Электромагнитные волны

1
Электромагнитные волны
Представим, что в некоторой точке внутри безграничной непроводящей среды созда
но каким-либо способом электрическое поле E . Если нет зарядов, поддерживающих это поле, то оно будет исчезать. Но убывающее поле E , согласно уравнений Максвелла, вызывает
возникновение магнитного поля:
0

 

E  
L Hdl  S  j  0 t dS .
E
направлена
t
противоположно E и силовые линии магнитного поля направлены по часовой стрелке.
Поскольку нет постоянных токов, поддерживающих H , то последнее будет в свою
очередь исчезать, и вызовет вихревое электрическое поле:
Поскольку поле E убывает, то плотность тока смещения jсм.   0
 
  
E
d
l


BdS
L
t S
Силовые линии будут направлены против часовой стрелки. Поле E1 уничтожит первоначальное поле E в начальной точке, но зато проявится в соседней точке 1. Исчезая в точке 1, электрическое поле E1 приведет к появлению магнитного поля H1 , которое будет иметь
такое же направление, как и поле H . Поле H1 уничтожит поле H и обнаружится в более
удаленной точке. Таким образом, вместо первоначального поля E получим электрическое и
магнитное поля, взаимно связанные друг с другом и распространяющиеся в пространстве, то
есть электромагнитную волну.
Для вакуума основные уравнения Максвелла принимают вид:

 
 
D 
  
H
d
l

d
S
E
d
l


BdS ;
;
L
S t
L
t S
причем D   0 E , B  0 H
Описываемые этими уравнениями поля не связаны ни с зарядами, ни с токами проводимости и являются самостоятельно существующей реальностью. Это одна из форм существования материи – электромагнитное поле. В дифференциальной форме:
E
H
rot H   0
; rot E   0
;
t
t
Видно, что векторы напряженностей и индукций поля имеют вихревой характер, то
есть линии всех полей замкнуты на себя. Общее решение уравнений затруднительно. Поэто-
2
му рассмотрим одномерный случай: оба поля будут изменяться только вдоль одной оси
(например Z ) и времени (плоское поле). Фронтом волны называют поверхность, во всех
точках которой колебания имеют одинаковую фазу. Рассматриваемая одномерная задача со

ответствует плоским электромагнитным волнам. Производные
и
обращаются в ноль.
x
y
Уравнения Максвелла примут вид:
H
E
E
H x
0 x   y ;
 0
 y
t
z
t
z
E
H y Ex
H
0 y  x ;
 0

t
z
t
z
E z
H z
0
 0;
 0
0
t
t
Из 2-х последних уравнений: Ez  E  x, y, z  , H z  H  x, y, z  . Эти уравнения описывают не зависящие от времени постоянные поля. Они нас не интересуют. Можно положить
Ez  H z  0 .Рассмотрим два уравнения:
H y
Ex

;
t
z
2H y
 2 Ex
0 2  
;
t
t z
H y
Ex
;
t
z
 2 H y  2 Ex
 0

t z
z 2
0
 0

Следовательно:
 0 0
 2 Ex  2 Ex

t 2
z 2
Исключая Ex можно получить:
 0 0
Величина
1
 0 0
   3  108
2 H y
t 2

2 H y
z 2
м
– скорость распространения электромагнитной волны
с
в вакууме. Тогда:
2
2
1  Hy  Hy
1  2 Ex  2 Ex

;

 2 t 2
z 2
 2 t 2
z 2
Полученные уравнения называют волновыми уравнениями. Простейшим решением
рассматриваемых волновых уравнений являются функции:
 

z
Ex  Em cos   t    1  , Ex  Em cos t  kz  1  ,
  

 

z
H x  H m cos   t     2  , H y  H m cos t  kz   2  ,
  

где  – частота волны, k 

– волновое число, 1 и  2 – начальные фазы. После подста
новки в уравнения:
 0
получаем:
H y
t

Ex
z
0
H y
Ex

t
z
kEm sin t  kz  1   0 H m sin t  kz   2 
kH m sin t  kz   2  =  0 Em sin t  kz  1 
3
Необходимо: 1   2
kEm  0 H m ;  0 Em  kH m ;
Перемножив:
 0 Em2  0 H m2 ;
Z0 
Em
0
= 377 Ом – волновое сопротивление вакуума.

