 (x, t 0 )  t 0 
 2 (x, t 0 )
(2.2)
v 02
1,2 – возмущение фазы электронов под действием поля, v 01,02 – скорости пучков.
Для удобства введем функции:
(2.3)
u1  x, t 0   t1 e1x  u 0  1  x, t 0 
u 2  x, t 0   t 2 e2 x  u 0  2  x, t 0 
Здесь e1,e2 

v01,02
. Уравнения движения в переменных Эйлера имеют вид:
 dv1
 dt    E пз1  E пз2 
 1

 dv 2
   E пз1  E пз2 

dt
 2
2
здесь p 1n ,2 n
(2.4)
(2.5)., где
2


 jp1n

I1n (x)e jnt1 
 E пз1  Re  
n 1  n 0 s1


,(2.6)

2


 jp 2n

I 2n (x)e jnt 2 
 E пз2  Re  
n 1  n 0 s 2


n2
 2
, где k1,2 – величины обратно пропорциональные радиусам
2
n  k1,2
2
первого и второго пучков (в случае бесконечно широких пучков p n1,n 2 =1).
Токи пучков могут быть представлены как

2

1
jnt1
 jnt
I

I

Re
I
e
I
(x)


1
01
1n

1n
0 I1 (x, t1 )e 1 d(t1 )

n 1

(2.7),
где

2


1
 jnt
jnt 2
I
(x)

2n
I 2  I02  Re  I 2n e
0 I2 (x, t 2 )e 2 d(t 2 )


n 1
Закон сохранения заряда имеет вид:
 I01d(t 0 )  I1 (x, t1 )d(t1 )



I02 d(t 0 )  I 2 (x, t 2 )d(t 2 )
Тогда (2.8) можно представить в виде:
(2.8)
(2.9)
4
2
I1n (x)  I01I '1n e  jne1x
I '1n (x) 
где
(2.11)
2
1
I '2n (x)   e  jnu 2 d(u 0 )
0
Введем параметры Пирса для первого и второго пучка, характеризующие их
взаимодействие с входной ЗС:
I K
C1,2  3 01,02 0 ,
U 01,02
I2n (x)  I02 I '2n e jne 2 x
(2.10),
1
e  jnu1 d(u 0 )
 0
здесь I 01,02 – токи пучков, K 0 – сопротивление связи входной ЗС, U 01,02 – ускоряющие
напряжения первого и второго пучка. Далее введем безразмерную координату
3
 

  e1C1x , Легко видеть, что с учетом малости модуляции, т.е. при 1  1 C1   1 и
 

3

v 02 2 
1  C1
  1 , система уравнений для возмущения фаз электронов после
v 01  

2p1,2
I01,02
2
2
 p1,2 – плазменные частоты, p1,2  2 ,
введения следующих величин:
0s1,2 v01,02
v01,02
 p1,2

 C
 e1,2 1,2
2

v 02
, принимает вид:
q1,2
 – параметры пространственного заряда, S 
v 01

2

  2 1
 jp1n

jp 22n
C22
jnu1


Re
q
I
'
e

q
S
I '2n e jnu 2 



1 1n
2
2
2
n
C1
n 1  n

 
(2.12)

2
2
2

  2 2
 jp
jp
C 1
1
jnu
jnu 
 2   Re   1n q1 3 I '1n e 1  2n q 2 22 2 I '2n e 2 
S
n
C1 S
n 1  n

 
Разложим возмущение фазы в ряд Фурье.
2

1
jmt 0
1,2 (, t 0 )   1,2m e
, где 1,2m ()   1,2 (, t 0 )e  jnt 0 d(t 0 )
0
m 1
Для этого применим преобразование Фурье к левым и правым частям уравнений
системы (2.12) и ограничимся для простоты первым членом разложения (m=1), как это
было сделано в [7]. Тогда


