Документ 364338

2
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«РОССИЙСКИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Г.В. ПЛЕХАНОВА»
(ФГБОУ ВПО «РЭУ им. Г.В. Плеханова»)
ВОЛГОГРАДСКИЙ ФИЛИАЛ
Утверждено
на заседании Совета Волгоградского филиала
протокол № ___ от «___» ___________ 2014 г.
Директор филиала
______________________________ А.Н. Буров
Кафедра социально-гуманитарных и математических дисциплин
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
АКТУАРНЫЕ РАСЧЕТЫ
Направление подготовки 080100 «Экономика»
Квалификация (степень) выпускника БАКАЛАВР
Для контингента, переведенного из ФГБОУ ВПО "Российский государственный
торгово-экономический университет" в результате реорганизации (приказ № 1075
Министерства образования и науки РФ от 20.12.2012 г.)
Волгоград 2014
3
Рабочая программа утверждена на заседании
кафедры высшей математики и информатики
протокол № ____ от «______________ 2011 г.
Заведующий кафедрой
подпись
Е.В. Музюкова
Ф.И.О.
Одобрено советом филиала
протокол № ____ от «____» __________ 20____ г.
Председатель совета
подпись
А.Н.Буров
Ф.И.О.
Рабочая программа с дополнениями и изменениями утверждена на заседании
кафедры
протокол № ____ от «____» __________ 20____ г.
Заведующий кафедрой
подпись
Ф.И.О.
Одобрено советом филиала
протокол № ____ от «____» __________ 20____ г.
Председатель совета
подпись
А.Н.Буров
Ф.И.О.
Рабочая программа с дополнениями и изменениями утверждена на заседании
кафедры
протокол № ____ от «____» __________ 20____ г.
Заведующий кафедрой
подпись
Ф.И.О.
Одобрено советом филиала
протокол № ____ от «____» __________ 20____ г.
Председатель совета
подпись
4
Ф.И.О.
СОДЕРЖАНИЕ
ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.............................................................. 6
МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОПП ................................................................. 6
ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ................................. 6
ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ ................................................ 7
Форма обучения очная .......................................................................................................... 7
Форма обучения заочная ....................................................................................................... 7
Форма обучения заочная (сокращенная подготовка на базе среднего
профессионального образования и высшего профессионального образования)............. 8
5. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ........................................................................................ 8
5.1. Содержание разделов и тем дисциплины ............................................................................ 8
5.2. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами ........................................................................................ 10
5.3. Разделы (модули) и темы дисциплины и виды занятий ................................................... 10
5.3.1. Форма обучения очная ............................................................................................. 10
5.3.2. Форма обучения заочная.......................................................................................... 11
5.3.3. Форма обучения заочная (сокращенная подготовка на базе среднего
профессионального образования и высшего профессионального образования) . 11
6. ПЕРЕЧЕНЬ СЕМИНАРСКИХ, ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ИЛИ
ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ................................................................................................. 12
7. ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА КУРСОВЫХ ПРОЕКТОВ (РАБОТ) .................................. 30
8. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ ................................................................................................................... 30
8.1. Литература ............................................................................................................................ 30
8.2. Электронная библиотека ..................................................................................................... 30
8.3. Электронные ресурсы .......................................................................................................... 30
9. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ....................... 31
10. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ............................................................................ 31
11. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ,
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ . 31
11.1.
Оценочные средства текущего контроля ............................................................... 31
11.2.
Оценочные средства для промежуточной аттестации .......................................... 34
22.1.
Уровень требований и критерии оценок ................................................................ 43
1.
2.
3.
4.
4.1.
4.2.
4.3.
5
1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Целью учебного курса является ознакомление студентов с вероятностностатистическими принципами решения актуарных задач в рамках статической модели
страхования (модели индивидуального риска) и освоение методов расчета страховых
взносов и оптимизации параметров схем страхования.
Задачи освоения дисциплины:
 дать по возможности широкое представление об основных принципах и методах
актуарной математики и теории риска на уровне современного состояния ее теории и
практических стандартов;
 изложить математическую теорию моделирования страховых и пенсионных систем,
продемонстрировать практическое применение ее результатов для оценки риска;
 развить практические навыки решения актуарных задач.
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОПП
Дисциплина «Актуарные расчеты» (Б3.В.ДВ.2) является дисциплиной по выбору
вариативной части профессионального цикла (Б3) Федерального государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) по
направлению «Экономика».
Изучение дисциплины «Актуарные расчеты» основывается на базе знаний,
полученных студентами в ходе освоения дисциплин:
«Макроэкономика»,
«Микроэкономика» «Эконометрика», «Математический анализ», «Линейная алгебра»,
«Теория вероятностей и математическая статистика», «Финансовая математика»,
«Статистика», «Финансы» и других, изучаемых на 1-3 курсах.
Дисциплина «Актуарные расчеты» изучается в седьмом семестре очного обучения,
в восьмом – заочного и в пятом семестре – сокращенного обучения в течение одного
семестра. В семестре календарно-тематическим планом предусмотрена одна текущая
контрольная работа. В конце семестра студенты сдают зачет.
3. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В совокупности с другими дисциплинами математического и профессионального
циклов федерального государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования (ФГОС ВПО) дисциплина «Актуарные расчеты»
обеспечивает формирование следующих профессиональных компетенций бакалавра:
 способен анализировать социально-значимые проблемы и процессы, происходящие в
обществе, и прогнозировать возможное их развитие в будущем (ОК-4);
 способен собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета
экономических и социально-экономических показателей, характеризующих
деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-1);
 способен на основе типовых методик и действующей нормативно-правовой базы
рассчитать экономические и социально-экономические показатели, характеризующие
деятельность хозяйствующих субъектов, (ПК-2);
 способен выполнять необходимые для составления экономических разделов планов
расчеты, обосновывать их и представлять результаты работы в соответствии с
принятыми в организации стандартами (ПК-3);
 способен выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в
соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и
обосновать полученные выводы (ПК-5);
 способен анализировать и интерпретировать данные отечественной и зарубежной
статистики о социально-экономических процессах и явлениях, выявлять тенденции
изменения социально-экономических показателей (ПК-8);
6

