Обложка ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССОВ ЗАРЯДКИ И РАЗРЯДКИ

Обложка
ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССОВ ЗАРЯДКИ И РАЗРЯДКИ КОНДЕНСАТОРА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕМКОСТИ
КОНДЕНСАТОРА
Учебно-методическое пособие к лабораторной работе № 3.14к
по дисциплине «Физика»
Владивосток
2013
Титул
Министерство образования и науки Российской Федерации
Дальневосточный федеральный университет
Школа естественных наук
ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССОВ ЗАРЯДКИ И РАЗРЯДКИ КОНДЕНСАТОРА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕМКОСТИ
КОНДЕНСАТОРА
Учебно-методическое пособие к лабораторной работе № 3.14к по дисциплине «Физика»
Владивосток
Дальневосточный федеральный университет
______________________________________________________
______________________________________________________
Оборот титула
УДК 53 (о76.5)
ББК 22. 343
Э41
Составитель: О.В.Плотникова
Изучение
процессов
зарядки
и
разрядки
конденсатора. Определение емкости конденсатора: учебнометодич. пособие к лабораторной работе № 3.14к по
дисциплине «Физика» / Дальневосточный федеральный
университет, Школа естественных наук [сост. О.В.Плотникова].
– Владивосток: Дальневост. федерал. ун-т, 2013. -
с.
Пособие, подготовленное на кафедре общей физики
Школы
естественных
наук
ДВФУ,
содержит
краткий
теоретический материал по теме «Электрическая емкость.
Конденсаторы» и инструктаж к выполнению лабораторной
работы
«Изучение
процессов
зарядки
и
разрядки
конденсатора. Определение емкости конденсатора» по
дисциплине «Физика».
Для студентов-бакалавров ДВФУ.
УДК 53 (о76.5)
ББК 22. 343
©ФГАОУ ВПО «ДВФУ», 2013
Концевой титул
Учебное издание
Составитель:
Плотникова Ольга Васильевна
ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССОВ ЗАРЯДКИ И РАЗРЯДКИ
КОНДЕНСАТОРА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕМКОСТИ КОНДЕНСАТОРА
Учебно-методическое пособие к лабораторной работе
№ 3.14к по дисциплине «Физика»
В авторской редакции
Компьютерная верстка
Подписано в печать
Формат 60х84/16. Усл.печ.л. Уч.-изд.л.
Тираж экз. Заказ
Дальневосточный федеральный университет
690091, г. Владивосток, ул. Суханова, 8
Отпечатано на кафедре общей физики ШЕН ДВФУ
690091, г. Владивосток, ул. Суханова, 8
Цель работы: экспериментальное подтверждение законов,
описывающие процессы разрядки и разрядки конденсатора, определение
постоянной времени электрической цепи, определение неизвестной емкости
конденсатора.
Краткая теория
1. Электроёмкость.
Проводники
–
это
вещества,
содержащие
большое
количество
свободных заряженных частиц. В металлических проводниках такими
частицами являются свободные электроны, в электролитах – положительные
и отрицательные ионы, в ионизированных газах – ионы и электроны.
Если
рассматривать
проводник,
рядом
с
которым
нет
других
проводников, то он называется уединенным. Опыт показывает, что
потенциал уединенного проводника прямо пропорционален находящемуся на
нем заряду. Отношение заряда, сообщенного проводнику, к его потенциалу
называется электроемкостью проводника (или просто емкостью):
С=
q

Таким образом, емкость определяется величиной заряда, который надо
сообщить проводнику, чтобы увеличить его потенциал на единицу.
Емкость зависит от размеров и формы проводника, от диэлектрической
проницаемости среды, от наличия рядом других проводников и не зависит ни
от заряда, ни от потенциала. Так, для уединенного проводящего шара
радиуса R емкость равна:
С = 4πεε0R. (т.к. потенциал
φ=
q
40 R
).
Здесь ε – диэлектрическая проницаемость среды, ε0 - электрическая
постоянная.  0  8,85  10 12
Кл 2
Н  м2
Единица емкости в системе СИ называется Фарадой (Ф). 1Ф = 1
2. Конденсаторы.
Кл
.
В
Емкостью обладают не только отдельные проводники, но и системы
проводников. Система, состоящая из двух проводников, разделенных слоем
диэлектрика, называется конденсатором. Проводники в этом случае
называются
обкладками
конденсатора. Заряды
на обкладках
имеют
противоположные знаки, но по модулю – одинаковы. Практически все поле
конденсатора сосредоточено между обкладками и.
Емкостью конденсатора называется величина
С=
q
,
U
(1)
где q – абсолютная величина заряда одной из обкладок, U - разность
потенциалов (напряжение) между обкладками.
В зависимости от формы обкладок, конденсаторы бывают плоскими,
сферическими, цилиндрическими.
Найдем емкость плоского конденсатора, обкладки которого имеют
площадь S, расположены на расстоянии d, а пространство между обкладками
заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε.
Если поверхностная плотность заряда на обкладках равна σ (σ=
q
), то
s
напряженность поля конденсатора (поле считается однородным) равна:
Е=
q

