ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО И ПАРАЛЛЕЛЬНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ LC – КОНТУРОВ

ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО И ПАРАЛЛЕЛЬНОГО
КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ LC – КОНТУРОВ
Цель работы: Изучение резонансных и фильтрующих свойств параллельного и
последовательного контуров, измерение их основных параметров,
снятие частотных и переходных характеристик. Компьютерное
моделирование лабораторного эксперимента.
1. Свободные колебания в LC – контуре
Простой и широко используемой в радиоэлектронике линейной системой является
колебательный контур. Он содержит конденсатор С, индуктивность L и сопротивление
R. Пусть в момент времени t=0 на конденсаторе имеется заряд qo = CUo. Найдем закон
изменения во времени заряда на конденсаторе.

L
С
R
На основании второго закона Кирхгофа:
di
1
L  Ri   idt  0 .
dt
C
1
R
dq
Учитывая, что i 
, и вводя обозначения
 02 (  - коэффициент
 2,
dt
L
LC
затухания, 0 - собственная циклическая частота контура), получим:
q  2q  02q  0
Если 02 »  2 , решение уравнения может быть представлено в виде:
q  q m e t cos t   , где   o2   2 .
Таким образом, при 02 »  2 зависимость величины заряда на конденсаторе от
времени имеет характер затухающих колебаний, частота которых несколько меньше
собственных колебаний контура 0 . Учитывая начальные условия t = 0, q = q0 , при
02 »  2 можно считать: q  q 0e  t cos 0 t .
Закон изменения силы тока i = q0ω0e-αtcos(ω0t + π/2).
1
, получим:
LC
U


i  0 e t cos 0 t   .

2

Следовательно, ток в цепи также совершает затухающие колебания, начальная
амплитуда которых I o  U o  . Величина   L C , имеющая размерность
Зная, что q0 = CU0 и ω0 =
сопротивления, называется характеристическим (волновым) сопротивлением контура.
Волновое сопротивление контура – это индуктивное или емкостное сопротивление
току резонансной частоты:
1
  0 L 
 LC .
0 C
Кроме коэффициента затухания  , используют логарифмический декремент
затухания:
q 0 e  t
2
  ln


T


0
q 0 e  t  T 
1
Величина обратная  , N  , определяет число периодов, за которое амплитуда

колебаний убывает в е раз.
Важным параметром колебательного контура является добротность, характеризующая
относительную убыль энергии в процессе колебаний.
Q  2
запасенная
энергия
энергия, теряемая за период
 2
Wз
Wт
Энергия, запасенная колебательной системой, равна максимальной энергии,
накопленной конденсатором или катушкой индуктивности:
CU 2m LI 2m
Wз 

2
2
Энергия, теряемая в контуре за период колебаний, равна:
Wт  I 2 RT ,
где R – активное сопротивление, определяющее полную мощность Р, теряемую в цепи:
P  Pом  Pизл  Pдиэл  ...  I 2 R
Используя эти положения, получим выражение для добротности:
LC 
Wз
CU 2m
Q  2
 2 2

 .
Wт
R
R
2I RT
2. Вынужденные колебания в последовательном контуре
Подключим контур к источнику гармонического сигнала с амплитудой Em с
начальной фазой φe e  Em cos( t   e )
L

e
C
R
Тогда дифференциальное уравнение примет вид:
di
1
L  Ri   idt  Em cos( t  e )  E m e jt
dt
C
Воспользовавшись методом комплексных амплитуд дифференциальное уравнение
можно представить в виде:
I
jLI m e jt  RI m e jt  m e jt  E m e jt ,
j C
откуда следует, что
I m ( R  jL  1 )  E m
jC
Это есть закон Ома для последовательного колебательного контура.
  R  j(L  1 ) - импеданс последовательного контура. Зная, что Z  ze j , модуль
Z
C
полного комплексного сопротивления будет иметь вид:
  Z  R 2  X 2  R 2  (L  1 ) 2 ,
Z
C
X
L  1 C
а фаза: z  arctq  arctq
.
R
R
На рис. 1 приведена частотная зависимость реактивного сопротивления
последовательного контура.
Xc X
ωL
Из условия (ωL – 1/ωC) = 0
X=ωL – 1/ωC
определяется резонансная
частота контура.
ωo
ω
1
p 
 o
LC
1/ωC
Рис. 1
Последовательный колебательный контур есть линейный четырехполюсник:

L
Uвх
C
Uвых
R
Комплексный коэффициент передачи такой системы:

I1 jC 
  U вых  
.
K
 вх  IR  j( L  1 C )
U
Представив его в показательной форме, получим
j

2
1
  (1 C)  e
K

 e  j(  2   z ) .
j z
CZ
Ze
Модуль комплексного коэффициента передачи и его фаза примут вид
  K  1 ,  (  )      (  ) .
K
к
z
CZ
2
Выражение K=1/ωCZ – есть амплитудно-частотная характеристика, а φк(ω) –
фазово-частотная характеристика контура. Для определения этих выражений найдем
модуль и аргумент коэффициента передачи в узкой полосе частот в окрестностях
резонансной частоты контура ωо.
Пусть ω = ωо + Δω, Δω « ωо. Введем понятие (ω – ωо)/ω = Δω/ωо = ξ – относительная
расстройка контура.
Учитывая эти понятия, получим для Z
2
Z  R  j L  1   R 1  j (   1 ) 
  CR 2

C 

o
o


1

2
Полагая, что
  Qo , а
 1  2 , получим
o CR R
o2
  R( 1  j2Qo )  Z  e jz , откуда Z  R 1  4 2 Q o2 ,  z  arctg 2Q o .
Z
Подставим Z и φz (ω) в выражение для K и φк (ω).
Qo

  K()  1 
K
, к ()    arctg 2Q o
CZ
2
1  4 2 Q 2
o
Амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики последовательного
колебательного контура приведены на рис. 2.
K=Qо
Без учета сопротивления источника сигнала при ξ = 0
  Qo Kгр=K/ 2
(ω = ωo) модуль K
добротности. Полоса пропускания контура как полосового
Q
-гр. гр.

фильтра при K ( гр )  o
2
к
определится выражением
1
ξ
 пр  2( гр ) 
Qo
-π/2
Рис. 2.
Или, переходя к частоте f, выражение для полосы пропускания примет вид Δfпр = fo /
Qo.
В реальной ситуации сопротивление генератора Rг не является нулевым и внесет вклад
в формулу добротности:
o L
 L
 Qo  o .
R  Rг
R
Следовательно, для получения или сохранения высокого значения добротности
системы сопротивление генератора не следует делать большим.
Q
3. Фильтрующие свойства параллельного колебательного контура
Коэффициент передачи параллельного контура
как четырехполюсника:


U
  m вых  Z к . Для нахождения K
 надо предварительно найти импеданс
K
E m
R г  Z к
 
 L  R  jL , Z
 C  1 - импедансы двух
 к  Z L ZC , где Z
параллельного контура Z
L Z
C
jC
Z
параллельных ветвей.
Rг
L
C
e
Rн
R
( R  jL )  ( 1 jC)
С учетом этого Z к 
. В наиболее интересном, с практической
R  j( L  1 C )
1
точки зрения, случаи, когда   o 
выражение для Z к можно упростить.
LC
Знаменатель его равен импедансу Z последовательного колебательного контура,
  o
 ()  R (1  2 jQo ) .
который при  
 1 имеет вид Z

С учетом того, что ωL » R выражение для Z к примет вид:
LC
2
.

R (1  2 jQ o ) R (1  2 jQ o )
Комплексное сопротивление Z к можно представить в виде:
 к  R э  jX э , для чего умножим числитель и знаменатель на (1  2 jQ o ) и в итоге
Z
получим:
2Q o  2
2
Z к 
j
,
R (1  4 2 Q o2 )
R (1  4 2 Q o2 )
к 
Z
где R э 
2
R (1  4 2 Q o2 )
,
Xэ  
2Q o  2
R (1  4 2 Q o2 )
.
Таким образом, как реактивное, так и активное эквивалентные сопротивления
параллельного контура зависят от частоты. Это отличает его от последовательного
контура, у которого активное сопротивление частотно независимо.
На резонансной частоте (  0) X э  0 , а Rэ имеет максимальное значение, равное
2
 Q o .
R
2
На рис. 3 приведены графики функций R э () и X э () , нормированные на
.
R
RэR/ρ2
0,5
ξ
-1/2Q
1/2Q
XэR/ρ2
Рис. 3
Рассчитаем теперь коэффициент передачи параллельного контура:
2
 
