Решение текстовых задач - Уссурийск, 2014.

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
средняя образовательная школа № 130
с углублённым изучением отдельных предметов
г. Уссурийска Уссурийского округа
Методические рекомендации
Решение текстовых задач
работу выполнила
учитель математики
Павловская Ольга Алексеевна
2014 год
В разделе В 14 ( решение текстовых задач) единого государственного
экзамена есть задачи на проценты. Решение таких задач вызывает у учеников
определённые трудности. Данный материал поможет выпускнику успешно
подготовиться к ЕГЭ по математике. Он состоит из двух частей.
Часть первая - решение восьми типов задач на проценты.
Часть вторая – задачи для самостоятельного решения с ответами.
Часть первая - решение задач.
Задача 1. Пять рубашек дешевле куртки на 5%. На сколько процентов шесть
рубашек дороже куртки?
Решение:
Пусть x - стоимость 5 рубашек, y – одной куртки, т.к. 5 рубашек дешевле 1
куртки на 5%, тогда
1). y – 100%
x – 95%, получим 95y = 100x, x =
95
y = 0,95y стоимость 5 рубашек.
100
2). 0,95 y : 5 = 0,19y стоимость одной рубашки, т.е. одна рубашка составляет
19% от стоимости пиджака.
3). 0,19y  6 = 1,14y стоимость 6 рубашек, т.е 6 рубашек на 14% дороже
пиджака.
Ответ: 14%
Задача 2. Брюки дороже рубашки на 30% и дешевле пиджака на 22%. На
сколько процентов рубашка дешевле пиджака?
Решение:
Пусть x – стоимость брюк, y – стоимость рубашки, z – стоимость пиджака,
т. к. брюки дороже рубашки на 30% , то x = y + 0,3y с другой стороны
брюки дешевле пиджака на 22%, то x = z – 0,22z. Получили уравнение:
y + 0,3y = z – 0,22
1,3y = 0,78z
y = 0,6z, т.е. рубашка составляет 60% стоимости
пиджака или пиджак дороже рубашки на 40%.
Ответ: 40%.
Задача 3. В понедельник акции компании подорожали на некоторое число
процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В
результате они стали стоить на 16% дешевле, чем при открытии торгов в
понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в
понедельник?
Решение:
Возьмем стоимость акций в воскресенье за 1 и пусть в понедельник акции
подорожали на а%, тогда
1) 1 – 100%
x – a%, получим 100x = 1а, x =
a
=0,01a на столько акции подорожали
100
в понедельник.
2) 1 + 0.01а столько стали стоить акции в понедельник.
3) 1 + 0.01а - 100%
y
- a%, получим
y=
(1  0,01a ) a
= (1 – 0,01a) 0,01a = 0,01a – 0,0001a 2 на столько подешевели
100
акции во вторник.
4) 1 – 0,01a - 0,01a + 0,0001a 2 = 1 – 0,0001a 2 столько стали стоить акции во
вторник.
По условию задачи акции стали во вторник стоить дешевле на 16%, получим
уравнение:
1 – ( 1 – 0,0001a 2 ) = 0,16
a 2 = 1600
a =  40
Ответ: 40%.
Задача 4. Виноград содержит 90% влаги, а изюм – 5%. Сколько килограммов
винограда требуется для получения 20 кг изюма?
Решение:
1) Изюм содержит 5% влаги, тогда сухого вещества в изюме будет
100% - 5% = 95%, тогда
20кг - 100%
х - 95%, получим х =
20  95
= 19 кг сухого вещества.
100
2) Виноград содержит 90% влаги, тогда сухого вещества в винограде будет
100% - 95% = 10%, тогда
х кг - 100%
19 кг - 10%, получим х =
19  100
= 190 кг
10
Ответ: 190 кг.
Задача 5. Семья состоит из мужа, жены и их дочери – студентки. Если бы
зарплата мужа увеличилась вчетверо, общий доход семьи вырос бы на 198%.
Если бы стипендия дочери уменьшилась вчетверо, общий доход семьи
сократился бы на 3%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет
зарплата жены?
Решение:
Введем переменные:
ì  ? x

æ - ?y  100%
ä - ?z 
4x 

y  298%
z 


y
 97%
0,25 z 
z
Составим и решим систему уравнений:
x  y  z  100

4x  y  z  298
x  y  0,25z  97

 x  100  y  z

4 x  y  z  298 , составим и решим уравнение:
 x  97  y  0,25 z

100 – y – z = 97 – y – 0,25z
100 – z = 97 – 0,25z
3
z=3
4
z = 4 , выполним замену, получим систему:
 x  y  4  100