способен использовать для решения аналитических и исследовательских задач
современные технические средства и информационные технологии (ПК-10);
 способен критически оценить предлагаемые варианты управленческих решений и
разработать и обосновать предложения по их совершенствованию с учетом критериев
социально-экономической эффективности, рисков и возможных социальноэкономических последствий (ПК-13).
В результате изучения дисциплины «Актуарные расчеты» студент должен:
знать основные методы вероятностного моделирования денежных потоков и
актуарных расчетов;
уметь строить аналитические модели страховых операций и применять их для
моделирования реальных процессов в страховании и пенсионном обеспечении;
осуществлять актуарные расчеты актуарных стоимостей денежных потоков, страховых
тарифов, пенсионных взносов, страховых и пенсионных резервов; применять компьютер
при решении практических проблем финансового анализа страховых операций;
владеть навыками применения современного математического инструментария
для решения финансово-экономических задач; методикой построения, анализа и
применения и интерпретации результатов анализа математических моделей страховых
сделок.
4. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы, 108 часов.
4.1. Форма обучения очная
Таблица 1
Всего часов /
Семестры
Вид
зачетных
учебной работы
7
8
единиц
54
54
0
Аудиторные занятия (всего)
лекции (Л)
20
20
0
практические занятия (ПЗ)
34
34
0
семинары (С)
0
0
0
лабораторные работы (ЛР)
0
0
0
в том числе занятия в интерактивной форме
12
12
0
54
54
0
Самостоятельная работа (СР) (всего)
курсовой проект (работа)
0
0
0
расчетно-графические работы
0
0
0
индивидуальная работа
28
28
0
подготовка к лекциям
8
8
0
подготовка к практическим и
18
18
0
лабораторным работам
Вид промежуточной аттестации
зачет
Общая трудоемкость:
часы
108
108
0
зачетные единицы
3
3
0
4.2. Форма обучения заочная
Таблица 2
Всего часов /
Семестры
Вид
зачетных
учебной работы
7
8
единиц
10
0
10
Аудиторные занятия (всего)
лекции (Л)
4
0
4
практические занятия (ПЗ)
6
0
6
7
семинары (С)
0
0
0
лабораторные работы (ЛР)
0
0
0
в том числе занятия в интерактивной форме
2
0
2
98
0
98
Самостоятельная работа (СР) (всего)
курсовой проект (работа)
0
0
0
расчетно-графические работы
0
0
0
индивидуальные домашние задания (ДЗ)
78
0
78
подготовка к лекциям
4
0
4
подготовка к практическим и
16
0
16
лабораторным работам
Вид промежуточной аттестации
зачет
Общая трудоемкость:
часы
108
0
108
зачетные единицы
3
0
3
4.3. Форма обучения заочная (сокращенная подготовка на базе среднего
профессионального образования и высшего профессионального образования)
Таблица 3
Всего часов /
Семестры
Вид
зачетных
учебной работы
5
6
единиц
8
8
0
Аудиторные занятия (всего)
лекции (Л)
4
4
0
практические занятия (ПЗ)
4
4
0
семинары (С)
0
0
0
лабораторные работы (ЛР)
0
0
0
в том числе занятия в интерактивной форме
2
0
2
100
100
0
Самостоятельная работа (СР) (всего)
курсовой проект (работа)
0
0
0
расчетно-графические работы
0
0
0
индивидуальные домашние задания (ДЗ)
80
80
0
подготовка к лекциям
4
4
0
подготовка к практическим и
16
16
0
лабораторным работам
Вид промежуточной аттестации
зачет
Общая трудоемкость:
часы
108
108
0
зачетные единицы
0
0
0
5. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
5.1. Содержание разделов и тем дисциплины
Таблица 4
№
Формируемые
Наименование темы
Содержание темы
темы
компетенции
1 Демографические
Предмет и методы актуарной
ОК-4,
основы страхования
математики. Основы математического
ПК-1, ПК-2,
жизни
анализа, теории вероятностей и
ПК-3, ПК-5,
математической статистики, основы
ПК-8, ПК-10,
финансовой математики.
ПК-13
Время жизни как случайная
величина. Функция выживания. Кривая
смертей. Интенсивность смертности.
8
Макрохарактеристики
продолжительности
жизни.
Аналитические
законы
смертности.
Остаточное время жизни. Приближения
для дробных возрастов: равномерное
распределение смертей, предположение
Балдуччи, постоянная интенсивность
смертности. Распределение остаточного
времени жизни. Основные величины,
связанные с остаточным временем
жизни. Округленное время жизни.
Распределения округленного времени
жизни.
Макрохарактеристики
остаточного времени жизни. Частичная
остаточная продолжительности жизни.
Таблицы продолжительности жизни:
общие, таблицы отбора риска, таблицы с
отбором ограниченного действия.
Страховые контракты на дожитие.
Страховые договоры с выплатами в
момент смерти. Страховые выплаты,
производимые в конце года смерти.
2
Актуарные модели
страхования жизни
3
Аннуитеты жизни
Непрерывно выплачиваемые аннуитеты.
Страховые аннуитеты с дискретными
выплатами. Страховые аннуитеты с
выплатами m раз в год.
4
Анализ моделей
краткосрочного
страхования жизни
5
Анализ моделей
долгосрочного
страхования жизни
6
Анализ индивидуальных убытков при
краткосрочном страховании жизни.
Точный расчет характеристик
суммарного ущерба. Приближенный
расчет вероятности разорения.
Принципы назначения страховых
премий.
Общая модель долгосрочного
страхования жизни. Моделирование
динамики активов страховой компании
(вероятности разорения).
Характеристики максимального
суммарного ущерба. Учет андеррайтинга.
Связь между актуарными оценками
страховых рент и страховых полисов.
Демографические предположения.
Прогнозирование будущих пенсионных
выплат и взносов. Схемы с
установленными выплатами. Схемы с
установленными взносами.
Методы
финансирования
пенсионных планов
системы социального
страхования и методы
фондирования
накопительных
пенсионных планов
Методы формирования Ретроспективный и проспективный
7
9
ОК-4,
ПК-1, ПК-2,
ПК-3, ПК-5,
ПК-8, ПК-10,
ПК-13
ОК-4,
ПК-1, ПК-2,
ПК-3, ПК-5,
ПК-8, ПК-10,
ПК-13
ОК-4,
ПК-1, ПК-2,
ПК-3, ПК-5,
ПК-8, ПК-10,
ПК-13
ОК-4,
ПК-1, ПК-2,
ПК-3, ПК-5,
ПК-8, ПК-10,
ПК-13
ОК-4,
ПК-1, ПК-2,
ПК-3, ПК-5,
ПК-8, ПК-10,
ПК-13
ОК-4,
страховых резервов
методы формирования резервов. Метод
Фэклера.
Сущность и разновидности договоров
перестрахования. Перестрахование в
модели индивидуального риска.
Пропорциональное перестрахование.
Перестрахование превышения потерь.
Учет инфляции.
9 Основы
Специфика актуарных задач в
ОК-4,
ценообразования и
имущественном страховании. Методики
ПК-1, ПК-2,
тарификации в
расчета в рисковых видах страхования.
ПК-3, ПК-5,
рисковом страховании Концепции и проблемы определения
ПК-8, ПК-10,
рисковой надбавки
ПК-13
5.2. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
Дисциплина «Актуарные расчеты» дает доступные и эффективные инструменты
решения финансовых задач для всех экономико-математических дисциплин, изучаемых в
рамках подготовки бакалавров по направлению «Экономика».
Таблица 5
Разделы (модули) дисциплины, необходимые
№
для
изучения обеспечиваемых (последующих
Наименование обеспечиваемых
п/
величин)
(последующих) дисциплин
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 Страхование
+
+
+
+
2 Государственное регулирование
+
+
+
страховой деятельности
3 Страхование жизни и здоровья
+
+
+
+
+
+
+
+
4 Страхование имущественных
+
+
+
+
+
рисков
5 Страховой менеджмент
+
+
+
+
+
6 Финансы страховых организаций
+
+
+
+
+
7 Перестрахование
+
+
+
5.3. Разделы (модули) и темы дисциплины и виды занятий
5.3.1. Форма обучения очная
Таблица 6
№
Интерак
Названия разделов и тем
Л ПЗ
С ЛР СР Всего
темы
тив
1 Демографические основы страхования
4
4
0
0
4
12
2
жизни
2 Актуарные модели страхования
2
4
0
0
6
12
0
жизни
3 Аннуитеты жизни
2
4
0
0
8
14
0
4 Анализ моделей краткосрочного
2
4
0
0
6
12
2
страхования жизни
5 Анализ моделей долгосрочного
2
4
0
0
6
12
2
страхования жизни
6 Методы финансирования пенсионных
планов системы социального
2
4
0
0
6
12
0
страхования и методы фондирования
8
Актуарные основы
перестрахования
ПК-1, ПК-2,
ПК-3, ПК-5,
ПК-8, ПК-10,
ПК-13
ОК-4,
ПК-1, ПК-2,
ПК-3, ПК-5,
ПК-8, ПК-10,
ПК-13
10
накопительных пенсионных планов
Методы формирования страховых
2
резервов
8 Актуарные основы перестрахования
2
9 Основы ценообразования и
2
тарификации в рисковом страховании
ИТОГО: 20
5.3.2. Форма обучения заочная
7
2
0
0
6
10
2
4
0
0
6
12
2
4
0
0
6
12
2
34
0
0
54
108
12
Таблица 7
Интерак
СР Всего
тив
№
Названия разделов и тем
Л ПЗ
С ЛР
темы
1 Демографические основы страхования
2
2
0
0
10
14
2
жизни
2 Актуарные модели страхования жизни 1
1
0
0
11
13
0
3 Аннуитеты жизни
1
1
0
0
11
13
0
4 Анализ моделей краткосрочного
0
1
0
0
11
12
0
страхования жизни
5 Анализ моделей долгосрочного
0
1
0
0
11
12
0
страхования жизни
6 Методы финансирования пенсионных
планов системы социального
0
0
0
0
11
11
0
страхования и методы фондирования
накопительных пенсионных планов
7 Методы формирования страховых
0
0
0
0
11
11
0
резервов
8 Актуарные основы перестрахования
0
0
0
0
11
11
0
9 Основы ценообразования и
0
0
0
0
11
11
0
тарификации в рисковом страховании
ИТОГО: 4
6
0
0
98 108
2
5.3.3. Форма обучения заочная (сокращенная подготовка на базе среднего
профессионального образования и высшего профессионального образования)
Таблица 8
№
Интерак
Названия разделов и тем
Л
ПЗ
С
ЛР СР Всего
темы
тив
1 Демографические основы
2
2
0
0
10
14
2
страхования жизни
2 Актуарные модели страхования
1
1
0
0
11
13
0
жизни
3 Аннуитеты жизни
1
1
0
0
11
13
0
4 Анализ моделей краткосрочного
0
0
0
0
12
12
0
страхования жизни
5 Анализ моделей долгосрочного
0
0
0
0
12
12
0
страхования жизни
6 Методы финансирования пенсионных
планов системы социального
0
0
0
0
11
11
0
страхования и методы фондирования
накопительных пенсионных планов
7 Методы формирования страховых
0
0
0
0
11
11
0
резервов
8 Актуарные основы перестрахования
0
0
0
0
11
11
0
9 Основы ценообразования и
0
0
0
0
11
11
0
11
тарификации в рисковом страховании
ИТОГО:
4
4
0
0
100
108
2
СЕМИНАРСКИХ,
ПРАКТИЧЕСКИХ
ЗАНЯТИЙ
ИЛИ
ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
По дисциплине «Актуарные расчеты» предусмотрено проведение практических
занятий, целью которых является закрепление теоретического материала и приобретение
навыков математической постановки практических задач с экономическим содержанием и
их решение. При постановке задач необходимо использовать нематематические
формулировки, а затем строить по ним математическую модель. Это поможет студентам
лучше воспринимать предметную область их специализации.
Таблица 9
№
Наименование
темы разделов и тем
1
2
Наименование семинаров,
практических и семинарских
занятий
Трудоемкость
(часы)
6. ПЕРЕЧЕНЬ
Демографические ПЗ1,2 Демографические основы
4
основы
страхования жизни
страхования
1. Функция
выживания.
жизни
Определение, свойства.
2. Кривая
смертей.
Интенсивность смертности.
3. Макрохарактеристики
продолжительности жизни.
4. Аналитические
законы
смертности.
5. Остаточное время жизни.
Основные
величины,
связанные с остаточным
временем жизни.
6. Округленное время жизни.
Основные
величины,
связанные с округленным
временем жизни.
7. Таблицы
продолжительности жизни.
Виды таблиц, основные
характеристики таблиц.
8. Интерполяция для дробных
возрастов:
равномерное
распределение
смертей;
постоянная интенсивность
смертности; предположение
Балдуччи.
9. Решение задач.
Литература: 1, 2, 3, 9
Актуарные
ПЗ3,4 Актуарные модели
4
модели
страхования жизни
страхования
Вопросы к теме:
12
ОС
Формируемые
компетенции
проверка
ДЗ
ОК-4,
ПК-1,
ПК-2,
ПК-3,
ПК-5,
ПК-8,
ПК-10,
ПК-13
проверка
ДЗ
ОК-4,
ПК-1,
ПК-2,
жизни
3
В чем заключается прибыль
от смертности?
2. Что собой представляют
технический
процент,
тарифная ставка?
3. Ожидаемая
текущая
стоимость
выплат
при
страховании
на
чистое
дожитие.
4. Коммутационные функции.
Определение,
их
приложение в актуарной
математике.
5. Решение задач.
Литература: 1, 2, 3, 9
Аннуитеты жизни ПЗ5,6 Аннуитеты жизни
4
Вопросы к теме:
1. Обыкновенная
и
приведенная пожизненные
ренты.
Определение,
ожидаемая
текущая
стоимость.
2. Срочные
ренты.
Определение,
ожидаемая
текущая стоимость.
3. Отложенные
ренты.
Определение,
ожидаемая
текущая стоимость.
4. Ренты,
выплачиваемые
несколько раз в год.
Непрерывные ренты.
5. Пожизненное страхование.
Ожидаемая
текущая
стоимость
выплат
пожизненного страхования.
6. Страхование жизни на срок.
Ожидаемая
текущая
стоимость выплат.
7. Страхование с выплатой в
момент смерти.
8. Накопительное страхование
с
фиксированными
взносами.
9. Какой принцип лежит в
основе
для
расчета
величины
страховых
взносов?
10. Нетто-премии
для
страхования
на
чистое
дожитие.
11. Нетто-премии
для
страхования рент.
ПК-3,
ПК-5,
ПК-8,
ПК-10,
ПК-13
1.
13
проверка
ДЗ
ОК-4,
ПК-1,
ПК-2,
ПК-3,
ПК-5,
ПК-8,
ПК-10,
ПК-13
4
Анализ моделей
краткосрочного
страхования
жизни
5
Анализ моделей
долгосрочного
страхования
жизни
12. Нетто-премии
для
страхования жизни.
13. Смешанное
(комбинированное)
страхование жизни.
14. Виды
издержек
страхования.
15. Брутто-премия.
16. Решение задач.
Литература: 1, 2, 3, 9
ПЗ7,8 Анализ моделей
4
краткосрочного страхования
жизни
Вопросы к теме:
1. В чем отличие моделей
краткосрочного
и
долгосрочного страхования
жизни?
2. Дайте определение понятий
страховая сумма, страховая
премия, защитная надбавка.
3. Сформулируйте принципы,
на
которых
базируется
модель
индивидуальных
потерь.
4. Сформулируйте
центральную предельную
теорему.
Как
она
используется при расчете
вероятности
разорения
(неразорения)
страховой
компании?
5. Каковы основные принципы
назначения
страховых
премий?
6. Решение задач.
Литература: 1, 2, 3, 9
ПЗ9,10 Анализ моделей
4
долгосрочного страхования
жизни
Вопросы к теме:
1. В
чем
отличие
долгосрочного страхования
от краткосрочного?
2. Перечислите
основные
виды
долгосрочного
страхования жизни. В чем
они заключаются?
3. Сформулируйте теорему о
дисперсии
приведенной
ценности.
4. Что называют актуарной
14
проверка
ДЗ
ОК-4,
ПК-1,
ПК-2,
ПК-3,
ПК-5,
ПК-8,
ПК-10,
ПК-13
проверка
ДЗ, КР
ОК-4,
ПК-1,
ПК-2,
ПК-3,
ПК-5,
ПК-8,
ПК-10,
ПК-13
6
7
8
9
Методы
финансирования
пенсионных
планов системы
социального
страхования и
методы
фондирования
накопительных
пенсионных
планов
Методы
формирования
страховых
резервов
приведенной
стоимостью
(ценностью)?
5. Принципы
назначения
разовых нетто-премий для
основных
непрерывных
видов
долгосрочного
страхования.
6. Решение задач.
Литература: 1, 2, 3, 9
ПЗ11,12 Модели пенсионных
4
выплат
Вопросы к теме:
1. Специальные
виды
контрактов,
часто
встречающиеся
практике
страхования жизни.
2. Типы пенсионных планов.
3. Решение задач.
Литература: 1, 2, 3, 9
ПЗ13 Страховые резервы
2
Вопросы к теме:
1. Пояснить
понятие
страхового резерва.
2. Рекуррентные формулы для
резервов.
3. Решение задач
Литература: 1, 2, 3, 9
Актуарные
ПЗ14,15 Перестрахование
4
основы
Вопросы к теме:
перестрахования 1. В
чем
сущность
перестрахования?
2. Что называют пределом
удержания?
3. Какие существуют виды
договоров перестрахования?
4. Решение задач.
Литература: 1, 2, 3, 9
Основы
ПЗ16,17 Основы рискового
4
ценообразования страхования
и тарификации в Вопросы к теме:
рисковом
1. Специфика актуарных задач
страховании
в
имущественном
страховании.
2. Анализ
поведения
страховщика на страховом
рынке.
3. Концепции
и
проблемы
определения
рисковой
надбавки.
4. Специфика актуарных задач
автотранспортного
15
ОК-4,
ПК-1,
ПК-2,
ПК-3,
ПК-5,
ПК-8,
ПК-10,
ПК-13
ОК-4,
ПК-1,
ПК-2,
ПК-3,
ПК-5,
ПК-8,
ПК-10,
ПК-13
ОК-4,
ПК-1,
ПК-2,
ПК-3,
ПК-5,
ПК-8,
ПК-10,
ПК-13
проверка
ДЗ, КР
ОК-4,
ПК-1,
ПК-2,
ПК-3,
ПК-5,
ПК-8,
ПК-10,
ПК-13
страхования.
5. Решение задач.
Литература: 1, 2, 3, 9
Демографические основы страхования жизни
Пример 1. Используя таблицу смертности, вычислить вероятность для тридцатилетнего
мужчины не дожить до 60 лет.
Решение.
Вероятность для человека возраста x лет умереть в течение ближайших t лет
равна
t qx
l x  l x t
.
lx
Тогда искомая вероятность
30 q 30 
l30  l60 91419  50246