K
.
RR г ( 1   2 RR г  2 jQ о )
  K  e jk , выразим модуль и аргумент
 в показательной форме K
Представим K
коэффициента передачи параллельного контура в виде:

2Q o 
2

K
, к  arctg 
2

2

 1   RR г 
2
2
RR г ( 1 
)  4 Q o
RR г
Для нахождения полосы пропускания определим расстройку ξ гр, при которой
модуль коэффициента передачи уменьшается в 2 раза по сравнению с его
резонансным значением (ξ = 0).
fp
2
1

f пр  f p 2 гр 
(1 
)  fp (

).
Qo
RR г
Qo R г
fp
Полоса пропускания контура тем ближе к собственной частоте контура (2f p 
),
Qo

чем меньше отношение
. При Rг→0 полоса пропускания неограниченно
Rг
возрастает, и контур полностью утрачивает свои избирательные свойства.
При использовании контура как фильтра в электронных устройствах необходимо
учитывать влияние на его избирательные свойства не только внутреннего
сопротивления источника сигнала, но также сопротивление цепей, являющихся
нагрузкой фильтра. Если к контуру подключена нагрузка Rн, импеданс контура будет

 кн  Zк  R н , где Z к - импеданс контура без нагрузки. С учетом этого
иметь вид: Z
 к  Rн
Z
Q o
.
Z кн 
Q o
2 jQ o
(1 
)  (1 
)
Rн
1  Q o R н
Введем обозначения:
Q o
Qo
,
Zрн 
,
Qн 
Q o
Q o
1
1
Rн
Rн
Zрн
 кн 
получим Z
, что эквивалентно ранее выведенному соотношению для
1  2 jQн
контура без нагрузки с учетом замены Zрн и Q н . Поэтому сразу можно записать
коэффициент передачи:
Zрн
 
K
Zрн
R г (1 
 2 jQн )
Rг
Z рн
 
или K
,
где
R г (1  2 jQ н )
Q o
Qo
.
Z рн 
,
Qн 
Q o Q o
Q o Q o
1

1

Rг
Rн
Rг
Rн
Z рн
K
Модуль коэффициента передачи
.
2 2
R г 1  4 Q н
Полоса пропускания нагруженного контура:
fp
fp
Q o Q o
1


f пр 

(1 

)  fp (


).
Qн Qo
Rг
Rн
Qo R г R н
Из соотношения следует, что если внутреннее сопротивление генератора сигнала
или сопротивление нагрузки сравнимы с ρ, они расширяют полосу пропускания
параллельного контура, ухудшают его избирательные свойства. Влияние генератора
или нагрузки можно уменьшить, используя частичное включение параллельного
контура со стороны генератора или нагрузки.
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
Для исследования свойств последовательного и параллельного колебательных
контуров используется лабораторный стенд, принципиальная электрическая схема
которого и внешний вид панели управления представлен на рис.4.
R3
Вых.1
R4
K4
R1