Hm
0
Hy 
Em
cos t  kz  1 
z0
Умножив: Ex i  E , H y j  H получим уравнение плоской электромагнитной волны в векторном виде:
E  Em cos t  kz  , H  H m cos t  kz  , 1   2  0
  T 
2
– длина волны.
k
Векторы E и H образуют с направлением распространения волны правовинтовую
систему.
Плоскость, проходящая через электрический вектор E и, в данном случае, ось OZ
называется плоскостью поляризации линейно поляризованной волны.
Энергия электромагнитных волн
Электромагнитные волны переносят определенную энергию. Объемная плотность
энергии электромагнитного поля в вакууме:
 0 E 2 0 H 2
w

2
2
Поскольку  0 E  0 H , то
w   0 E 2  0 H 2   0 0 EH 
EH

,
где  – скорость электромагнитных волн в вакууме.
Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны называется вектором
Умова-Пойнтинга P (иногда вектором Пойнтинга):
P  wv   EH 
4
Вычислим энергию W , переносимую электромагнитной волной через площадку S
за время t :
V – объем параллелепипеда
V  S t cos
W  wV  EHS cos t
Следовательно, энергия, проходящая через
площадку S в единицу времени:
W
 EHS cos 
t
или
W
 Pn S
t
В случае плоской линейно поляризованной монохроматической волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси OZ, напряженность поля
E  Em cos t  kz  .
Соответственно:
w   0 Em2 cos 2 t  kz .
Значение w в каждой точке периодически колеблется. Среднее за период значение w
пропорционально квадрату амплитуды:
T
 E2
1
w   wdt  0 m .
T 0
2
Излучение электромагнитных волн
Для образования электромагнитных волн необходимо создать в пространстве быстро
изменяющееся электрическое поле (ток смещения) и соответственно быстро изменяющееся
магнитное поле. Для этого используется открытый колебательный контур.
Свободные электромагнитные волны
были впервые получены на опыте Генрихом
Герцем в 1888 году. Использовался открытый вибратор, состоящий из двух одинаковых металлических стержней, разделенных
искровым промежутком. При пробойном
значении напряжения в пробойнике проскакивает искра, замыкавшая обе половины
вибратора, и в нем возникали затухающие
электрические колебания высокой частоты.
Для обнаружения электромагнитных волн
Герц применял вибраторы различной формы:
Т – миниатюрная газоразрядная трубка. Размеры излучающего и принимающего вибраторов одинаковы, чтобы возник резонанс. По свечению газоразрядной трубки Т обнаруживались электромагнитные волны.
5
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ.
Электрический колебательный контур
1
2
t 0
t
W
qm2
2C
W
T
4
Lim2 Lq m2

2
2
В цепи, содержащей индуктивность L (катушку) и
емкость C (конденсатор), могут возникать электромагнитные колебания, при которых электрические величины (заряды, токи, электрические и магнитные поля) изменяются
периодически. Поэтому такая цепь называется колебательным контуром.
Колебания в контуре можно вызвать либо сообщив
обкладкам конденсатора некоторый начальный заряд, либо
возбудив в индуктивности ток (например, путем выключения внешнего магнитного поля, пронизывавшего витки катушки). Рассмотрим первый способ.
3
4
5
T
3T
t
t
t T
4
4
W
qm2
2C
W
Lim2 Lq m2