1,2 ()  Re  e  ju0   B1,2 cos u 0  B1,2 sin  u 0   ; 1,21  B1,2
(2.13)
2

Таким образом, B1,2 имеют смысл параметров группировки. После расчета
интегралов и введения обозначения Q(B)  2J n  nB   J n 1  nB   J n 1  nB   системы (2.11)
и (2.12) можно преобразовать следующим образом:

 jn

2
I
'

2J
nB
e
 1n
n 
1

,



I '  2J  nB  e  jn 2
n
2
 2n
(2.14)
здесь J n  B – функция Бесселя n-го порядка.
5
В случае бесконечно широких потоков и одной гармоники (n=1) тока систему
(2.15) можно записать так:
  2 B1
q 2SC22

q
Q
B

Q  B2   0


1
1
 2
2

C
1

(2.16)

2
  2 B2 q1
qC
 2  3 Q  B1   22 22 Q  B2   0
S
S C1
 
Q(B)  2J1  nB   J 0  nB   J 2  nB  
(2.17)
Очевидно, что система уравнений движения приняла вид системы уравнений для
двух связанных нелинейных осцилляторов. Это позволяет провести аналогию между
взаимодействующими электронными потоками и связанными нелинейными
осцилляторами. Решения системы (2.15) после подстановки в (2.14) дадут
пространственное распределение токов в области дрейфа.
2.
Расчет двухлучевого усилителя.
Далее будет приведен расчет коэффициента усиления ЭВЛ, основанный на
построенной теории. Прибор делится на три секции: входную секцию, пространство
дрейфа и выходную секцию. Первая секция представляет собой короткий отрезок ЛБВ
с двумя пучками и служит для модуляции электронного потока входным сигналом. Для
расчета будем использовать нелинейную теорию ЛБВ с учетом пространственного
заряда [8] и построенную теорию. Система интегро-дифференциальных уравнений,
описывающая поведение пучков в модуляторе, имеет вид

dE n
1
 jn E n  x    n2 K n  I1n  x   I 2n  x  

dx
2

 2
2

 jp1n2 I01
jp 2n
I02

  1
 jne1x jnt1
 jne 2 x jnt 2
jt1 


Re
I
'
e
e

I
'
e
e


E
(x)e



1n
2n
n
2
2
2
3
 
e1C1 v01
n 0s 2
n 1  n 0 s1



2
2

 jp1n2 I01 v301

jp 22 n I02 e2
C22
  2
jnu1
I '1n e  2 2 3
I '2n e jnu 2  E n (x)e jt1  (2.18)
  2  Re   2 2 3
3
2
2
e2 C2 v02 n0s 2 e1C1
n 1  e1C1 v 01n 0s1 v 02

 

2

1  jnu1
I '1n (x)   e d(u 0 )

0


2
1  jnu 2

I '2n (x)   e d(u 0 )

0

Будем рассматривать только первые гармоники. После перехода к безразмерным
величинам и избавления от интегралов в системе (2.18) описанными в первой части
методами получим:
3
S1

j

dF
2
2  C2 
(2.19)
 jb1F      1  b1C1  I '1     S   I '2    e C1S 
d


 C1 
2
C 
 2 B1
 2q1J1 (B1 )  J 0 (B1 )  J 2 (B1 )   2q1S  2  J1 (B2 )  J 0 (B2 )  J 2 (B2 )  
2

 C1 
F    J0 (B1 )  F*    J 2 (B1 )  0
(2.20)
6
2
 2 B2
q
q C 
 2 31 J1 (B1 )  J 0 (B1 )  J 2 (B1 )   2 21  2  J1 (B2 )  J 0 (B 2 )  J 2 (B 2 )  
2

S
S  C1 

I '1     2J1  B1  e
j

2
(2.22),
1
1
F    J 0 (B1 )  3 F*    J 2 (B1 )  0
3
S
S
I '2     2J1  B2  e
j

2
(2.21)
(2.23)
E  0
при   0 ,

2e1V01C12
то данная система даст нам значение сгруппированного тока, параметра группировки и
поля на выходе из модулятора.
Выходная секция представляет собой отрезок замедляющей системы, с которой
взаимодействуют оба электронных потока. Будем располагать ее в конце пространства
дрейфа так, чтобы достигнуть максимума усиления.
Рассмотрим для простоты несамосогласованную задачу. Наведенное поле будем
находить из безразмерного уравнения возбуждения вида:
3
3
S1

j

dF
2  C1x 
C1S
2  C2x 
,
(2.24)
 jbex F      1  bex C1  
I
'