=
 0  0 S
Разность потенциалов между обкладками связана с напряженностью
поля: Е =
q

U
, откуда получим U=Ed =
=
Sd 0
d 0
d
Используя формулу ( 1 ), получим для емкости плоского конденсатора
выражение:
С=
 0 S
d
(2)
3. Соединение конденсаторов.
Используются два основных вида соединения: последовательное и
параллельное.
При параллельном соединении (рис 1), общая емкость батареи равна
сумме емкостей всех конденсаторов:
Собщ.= С1 +С2+С3+…=ΣСi .
(3)
При последовательном соединении (рис.2) величина, обратная общей
емкости, равна сумме величин, обратных емкостям всех конденсаторов:
1
Собщ.

i
1
1
1
1

 ... 
 .
С1 С 2
Сi
1 Ci
(4)
Если последовательно соединены n конденсаторов с одинаковой
емкостью С, то общая емкость: Собщ.=
C
n
C1
C2
C1
С2
C3
C3
Рис. 1.Параллельное соединение.
Рис. 2.Последовательное соединение
4. Энергия конденсатора.
Если
процесс
зарядки
конденсатора
является
медленным
(квазистационарным), то можно считать, что в каждый момент времени
потенциал любой из обкладок конденсатора во всех точках одинаков. При
увеличении заряда на величину dq совершается работа dA  udq , где u –
мгновенное
значение
напряжения
между
обкладками
конденсатора.
Учитывая, что dq  Cdu , получаем: dA  Cudu . Если емкость не зависит от
напряжения, то эта работа идет на увеличение энергии конденсатора.
Интегрируя данное выражение, получим:
U
W  A  C  udu 
0
1
CU 2 ,
2
где W – энергия конденсатора, U – напряжение между обкладками
заряженного конденсатора.
Используя
связь
между
зарядом,
емкостью
конденсатора
и
напряжением, можно представить выражение для энергии заряженного
конденсатора в других видах:
C
CU 2 q 2 qU
.


2
2C
2
5. Квазистационарные
(5)
токи.
Процессы
зарядки
и
разрядки
конденсатора.
При зарядке или разрядке конденсатора в цепи конденсатора течет ток.
Если изменения тока происходят очень медленно, то есть за время
установления электрического равновесия в цепи изменения токов и э.д.с.
малы, то для определения их мгновенных значений можно использовать
законы постоянного тока. Такие медленно меняющиеся токи называют
квазистационарными.
Так как скорость установления электрического равновесия велика, под
понятие квазистационарных токов подпадают и довольно быстрые в
обычном понимании процессы: переменный ток, многие электрические
колебания, используемые в радиотехнике. Квазистационарными являются и
токи зарядки или разрядки конденсатора.
Рассмотрим
электрическую
цепь,
общее
сопротивление
которой
обозначим R. Цепь содержит конденсатор емкостью C, подключенный к
источнику питания с э.д.с. ε (рис. 3).
Рис. 3. Процессы зарядки и разрядки конденсатора.
Зарядка конденсатора. Применяя к контуру εRC1ε второе правило
Кирхгофа, получим: RI U   ,
где I, U – мгновенные значения силы тока и напряжения на
конденсаторе (направление обхода контура указано стрелкой).
Учитывая, что U 
q
dq
, I  , можно привести уравнение к одной
C
dt
переменной:
dU U



 0.
dt RC RC
Введем новую переменную: u  U   . Тогда уравнение запишется:
du
1

u  0.
dt RC
Разделив переменные и проинтегрировав, получим: u  Ae

t
RC
.
Для определения постоянной А используем начальные условия:
t=0, U=0, u= - ε. Тогда получим: А= - ε. Возвращаясь к переменной
U  u  ,
получим
окончательно
для
напряжения
на
конденсаторе
выражение:
U   (1  e
С

t
RC
).
течением
(6)
времени
напряжение
на
конденсаторе
растет,
асимптотически приближаясь к э.д.с. источника (рис.4, I.).
Разрядка конденсатора. Для контура CR2C по второму правилу
Кирхгофа: RI=U. Используем также:
U 
q
C , и I   dq (ток течет в обратном направлении).
dt
Приведя к переменной U, получим:
t

dU U

 0 . Интегрируя, получим: U  Be RC .
dt RС
Постоянную интегрирования B определим из начальных условий: t=0,
U=ε. Тогда получим: В=ε.
Для напряжения на конденсаторе получим окончательно:
U  e