 0,45038 .
l30
91419
Пример 2. Рассмотрим семейную пару, в которой жене 30 лет, а мужу 37 лет. Какова
вероятность того, что они проживут еще по крайней мере 30 лет?
Решение.
Искомая вероятность представляет собой произведение вероятностей событий
«жена проживет по крайней мере 30 лет» и «муж проживет по крайней мере 30 лет».
Тогда
ж
м
30 p30 30 p37 
ж
м
l60
l67
80460 34501



 0,335 .
ж
м
96253 86197
l30
l37
Пример 3. Функция выживания задана формулой s x   1 
x
, 0  x  100 . Найти:
100
a)
интенсивность смертности в возрасте 30 лет;
b)
вероятность того, что человек возраста 40 лет умрет в возрасте от 60 до 65 лет.
Решение.
a)
Интенсивность смертности равна
x  
Тогда
x  
30 
s x 

sx 
sx 
.
s x 
1
1
 1 


;

2100  x 
x  100 
x
2 1
1
100
100
1
1
 0,00714 .
2100  30 
b)
Вероятность того, что человек возраста x лет проживет еще t лет, но умрет на
протяжении u последующих лет, равна
t u qx

s x  t   s x  t  u 
.
s x 
Тогда искомая вероятность равна
16
1  60
 1  65
s60   s65
100
100  0,053 .


s40 
1  40
100
20 5 q40
 x  1  cos
Пример 4. Интенсивность смертности имеет вид

100
x . Найти функцию
выживания sx  .
Решение.
Функция выживания через интенсивность смертности определяется по формуле
 x


s x   exp   u du  .


 0


Тогда
x
 x

  
100



s x   exp  1  cos
u du  exp  u 
sin
u 

 

100 

100 0 

 0

100
 

 exp  x 
sin
x .

100 


Пример 5. Кривая смертей имеет вид f  x   Ae

x
2
. Найти:
a)
функцию выживания sx  ;
b)
дисперсию времени жизни DT .
Решение.
a)
Найдем неизвестный коэффициент А из условия

 f x dx  1.
0


 f xdx  A e
0

x
2 dx 
x 

 2 Ae 2
0
 2A 
1
A .
2
0
Функция выживания
s x  


x
b)

u 
u

1 2
f u du 
e du   e 2
2

x
e

x
2.
x
Дисперсия времени жизни вычисляется по формуле
DT  ET 2  ET 2 .



ET  xf x dx  sx dx  e

0

0


x
2 dx 
 2e
0

x 
2
0
17
 2.



0
0
ET  x f  x dx  2 xs  x dx  2 xe

2

2
0
 4 xe

x 
2
0
2


4 e

x
2 dx 

8e
0

x 
2

x
2 dx 
интегрируем по частям 
 8.
0
DT  ET  ET   8  2  4 .
2
2
Пример 6. Найти вероятность того, что 50-летний мужчина проживет еще полгода после
своего дня рождения при предположении:
a)
равномерного распределения смертей;
b)
Балдуччи.
Решение.
a)
В предположении равномерного распределения смертей искомая вероятность равна
1
2
p50 
s50,5 0,5s50   0,5s51 l50  l51
.


s50 
s50 
2l50
Используя данные таблицы смертности, получим
1
2
b)
1
2
p50 
70354  68353
 0,98578 .
2  70354
В предположении Балдуччи искомая вероятность равна
p50 
p50
1  q50
s50,5
s51
.



s50   p50  0,5q50   s50   p50  0,5q50  1  0,5q50
Используя данные таблицы смертности, получим
1
2
p50 
1  0,028442
 0,98557 .
1  0,5  0,028442
7.
Используя таблицу смертности, вычислить:
a)
Вероятность того, что 20-летняя женщина доживет до 70 лет.
b)
Вероятность того, что 25-летний мужчина умрет в возрасте от 40 до 45 лет.
c)
Вероятность того, что 25-летний мужчина не умрет в возрасте от 40 до 45 лет.
d)
Вероятность того, что 35-летний мужчина умрет в возрасте до 50 лет.
8.
Рассмотрим двух мужчин в возрасте 30 и 40 лет и 35-летнюю женщину. Найти
вероятность того, что 30-летний мужчина и женщина, прожив 20 лет, умрут в течение
следующих 10 лет, а 40-летний мужчина не умрет на протяжении тех же 10 лет.
9.
30% людей из числа умирающих в возрасте от 25 до 75 л6т умирают, не достигнув
50 лет. Вероятность того, что 25-летний умрет, не достигнув 50 лет, равна 15%. Найти
25 p50 .
10.
Используя данные таблицы смертности, и предполагая равномерное распределение
смертей в течение года найти:
a)
Вероятность того, что 30-летний мужчина проживет 10 лет, но умрет в течение
следующих трех месяцев.
b)
Вероятность того, что женщина после выхода на пенсию умрет на протяжении двух
месяцев.
11.
a)
b)
Кривая смертей имеет вид f  x   Ae

x
3
функцию выживания sx  ;
дисперсию времени жизни DT .
18
. Найти:
 a
, 0  x  ,

12.
Кривая смертей имеет вид f  x    1  x 3
Найти функцию
 0 ,
x  0.
выживания sx  .
13.
Интенсивность смертности задана формулой  x  0,001x . Найти функцию
выживания s 50  .
1
14.
Функция выживания задана формулой s  x  
. Найти вероятность смерти
1  x 2
человека в возрасте 39 лет в течение ближайших 10 лет.
15.
Время жизни некоторого конкретного человека в возрасте 25 лет описывается
законом де Муавра с предельным возрастом   100 лет. Найти вероятность того, что
этот человек проживет еще по крайней мере 25 лет.
16.
Функция выживания задана формулой sx   e
. Найти вероятность того, что
человек в возрасте 30 лет проживет еще по крайней мере 20 лет.
 x2
Модели страхования жизни
Пример 1. Известно, что l50  70354 , l51  68353 , l52  66246 , эффективная годовая
процентная ставка i  16% . Возраст человека на момент заключения договора 50 лет.
Найти актуарную современную стоимость трехлетней временной пожизненной ренты,
выплачиваемой раз в год в начале года в размере 50000 рублей.
Решение.
Актуарная современная стоимость временной пожизненной ренты, выплачиваемой
раз в год в начале года для суммы в одну денежную единицу равна
ax:n 


1
l x  vl x 1  v 2l x  2    v n1l x  n 1 ,
lx
1
– коэффициент дисконтирования.
1 i
Тогда искомая величина, обозначим ее P , равна
P  50000  a50:3 .
где v 
a50:3 
1
l
50

 vl51  v 2l52  2,5373194 .
l50
P  50000  2,5373194  126866 .
Пример 2. Родители семилетней девочки оформляют договор на оплату высшего
образования ребенка, по достижению им 18 лет. Срок обучения 5 лет, стоимость 90000
рублей в год. Эффективная процентная ставка i  5% . Найти стоимость полиса.
Решение.
Стоимость полиса равна
P  90000 11 a7:5 ,
Где
11
a7:5 – актуарная современная стоимость отложенной временной пожизненной
ренты, выплачиваемой раз в год в начале года для суммы в одну денежную единицу.
19
N x  m  N x  m n
– отложенная на m лет временная пожизненная рента для
Dx
человека возраста x лет, выраженная через коммутационные числа N x и Dx (эти числа
m
ax:n 
находят по таблице коммутационных чисел).
N18  N 23 772493 ,4  588600 ,4

 2,63991 .
D7
69658 ,85
P  90000  2,63991  237592 .
7:5 
Тогда 11 a
Пример 3. Мужчина в возрасте 45 лет покупает за 120000 рублей пожизненную ренту
(пенсию), выплаты которой начинаются с возраста 65 лет. Эффективная процентная
ставка i  5% . Найти величину ежегодных выплат.
Решение.
Величина ежегодных выплат, обозначим ее S , равна
S
120000
.


a
45
20
N m x
– актуарная современная стоимость отложенной пожизненной ренты,
Dx
выраженная через коммутационные числа N x и Dx (эти числа находят по таблице
x 
ma
коммутационных чисел).
N 65 13273,4

 1,541106407 .
D45 8612,903
120000
S
 77866 .
1,541106407
45 
20 a
Пример 4. Мужчина в возрасте 50 лет приобрел пожизненный страховой полис, по
которому в случае его смерти наследники должны получить 100000 рублей. Эффективная
процентная ставка i  5% . Найти стоимость полиса.
Решение.
Стоимость полиса, обозначим ее P , равна
P  100000  A50 .
Ax 
M
i
i
Ax 
 x – ожидаемая текущая стоимость страховых выплат,
ln 1  i 
ln 1  i  Dx
осуществляемых в момент смерти, для пожизненного страхования.
0,05 M 50
0,05 2888,06



 0,4824142 .
ln 1,05 D50 ln 1,05 6135,131
P  100000  0,4824142  48241 .
A50 
Пример 5. Мужчина в возрасте 60 лет приобрел пожизненную ренту с выплатой 40000
рублей в конце каждого года. Эффективная процентная ставка i  5% . Найти стоимость
полиса.
Решение.
Стоимость полиса, обозначим ее P , равна
P  40000  a60 .
20
N x 1
– актуарная современная стоимость пожизненной ренты, выраженная через
Dx
коммутационные числа N x и Dx (эти числа находят по таблице коммутационных чисел).
N
21749 ,14
a60  61 
 8,0853445 .
D60 2689,946
P  40000  8,0853445  323414 .
ax 
Пример 6. Страхователь в возрасте 40 лет заключил договор, согласно которому, начиная
с 65 лет, пожизненно будет выплачиваться пенсия в размере 50000 рублей в начале
каждого года. Эффективная процентная ставка i  5% . Найти величину годовых взносов,
которые будут уплачиваться страхователем с 40 до 65 лет.
Решение.
Искомая величина годовых взносов, обозначим ее P , равна
P  50000 25 P40  50000 
Где m Px 
m
ax
ax:m

