Олимпиада по математике(6 класс) Задача 1. Матери 47 лет, троим ее сыновьям соответственно 10,12, и 15 лет. Как скоро сумма возрастов сыновей сравняется с возрастом матери ? Сегодня мать опережает сыновей по возрасту на величину 47 - (10 +12 + 15 ) = 10 лет. Ежегодно мать становится старше на один год, а сыновья "стареют" совместными усилиями на 3 года, сокращая на 2 года прошлогодний разрыв в возрастах. Для того, чтобы "догнать" мать, сыновьям потребуется 10 : 2 = 5 лет Задача 2. Полученное число делится на 27? Какую цифру нужно приписать к числу 97 справа и слева, чтобы полученное число делилось на 27? Удвоенная неизвестная цифра дополняет сумму известных цифр числа до величины, кратной 9-ти. Сумма известных чисел - четная (16). Удвоенная неизвестная цифра (a) - также четная величина. Следовательно, сумма цифр искомого числа - четная и равна 18-ти. (2a меньше или равна 18 и сумма цифр искомого числа не больше 34-х). Итак, a = 1, искомое число - 1971 Задача 3. Сколько процентов составляет возраст сестры? Возраст брата составляет 40% от возраста сестры. Сколько процентов составляет возраст сестры от возраста брата? Примем возраст сестры за 100%. Возраст брата составит 40%. Процентное отношение возраста сестры к возрасту брата равно: (100/40) · 100% = 250%. Задача 4. Делим квадрат на три части MNPQ - квадрат со стороной 6 см, А и В - две точки на его средней линии. Ломанные МАР и МВР делят квадрат на 3 части одинаковой площади. Чему равна длина АВ ? (A)3,6см; (B) 3,8см; (C)4см; (D) 4,2см; (E)4,4см Восстановим перпендикуляры из точек А и В. Рассмотрим образовавшийся зеленый прямоугольник. Видно, что его площадь равна площади MBPA и следовательно, равна одной трети плошади большого квадрата и равна (6 · 6) : 3 = 12 кв.см. Высота зеленого прямоугольника равна 6 : 2 = 3 (см). Длина его второй стороны АВ равна 12 кв.см : 3 см = 4 см. Верен ответ (C Задача 5. Считаем варианты Сколькими способами можно расположить 4 шашки на нарисованной доске так, чтобы никакие две из них не находились в одном ряду или одной колонке? (A)64; (B) 28; (C) 16; (D) 8; (E)4. Начнем перебирать варианты по столбцам слева направо: 1. Располагаем первую шашку в первом столбце – 2 варианта (шашка может лежать или в верхней или в нижней клеточке) . 2. Располагаем вторую шашку во втором столбце – 3-1=2, (2 варианта) где 3 – высота столбца, а 1- количество уже занятых строк. 3. В третьем – 4-2=2 (аналогично). 4. В четвертом – 5-3=2 (аналогично). Итого 2*2*2*2=16. Верный ответ - (С). Задача 6. Сколько было рукопожатий? На совещание явилось 10 человек, и все они обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий? Способ 1. Каждый из 10 человек пожал руки своим коллегам. Однако произведение 10 · 9 = 10 дает удвоенное число рукопожатий (так как в этом расчете учтено, что первый пожал руку второму, а затем второй первому, на самом же деле было одно рукопожатие). Итак, число рукопожатий равно: (10 · 9) : 2 = 45. Способ 2. Первый участник совещания пожал руки 9-ти коллегам, второй - 8-ми (плюс рукопожатие с первым, которое уже учтено), третий - 7-ми и т.д. Девятый ограничился одним рукопожатием, а на долю десятого выпала пассивная роль принимать приветствия. Таким образом, общее число рукопожатий выражается суммой: N = 9+8+7+6+5+4+3+2+1 или N = 1+2+3+4+5+6+7+8+9. Сложив почленно обе суммы получаем: 2N = (9+1) + (8+2) + (7+3) + (6+4) + (5+5) + (4+6) + (3+7) + (2+8) + (1+9) = 10 · 9; N = (10 · 9) : 2 = 45 Задача7. Ищем след от плоскости Куб пересечен плоскостью. На развертке пунктиром показана часть следа этого сечения на поверхности куба. Какая фигура была в сечении? (A) правильный треугольник; (B) прямоугольник, но не квадрат; (C) прямоугольный треугольник; (D) квадрат; (E) шестиугольник. . Задача 8. Каков рост нового игрока команды? Средний рост пяти игроков баскетбольной команды - 2,04 м.После замены игрока, рост которого равен среднему, средний рост команды увеличился до до 2,08 м. Каков рост нового игрока? Способ 1. Суммарный рост 4-х игроков, оставшихся в команде, равен 2,04 · 4 = 8,16 м. Суммарный рост 5-ти игроков после замены игрока равен 2,08 · 5 = 10,4 м. Рост игрока, вошедшего в команду при замене, равен 10,4 - 8,16 = 2,24 м. Способ 2. Войдя в команду, новый игрок увеличил средний рост игроков команды на 0,04 м, в результате чего "добавка " к суммарному росту 4-х оставшихся игроков составила 0,04 · 4 = 0,16 м. Рост нового игрока равен 2,08 + 0,16 = 2.24 м. Задача9. Ищем след от плоскости Куб пересечен плоскостью. На развертке пунктиром показана часть следа этого сечения на поверхности куба. Какая фигура была в сечении? (A) правильный треугольник; (B) прямоугольник, но не квадрат; (C) прямоугольный треугольник; (D) квадрат; (E) шестиугольник. Пронумеруем грани куба и попробуем развертку снова свернуть в куб. В качестве донышка возьмем грань 1. Тогда, 2 - задняя стенка, 3 - крышка, 4 - левая боковая стенка, 5 передняя стенка, 6 - правая боковая стенка. Куб будет иметь вид, указанный на рисунке. Очевидно, в сечении куба плоскостью получается правильный треугольник. Стороны этого треугольника - диагонали квадратов - боковых граней. Верный ответ - (А).