t
RC
.
(7)
С течением времени напряжение падает, приближаясь к 0 (рис. 4, II).
Рис. 4. Графики зарядки (I) и разрядки (II) конденсатора.
6. Постоянная времени. Характер протекания процессов зарядки и
разрядки конденсатора (установление электрического равновесия)
зависит от величины:
  RC ,
(8)
которая имеет размерность времени и называется постоянной времени
электрической цепи. Постоянная времени показывает, через какое время
после начала разрядки конденсатора напряжение уменьшается в e раз
(е=2,71).
Теория метода
Прологарифмируем выражение (7):
ln U  ln  
t
(учли, что RC=τ).

График зависимости lnU от t (линейная зависимость) выражается
прямой линией (рис.5), пересекающей ось y (lnU) в точке с координатами (0;
lnε). Угловой коэффициент К этого графика и будет определять постоянную
1
времени цепи: K   , откуда:

 
1
.
K
(9)
Рис. 5. Зависимость натурального логарифма напряжения от времени
при разрядке конденсатора
Экспериментальная установка
Установка состоит из основного блока – измерительного модуля,
имеющего клеммы для подключения дополнительных элементов, источника
питания, цифрового мультиметра и набора минимодулей с различными
значениями сопротивления и емкости (рис.6).
Рис.6. Установка для изучения процессов зарядки и разрядки
конденсатора
Для выполнения работы собирается электрическая цепь в соответствии
со
схемой,
изображенной
минимодулей
задаются
на
верхней
панели
преподавателем.
В
модуля.
клеммы
Параметры
амперметра
устанавливается перемычка. К клеммам вольтметра подключается цифровой
мультиметр в режиме вольтметра.
Следует отметить, что сопротивления резисторов заряда-разряда
(минимодулей)
R
и
цифрового
вольтметра
RV
образуют
делитель
напряжения, что приводит к тому, что фактически максимальное напряжение
на конденсаторе будет равно не ε, а U 0 
RV
,
RV  R  r0
где r0- сопротивление источника питания. Соответствующие поправки
необходимо будет вносить и при вычислении постоянной времени. Однако,
если входное сопротивление вольтметра (107Ом) значительно превышает
сопротивление резисторов, и сопротивление источника мало, то данными
поправками можно пренебречь.
Порядок выполнения работы
1.
Собрать электрическую цепь с заданными преподавателем
значениями сопротивления и емкости. Тумблер (переключатель зарядаразряда) установить в среднее положение (стоп). Переключатель предела
измерения цифрового мультиметра установить в положение «20В» (режим
измерения постоянного напряжения).
2.
Подключить модуль к сети переменного тока
(клавиша
включения на задней панели модуля) и установить выходное напряжение  ,
заданное преподавателем (6,5В-15В). Включить цифровой мультиметр.
Нажатием кнопки «Сброс» подготовить модуль к началу измерений.
3.
Тумблер перевести в положение «Заряд». При этом запускается
секундомер, и начинает меняться напряжение на конденсаторе (показания
вольтметра). Снять зависимость напряжения от времени при зарядке
конденсатора. Для этого измерять напряжение через каждые 5 с, переводя
тумблер в положение «Стоп», а затем опять в положение «Заряд». Довести
напряжение на конденсаторе до значения примерно 0,8ε. Занести данные
измерений в таблицу 1.
4.
Сбросить показания секундомера нажатием кнопки «Сброс».
Перевести тумблер в положение «Разряд» и продолжить измерение
напряжения на конденсаторе (см. п.3) при его разрядке. Занести данные в
таблицу 1.
5.
Подключить в цепь конденсатор с неизвестным значением
емкости и повторить измерения по п.п.3 и 4. Данные занести в таблицу 2.
6.
Подключить в цепь конденсатор и резистор с другими,
известными значениями сопротивления и емкости. Повторить измерения по
п.п.3, 4.Данные занести в таблицу 3.
7.
Нажать кнопку «Сброс». Выключить источник питания и
мультиметр. Отключить от сети измерительный модуль и отсоединить от
него дополнительные элементы.
Таблица 1
ε=
Зарядка
t (с)
0
В,
R1=
5
10
Ом, ,
С1=
Ф
…
U (В)
Разрядка
t (с)
U (В)
lnU
τ1±Δτ1 (с)
Таблица 2
ε=
Зарядка
t (с)
0
В,
R1=
5
10
Ом,
Сх=? Ф
…
U (В)
Разрядка
t (с)
U (В)
lnU
τх±Δτх (с)
Сх±ΔСх (Ф)
Таблица 3
ε=
Зарядка
t (с)
U (В)
Разрядка
t (с)
U (В)
lnU
τ2±Δτ2 (с)
0
В,
R2=