2
2
W
qm2
2C
2
2
m xm
mx 2
m xm
mx 2
kxm2
kx2
kx2
W
 m
W
 m
W m
W m
2
2
2
2
2
2
2
Пусть отключенный от индуктивности конденсатор присоединен к источнику напряжения. Это приводит к возникновению на обмотках разноименных зарядов +q и – q. Между
qm2
обкладками возникает электрическое поле, максимальная энергия которого равна
. После
2C
отключения от источника напряжения конденсатор емкость начнет разряжаться и в контуре
потечет Электрический ток. Энергия электрического поля будет уменьшаться, но зато будет
увеличиваться энергия возникающего магнитного поля, обусловленного током, текущим чеLi 2
рез индуктивность. Максимальное значение этой энергии m . Поскольку активное сопро2
тивление контура равно нулю, то полная энергия, слагающаяся из энергий электрического и
магнитного полей, не расходуется на нагревание проводов и будет оставаться постоянной.
Поэтому в момент, когда напряжение на конденсаторе, а, следовательно, и энергия электрического поля обращаются в нуль, энергия магнитного поля, а значит и ток достигают
наибольшего значения. В дальнейшие моменты времени магнитное поле будет исчезать, поскольку нет токов, его поддерживающих. Исчезающее поле вызовет ток самоиндукции, ко-
W
6
торый в соответствии с законом Ленца будет стремиться поддержать ток разряда конденсатора и будет, следовательно, направлен так же, как и последний. Поэтому конденсатор будет
перезаряжаться и между его пластинами появится электрическое поле противоположного, по
сравнению с начальным, направления. Затем те же процессы протекают в обратном направлении, после чего система переходит в исходное состояние. После чего весь цикл повторяется снова. В ходе процесса периодически изменяются (колеблются) заряд на обкладках,
напряжение на конденсаторе и сила тока, текущего через индуктивность. Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей. Воспроизведем сказанное на рисунке, сопоставив рассматриваемому процессу процесс колебания пружинного маятника.
Из сопоставления электромагнитных колебаний следует, что энергия электрического
q2
поля m аналогична потенциальной энергии упругой деформации, а энергия магнитного по2C
2
Li
ля m аналогична кинетической энергии. Индуктивность L аналогична массе m ; величина,
2
обратная емкости аналогична жесткости пружины k . Заряду q соответствует изменение координаты центра колеблющегося груза от положения равновесия x , а силе тока i  q – проекция скорости центра груза  x .
Собственные колебания
Гармонические колебания
Электрические колебания, происходящие под действием процессов, развивающихся в
самом колебательном контуре, получили название собственных электрических колебаний.
Рассмотренные выше колебания являются, очевидно, собственными. Рассмотрим количественно собственные колебания в контуре. Будем считать, что электрические процессы в
контуре квазистационарны. То есть мгновенное значение силы тока i одно и тоже в любом
месте контура. Поэтому мгновенные значения i силы переменного тока должны удовлетворять всем законам, установленным для постоянного тока.
Согласно закону Ома для участка цепи
1LR2 имеем:
iR  1  2   ;
где i, 1 , 2 ,  – мгновенные значения силы тока в
цепи, потенциалы на обкладках конденсатора и
алгебраические суммы ЭДС, приложенных на рассматриваемом участке цепи. Но на участке цепи
приложена только ЭДС самоиндукции
di
  L .
dt
Поэтому записанное уравнение примет вид:
di
iR  1  2  L .
dt
Если обозначить заряд первой обкладки конденсатора q , то сила тока i в цепи равна:
di
d 2q
dq

и
dt
dt
dt
Знак минус введен, потому что положительному направлению тока i, принятому при
составлении уравнения, выражающему закон Ома, соответствует убывание положительного
dq
0.
заряда первой обкладки конденсатора
dt
i
7
q
U .
C
После подстановки получим:
d 2 q R dq 1
d 2q
dq q

q  0.
L 2  R   0 , или 2 
dt
L dt LC
dt
dt C
Если сопротивление R = 0 (что соответствует рассматриваемому контуру), то:
Напряжение: 1  2 
2
d q
d 2q 1
 02 q  0 , где 0  1 .

q  0 ; или
2
2
dt
dt
LC
LC
Полученное дифференциальное уравнение описывает колебательное движение. Решением этого уравнения является функция:
q  qm sin 0t  0 
Следовательно: заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому
закону. Частота 0 называется собственной частотой контура. Для периода колебаний
2
(период связан с частотой соотношением T 
) получаем: так называемая.

T  2 LC – формула Томсона.
Разность потенциалов обкладок конденсатора   1  2 также изменяется по гармоническому закону:
q q
q
U   m sin 0t  0   U m sin 0t  0  , где U m  m
C C
C
dq


i
  qm0 cos 0t  0   qm0 sin  0t  0  
dt
2

Видно, что сила тока отстает от колебаний напряжения на обкладках конденсатора по
фазе на

. Сопоставление формул для q, U, i показывает, что когда модуль силы тока дости2
гает наибольшего значения, модули заряда и напряжения обращаются в нуль и наоборот. Это
соотношение между зарядом и током установлены ранее, основываясь на энергетических соображений. Из формул:
q
U m  m , I m  0 qm
C
1
L
Im ; Um 
Im
Следует: U m 
0C
C
L
– волновое сопротивление колебательного контура.
C
Затухающие колебания
Рассмотрим теперь реальный колебательный контур, сопротивление которого не равно нулю:
d 2 q R dq 1


q  0,
dt 2 L dt LC
1
R
 02 :
 2 ;
Введем обозначения
LC
L
2
d q
dq
 2
 02 q  0 ;
2
dt
dt
8
R2
1

решение имеет вид:
2
4 L LC
q  qme  t sin t  0  ,
При условии  2  02 , то есть при
1
R2
 2  02   2 .
где  
LC 4 L
Таким образом, при замыкании заряженного конденсатора на цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора, индуктивности и электрического сопротивления,
заряд на обкладках конденсатора совершает затухающие колебания.
R