25
a40
a40:25
.
N xm
– величина ежегодного взноса, рассчитанная на сумму в
N x  N xm
одну условную единицу.
P  50000 
25
a40
a40:25
 50000 
N 65
13273,74
 50000 
 4573 .
N 40  N 65
158412 ,7  13273,74
Пример 7. Мужчина в возрасте 40 лет покупает за 100000 рублей пожизненную ренту
(пенсию), выплаты которой начинаются с возраста 65 лет. Эффективная процентная
ставка i  5% . Найти величину ежегодных выплат.
Решение.
Искомая величина ежегодных выплат равна
100000
,


a
25 40
N xm
– актуарная современная стоимость пожизненной отложенной ренты.
Dx
N
13273,74
40  65 
 1,1212198 .
25 a
D40 11838,66
100000
Тогда величина ежегодных выплат равна
 89189 .
1,1212198
x 
где m a
Пример 8. Страхователь (женщина) в возрасте 47 лет заключил пожизненный договор
страхования с условием ежегодной уплаты взносов, пока он жив. Страховая сумма
составляет 150000 рублей, эффективная процентная ставка i  5% . Найти величину
годовых взносов.
Решение.
Искомая величина годовых взносов равна 150000  P 47 ,
где P x 
M
Ax
i

 x – величина годового взноса с единичной страховой суммы.
ax ln 1  i  N x
21
A47
0,05 M 47
0,05
2661,98




 0,019817921 .
a47 ln 1,05 N 47 ln 1,05 137652 ,6
Величина годовых взносов тогда равна 150000  0,019817921  2973 .
P 47 
Пример 9. Родители пятилетнего мальчика приобрели полис по оплате получения
ребенком высшего образования по достижению им 18 лет. Срок обучения 5 лет, стоимость
110000 рублей в год. Эффективная процентная ставка i  5% . Найти величину
ежегодных взносов.
Решение.
Искомая величина ежегодных взносов равна 110000 13 P5:5 ,
p x
ax:n
где p  x Px:n 
ax: p  x
срочной ренты.
18 5 P5:5 
18 5
a5:5
a5:18 5


N p  N pn
Nx  N p
– величина ежегодного взноса для отложенной
N18  N 23 690374 ,2  509368 ,8

 0,24112873 .
N 5  N18 1441033  690374 ,2
Тогда величина ежегодных взносов равна 110000  0,24112873  26524 .
10.
Женщина в возрасте 40 лет приобрела пожизненную страховую ренту,
предусматривающую ежегодные выплаты в размере 50000 рублей, начиная с возраста 55
лет. Эффективная процентная ставка i  5% . Найти стоимость полиса.
11.
Женщина в возрасте 25 лет покупает страховую ренту с ежемесячными страховыми
выплатами в размере 500 д.е., начиная с возраста 55 лет. Она намеревается оплатить
стоимость полиса посредством ежегодных премий, уплачиваемых в начале каждого года в
течение 20 лет. Найти величину ежегодных нетто-премий, если эффективная процентная
ставка i  5% .
12.
Мужчина в возрасте 30 лет приобрел полис пожизненного страхования в размере
200000 рублей, с выплатой в конце года смерти. Стоимость полиса он будет оплачивать
посредством серии платежей в начале каждого года в течение всей своей жизни. Найти
размер ежегодных взносов.
13.
Мужчина в возрасте 55 лет заключил договор страхования. Найти актуарную
современную стоимость пятилетней временной пожизненной ренты, выплачиваемой раз в
год в конце года в размере 30000 рублей. Эффективная годовая процентная ставка
i  15% .
14.
Мужчина в возрасте 37 лет покупает за 100000 рублей пожизненную ренту
(пенсию), выплаты которой начинаются с возраста 65 лет. Эффективная процентная
ставка i  5% . Найти величину ежемесячных выплат.
15.
Женщина в возрасте 39 лет приобрела пожизненный страховой полис, по которому
в случае ее смерти наследники должны получить 100000 рублей. Эффективная процентная
ставка i  5% . Найти стоимость полиса.
16.
Родители шестилетней девочки приобрели полис по оплате получения ребенком
высшего образования по достижению им 18 лет. Срок обучения 5 лет, стоимость 100000
рублей в год. Эффективная процентная ставка i  5% . Найти величину ежемесячных
взносов.
17.
Страхователь (мужчина) в возрасте 51 года заключил договор страхования жизни
сроком на 9 лет (норма доходности – 5%). Найти ежегодную нетто-ставку в процентах
(%).
22
18.
Страхователь (женщина) в возрасте 45 лет заключил договор страхования на
дожитие сроком на 10 лет (норма доходности – 5%, страховая сумма – 80000 руб.). Найти
величину ежегодных взносов.
19.
Мужчина в возрасте 44 лет заключил договор смешанного страхования жизни
сроком на 6 лет (норма доходности – 5%, страховая сумма – 60000 руб.). Найти величину
ежегодных взносов.
Анализ моделей краткосрочного страхования жизни
Пример 1. Предположим, что в компании застраховано N = 3000 человек с вероятностью
смерти в течение года q  0,3% . Компания выплачивает сумму b = 250000 руб. в случае
смерти застрахованного в течение года и не платит ничего, если этот человек доживет до
конца года. Определите величину активов, достаточную, чтобы обеспечить вероятность
разорения порядка 5%.
Решение.
Примем размер страховой суммы в качестве новой денежной единицы.
Прежде всего, мы должны подсчитать среднее значение и дисперсию суммарного ущерба
S.
ES  NE  3000  0.003  9,
DS  ND  3000  0,997  0.003  9.
Поэтому
 S  ES u  ES 
 S  ES u  9 
u 9
P ( S  u )  P


  P
  
.
3 
DS 
 3 
 DS
 DS
u 9
Если мы хотим, чтобы вероятность разорения была 5%, величина
должна
3
быть равной x0,95 = 1,645, т.е. u  3  1,645  9  13,935 (от величины страхового
пособия) или в абсолютных цифрах около 3 483 750 руб.
Пример 2. Предположим, что страховая компания заключила N = 10000 договоров
страхования жизни сроком на один год на следующих условиях: в случае смерти
застрахованного в течение года от несчастного случая компания выплачивает
наследникам 1000000 руб., а в случае смерти в течение года от естественных причин
компания выплачивает наследникам 250000 руб. Компания не платит ничего, если
застрахованный не умрет в течение года. Вероятность смерти от несчастного случая одна
и та же для всех застрахованных и равна 0.0005. Вероятность смерти от естественных
причин зависит от возраста. В первом приближении можно разбить N застрахованных на
две возрастные группы, содержащие N1 = 4000 и N 2 = 6000 человек с вероятностью
смерти в течение года q1 = 0.004 и q2 = 0.002 соответственно.
Подсчитайте величину премии, гарантирующую вероятность выполнения
компанией своих обязательств, равную 95%.
Решение.
Примем сумму 250 000 руб. в качестве единицы измерения денежных сумм. Тогда
для первой группы договоров индивидуальный убыток принимает три значения: 0, 1 и 4 с
вероятностями 0.9955, 0.0040 и 0.0005 соответственно:
0
1
4
0,9955
0,004
0,0005
Среднее значение и дисперсия величины индивидуального убытка для первой группы
застрахованных есть
23
m1  1  0,004  4  0,0005  0,006 ,
 12  12  0,004  4 2  0,0005  m12  0,012 .
Для второй группы договоров индивидуальный убыток принимает те же три
значения 0,1 и 4, но с другими вероятностями: 0,9975, 0,002 и 0,0005:
0
1
4
0,9975
0,002
0,0005
В этой группе среднее значение и дисперсия индивидуального убытка есть
m2  1  0,002  4  0,0005  0,004
 22  12  0,002  4 2  0,0005  m22  0,01.
Среднее значение и дисперсия суммарного убытка равны:
ES  N1  m1  N 2  m2  4000  0,006  6000  0,004  48,
DS  N1   12  N 2   22  4000  0,012  6000  0,01  108.
Для того, чтобы гарантировать 95% вероятность неразорения, резервный фонд компании
должен быть равен ES  l  48  l , где добавочная сумма l определяется по формуле
l  x0,95  DS
и в нашем случае будет равна
l  1,645  108 
Рассмотрим теперь вопрос о назначении индивидуальных премий.
I. Если добавочная сумма l делится пропорционально нетто-премиям, то в соответствии с
(6.5.3) относительная страховая надбавка  одна и та же для всех договоров и равна
l

 35.6%.
ES
Поэтому для договоров из первой группы премия равна
p1  m1  (1   )  0.00814  2034 руб.
Для договоров из второй группы премия равна
p2  m2  (1   )  0,00542  1356 руб.
II. Если добавочная сумма l делится пропорционально дисперсиям, то коэффициент
пропорциональности k есть
k
l
 15,8%.
DS
Поэтому для договоров из первой группы страховая надбавка равна
l1  k   12  0,001899 ,
так что премия есть
p1  m1  l1  0,007899  1975 руб.
а относительная страховая надбавка
1 
l1
 31.7%.
m1
Для договоров из второй группы страховая надбавка равна
l2  k   22  0,001583 ,
так что премия есть
p2  m2  l2  0,005583  1396 руб.
а относительная страховая надбавка
24
2 
l2
 39,6%.
m2
III. Если добавочная сумма l делится пропорционально средним квдратическим
отклонением (они равны  1  0,1095 для договоров первой группы и  2  0,1 для
договоров второй группы), то коэффициент пропорциональности k есть
k
l
 0,0165 .
N1 1  N 2 2
Поэтому для договоров из первой группы страховая надбавка равна
l1  k   1  0,001804 ,
так что премия есть
p1  m1  l1  0,007804  1951 руб.
а относительная страховая надбавка
1 
l1
 30%.
m1
Для договоров из второй группы страховая надбавка равна
l2  k   2  0,001647 ,
так что премия есть
p2  m2  l2  0,005647  1412 руб.
а относительная страховая надбавка
2 
l2
 41%.
m2
Итак, изменение принципа назначения индивидуальных премий приводит к уменьшению
относительной
страховой
надбавки
для
договоров
первой
группы:
1  35,6%, 31,7%, 30%.
Соответственно для договоров второй группы относительная защитная надбавка
увеличивается:  2  35,6%, 39,6%, 41% . Это связано с тем, что коэффициент рассеяния
суммарного ущерба есть
DS
 1  1,25,
ES
в то время как для договоров первой (второй) группы он равен
12 / m1  1  1
(соответственно  22 / m2  1  1.5 ). Коэффициент вариации величины индивидуального
убытка для договоров первой группы есть
c1   1 / m1  18.26,
а для договоров второй группы он равен
c2   2 / m2  25.
Средний коэффициент вариации, усредненный по всему портфелю с весами E j / ES , есть
N 1 m1
N m
 c2  2 2
ES
ES
24
24 c  c
 c1   c2   1 2  21.63.
48
48
2
Пример 3. Страховая компания предлагает договоры страхования жизни на один год.
Информация относительно структуры покрытия приведена в следующей таблице:
Страховая сумма
Причина смерти
Вероятность
c  c1 
25
500 000
Обычная
0,1
1 000 000
Несчастный случай
0,01
Относительная защитная надбавка равна 20%.
Предположим, что отдельные полисы независимы и страховщик использует
нормальное приближение для распределения суммарных выплат.
Сколько договоров должен продать страховщик, чтобы собранная премия с
вероятностью 95% покрывала суммарные выплаты?
Решение.
Пусть N – общее число проданных договоров. X k – выплаты по k -му договору,
S  X 1  ...  X N – суммарные выплаты по всему портфелю,  – относительная
защитная надбавка, так что премия по одному договору равна p  (1   ) EX k .
По условию, P( S  Np)  0,95 . С другой стороны,

  EX k
 S  ES Np  ES 
 Np  ES 
P( S  Np)  P

  Ф
 Ф N
DS 
DS 
DX k
 DS

Поэтому
N
где
x0,95
–
квантиль
  EX k
 x0,95  1,645 ,
VarX k
порядка

.