S
I
'

e
 1 

 2 
d
 C1 

 C1 
в приближении заданного тока, здесь  ex – постоянная распространения волны в
Если задать начальные условия вида B1,2  0 ,
B1,2
0, F
выходной замедляющей системы, C1x ,C2x – параметры
характеризующие взаимодействие пучков с выходной ЗС.
3.
усиления
Пирса,
Результаты расчета
При расчете усилителя были получены графики распределений токов пучков во
всем пространстве взаимодействия и распределения полей волн в замедляющих
системах. На рис. 2.2. видно, что токи пучков ведут себя похожим образом, при этом во
входной секции имеет место модуляция обоих пучков. Пунктирными рамками
обозначены положения входной и выходной ЗС. По результатам расчета данной модели
максимальный коэффициент усиления по мощности был равен 25 дБ. Также приведены
результаты расчета для случая, когда в модуляторе нет второго пучка, а появляется он
только во второй секции. Из рис. 2.3 видно, что в этом случае значительно улучшается
группировка модулируемого пучка. Коэффициент усиления при этом может достигать
40 дБ.
Выводы по второй главе.
Построена приближенная нелинейная теория двухпучковой неустойчивости.
Получены простые выражения, описывающие поведение двух взаимодействующих
электронных потоков. На основе теории был проведен расчет коэффициента усиления
двухлучевой лампы. Показано, что коэффициент усиления в зависимости от
конфигурации лампы может достигать 40 дБ. Также показано, что при модуляции сразу
двух пучков существенно ухудшается группировка. При этом значительно снижается
коэффициент усиления. Этого можно избежать, путем применения, к примеру,
автоэмиссионных катодов, поскольку в этом случае пучки будут модулироваться по
отдельности.
Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ по поддержке ведущих научных школ (проект № НШ-1430.2012.2), РФФИ
(проект № 11-02-00047, 10-02-00256)
7
F( )
0.1
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
I( )
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 
F( )
0.04
0.02
0
0
1
2
3
4

1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 
Рис. 2.2. Распределения токов пучков и полей в модуляторе (сверху) и выходной секции (снизу) при
учете двух пучков в модуляторе.
I( )
F()
0.1
0.7
0.08
0.6
0.06
0.5
0.04
0.4
0.02
0
F( )
10
0.3
0.2
0.5
1
1.5
2 
8.5
9
9.5
10 
8
0.1
6
0
0
2
4
6
8
10
12 
4
2
0
8
Рис. 2.3. Распределения токов пучков и полей в модуляторе (сверху) и выходной секции (снизу) при
учете только одного пучка в модуляторе.
Библиографический список
Р. Бриггс. Двухпучковая неустойчивость. Достижения физики плазмы. т.3
и 4.// Изд-во «Мир»; М:.1974.
2.
М.С. Рабинович, Д.И. Трубецков. Введение в теорию колебаний и волн,
2-е изд., перераб. и доп. // М. Наука 1992, 454 с
3
В.М. Лопухин. Возбуждение электромагнитных колебаний и волн
электронными потоками.// М.: 1953, 324 с.
4.
В.Н. Шевчик, Г.Н. Шведов, А.В. Соболева. Волновые и колебательные
явления в электронных потоках на сверхвысоких частотах. Изд. СГУ, 1962.
5.
K. Birhofberger, B.E. Carlsten, R. Faehl. Generation of millimeter and submillimeter radiation in a compact oscillator utilizing the two-stream instability. // IVEC 2008,
april 22-24, 2008, p. 164.
6.
В.Н. Шевчик, Д.И. Трубецков. Аналитические методы расчета в
электронике СВЧ. // М.: Сов. Радио, 1970, 584 с.
7.
В.А. Солнцев. Нелинейные волны в электронных потоках. // «Известия
ВУЗов.», «Радиофизика». 1974, Т. 17, №4 ,
8.
Д.И. Трубецков, А.Е. Храмов. Лекции по СВЧ электронике для физиков.
Т.1. // М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 496с
1.
8