4 x  y  298
 x  96  y

4(96  y )  y  294
Решим уравнение:
384 – 4y + y = 294
384 -3y =294
y = 30
Ответ: 30%
Задача 6. В сосуд, содержащий 10 литров 24-процентного водного раствора
некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Сколько процентов составит
концентрация получившегося раствора?
Решение:
Запишем условие задачи
раствор

10 л

5л

15л
вещество
24% = 0,24
10  0,24
+
0% = 0
05
=
х% = 0,01х
15  0,01х
составим и решим уравнение: 10  0,24 + 0  5 = 15  0,01х
10  0,24 = 15  0,01х
0,15х = 2,4
х = 16
Ответ: 16%
Задача 7. Первый сплав содержит 5% меди, второй – 11% меди. Масса
второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов
получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего
сплава. Ответ дайте в килограммах.
Решение:
Запишем условие задачи:

Сплав
Вещество
х кг
5% = 0,05
0,05х

+
(х + 4) кг
11% = 0,11
0,11(х + 4)

=
(х + х + 4) кг
10% = 0.1
0.1(х + х 4)
составим и решим уравнение: 0,05х + 0,11(х + 4) = 0,1(2х + 4)
5х + 11х + 44 = 20х + 40
-4х = -4
х=1
Найдём массу третьего сплава : 1 + 1 + 4 = 6 кг
Ответ: 6 кг.
Задача 8. Смешав, 43-процентный и 89-процентный растворы кислоты и
добавив 10 кг чистой воды, получили 69- процентный раствор кислоты.
Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50- процентного раствора той же
кислоты, то получили бы 73-процентный раствор кислоты. Сколько
килограммов 43-процентного раствора использовали для получения смеси?
Решение:
первый случай
раствор
вещество

х кг
43% = 0,43 +
0,43х

у кг
89% = 0,89
0,89у
+

10 кг
0% = 0
0
=

х + у + 10
69% = 0,69
(х + у + 10)0,69
второй случай
раствор
вещество

х кг
43% = 0,43 +
0,43х

у кг
89% = 0,89
0,89у
+

10 кг
50% = 0,5
10  0,5

х + у + 10
=
73% = 0,73
(х + у + 10)0,73
составим и решим систему уравнений:
0,43õ  0,89 ó  ( õ  ó  10)0,69

0,43õ  0,89 ó  10  0,5  ( õ  ó  10)0,73
43õ  89 ó  ( õ  ó  10)  69

43õ  89 ó  5000  ( õ  ó  10)  73
 26 õ  20 ó  690

 30 õ  16 ó  230
 104 x  80 y  2760

150 x  80 y  1150
46х = 1610
х = 35
Ответ: 35 кг.
Часть вторая – задачи для самостоятельного решения с ответами.
Задача 1. Четыре рубашки дешевле куртки на 20%. На сколько процентов
шесть рубашек дороже куртки?
(Ответ: 20%)
Задача 2.Три килограмма черешни стоят столько же, сколько пять
килограммов вишни, а три килограмма вишни – столько же, сколько два
килограмма клубники. На сколько процентов килограмм клубники дешевле
килограмма черешни?
( Ответ: 10%)
Задача 3. В четверг акции компании подорожали на некоторое число
процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В
результате они стали стоить на 81% дешевле, чем при открытии торгов в
четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?
(Ответ: 90%)
Задача 4. Виноград содержит 90% влаги, а изюм – 5%. Сколько килограммов
винограда требуется для получения 82 кг изюма?
( Ответ: 779 кг)
Задача 5. Семья состоит из мужа, жены и их дочери – студентки. Если бы
зарплата мужа увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на 114%.
Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи
сократился бы на 2%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет
зарплата жены?
( Ответ: 39%)
Задача 6. В сосуд, содержащий 7 литров 15-процентного водного раствора
некоторого вещества, добавили 8 литров воды. Сколько процентов составит
концентрация получившегося раствора?
(Ответ: 7%)
Задача 7. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй – 35%
никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг,
содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава
меньше массы второго?
(Ответ: 135 кг)
Задача 8. Имеется два сосуда. Первый содержит 75 кг, а второй- 30 кг
раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то
получится раствор, содержащий 52% кислоты. Если же смешать равные
массы этих растворов, то получится, раствор, содержащий 58% кислоты.
Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
( Ответ: 33 кг)
Список использованной литературы.
1.Единый государственный экзамен. Математика. Тематический сборник
заданий. Под редакцией А.Л. Семёнова ,И.В. Ященко. ЕГЭ- 2013.
2.Математика. 30типовых вариантов заданий для подготовки к единому
государственному экзамену. ФИПИ – школьникам и учителям. Под
редакцией А.Л. Семёнова ,И.В. Ященко. ЕГЭ- 2013.
3. Математика. Типовые тестовые задания. Под редакцией А.Л. Семёнова,
И.В. Ященко. ЕГЭ- 2014.