L
C
Вход
R2
K1
K2
Вых.2
D1
D2
K3
R5
Общ.
Общ.
+10В
V
R6
V
R6
Вход
K2
K3
Сеть
K1
K4
Вых.1
Вых.2
Общ.
РИС. 4. Принципиальная электрическая схема и общий вид лабораторного стенда
для исследования LC – контуров.
К1 – тумблер переключения внутреннего сопротивления источника сигнала;
К2 – тумблер переключения схем параллельного и последовательного колебательных
контуров;
К3 – тумблер переключения емкости С и варикапов D1 и D2;
К4 – тумблер включения и отключения шунтирующего сопротивления;
R6 – потенциометр для регулировки смещения на варикапах D1 и D2;
V – вольтметр для измерения напряжения смещения на варикапах.
Совместно с лабораторным стендом в установке используются следующие
радиоэлектронные измерительные приборы и источники сигналов: частотомер Ч363/1, милливольтметр В3-56, осциллограф С1-118А, фазометр Ф-1 и генератор НЧ
ГЗ-112/1.
Лабораторная установка позволяет построить по точкам амплитудно-частотную и
фазово-частотную характеристики как последовательного, так и параллельного
контуров. Переключением тумблеров К1 и К4 можно изменять внутреннее
сопротивление источника сигнала.
В настоящее время при приеме ВЧ радиосигналов настройка контуров на
передающую радиостанцию часто осуществляется при помощи варикапов. Варикап –
это специальный диод, емкость p-n-перехода которого с увеличением обратного
напряжения уменьшается. В лабораторном стенде тумблером К3 можно переключать
постоянный конденсатор С = 300пФ на сдвоенную систему варикапов D1 и D2.
Изменяя резистором R6 напряжение смещение на варикапах можно изменять
резонансную частоту колебательного контура.
Измерения и обработка результатов
Задание 1. Изучение явлений резонанса в последовательном контуре и
экспериментальное определение его параметров.
При необходимости соединить коаксиальными кабелями вход лабораторного стенда
с выходом генератора НЧ (ГЗ-112), со входом частотометра (Ч3 – 63) и электронного
вольтметра (В3 – 56), с правым каналом двухлучевого осциллографа (С1 – 118А), а
при наличии фазометра со входом 1-го канала фазометра (Ф – 1). Выход 2
лабораторного стенда соединить с левым каналом осциллографа, вторым электронным
милливольтметром (В3 – 56), и при наличии фазометра и со 2-ым каналом фазометра.
Установить на стенде тумблер К2 – в положение “последовательный контур”, К1 – в
положение R3 = 50 Ом, К3 – в положение С = 300пФ, К4 – в положение “посл”.
Установить ручки управления измерительных приборов в положение
максимального ослабления сигнала.
Включать приборы в сеть только при проверке схемы преподавателем!
Включить приборы и после пятиминутного прогрева установить на выходе
генератора НЧ по милливольтметру сигнал амплитудой 1  2В в частотном диапазоне
100  1000 кГц. При f = 400 кГц произвести настройку осциллографа до появления
устойчивых осциллограмм входного и выходного сигналов. Синхронизацию луча
осциллографа осуществлять по входному сигналу.
Изменяя частоту сигнала генератора в диапазоне 100  1000 кГц наблюдать у
выходного сигнала (вых. 2) по осциллографу и милливольтметру изменение
амплитуды и фазовый сдвиг. Выбрать приемлемый интервал частот для полного
воспроизведения АЧХ колебательного контура. Снять показание приборов для
построения АЧХ и ФЧХ при двух значениях внутреннего сопротивления источника
сигнала R3=50Ом и R2 = 150 Ом. Результаты измерений занести в таблицу 1.
Произвести вычисления К нормированного к “1”, fрез, Δf, L и Q согласно
приведенной ранее теории.
Таблица 1
R3 = 50 Ом (12 кОм)
N Uвх. f C Uвых К  Кн fр f L Q
В кГц пФ В
гр.
кГц кГц мГн
1
2
3
…
Uвых
В
R2 = 150 Ом (2 кОм)
К  Кн fр f L Q
гр.
кГц кГц мГн
По результатам эксперимента построить график зависимости Кнорм(f) и Δφ(f).
Произвести измерения fp, Δf и вычислить L и Q.
Используя параметры колебательного контура и теоретические выражения K(f) и
φ(f), рассчитать на ЭВМ и построить теоретические кривые K(f) и φ(f) и сравнить с
экспериментом.
Задание 2. Изучение явлений резонанса в параллельном контуре и
экспериментальное определение его параметров.
Переключить тумблер К2 в положение “параллельный контур”, К1 в положение 2
или 12 кОм, К3 – в положение С = 300 пФ, К4 в положение “парал”.
Повторить измерения, графические построения и вычисления, аналогичные заданию