0,95
стандартного
нормального
(гауссовского)
распределения.
Отсюда для искомого числа договоров имеем:
x  DX k .
N  20,95
2
  EX k 
2
Поскольку для индивидуального договора,
EX  500 000  0,10  1000 000  0,1  60 000 ,
EX 2  500 000 2  0,10  1 000 000 2  0,01  35  10 9 ,
DX  314  108 , искомое число договоров равно 590.
Пример 4. Компания ABC предполагает организовать групповое страхование жизни для
своих сотрудников. Структура персонала приведена в следующее таблице:
Профессиональный
Число
Страховая сумма
Вероятность
класс
сотрудников
смерти
1
100
1
0,1
2
100
1
0,2
3
200
2
0,1
4
200
2
0,2
Компания ABC предполагает внести в страховой фонд сумму, равную ожидаемым
выплатам страховых возмещений.
Каждый сотрудник, в свою очередь, должен будет внести сумму, равную
определенной доле  от размера ожидаемой выплаты. Размер этой доли определяется
таким образом, чтобы с вероятностью 95% средств страхового фонда хватило для
выплаты страховых возмещений.
Определите размер взноса для работников четвертого профессионального класса.
Решение.
Пусть q – вероятность смерти сотрудника, SA – размер страховой суммы.
Поскольку индивидуальные потери по договору принимают только два значения: 0 с
26
вероятностью 1  q и SA с вероятностью q , среднее значение индивидуальных потерь
есть EX  q  SA, а дисперсия – DX  q1  q   SA .
Предполагая независимость времен жизни сотрудников компании, можно подсчитать
среднее и дисперсию суммарных выплат для каждого профессионального класса. Для
этого нужно среднее (соответственно дисперсию) индивидуальных потерь умножить на
число работников в классе:
2
ES   N  EX
DS   N  DX .
Результаты расчетов поместим в таблицу:
Класс
Число
SA
Сотрудников
1
100
1
2
100
1
3
200
2
4
200
2
q
EX
DX
ES 
DS 
0,1
0,2
0,1
0,2
0,1
0,2
0,2
0,4
0,09
0,16
0,36
0,64
10
20
40
80
9
16
72
128
Чтобы получить среднее значение (дисперсию) суммарных выплат S для всего
портфеля, нужно сложить средние (дисперсии) суммарных потерь для всех четырех
профессиональных классов, так что
ES  150 ,
DS  225 .
Размер страхового фонда равен u  ES    ES . По условию, должно быть верно
равенство
P(S  u)  0,95 ,
или, что то же самое,
 S  ES u  ES 
P

  0,95 .
DS 
 DS
Применяя гауссовское приближение для центрированной и нормированной
величины общих выплат, мы имеем:
u  ES
 x0,95 .
DS
В рассматриваемой ситуации это равенство примет вид:
  0,1x0,95  0,1645 .
Соответственно защитная надбавка для работников четвертого профессионального
класса равна 0,1645  0,4  0,0658 . Иначе говоря,   6,58% .
5.
Предположим, что в компании застраховано N = 1000 человек с вероятностью
q  0,4%
смерти в течение года
. Компания выплачивает сумму b = 350000 руб. в случае
смерти застрахованного в течение года и не платит ничего, если этот человек доживет до
конца года. Определите величину активов, достаточную, чтобы обеспечить вероятность
разорения порядка 5%.
6.
Страховая компания предлагает договоры страхования жизни на один год.
Информация относительно структуры покрытия приведена в следующей таблице:
Страховая сумма
Причина смерти
Вероятность
100 000
Обычная
0,1
1 000 000
Несчастный случай
0,02
Относительная защитная надбавка равна 25%.
Предположим, что отдельные полисы независимы и страховщик использует
нормальное приближение для распределения суммарных выплат.
27
Сколько договоров должен продать страховщик, чтобы собранная премия с
вероятностью 95% покрывала суммарные выплаты?
7.
Компания «Продо» предполагает организовать групповое страхование жизни для
своих сотрудников. Структура персонала приведена в следующее таблице:
Профессиональный
Число
Страховая сумма
Вероятность
класс
сотрудников
смерти
1
50
1
0,1
2
50
1
0,2
3
100
2
0,1
4
100
2
0,2
Компания предполагает внести в страховой фонд сумму, равную ожидаемым выплатам
страховых возмещений.
Каждый сотрудник, в свою очередь, должен будет внести сумму, равную
определенной доле  от размера ожидаемой выплаты. Размер этой доли определяется
таким образом, чтобы с вероятностью 95% средств страхового фонда хватило для
выплаты страховых возмещений.
Определите размер взноса для работников второго профессионального класса.
Анализ моделей долгосрочного страхования жизни
Пример 1. Предположим, что продолжительность жизни описывается моделью де Муавра
с предельным возрастом 120 лет, а эффективная годовая процентная ставка равна 15%.
Подсчитайте нетто-премии для человека в возрасте 40 лет, если заключается договор:
а) пожизненного страхования;
б) 5-летнего смешанного страхования жизни;
в) пожизненного страхования, отсроченного на 2 года;
г) пожизненного страхования с непрерывно увеличивающейся страховой суммой.
Решение.
Как мы знаем, остаточное время жизни застрахованного имеет равномерное
распределение на промежутке (0,   x)  (0,80) , значит, функция плотности имеет вид:
1
, 0  t  80 .
80
Интенсивность процентов   ln(1  i)  13,9762 % , коэффициент дисконтирования
v  1/(1  i)  86,9565 % . После этих предварительных замечаний приступим к
f 40 (t ) 
расчетам:
а) для пожизненного страхования имеем
1
1  v 80
A40   v
dt 
 8,944 % .
80
80

0
80
t
б) для смешанного 5-летнего страхования
80
1
1  v 80
5 1
 v
dt  v  dt 
 51,107 % .
80
80
80

0
5
5
A40 : 5
t
в) для пожизненного, отсроченного на 2 года
80
2
A40   v t
2
1
v 2  v 80
dt 
 6,763 % .
80
80
г) для пожизненного, с непрерывно увеличивающейся страховой суммой
1
1  (1  80 )v 80
  tv
dt 
 63,982 % .
80
80 2
0
80
( I A ) 40
t
28
Пример 2. Страховая компания заключила 10000 договоров пожизненного страхования.
Предположим, что остаточное время жизни каждого из застрахованных характеризуется
интенсивностью смертность   0,04 , которая не меняется с течением времени, а
интенсивность процентов   6% .
Подсчитайте величину премии, которая гарантировала бы 95% вероятность
выполнения компанией своих обязательств.
Решение.
Подсчитаем
вначале
нетто-премию.
В
соответствии
с
формулой

Ax   v f x (t )dt 
1
t
0
v
x

v
s ( x)
t
f (t )dt , где f x (t ) – плотность остаточного времени
x
жизни. Поскольку нам известна интенсивность смертности, то мы можем найти функцию
выживания
s x (t )  e  t ,
что, в свою очередь, дает формулу для плотности f x (t ) :
f x (t )  e  t .
Теперь мы можем подсчитать нетто-премию:

Ax   e  (    )t dt 
0
Второй момент
EZ x2  2Ax 

 

 
 0,4 .
 0,25 ,
следовательно, дисперсия
DZ x  0,25  0,16  0,09 .
Теперь относительная страховая надбавка равна:
  x
DZ x
Ax N
 1,645 
0,09
 1,23375 % .
0,4 10000
Соответственно премия есть
p  Ax (1   )  40,4935 % .
Напомним, что величина страховой суммы b используется нами в качестве
единицы измерения денежных сумм, так что, если, например, b  100000 рублей, то
p  40493,5 рубля.
2.
Предположим, что продолжительность жизни описывается моделью де Муавра с
предельным возрастом 100 лет, а эффективная годовая процентная ставка равна 11%.
Подсчитайте нетто-премии для человека в возрасте 37 лет, если заключается договор:
а) пожизненного страхования;
б) 7-летнего смешанного страхования жизни;
в) пожизненного страхования, отсроченного на 3 года;
г) пожизненного страхования с непрерывно увеличивающейся страховой суммой.
3.
Страховая компания заключила 40000 договоров пожизненного страхования.
Предположим, что остаточное время жизни каждого из застрахованных характеризуется
интенсивностью смертность   0,04 , которая не меняется с течением времени, а
интенсивность процентов   8% .
Подсчитайте величину премии, которая гарантировала бы 95% вероятность
выполнения компанией своих обязательств.
29
7. ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА КУРСОВЫХ ПРОЕКТОВ (РАБОТ)
По данной дисциплине курсовых проектов (работ) не предусматривается.
8. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ
И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ
8.1. Литература
Базовая
1. Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учеб. для вузов / Е.М. Четыркин.-9-е изд.М.: Дело, 2010.-397с.
2. Издание 2-е, перераб. и доп. – М.: Анкил, 2007. – 262 с.
Основная
3. Годин А.М. Страхование: Практикум / А.М. Годин, С.Р. Демидов, С.В. Фрумина.-М.:
Дашков и К, 2011-196 с.
4. Годин А.М. Страхование: Учеб. для вузов / А.М. Годин, С.В. Фрумина.-М.: Дашков и
К, 2009.-480 с.
Дополнительная
5. Страхование: Учебник / Российский экономический университет имени Г.В.
Плеханова; Под ред. проф. И.П. Хоминич. - М.: Магистр: ИНФРА-М, 2011. - 624 с.
6. Страховая математика: практический курс: Учебное пособие / Е.К. Самаров. - М.:
Альфа-М: ИНФРА-М, 2009. - 80 с.
Рекомендуемая
7. Фалин Г.И. Математические основы теории страхования жизни и пенсионных схем. –
8. Фалин Г.И., Фалин А.И. Актуарная математика в задачах. – 2-е изд., перераб. и доп. –
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 192 с.
9. Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании. – М.: Российский
юридический издательский дом, 1994.
10. Бауэрс Н., Гербер Х., Джонс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика.
Перев. с англ. / Под ред. В.К.Малиновского. – М.: Янус-К, 2001. – 656 с.
11. Гербер Х. Математика страхования жизни: Пер. с англ. – М.: Мир, 1995. – 156 с.
12. Мак Т. Математика рискового страхования / Пер. с нем. – М.: ЗАО «Олимп-Бизнес»,
2005. – 432 с.
13. Фалин Г.И., Фалин А.И. Введение в актуарную математику. – М.: Изд-во Моск. унта, 1994.
14. Рябикин В.И., Тихомиров С.Н., Баскаков В.Н. Страхование и актуарные расчеты. –
М.: Экономистъ, 2006. – 459 с.
15. Касимов Ю.Ф. Введение в актуарную математику (страхования жизни и пенсионных
схем) – М.: Анкил, 2001. – 176 с.
8.2. Электронная библиотека
1. Методические указания и задачи к практическим занятиям для студентов очной и
заочной форм обучения.
2. Методические указания по выполнению контрольных работ для студентов заочной
формы обучения.
3. Педагогические контрольные материалы (тесты, контрольные задания, вопросы для
самопроверки).
8.3. Электронные ресурсы
1. http://www.edu.ru/ – единое окно доступа к образовательным ресурсам России;
2. http://www.libs.ru – библиотеки России;
3. http://www.nlr.ru – Российская национальная библиотека;
4. http://lib.rin.ru – электронная библиотека RIN.RU;
5. http://www.public.ru – электронная библиотека СМИ.
30
9. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Технические средства
Персональный компьютер
Мультимедийное оборудование
Компьютерные программы
Пакет прикладных программ MS Office (Microsoft Word, Microsoft Excel)
Тестирующая система TESTER
Коммуникационные средства
Наличие локальной сети
Наличие доступа в Интернет
10. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
В соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки 080100
«Экономика» реализуется компетентностный подход, предусматривающий использование
в учебном процессе активных и интерактивных форм проведения учебных занятий.
Для реализации предусмотренных видов учебной работы в качестве
образовательных технологий используются информационные технологии:
 традиционные образовательные технологии (информационная лекция, практическое
занятие, лабораторная работа);
 технологии проблемного обучения (проблемная лекция, практическое занятие в форме
практикума, практическое занятие на основе кейс-метода);
 игровые технологии (деловая игра, ролевая игра);
 технологии проектного обучения (исследовательский, творческий, информационный
проекты);
 интерактивные технологии (лекция «обратной связи», семинар-дискуссия);
 информационно-коммуникационные
образовательные
технологии
(лекция–
визуализация, практическое занятие в форме презентации).
11. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ,
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ
АТТЕСТАЦИИ
ПО
ИТОГАМ
ОСВОЕНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ
11.1.Оценочные средства текущего контроля
Важную роль в процессе подготовки специалиста экономического профиля играет
самостоятельная работа студентов, так как именно практика, самостоятельная
деятельность играют первостепенную роль в формировании необходимых умений и
навыков работы.
К каждому практическому занятию выдается индивидуальное домашнее задание,
рассчитанное на обязательную и систематическую работу с теоретическим материалом и
проверяемое по окончании изучения темы.
Защита студентов, не ориентирующихся в выполненной домашней или
контрольной работе (независимо от ее качества), признается неудовлетворительной.
Образец домашнего задания «Демографические основы страхования жизни»
Задача 1. Найдите все значения параметров a и b, при которых
n1
( x  0)
f ( x)  axnebx
может рассматриваться как кривая смертей. Определите вид соответствующей

