Lekciya34

Лекция 34
Системы тождественных частиц. Обменное взаимодействие. Симметрия координатных и
спиновых функций
Докажем, что в системе тождественных невзаимодействующих частиц существуют
определенные корреляции в движении частиц, то есть некоторое взаимодействие. Для
доказательства существования такого взаимодействия рассмотрим следующий пример: пусть
есть система двух тождественных невзаимодействующих бозона со спином s  0 , которая
находится в таком состоянии, в котором один из них описывается одночастичной волновой
функцией 1 ( x) , другой - 2 ( x) . Пусть обе функции и 1 ( x) , и 2 ( x) обладают определенной
четностью (в этом случае результаты получаться более наглядными). Найдем вероятность того,
что обе частицы находятся в полупространстве x  0 .
Основная идея задачи заключается в том, чтобы построить волновую функцию системы
и проинтегрировать ее квадрат по полупространству x1  0 , x2  0 . Так как спин бозонов равен
нулю, волновая функция системы бозонов зависит только от их пространственных координат и
является симметричной относительно их перестановки. Поэтому волновая функция  ( x1 , x2 )
рассматриваемого состояния системы двух бозонов имеет вид
 ( x1 , x2 ) 
1
1 ( x1 ) 2 ( x2 )  1 ( x2 ) 2 ( x1 ) 
2
(1)
(множитель 1/ 2 введен в (1) из условия нормировки). Согласно постулатам квантовой
механики вероятность того, что обе частицы системы находятся в полупространстве x  0 .
определяется выражением


w( x1 , x2  0)   dx1  dx2  ( x1 , x2 )
0
2
(2)
0
Подставляя функцию (1) в выражение (2), получим

w( x1 , x2  0) 

1
2
2
2
2
dx1  dx2 ( 1 ( x1 )  2 ( x2 )  1 ( x2 )  2 ( x1 ) 

20
0
(3)
  ( x1 ) ( x2 )1 ( x2 ) 2 ( x1 )   ( x2 ) ( x1 )1 ( x1 ) 2 ( x2 ))
*
1
*
2
*
1
*
2
Интегралы от первого и второго, а также третьего и четвертого слагаемого равны (в этом легко
убедиться, если сделать во втором и четвертом интеграле замены переменных интегрирования
x1  x2 , x2  x1 ). Поэтому выражение (3) можно привести к виду
1

w( x1 , x2  0)   dx1 1 ( x1 )

2
 dx
2
0
2

 2 ( x2 )   dx11 ( x1 ) ( x1 )
2
0
*
2
(4)
0
Так как обе функции 1 ( x) и 2 ( x) имеют определенную четность, то функции 1 ( x) и
2
 2 ( x ) - четные, и из условия нормировки функций следует, что
2

 dx1 1 ( x1 )

2
 dx
2
0
 2 ( x2 ) 
2
0
1
4
Поэтому вероятность того, что обе частицы находятся в области
(5)
x  0 определяется
соотношением
w( x1 , x2  0) 
1
2
 A
4
(6)
где буквой A обозначен интеграл

A   dx11 ( x1 ) 2* ( x1 )
(7)
0
Интеграл (7), вообще говоря, не равен нулю. Поэтому вероятность (6) больше 1/4.
Если частицы были бы нетождественными, волновая функция системы имела бы вид
 ( x1, x2 )  1 ( x1 )2 ( x2 ) , и вероятность того, что обе частицы в рассматриваемом состоянии
имеют координаты x  0 , равнялась бы 1/4. Последний результат является естественным,
поскольку: (а) вероятность того, что каждая частица в рассматриваемом состоянии имеет
положительную координату, равна 1/2, (б) частицы не взаимодействуют, и, следовательно,
никак не влияют друг на друга (на языке теории вероятностей это значит, что любые события,
происходящие с разными частицами, являются независимыми), (в) вероятность события x1  0 и
x2  0 , происходящего с двумя независимыми частицами, равна произведению вероятностей
событий, происходящих с каждой частицей в отдельности (теорема умножения вероятностей
независимых событий). Поскольку для тождественных частиц эта вероятность отличается от
1/4, то для таких частиц утверждение (б) (и, следовательно (в)) является неверным. То есть даже
невзаимодействующие тождественные частицы не являются независимыми. Это значит, что
существует взаимное влияние этих частиц друг на друга, приводящее к корреляциям в их
движении. Причем, как это следует из полученных результатов, для рассматриваемой системы
тождественных бозонов эти корреляции носят характер притяжения. Очевидно, что влияние
частиц друг на друга зависит от состояний частиц. В частности, если бы интеграл (7) от
произведения волновых функций был равен нулю, корреляции в их движении отсутствовали.
2
Если же волновая функция системы была антисимметричной, то такое взаимодействие носило
бы характер отталкивания, поскольку вероятность обнаружить обе частицы в полупространстве
x  0 была бы меньше ½. Такое взаимодействие тождественных частиц называется обменным.
Подчеркнем, что обменное взаимодействие связано с симметрией волновой функции, в
обычном («потенциальном») смысле наши частицы не взаимодействовали.
Проявление обменного взаимодействия можно увидеть и вот на каком примере. Если две
частицы описываются симметричной функцией, то вероятность обнаружить их в одной точке
удваивается по сравнению со случаем нетождественных частиц, если антисимметричной –
равняется нулю, независимо от того какими являются волновые функции одночастичных
состояний. Предлагаем слушателям доказать эти утверждения самостоятельно.
Теперь вспомним о том, что рассматриваемые тождественные частицы, вообще говоря,
облают спином и, говоря о волновой функции, нужно говорить о ее пространственной и
спиновой части. И требования симметрии распространяются на всю волновую функцию, а не
только пространственную или спиновую часть. Теме не менее справедливо следующее
утверждение: в системе двух частиц (не обязательно тождественных) с одинаковыми спинами s
волновые функции состояний с определенным значением суммарного спина имеют
определенную симметрию по отношению к перестановкам спиновых координат частиц. При
этом состояния с суммарным спином S  2s , S  2s  2 , S  2s  4 , ... являются симметричными,
а состояния с суммарным спином S  2s 1 , S  2s  3 , ... - антисимметричными.
Для доказательства заметим, что в состоянии
1 1
   