5
10
Ом,
…
С2 =
Ф
Обработка результатов измерения
По результатам измерений студенты выполняют одно из следующих
заданий (по указанию преподавателя).
Задание 1. Построение кривых зарядки и разрядки конденсатора и
экспериментальное подтверждение законов, описывающих данные
процессы.
Используя данные, взятые из таблиц 1 и 3, постройте графики
1.
зависимости напряжения от времени при зарядке и разрядке конденсаторов
С1и С2. Проанализируйте их, сравните с теоретическими (рис. 4).
Постройте графики разрядки конденсаторов С1и С2 в осях (lnU, t).
2.
Проанализируйте их, сравните с теоретическими (рис. 5).
Определите по графикам угловые коэффициенты К1и К2. Среднее
3.
значение углового коэффициента находится как отношение, определяющее
тангенс угла наклона прямой:
К
(ln U )
.
t
4.
Случайные погрешности графическим методом можно оценить
по отклонению опытных точек относительно проведенной прямой.
Относительная погрешность углового коэффициента может быть найдена
согласно формуле:
K 
 (ln U )
(ln U )1  (ln U ) N
 100% ,
где δ(lnU) – отклонение (в проекции на ось lnU) от прямой линии
наиболее удаленной опытной точки, (ln U )1  (ln U ) N - интервал, на котором
сделаны измерения.
5.
По значениям угловых коэффициентов определите постоянные
времени τ1 и τ2, используя формулу (9). Сравните полученные значения со
значениями постоянной времени, рассчитанными по формуле (8).
6.
Посчитайте относительные и абсолютные погрешности для
постоянной времени:     K ,     .
Сделайте выводы о соответствии экспериментальных графиков
7.
экспоненциальному виду зависимости напряжения от времени, и о влиянии
постоянной времени на протекание процессов зарядки и разрядки
конденсатора.
Задание 2. Определение неизвестной емкости конденсатора.
Используя данные, взятые из таблиц 1 и 2, постройте графики
1.
зависимости напряжения от времени при зарядке и разрядке конденсаторов
С1 и Сх. Проанализируйте их, сравните с теоретическими (рис. 4).
Постройте графики разрядки конденсаторов С1 и Сх в осях (lnU,
2.
t). Сравните их и сделайте вывод о соотношении постоянных времени (см.
рис.5).
Определите по графикам угловые коэффициенты К1и Кх и их
3.
относительные погрешности (см. п.п.3, 4 задания 1).
По значениям угловых коэффициентов определите постоянные
4.
времени τ1 и τх, используя формулу (9). Посчитайте относительные и
абсолютные погрешности для постоянных времени:     K ,     .
Используя формулу (8) и значение τх, найдите неизвестную
5.
емкость Сх.. Определите относительную и абсолютную погрешности:
 С   R 2  
х
6.
2
[
, С х  С х  С .
х
Сравните полученное значение Сх со значением, измеренным при
помощи цифрового мультиметра в режиме измерения емкости. Сделайте
вывод.
Дополнительное задание.
Рассчитайте энергию заряженного конденсатора, используя формулу (5).
Контрольные вопросы
1.
Что представляет собой конденсатор? Что называется емкостью
конденсатора?
2.
Докажите, что электрическое поле плоского конденсатора
сосредоточено между его обкладками.
2. Сколько надо взять конденсаторов емкостью 2мкФ и как их
соединить,
чтобы получить общую емкость 5 мкФ?
3.
Как можно найти энергию заряженного конденсатора?
4.
Какие токи называются квазистационарными? Почему токи
зарядки и разрядки конденсатора можно отнести к квазистационарным?
5.
По какому закону изменяется напряжение на конденсаторе в
процессах а) зарядки и б) разрядки?
6.
Что показывает постоянная времени цепи? От чего она зависит?
7.
Зачем в данной работе строится график зависимости lnU от t?
8.
Как в данной работе определяется постоянная времени
электрической цепи?
ЛИТЕРАТУРА
1.Трофимова Т.И. Курс физики. / Т.И. Трофимова. - М.: Высшая школа,
2006-2009 г. г. – 544с.
2 Савельев И.В. Курс физики. В 3-х томах. Том 2. Электричество.
Колебания и волны. Волновая оптика. Изд. 3-е, стереотип. / И.В. Савельев М.: Лань, 2007. - 480 с.
3. Грабовский Р. И. Курс физики / Р.И. Грабовский - СПб: издательство
«Лань», 2012. – 608с.
4 Зисман Г. А., Тодес О. М. Курс общей физики. В 3-х томах. Том 2.
Электричество и магнетизм / Г.А. Зисман, О.М. Тодес - СПб: «Лань», 2007. 352 c.