функции выживания s ( x ) и интенсивности смертности x . Постройте графики функций
f ( x) , s ( x) ,  x .
Задача 2. Найдите все значения параметров a и b, при которых
1
s( x)  n
( x  0)
ax  b
31
может рассматриваться как функция выживания.
Определите вид
соответствующей кривой смертей и интенсивности смертности. Постройте графики
функций f ( x) , s ( x ) ,  x .
Задача 3. Используя таблицы продолжительности жизни, найдите для человека в
возрасте 20+n лет вероятность
а) прожить еще, по крайней мере, 1 год;
б) умереть в течение ближайших n лет.
в) дожить до 50+n лет;
г) дожить до 45+n лет, но умереть в течение следующих n лет.
Задача 4. Предположим, что смертность описывается законом

x
, если 0  x  110  n,
n2 1 
s ( x)  
110  n

0,
если
x  110  n.

Подсчитайте:
а) вероятность того, что человек в возрасте 50+n лет умрет в течение ближайшего
года;
б) вероятность того, что человек в возрасте 40+n лет доживет до 50+n лет;
в) среднее остаточное время жизни человека в возрасте 50+n лет.
Задача 5. Используя таблицы продолжительности жизни, подсчитайте вероятность
того, что человек в возрасте 60+n лет умрет в возрасте от 60 +n +0.5 лет до 60+n+1.5 лет в
предположении:
а) о равномерном распределении смертей;
б) о постоянной интенсивности смертности;
в) Балдуччи.
Найти интегральную характеристику момента смерти внутри года смерти (среднее
условное остаточное время жизни) a(60  n)  E (T (60  n) | T (60  n)  1) в предположении
a), б), в), а также, используя только таблицы продолжительности жизни.
Контрольная работа и методические указания по ее выполнению
Защита студентов, не ориентирующихся в выполненной контрольной работе
(независимо от ее качества), признается неудовлетворительной.
а1 – количество гласных букв в имени студента;
а2 – количество согласных букв в имени студента;
а3 – сумма букв в фамилии студента.
Задача 1. Найти вероятность для (30+ а1)-летнего страхователя:
1. дожить, по крайней мере, до 60 лет;
2. умереть до достижения возраста 50 лет;
3. умереть в возрасте от 45 до 50 лет;
4. прожить ещё (а2+1) месяцев, пользуясь интерполяцией таблиц смертности
дробных возрастов с помощью гипотезы о линейности функции дожития;
5. прожить ещё (а2+1) месяцев, пользуясь интерполяцией таблиц смертности
дробных возрастов с помощью гипотезы о постоянстве силы смертности;
6. прожить ещё (а2+1) месяцев, пользуясь интерполяцией таблиц смертности
дробных возрастов с помощью гипотезы Балдуччи;
7. найти среднюю округленную (I) и полную (II) продолжительность
оставшейся жизни;
8. найти вероятность того, что страхователь умрет в течение последующих
5 лет, исходя из закона смертности де Муавра с предельным возрастом
32
100 лет. Сравните полученный результат с вероятностью, рассчитанной по
таблице смертности (I) / функции дожития (II).
Для расчётов воспользоваться:
I. таблицей смертности России за (2011-а3) год:
Если а1 – четное, страхователь – мужчина,
а1 – нечетное, страхователь – женщина.
II. функцией дожития вида:
x
S  1
, 0  x  100 .
100
Задача 2. Найти и сравнить единовременную и ежегодную премии по договорам
страхования для (30+а2)-летнего страхователя на сумму 10000·(а1+1) у.е.:
1. на случай смерти на срок 5 лет (выплаты в конце года смерти);
2. на дожитие на срок 5 лет;
3. смешанного страхования на срок 5 лет (выплаты в конце года смерти).
Решить задачи с использованием:
I. коммутационных функций для эффективной годовой процентной ставки i = 4,5%, (для
расчётов воспользоваться таблицей смертности России за любой год);
II. при интенсивности процентов δ = 10,5%.
Если а1 – четное, страхователь – мужчина,
а1 – нечетное, страхователь – женщина.
III. с использованием функции дожития вида:
x
S  1
, 0  x  100 ,
100
при эффективной учетной ставке d = 10%.
Задача 3. Пусть портфель страховой компании состоит из пяти одинаковых договоров
страхования: в случае смерти страхователя в течение года страховщик
выплачивает его наследникам 250000 руб. и не платит ничего, если
страхователь доживет до конца года. Используя формулу Бернулли, построить
распределение суммарного иска. Вероятность смерти в течение года принять
равной 0,1+0,01а1. Чему равна нетто-премия? Какова должна быть страховая
премия, чтобы вероятность разорения не превосходила 10%?
Задача 4. Страховая компания заключила 5000+100а1 договоров 3-летнего страхования
жизни и 10000+100а2 договоров 3-летнего смешанного страхования жизни.
Возраст страхователей 25+а1 лет. Процентная ставка равна (5+0,5а2)%.
Используя таблицы продолжительности жизни, подсчитать нетто-премии для
указанных видов страхования. Каковы должны быть страховые премии, чтобы
вероятность разорения не превосходила 5%? Чему равна относительная
страховая надбавка?
Задача 5. Имущество ценой (а1+1) млн. у.е. застраховано от пожара сроком на 1 год.
Вероятность страхового случая оценена в (а2+1) %. При пожаре величина
ущерба распределена равномерно. Страховщик предложил 5 возможных
вариантов договора:
1. полная защита;
2. пропорциональная защита с ответственностью страховщика (40+5а2) % от
ущерба;
3. страхование по правилу первого риска со страховой суммой (50+3а1) % от
цены объекта;
4. безусловная франшиза (10+а1) % от цены объекта;
33
5. условная франшиза (20+а2) % от цены объекта.
Страхователь выбрал договор № а2 (или (а2–5), если а2>5).
Проанализировать выбранный договор: найти характеристики размера ущерба
страховщика (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое
отклонение, коэффициент вариации).
11.2.Оценочные средства для промежуточной аттестации
1. Время жизни как случайная величина.
2. Свойства функции выживания.
3. Кривая смертей, интенсивность смертности. Свойства.
4. Аналитические законы смертности (Мэйкхама, Вейбулла, Гомперца).
5. Макрохарактеристики продолжительности жизни.
6. Остаточное время жизни. Распределение остаточного времени жизни.
7. Основные величины, связанные с остаточным временем жизни.
8. Округленное время жизни. Распределения округленного времени жизни.
9. Приближения для дробных возрастов (равномерное, постоянная интенсивность
смертности, Балдуччи).
10. Макрохарактеристики остаточного времени жизни.
11. Частичная остаточная продолжительности жизни.
12. Анализ индивидуальных убытков при краткосрочном страховании жизни.
13. Приближенный расчет вероятности разорения.
14. Принципы назначения страховых премий.
15. Общая модель долгосрочного страхования жизни.
16. Теорема о дисперсии приведенной ценности.
17. Связь между непрерывными и дискретными видами страхования.
18. Перестрахование: сущность и разновидности договоров перестрахования.
19. Пропорциональное перестрахование. Перестрахование превышения потерь.
20. Пожизненные ренты, выплачиваемые раз в год.
21. Пожизненные ренты, выплачиваемые с частотой p .
22. Периодические нетто-премии.
Тестовые вопросы
№
1.
Условие
Нормально
распределенная
плотностью
2.
f  x  
1
2 
случайная
e

4
.
4
0,1
2
0,3
Математическое ожидание E 2  1 равно
p
4.

 x 12
Параметры
распределения a и  равны
Случайная величина  задана рядом распределения

3.
величина
1
0,6
Варианты
ответов
задана (а) 1 и 2
(б)  1 и 2
этого (в) 1 и 2
(г)  1и 2
(а)  3
(б) 1,6
(в) 0,6
(г) 0,8
Контрольную работу по теории вероятностей успешно выполняют в (а)  0,019
среднем 70% студентов. Вероятность того, что из 200 студентов (б)  0,027
работу успешно выполнят, 150 равна
(в)  0,036
(г)  0,051
Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. В данном (а) 1  e 5
34
5.
6.
7.
интервале времени любой абонент независимо от остальных может (б) e 5
сделать вызов с вероятностью 0,005. Тогда вероятность того, что за
5
(в) 1  e
это время будет сделано не менее одного вызова, равна
5
(г) 2e
Случайная величина  задана рядом распределения
(а) 5
(б) 5,16

0
3
2
(в) 5,24
p
0,5
0,1
0,4
(г) 8,16
Дисперсия D3    равна
Функция выживания sx   PT  x  – это вероятность того, что
1)
человек доживет до возраста x
2)
человек в возрасте T лет проживет по крайней мере x лет
3)
человек умрет на протяжении x лет
4)
человек доживет до T лет и умрет на протяжении следующих
x лет.
Функция выживания sx   PT  x  через функцию плотности
f  x  определяется по формуле
1)
2)
3)
4)
s x  
sx  
sx  
sx  
x
 f u du
(а) 1
(б) 2
(в) 3
(г) 3
(а) 1
(б) 2
(в) 3
(г) 4
0
x
 f u du


 f u du
x
x T
 f u du
x
8.
Функция выживания sx   PT  x 
смертности  x определяется по формуле
через
интенсивность (а) 1
(б) 2
(в) 3
(г) 4
x

s x   exp u du 
1)


0

x


s x   exp   u du 
2)


 0

x



s x   exp   u du 
3)


 

 

s x   exp u du 
4)


 x

Интенсивность смертности  x в модели Гомперца приближается (а) 1




9.
(б) 2
формулой
35
1)
2)
3)
4)
10.
2)
3)
4)
11.
12.
 x  A  Bex
 x  Bex
1
x 
x
Функцией
функция
1)
(в) 3
(г) 4
 x  kx n
выживания
sx   PT  x 
s x   e x
s x   e  x
s x   1  e x
s x   1  e  x
является
следующая (а) 1
(б) 2
(в) 3
(г) 4
Функцией выживания sx   PT  x  с предельным возрастом
является следующая функция
1)
s x   1 
2)
s x  
3)
s x  
4)
s x  
 (а) 1
x

1
x
x

1

x
Интенсивность смертности
 x через функцию выживания sx  и (а) 1
плотность f  x  определяется по формуле
1)
2)
3)
4)
13.
14.
(б) 2
(в) 3
(г) 4
s x 
f x 
s x 
x  1 
f x 
f x 
x 
s x 
f x 
x 
1  s x 
x 
 с
, 0  x  ,