0
0
 S  2 s , S z  2 s ( s z1 , s z 2 )     
0 0
   
 ... 1  ...  2
суммарный спин имеет определенное значение
(8)
S  2s , проекция суммарного спина -
определенное значение S z  2s и эта функция по построению является симметричной
относительно перестановок спиновых координат частиц (в формуле (8) нижний индекс около
столбца указывает, к какой частице он относится). Все функции с тем же суммарным спином, и
возможными значениями проекции суммарного спина можно получить из (8), действуя на нее
оператором
Sˆ  sˆ1  sˆ2
3
(9)
А поскольку и оператор (9) и функция (8) – симметричны, в результате такого действия будут
получаться симметричные функции. Таким образом, все состояния с определенным S  2s симметричны.
В частности, симметричной является функция состояния с S  2s и S z  2s  1 . Эту
функцию легко построить, действуя один раз оператором (9) на функцию (8)
 S  2 s , S z  2 s 1 ( sz1 , sz 2 )
1 0 0 1
       
 0 1 1  0
0 0 0 0
       
 ... 1  ...  2  ... 1  ...  2
(10)
Функция с S  2s 1 и S z  2s  1 должна строиться с помощью тех же спиновых функций
отдельных частиц. А поскольку она ортогональна (10), то между теми же слагаемыми должен
быть знак «-»
1 0 0 1
       