– коэффициент затухания.
2L
Амплитуда колебаний заряда q конденсатора:
q  qme

R
t
2L
 qme  t
Напряжение между обкладками конденсатора пропорционально q:
q
U  U me  t sin t  0  , U m  m .
C
Сила тока в колебательном контуре:
R
 t  R
dq

i
 qme 2 L  sin t  0    cos t  0 
dt
 2L

Если в начальный момент:
q|t 0  q0
и ток в цепи отсутствует (i = 0), то:
qm sin 0  q0 ,
R
sin 0   cos 0  0
2L
Откуда:
1
R2
 2
 
4L
tg0 
  LC 4 L 
1 ;
R 
R
R 2C
2L
2L
q0
1
qm 
; sin 0 
;
sin 0
1  ctg 20
2
qm  q0 1  ctg 20  q0 1  2  q0 1 

4L
q0
R2
R2
C
 q0 1 
 q0

2
4L
4L
 1
R 
R 2C
 R2
 R2
4 L2 
 2
1

C
C
4L
 LC 4 L 
qm 
q0
R 2C
1
4L
Таким образом, фаза и амплитуда колебаний в контуре существенным образом зависит от
его параметров: емкости, индуктивности и сопротивления.
С увеличение сопротивления R контура период затухающих колебаний в колебательном контуре
9
T
возрастает и при R  2
2


2
1
R2
 2
LC 4 L
L
L 2
  02  процессы
обращается в бесконечность. При R  2

C
C
в колебательном контуре носят апериодичный характер. В этом случае решение имеет вид:
q  qme  i t  qme
 R
R2 1 
 

t
 2 L 4 L2 LC 


Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания  :
  ln
q t 
R
 T 
(на примере колебания заряда).
q t  T 
L
Логарифмический затухания равен обратному числу колебаний, совершаемых за
время, в течение которого амплитуда уменьшается в e  2,71 раз:

1
.
Ne
Колебательный контур характеризуется добротностью Q, которая определяется как
величина, обратно пропорциональная логарифмическому затухания:

Q   N e

Поскольку относительное изменение энергии за период:
W W t   W t  T  1  e 2 t


 1  e 2  .
W
W t 
1

W
 W
 2 ; Q   2
Eсли   1 , то:
, то есть добротность с точностью до

 W
W
множителя 2 равна отношению энергии в контуре к изменению энергии за период.

Вынужденные колебания
Для получения незатухающих электромагнитных колебаний необходимо извне подводить энергию, компенсирующую потери на ленцджоулево тепло. В этом случае мы будем
иметь дело с вынужденными электромагнитными колебаниями.
Рассмотрим случай вынужденных
электромагнитных колебаний в контуре,
происходящих под действием синусоидальной ЭДС:
   m sin t ,  m – амплитуда ЭДС,  –
циклическая частота.
Дифференциальное уравнение:
L
d 2q
dq q
 R    m sin t
2
dt
dt C
Полное решение складывается из общего решения однородного уравнения и
частного решения неоднородного уравнения.
Величина первого слагаемого этой суммы быстро убывает со временем, так как характеризует собственные затухающие колебания в контуре, поэтому вскоре после начала колебаний им
можно пренебречь. Частное решение будем искать в виде:
10
i
dq
 I m sin  t    .
dt
Следовательно:
Im
I


cos  t      m sin  t     ,


2

dq
  I m sin  t    ,
dt
d 2q


  I m cost      I m sin  t     .
2
dt
2

Подставляем в дифференциальное уравнение:

I



I m L sin  t      I m R sin t     m sin  t       m sin t .
2
C 
2

Левая часть представляет собой сумму трех гармонических колебаний одной частоты,
но имеющих разные начальные фазы. Для их сложения воспользуемся методом векторных
диаграмм.
Из рисунка видно:
1
 L
m

Im 
 m
tg  C
2
Z
R
 1

R2  
 L 
 C

q
2
 1

Z  R2 
 L 
– полное сопротивление
 C

колебательного контура; R – активное сопро1
тивление;  L – индуктивноесопротивление;
C
– емкостное сопротивления.
Амплитуда силы тока зависит не только от параметров контура R, L, C и амплитуды
вынуждающей ЭДС, но и от циклической частоты  . Независимо от величины активного
сопротивления контура амплитуда силы тока в контуре достигает максимального значения
I mMax 
0
R
при одном и том же значении  p циклической частоты вынуждающей ЭДС,
равном:
p 
1
 0 .
LC
При    p полное сопротивление контура минимально и равно его активному сопротивлению. В этом случае   0 , то есть сила тока совпадает по фазе с вынуждающей
ЭДС.
Явление резкого возрастания амплитуды силы тока в колебательном контуре
при приближении циклической частоты вынуждающей ЭДС к значению  p называется явлением резонанса в электрической
цепи, а частота  p – резонансной циклической частотой. Кривая зависимости I m от
 называется – резонансной кривой.