Конспект урока «Решение иррациональных уравнений» Определение: Иррациональным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестное под знаком корня. Виды иррациональных уравнений: 1. f(x)=m, если m<0,то решения нет,если m>0,то f(x)=m2 2. уравнение равносильно системе: Пример: Решим уравнение: . Перейдем к равносильной системе: Решим первое уравнение системы и проверим, какие корни удовлетворяют неравеству. , Неравеству удовлетворяет только корень Ответ: x=1 Внимание! Если мы в процессе решения возводим обе части уравнения в квадрат, то нужно помнить, что могут появиться посторонние корни. Поэтому либо нужно переходить к равносильной системе, либо в конце решения СДЕЛАТЬ ПРОВЕРКУ: найти корни и подставить их в исходное уравнение Теорема 1. Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечётную степень приводит к уравнению, равносильному данному f ( x) g ( x) ( f ( x)) 2n1 ( g ( x)) 2 n1 Теорема 2. При возведении обеих частей уравнения в любую четную степень получается уравнение, являющееся следствием исходного, следовательно, при этом возможно появление посторонних корней. 2n 2n f ( x) ( x) f ( x) ( x) При использовании этой теоремы проверка обязательна! Если корни иррационального уравнения иррациональные числа, то проверка неудобна, и поэтому лучше решать уравнения, используя условия равносильности. Теорема 3. ( x) 0 а) 2 n f ( x) ( x) 2n f ( x) ( ( x)) f ( x) ( x) б) 2n f ( x) 2n ( x) f ( x) 0 ( x) 0 Во всех остальных случаях начинаем с условия существования корней. Пример. √5 − 𝑥 − √5 + 𝑥=2 5−𝑥 ≥0 * { 5+𝑥 ≥0 -5≤ x ≤ 5 √5 − 𝑥 =√5 + 𝑥 +2 (√5 − 𝑥)2 =(√5 + 𝑥 +2)2 5 –x = 5+x +4√5 + 𝑥 +4 4√5 + 𝑥 = -2x -4 { −2𝑥 − 4 ≥ 0 4(5 + 𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 { −5 ≤ 𝑥 ≤ −2 𝑥 2 = 16 𝑥=4 [ 𝑥 = −4 𝑥 = −4 −5 ≤ 𝑥 ≤ 5 Ответ: -4. { Домашнее задание: §5стр.193, №54, 56,58,61. Не решая уравнений, объяснить, почему каждое из них не имеет решений: а) 2 x 1 2 б) x5 x6 0 в) x 3 x 2 3 г) x 2 x 10 3 II. Задания по карточкам На карточках написаны иррациональные уравнения 12 типов. Устно объяснить методы решения этих уравнений. I тип. Уравнения, содержащие одинаковые радикалы. 1) x 2 x 3 1 2x 2) 5 x 1 3x 19 0 8 5 x x 2 16 3) Метод решения: возведение обеих частей в одинаковую степень (в квадрат). II тип. В левой части уравнения – произведение корней, а в правой – выражение с переменной или положительное число. x 1 x 4 6 1) 2) x 1 2x 6 x 3 x 2 5 x 2 3) Метод решения: возведение обеих частей уравнения в квадрат при условии, что правая часть положительна. III тип. Обе части уравнения содержат одинаковые множители. 1) ( x 3) x 2 5 x 4 2 x 6 2) ( x 1) x 2 x 2 2 x 2 3) ( x 2) 16 x 33 ( x 2)(8x 15) Метод решения: общий множитель вынести за скобки и используя условие равенства нулю произведения, решить уравнения, конечно, учитывая ОДЗ. IV тип. 1) 2) x 2 x 2 2 x 8 12 2 x 3x 2 2 x 15 3x 2 2 x 8 7 3) 3x 2 x 2 5 3x 5 9 x Метод решения: введение новой переменной. V тип. 1) x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 2 2) x 5 4 x 1 x 2 2 x 1 1 Метод решения: выделение полного квадрата в подкоренном выражении. VI тип. 2x 3 4x 1 4 Метод решения: возведение в квадрат, учитывая ОДЗ. VII тип. 1 4x x 2 x 1 Метод решения: возведение в квадрат, учитывая, что правая часть неотрицательна. VIII тип. 3 x 7 3 x 1 2 1) 3 15 2 x 3 13 2 x 4 2) Метод решения: введение новой переменной или применение формулы сокращенного умножения. IX тип. ( x 1 1) ( x 10 4) x Метод решения: иррациональное уравнение можно упростить, умножив обе части уравнения на некоторое не обращающееся в нуль сопряженное выражение. X тип. 10 x 2 2 x 1 3x 2 x 1 0 Метод решения: делим данное уравнение на x 2 0 , т.к. x = 0 не является корнем данного уравнения, затем введем новую переменную. XI тип. 2 x 2 x 1 x 2 x 2 x 2 3x 4 Метод решения: подкоренное выражение разлагаем на множители, причем один из множителей у них общий. XII тип. 3x 2 6 x 7 5 x 2 10 x 14 4 2 x x 2 Метод решения: метод оценки. III. Решение задач из части С по книге «Единый государственный экзамен» Решим следующие уравнения. С17. x 2 ( x 2 2) ( 2 x 2 1) Указание. Умножим обе части уравнения на выражение корнем данного уравнения. x 2 2 , т.к. x = 2 не является С18. 4 10 x 2 x 4 7 x 2 x 3 Указание. Используем формулу (a b) 4 a 4 b 4 4ab(a b) 2 2a 2 b 2 С29. 3 x 1 x 3 x 1 x 2 x 1 Указание. Умножим числитель и знаменатель левой части на x 2 30 x 97 8 x3 x7 Указание. Привести уравнение к виду: С58. (( x 7) 4 x 3) 2 0 3 x 1 x .