 0   1   1   0
0 0 0 0
       
 ... 1  ...  2  ... 1  ...  2
 S  2 s 1, S z  2 s 1 ( sz1 , sz 2 )
(11)
и, следовательно эта функция антисимметрична. Поэтому будут антисимметричны и спиновые
функции состояний с S  2s 1 и всеми возможными значениями проекции суммарного спина
(так как все они получаются в результате действия симметричного оператора Ŝ  на
антисимметричную функцию.
В частности, антисимметричной является функция состояния с S  2s 1 и Sz  2s  2 .. А
поскольку функция с S  2s  2 и Sz  2s  2 строится с помощью тех же спиновых функций
отдельных частиц и ортогональна функции с S  2s 1 и Sz  2s  2 . Поэтому она и все
остальные состояния с суммарным спином S  2s  2 симметричны. И так далее.
Таким образом, по построению спиновые функции всех состояний с определенным
суммарным спином обладают определенной симметрией: состояния со спином S  2s ,
S  2s  2 , S  2s  4 , ... являются симметричными, состояния с суммарным спином S  2s 1 ,
S  2s  3 , ... – антисимметричными.
Обратим внимание на то, что свойство симметрии или антисимметрии спиновых
функций не связано с тем, являются частицы фермионами или бозонами, более того, не связано
с тем, являются ли они тождественными. Эти свойства симметрии связаны с принципами
построения функций с определенным суммарным спиновым моментом.
4
Рассмотренная симметрия спиновых функций приводит к тому, что определенной
симметрией в состояниях с определенным суммарным спином обладает и координатная
функция. Пусть, например, суммарный спин системы бозонов равен S  2s . Тогда спиновая
функция симметрична. А поскольку полная волновая функция системы бозонов симметрична по
отношению к одновременной перестановке пространственных и спиновых координат частиц, то
и координатная функция должна быть симметрична. Если рассматриваемые частицы фермионы (полная волновая функция антисимметрична), и суммарный спин системы равен
S  2s , S  2s  2 , S  2s  4 , ... , то пространственная часть антисимметрична, если суммарный
спин - S  2s 1 , S  2s  3 , ... -, то пространственная часть волновой функции симметрична.
В состояниях, в которых суммарный спин не имеет определенного значения, спиновая
часть волновой функции определенной симметрией по отношению к перестановкам спиновых
переменных, вообще говоря, не обладает, поэтому и пространственная часть волновой функции
также не имеет определенной симметрии по отношению к перестановкам.
Такой характер симметрии пространственной части волновой функции приводит к
разным обменным корреляциям в движении частиц в случае разного суммарного спина. Пусть,
например, два тождественных невзаимодействующих фермиона со спином s  1/ 2 находятся в
состоянии с определенным значением суммарного спина S  1 . Пространственное состояние
одного фермиона описывается волновой функцией 1 (r ) , другого - 2 (r ) . Найдем вероятность
того, что обе частицы находятся в некотором малом объеме dV .
Поскольку рассматриваемые частицы – фермионы, волновая функция системы
антисимметрична, а поскольку спиновая функция состояния с суммарным спином S  2s  1
симметрична, то пространственная часть антисимметрична и, следовательно, имеет вид
 (r1 , r2 ) 
1
1 (r1 ) 2 (r2 )  1 (r2 ) 2 (r1 ) 
2
(12)
Поэтому вероятность dw обнаружить обе частицы в объеме dV (когда радиус-векторы обеих
частиц равны r ) равна
2
1
dw 
1 (r ) 2 (r )  1 (r ) 2 (r )  dV  0
2
(13)
Таким образом, обменное взаимодействие носит характер отталкивания поскольку препятствует
частицам подойти в одну точку пространства. Если бы суммарный спин частиц равнялся бы
S  2s 1  0 , то пространственная часть волновой функции была бы симметрична, и
вероятность обнаружить обе частицы в малом объеме выросла бы по сравнению со случаем
5
нетождественных частиц вдвое. Это означает, что обменное взаимодействие носит характер
притяжения.
Доказанное выше утверждение можно использовать и в «обратную сторону». Пусть мы
организовали систему тождественных частиц так, что частицы находятся в одинаковых
пространственных состояниях. Тогда пространственная часть волновой функции симметрична,
и, следовательно, возникает ограничение на симметрию спиновой функции (а, значит, и
суммарный спиновый момент).
В качестве примера докажем, что суммарный спин системы двух тождественных
невзаимодействующих бозонов со спинами 2, находящихся в одинаковых пространственных
состояниях, может принимать значения 0, 2, 4.
Поскольку
бозоны
находятся
в
одинаковых
пространственных
состояниях,
пространственная часть волновой функции симметрична. Поэтому спиновая функция
рассматриваемого состояния также симметрична, и, следовательно, согласно результатам
предыдущего рассмотрения отвечает суммарному спину 0, 2, 4. Отметим, что эффект такого
рода наблюдается в атомном ядре, где некоторые возбужденные состояния интерпретируются
как рождение бозона со спином 2 в основном состоянии. Если родить в основном состоянии два
таких бозона, то их суммарный спин в отсутствии симметрии волновой функции мог быть 4, 3,
2, 1, 0. Наблюдаются же только состояния с моментами 4, 2 и 0, как и в рассмотренном выше
примере.
Пусть два тождественных невзаимодействующих фермиона со спинами
s  3/ 2
находятся в одинаковых пространственных состояниях с волновыми функциями. Какие
значения может принимать полный спин системы?
Поскольку
фермионы
находятся
в
одинаковых
пространственных
состояниях,
пространственная часть волновой функции системы фермионов является симметричной
относительно перестановки пространственных координат. Поэтому, поскольку полная волновая
функция
фермионов
антисимметрична
относительно
одновременной
перестановки
пространственных и спиновых координат, спиновая часть волновой функции рассматриваемого
состояния должна быть антисимметричной. Как было показано выше, спиновые функции
системы двух частиц, являющиеся собственными функциями оператора квадрата суммарного
спина, симметричны для S  2s  3 , S  2s  2  1 , и антисимметричны для S  2s 1  2 ,
S  2s  3  0 .
Поэтому
в
рассматриваемой
системе
совместимыми
с
требованиями
перестановочной симметрии являются спиновые функции с определенными значениями
суммарного
спина
S 2
или
S 0
(или
6
их
произвольная
линейная
комбинация).
Следовательно, в рассматриваемых состояниях суммарный спин может иметь определенное
значение S  2 , определенное значение S  0 , а также может не иметь определенного значения,
а с некоторыми вероятностями принимать два перечисленных значения.
7