Функция f  x    1  x 2
является кривой смертей,

x  0.
 0,
если неизвестный коэффициент с равен
сx 2 e  x3 , 0  x  ,
Функция f  x   
является кривой смертей,
 0 ,
x  0.
если неизвестный коэффициент с равен
36
(б) 2
(в) 3
(г) 4
(а) 1
(б) 2
(в) 3
(г) 4
(а) 1
(б) 2
(в) 3
(г) 4
15.
Интенсивность
смертности
задана
Функция выживания s 45  равна
формулой
 x  0,002 x . (а) e 2,025
(б) e
(в) e
(г) e
16.
Функция
выживания
задана
формулой
s x   1 
x
(а)
,
110 (б)
0  x  110 . Вероятность того, что человек в возрасте 30 лет
проживет еще по крайней мере 15 лет, равна
(в)
(г)
17.
18.
19.
20.
21.
Функция
выживания
задана
формулой
s x   1 
3, 025
1, 025
13
4
13
5
15
4
15
5
(а) 0,0799
x
, (б) 0,0112
110 (в) 0,0434
0  x  110 . Вероятность того, что человек в возрасте 40 лет (г) 0,0689
проживет еще 20 лет и умрет на протяжении последующих 5 лет,
равна
(а) 0,5
1
Функция выживания задана формулой s  x  
.
Вероятность
(б) 0,36
1  x 2
(в) 0,4
смерти человека в возрасте 39 лет в течение ближайших 10 лет (г) 0,46
равна
(а) 0,16
1
Функция выживания задана формулой s  x  
.
Вероятность
(б) 0,26
1  x 2
(в) 0,2
того, что человек в возрасте 19 лет проживет еще по крайней мере (г) 0,1
30 лет, равна
(а) 0,0596
1
Функция выживания задана формулой s  x  
.
Вероятность
(б) 0,0186
1  x 2
(в) 0,0676
того, что человек в возрасте 49 лет умрет в течение ближайшего (г) 0,0396
года, равна
1025
 x2
Функция выживания задана формулой sx   e
. Вероятность (а) e
1125
того, что человек в возрасте 30 лет проживет еще по крайней мере (б) e
925
15 лет, равна
(в) e
(г) e
22.
0, 025
1100
Время жизни некоторого конкретного человека в возрасте 35 лет (а) 8
13
описывается законом де Муавра с предельным возрастом   100
5
лет. Вероятность того, что этот человек проживет еще по крайней (б) 13
мере 25 лет, равна
1
(в) 13
9
(г) 13
23.
Время жизни некоторого конкретного человека в возрасте 20 лет (а) 1
7
описывается законом де Муавра с предельным возрастом   90
5
лет. Вероятность смерти этого человека в течение ближайших 20 (б) 7
лет равна
(в) 72
(г) 74
37
24.
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
Время жизни некоторого конкретного человека в возрасте 55 лет
описывается законом де Муавра с предельным возрастом   80
лет. Вероятность того, что этот человек проживет еще 5 лет и умрет
на протяжении последующих 10 лет, равна
Страхователь (женщина) в возрасте 45 лет заключил договор
страхования жизни сроком на 5 лет (норма доходности – 5%,
страховая сумма – 40000 руб., доля нагрузки – 11%). Ежегодная
брутто-премия, вычисленная через коммутационные числа, равна
Страхователь (мужчина) в возрасте 42 лет заключил договор
страхования на дожитие сроком на 7 лет (норма доходности – 5%,
страховая сумма – 45000 руб., доля нагрузки – 10%). Ежегодная
брутто-премия, вычисленная через коммутационные числа, равна
Страхователь (мужчина) в возрасте 40 лет заключил договор
страхования жизни сроком на 10 лет (норма доходности – 5%,
страховая сумма – 60000 руб., доля нагрузки – 9%). Единовременная
брутто-премия, вычисленная через коммутационные числа, равна
Страхователь (женщина) в возрасте 34 лет заключил договор
пожизненного страхования жизни (норма доходности – 5%,
страховая сумма – 100000 руб., доля нагрузки – 9%). Ежегодная
брутто-премия, вычисленная через коммутационные числа, равна
Страхователь (мужчина) в возрасте 39 лет заключил договор по
смешанному страхованию сроком на 4 года (норма доходности –
5%, страховая сумма – 70000 руб., доля нагрузки – 9%). Ежегодная
брутто-премия, вычисленная через коммутационные числа, равна
Страхователь (мужчина) в возрасте 42 лет заключил договор
страхования жизни сроком на 2 года (норма доходности – 5%,
страховая сумма – 50000 руб., доля нагрузки – 10%). Ежегодная
брутто-премия, вычисленная через коммутационные числа, равна
Страхователь (мужчина) в возрасте 40 лет заключил договор
пожизненного страхования жизни
(норма доходности – 5%,
страховая сумма – 80000 руб., доля нагрузки – 15%). Ежегодная
брутто-премия, вычисленная через коммутационные числа, равна
Страхователь (женщина) в возрасте 40 лет заключил договор
смешанного страхования жизни сроком на 6 лет (норма доходности
– 5%, страховая сумма – 70000 руб.). Ежегодная нетто-премия,
вычисленная через коммутационные числа, равна
Страхователь (мужчина) в возрасте 52 лет заключил договор
страхования на дожитие сроком на 8 лет (норма доходности – 5%,
страховая сумма – 70000 руб., доля нагрузки – 4%). Ежегодная
брутто-премия, вычисленная через коммутационные числа, равна
Страхователь (женщина) в возрасте 32 года заключил договор
страхования жизни сроком на 10 лет (норма доходности – 5%).
Ежегодная нетто-ставка в процентах (%), вычисленная через
коммутационные числа, равна
Время жизни описывается моделью де Муавра с предельным
возрастом   90 лет, а эффективная процентная ставка i  15% .
Человек в возрасте 50 лет заключил договор пожизненного
страхования жизни. Нетто-ставка для этого человека в процентах
(%) равна
Время жизни описывается моделью де Муавра с предельным
возрастом   80 лет, а эффективная процентная ставка i  15% .
Человек в возрасте 55 лет заключил договор страхования жизни
38
(а) 0,4
(б) 0,2
(в) 0,5
(г) 0,7
(а) 189
(б) 214
(в) 228
(г) 239
(а) 5119
(б) 5424
(в) 5931
(г) 6140
(а) 3193
(б) 5444
(в) 7837
(г) 9158
(а) 1126
(б) 1549
(в) 2391
(г) 2703
(а) 1126
(б) 1549
(в) 2391
(г) 2703
(а) 521
(б) 790
(в) 932
(г) 1130
(а) 1934
(б) 2105
(в) 2309
(г) 2552
(а) 3421
(б) 5979
(в) 7351
(г) 9919
(а) 5250
(б) 5703
(в) 6141
(г) 6529
(а) 0,238175
(б) 0,341926
(в) 0,411102
(г) 0,465497
(а) 17,82
(б) 20,32
(в) 25,32
(г) 15,32
(а) 4,497
(б) 5,497
(в) 3,497
37
38
39
40
41
42
43
сроком на 5 лет. Нетто-ставка для этого человека в процентах (%)
равна
Время жизни описывается моделью де Муавра с предельным
возрастом   80 лет, а эффективная процентная ставка i  15% .
Человек в возрасте 40 лет заключил договор смешанного
страхования жизни сроком на 10 лет. Нетто-ставка для этого
человека в процентах (%) равна
Время жизни описывается моделью де Муавра с предельным
возрастом   100 лет, а эффективная процентная ставка i  15% .
Человек в возрасте 60 лет заключил договор пожизненного
страхования, отсроченного на 5 лет. Нетто-ставка для этого
человека в процентах (%) равна
Страхователь заключил договор пожизненного страхования со
страховой суммой 200000 руб. Остаточное время жизни этого
человека характеризуется постоянной интенсивностью смертности
  0,03 , а интенсивность процентов   7% . Нетто-премия для
этого человека равна
Страхователь заключил договор пожизненного страхования,
отсроченного на 7 лет, со страховой суммой 100000 руб. Остаточное
время жизни этого человека характеризуется постоянной
интенсивностью смертности   0,02 , а интенсивность процентов
  10% . Нетто-ставка для этого человека равна
(г) 6,497
(а) 26,99
(б) 20,99
(в) 15,99
(г) 30,99
(а) 5,55
(б) 3,53
(в) 4,24
(г) 8,11
(а) 50000
(б) 60000
(в) 20000
(г) 30000
0,84
(а) e 6
0,34
(б) e 6
0,84
(в) e 8
0,34
(г) e 8
(а) 12962,95
(б) 13962,95
(в) 14962,95
(г)15962,95
Страхователь заключил договор пожизненного страхования со
страховой суммой 70000 руб. Остаточное время жизни этого
человека характеризуется постоянной интенсивностью смертности
  0,025 , а интенсивность процентов   11% . Нетто-премия
для этого человека равна
Страхователь заключил договор пожизненного страхования,
e 0,35
(а)
отсроченного на 5 лет, со страховой суммой 300000 руб. Остаточное
5
время жизни этого человека характеризуется постоянной

0
e ,35
(б)
6
интенсивностью смертности   0,01 , а интенсивность процентов

0
,35
  9% . Нетто-ставка для этого человека равна
(в) e 4
0,35
(г) e 7
Страхователь заключил договор страхования жизни на два года с (а) 440000
выплатой 1000000 в конце года смерти. Остаточное время жизни (б) 685000
(в) 583400
  t 2 
описывается законом t p x  exp      , процентная ставка (г) 236000
 2 


i  5% . Нетто-премия для этого человека
44
Страхователь заключил договор страхования жизни на два года с (а) 53907
выплатой 70000 в конце года смерти. Остаточное время жизни (б) 55907
(в) 65907
  t 2 
описывается законом t p x  exp  
  , процентная ставка (г) 63907
  1,5  


i  5% . Нетто-премия для этого человека
39
45
46
47
48
49
50
l45  92232 , l46  91783 , l47  91302 ,
Известно,
что
эффективная годовая процентная ставка i  14% . Возраст человека
на момент заключения договора 45 лет. Актуарная современная
стоимость
трехлетней
временной
пожизненной
ренты,
выплачиваемой раз в год в начале года в размере 70000 рублей,
равна
l42  86999 , l43  86182 , l44  85310 ,
Известно,
что
(а) 188995
(б) 128895
(в) 138895
(г) 168895
(а) 16876
(б) 178776
l45  84379 , эффективная годовая процентная ставка i  11% . (в) 161776
Возраст человека на момент заключения договора 42 лет. Актуарная (г) 198776
современная стоимость трехлетней временной пожизненной ренты,
выплачиваемой раз в год в конце года в размере 50000 рублей,
равна
Родители одиннадцатилетнего ребенка (девочка) оформляют (а) 99584
договор на оплату высшего образования ребенка, по достижению (б) 116320
им 18 лет. Срок обучения 5 лет, стоимость 47000 рублей в год. (в) 130794
(г) 151040
Эффективная процентная ставка i  5% . Стоимость полиса равна
Мужчина в возрасте 45 лет покупает за 200000 рублей (а) 65930
пожизненную ренту (пенсию), выплаты которой начинаются с (б) 70485
возраста 60 лет. Эффективная процентная ставка i  5% . Величина (в) 75791
(г) 80141
ежегодных выплат равна
Женщина в возрасте 40 лет приобрела пожизненный страховой (а) 15120
полис, по которому в случае ее смерти наследники должны (б) 19431
получить 100000 рублей. Эффективная процентная ставка i  5% . (в) 22921
(г) 27540
Стоимость полиса равна
Страхователь (мужчина) в возрасте 45 лет заключил договор, (а) 5344
согласно которому, начиная с 65 лет, пожизненно будет (б) 7150
выплачиваться пенсия в размере 50000 рублей в начале каждого (в) 8965
года. Эффективная процентная ставка i  5% . Величина годовых (г) 9540
взносов, которые будут уплачиваться страхователем с 45 до 65 лет,
равна
Ключи к тестам для самоконтроля
№ теста
1
2
3
4
5
№ ответа г
в
а
а
б
6
а
7
в
8
б
9
в
10
б
11
а
12
в
13
а
14
в
15
а
№ теста
№ ответа
16
а
17
в
18
б
19
а
20
г
21
б
22
а
23
в
24
а
25
г
26
б
27
в
28
а
29
а
30
б
№ теста
№ ответа
31
г
32
г
33
в
34
а
35
а
36
а
37
г
38
б
39
б
40
а
41
а
42
г
43
в
44
а
45
а
№ теста
№ ответа
46
в
47
г
48
б
49
в
50
б
Образец и решение типового варианта теста
Вариант №***
40
1.Кривая
смертей
задана
 xe  x , 0  x  ,
.
f x   
0
,
x

0
.