1. Результаты измерений и вычислений свести в таблицу, аналогичную таблице 1.
Задание 3. Применение варикапов в качестве конденсаторов переменной емкости,
управляемых напряжением. Определение области перекрытия
варикапов.
Переключить при необходимости:
К1 – в положение R1 = 12 кОм;
К2 – в положение “параллельный контур”;
К3 – в положение “варикап”;
К4 – в положение “парал”.
Тумблер “сеть” перевести в положение “Вкл.”
При различных напряжениях смещения на варикапах, изменяемых резистором R6 и
измеряемых по шкале вольтметра, встроенного в лабораторный стенд, по
осциллографу или электронному вольтметру определить значение резонансной
частоты.
Показания частотомера и вольтметра занести в таблицу 3.
Таблица 3
№
1
2
…
11
Uсн
В
0
1
…
10
fрез
кГц
L
мГн
C
пФ
ΔC
пФ
Зная величину индуктивности L (параллельный контур), вычисленную в задании 2 по
fрез, рассчитать значение С – варикапа при различных напряжениях смещения.
Построить график зависимости С=f(Uсм). Определить область перекрытия емкости
варикапов.
Задание 4. Наблюдение реакции резонансного контура на скачок напряжения.
На панели генератора НЧ сигнала переключить тумблер в положение
. Для
последовательного контура при его максимальной и минимальной добротности
пронаблюдать и зарисовывать переходную характеристику. Дать теоретическое
обоснование
наблюдаемому
процессу.
По
осциллограммам
измерить
логарифмический декремент затухания.
Задание 5.
Компьютерное моделирование лабораторного эксперимента по
исследованию параллельного и последовательного колебательных
контуров.
1. Используя программное обеспечение, предлагаемое преподавателем (Electronics
Workbench 3.0E или CircutMaker v. 5.0), построить на экране компьютера
последовательный колебательный контур.
2. Подключить к этой электронной цепи функциональный генератор, осциллограф и
измеритель частотных характеристик.
3. Задавая параметры цепи аналогичные тем, что использовались в эксперименте,
наблюдать по осциллографу форму входного и выходного сигналов, а по измерителю
частотных характеристик амплитудно-частотную и фазово-частотную характеристики
цепи.
4. Измерить: резонансную частоту контура fр при различных Rг (внутренних
сопротивлениях генератора), полосы пропускания f и коэффициенты передачи К при
fр.
5. Данные, полученные при компьютерном моделировании, сравнить с
экспериментальными.
6. Переключить функциональный генератор на выходной сигнал П-образной формы и
наблюдать на экране осциллографа при понижении частоты отклик системы на
импульсное воздействие (переходные характеристики).
7. Провести аналогичный компьютерный анализ параллельного колебательного
контура.
8. Графический материал распечатать на принтере и приложить к отчету.
После выполнения эксперимента, построения графиков и проведения расчетов
сделать краткие выводы по работе и ответить на следующие контрольные вопросы:
1. Зависит ли от частоты активное сопротивление эл. цепи?
2. Нарисуйте эквивалентную схему конденсатора и катушки индуктивности, учитывая
не идеальность диэлектрика, активное сопротивление и межвитковую емкость.
3. На сколько процентов отличается частота колебаний в контуре добротностью Q = 10
от собственной частоты контура.
4. Как изменится добротность параллельного контура с параметрами L, R, C при
подключении некоторой нагрузки сопротивлением Rн?
5. Параллельный колебательный контур имеет параметры С = 0,1 мкФ, L = 1 мГн, Q =
50. Какими будут коэффициент передачи К на fрез частоте и относительная полоса
пропускания схемы Δf/fр, если контур подключить к генератору с внутренним
сопротивлением R=10 кОм?
6. Как зависит длительность переходного процесса от полосы пропускания цепей?
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Забродин Ю.С. Промышленная электроника. М.: Высш.шк. 1982. 496с.; ил.
2. Каяцкас А.А. Основы радиоэлектроники: Учебное пособие для студентов вузов. М.:
Высш.шк., 1988. 464с.; ил.
3. Основы радиоэлектроники: Учебное пособие / Ю.Н. Волощенко, Ю.Ю. Мартюшев
и др. М.: Изд-во МАИ, 1993. 416с.; ил.
4. Радиотехника: Учебное пособие для вузов / Е.М. Гершензон, Г.Д. Полянина, Н.В.
Соина. М.: Просвещение, 1986. 319с.; ил.
5. Элементы информационных систем: Учеб. для вузов / В.П. Миловзоров. М.:
Высш.шк., 1989. 440с.; ил.