формулой
выживания s19  равна
1)
2)
3)
4)
Функция
19e 19
20e 19
21e 19
19e19
Функция выживания sx 
определяется по формуле
Решение.
через функцию плотности (кривую смертей) f  x 
sx  

 f u du .
x
Тогда s 19  


u
ue du  [интегрируя по частям]=  ue
u  
19
 19e 19  e u

19
19



e u du 
19
 20e 19 .
Ответ: 2)
2.Время жизни некоторого конкретного человека в возрасте 30 лет описывается
законом де Муавра с предельным возрастом   90 лет. Вероятность того, что этот
человек проживет еще 10 лет и умрет на протяжении последующих 5 лет, равна
1)
1
2)
2
3)
1
12
2
3
4)
9
9
Решение.
Вероятность того, что человек возраста x лет проживет еще t лет и умрет на
протяжении u последующих лет равна
t u qx

s x  t   s x  t  u 
.
s x 
Функция выживания sx  в модели Муавра с предельным возрастом
sx   1 
Тогда 10 5 q30 
Ответ: 3)
s40   s45 

s30 
1
x

.
40
45
1
90
90  1 .
12
30
1
90
41
 имеет вид
3. Страхователь в возрасте 40 лет заключил договор страхования жизни сроком на 5
года (норма доходности – 5%, страховая сумма – 100000 руб., доля нагрузки – 9%).
Ежегодная брутто-премия, вычисленная через коммутационные числа, равна
1)
1397,3
2)
1535,5
3)
1721,5
4)
1940,8
Решение.
Ежегодная нетто-ставка (НС) при страховании жизни сроком на n лет,
вычисленная через коммутационные числа (коммутационные функции) на единицу
страховой суммы, равна
Px1:n 
M x  M xn
,
N x  N xn
где M x , N x – коммутационные числа (находят по таблице коммутационных чисел).
Брутто-ставка (БС) с долей нагрузки

равна БС 
(БП) со страховой суммой S – БП  БС  S .
M
M
НС 100
, а брутто-премия
100  
4295,191  3563,375
45
Тогда получим P40:5  40

 0,0139733 ,
N 40  N 45 158412 ,7  106040 ,1
1
БП 
Px1:n  100
100  
S 
0,0139733  100
 100000  1535,5 (руб).
100  9
Ответ: 2)
4. Время жизни описывается моделью де Муавра с предельным возрастом   90
лет, а эффективная процентная ставка i  15% . Человек в возрасте 50 лет заключил
договор страхования жизни сроком на 10 лет. Единовременная нетто-ставка для
этого человека в процентах (%) равна
1)
7,855
2)
9,743
3)
11,625
4)
13,466
Решение.
Остаточное время жизни застрахованного имеет равномерное распределение на
промежутке 0,   x  :
f 50 t  
Интенсивность
дисконтирования v 
процентов
1
, 0  t  40.
40
  ln 1  i   13,9762% ,
коэффициент
1
 86,9565 % .
1 i
Единовременная нетто-ставка при страховании жизни сроком на n лет равна
n
1
A
x:n
 v t f x t dt .

0
10
1
Тогда A
50:10
10
10
1
1
1  v10
 v f 50 t dt  v
dt  
v 
 13,466 %
40
40 0
40

0
t

t
0
42
Ответ: 4)
5. Мужчина в возрасте 40 лет покупает за 100000 рублей пожизненную ренту
(пенсию), выплаты которой начинаются с возраста 65 лет. Эффективная процентная
ставка i  5% . Величина ежегодных выплат равна
1)
159236
2)
121550
3)
89189
4)
75620
Решение.
Величина ежегодных выплат S равна
S
P
,


a
m x
где P – стоимость пожизненной ренты,
N xm
– отложенная на m лет пожизненная рента для человека возраста x лет,
Dx
выраженная через коммутационные числа N x и Dx (эти числа находят по таблице
x 
ma
коммутационных чисел).
N 65 13273,74

 1,12122 ,
D40 11838 ,66
100000

 89189 .
1,12122
40 
Тогда 25 a
S
P
40
25 a
Ответ: 3)
22.1.Уровень требований и критерии оценок
Текущий контроль осуществляется в ходе учебного процесса и консультирования
студентов, по результатам выполнения самостоятельных работ. Основными формами
текущего контроля знаний являются:
 обсуждение вынесенных в планах практических занятий вопросов тем и контрольных
вопросов;
 решение задач, тестов и их обсуждение с точки зрения умения формулировать
выводы, вносить рекомендации и принимать адекватные управленческие решения;
 выполнение контрольных заданий и обсуждение результатов;
 участие в дискуссии по проблемным темам дисциплины.
Промежуточная аттестация проводится в форме зачета. Итоговая оценка на зачете
выставляется в форме «зачтено/незачтено» и в баллах по 100-балльной шкале.
Оценка по 100-балльной шкале складывается из оценки за работу в семестре
(максимум 60 баллов), оценки за промежуточную аттестацию (максимум 30 баллов) и
бонусных баллов (максимум 10 баллов). Итоговый результат выставляется в зачётную
книжку, если набрано более 50 баллов.
Оценка за работу в течение семестра (очная форма обучения) выставляется по
итогам посещения и выполнения заданий на занятиях, результатам выполнения
самостоятельных работ в соответствии с картой форм текущего контроля.
Таблица 10
Максимум за
№
Формы текущего контроля
Баллы
семестр
1
Посещение лекций, практических занятий
0-1
30
2
Текущий контроль
0-5
30
3
Бонусные баллы
0-10
10
43
4
Зачет
0-30
Всего за семестр
30
100
Оценка за работу в течение семестра (заочная и заочная (сокращенная подготовка
на базе среднего профессионального образования и высшего профессионального
образования) форма обучения) выставляется по итогам посещения и выполнения
контрольной работы в соответствии с картой форм текущего контроля:
Таблица 11
Максимум за
№
Формы текущего контроля
Баллы
семестр
1
Посещение лекций, практических занятий
0-5
20
2
Контрольная работа
0-40
50
3
Зачет
0-30
30
Всего за семестр
100
Оценка при промежуточной аттестации выставляется по 100-балльной шкале и
затем конвертируется по следующей схеме:
Оценка по 100-бальной шкале
Оценка по 5-бальной шкале
ниже 49 баллов
незачтено (0 баллов)
50 – 100 баллов
зачтено
Составители
Кафедра высшей математики
и информатики ВФ РГТЭУ
(место работы)
ст. преподаватель
(должность)
Шевелева Н.Е.
(Ф.И.О.)
(место работы)
(должность)
(Ф.И.О.)
Рецензенты
НОУ ВПО «Волгоградский
институт экономики,
социологии и права», кафедра
финансов и бухгалтерского
учета
(место работы)
доцент
(должность)
к.э.н. Дроботова О.О.
(Ф.И.О.)
(место работы)
(должность)
(Ф.И.О.)
44
Приложение 1
Дополнения и изменения на 2014-2015 уч. год
в рабочей программе учебной дисциплины «Актуарные расчеты»
Формирование балльной оценки
В соответствии с «Положением о рейтинговой системе оценки успеваемости и
качества знаний студентов в федеральном государственном бюджетном образовательном
учреждении высшего профессионального образования «Российский экономический
университет имени Г.В. Плеханова» распределение баллов, формирующих рейтинговую
оценку работы студента, осуществляется следующим образом:
Виды работ
Максимальное количество баллов
Посещаемость
20
Текущий и рубежный контроль
20
Творческий рейтинг
20
Промежуточная аттестация (экзамен/ зачет)
40
ИТОГО
100
1. Посещаемость
В соответствии с утвержденным рабочим учебным планом по направлению
080100 «Экономика» для всех профилей подготовки бакалавров по дисциплине
предусмотрено: 10 лекционных и 17 практических и лабораторных занятий. За посещение
1 лекционного занятия студент набирает 0,25 балла, 1 практического или лабораторного
занятия –1 балл.
2. Текущий и рубежный контроль
Расчет баллов по результатам текущего и рубежного контроля:
Форма проведения
Наименование раздела/
контроля (тест, контр.
Количество
Форма
тем, выносимых на
работа и др. виды
баллов,
контроля
контроль
контроля в соответствии максимально
с Положением)
Демографические основы
письменное домашнее
2
страхования жизни
задание
Актуарные модели
письменное домашнее
2
страхования жизни
задание
Аннуитеты жизни
письменное домашнее
2
задание
1. Текущий
и
Анализ моделей
письменное домашнее
рубежный краткосрочного страхования
2
задание
контроль, в жизни
т.ч.
Анализ моделей
письменное домашнее
долгосрочного страхования
6
задание, К.р.
жизни
Основы ценообразования и
письменное домашнее
тарификации в рисковом
6
задание, К.р.
страховании
ИТОГО
20
* – Тестирование студентов, которое включено в модульный график учебного процесса
(рабочий учебный план), не включается в количество баллов, отводимых на проведение
текущего и рубежного контроля.
3. Творческий рейтинг
Задания творческого характера рассматриваются как дополнительный вид работ,
выполняемый по желанию студентов. Тематика работы определяется исходя из текущей
экономической ситуации. Распределение баллов осуществляется по решению
методической комиссии кафедры и результат распределения баллов за соответствующие
виды работ представляются в виде следующей таблицы:
Наименование раздела/ темы
Вид работы
Количество баллов
дисциплины
Демографические основы
Выполнение расчетно10
страхования жизни
аналитического задания
Анализ моделей краткосрочного
Выполнение расчетно10
страхования жизни
аналитического задания
Анализ моделей долгосрочного
страхования жизни
ИТОГО
20
4. Промежуточная аттестация – зачет
Зачет по результатам изучения учебной дисциплины «Актуарные расчеты»
осуществляется в форме тестирования. Оценка по результатам зачета выставляется по
следующим критериям:
 85-100% правильно выполненных заданий – 34-40 баллов;
 70-85% правильно выполненных заданий – 28-33 балла;
 50-70% правильно выполненных заданий – 20-27 баллов;
 менее 50% правильно выполненных заданий – менее 20 баллов.
Итоговый балл формируется суммированием баллов за промежуточную
аттестацию и баллов, набранных перед аттестацией. Приведение суммарной балльной
оценки к четырехбалльной шкале производится следующим образом:
Перевод 100-балльной рейтинговой оценки по дисциплине
в традиционную четырехбалльную систему
100-балльная
Традиционная четырехбалльная система оценки
система оценки
85 – 100 баллов
оценка «отлично»/«зачтено»
70 – 84 баллов
оценка «хорошо»/«зачтено»
50 – 69 баллов
оценка «удовлетворительно»/«зачтено»
менее 50 баллов
оценка «неудовлетворительно»/«незачтено»