Поиск основания системы счисления по окончанию числа

Поиск основания системы счисления по окончанию числа
1. Задание 16 № 2302. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 18
записывается в виде 30. Укажите это основание.
Пояснение.
Составим уравнение:
где — основание этой системы счисления. Исходя из уравнения,
Ответ: 6
2. Задание 16 № 2316. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 49
записывается в виде 100. Укажите это основание.
Пояснение.
Составим уравнение:
где - основание этой системы счисления. Исходя
из уравнения,
Ответ:
Ответ: 7
3. Задание 16 № 2320. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число
144 записывается в виде 264. Укажите это основание.
Пояснение.
Запишем формулу преобразования числа, записанного в системе счисления как 264 в десятичное число 144.
Решим это квадратное уравнение. Его корни: 7, -10. Так как основанием системы счисления не может быть отрицательное число, ответ - 7.
Ответ: 7
4. Задание 16 № 2338. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 25
записывается как 100. Найдите это основание.
Пояснение.
Составим уравнение:
где - основание этой системы счисления. Исходя
из уравнения,
Ответ: 5
5. Задание 16 № 2340. В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается в виде 110. Укажите это основание.
Пояснение.
Решение.
Составим уравнение:
где - основание этой системы
счисления. Исходя из уравнения,
Ответ: 3
6. Задание 16 № 5939. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 27
записывается в виде 30. Укажите это основание.
Пояснение.
Составим уравнение:
где — основание этой системы счисления. Исходя из уравнения,
Ответ: 9
7. Задание 16 № 6267. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 13
записывается в виде 111. Укажите это основание.
Пояснение.
Составим уравнение: 111n = 1 · n2 + 1 · n1 + 1 · n0 = 1310, где n— основание этой системы
счисления. Уравнение n 2 + n − 12 = 0 имеет два корня: 3 и −4. Таким образом, основание
системы счисления — 3.
Ответ: 3.
Ответ: 3
8. Задание 16 № 6307. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 57
записывается как 111. Укажите это основание.
Пояснение.
Составим уравнение: 111n = 1 · n2 + 1 · n1 + 1 · n0 = 5710, где n — основание этой системы
счисления. Уравнение n 2 + n − 56 = 0 имеет два корня: 7 и −8. Таким образом, основание
системы счисления — 7.
Ответ: 7.
Ответ: 7
9. Задание 16 № 6339. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 12
записывается как 110. Укажите это основание.
Пояснение.
Составим уравнение: 110n = 1 · n2 + 1 · n1 + 0 · n0 = 1210, где n— основание этой системы
счисления. Уравнение n2 + n − 12 = 0 имеет два корня: −4 и 3. Таким образом, основание
искомой системы счисления — 3.
Ответ: 3.
Ответ: 3
10. Задание 16 № 6424. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число
15 записывается в виде 30. Укажите это основание.
Пояснение.
Составим уравнение: 30n = 3 · n1 + 0 · n0 = 1510, где n— основание этой системы счисления. Откуда n = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
11. Задание 16 № 6460. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число
12 записывается в виде 30. Укажите это основание.
Пояснение.
Составим уравнение: 30n = 3 · n1 + 0 · n0 = 1210, где n— основание этой системы счисления. Откуда n = 4.
Ответ: 4.
Ответ: 4
12. Задание 16 № 2303. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные
числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре
оканчивается на 11?
Пояснение.
Так как число в системе счисления с основанием 4 кончается на 11, то искомое число в
десятичной системе счисления при делении на 4 должно давать остаток 1 (т. е.
— любое целое неотрицательное число, — искомое число) и частное от этого деления
также должно давать остаток 1 при делении на 4 (т. е.
, — любое целое неотрицательное число). Следовательно,
При
При
При
значит,
Ответ: 5, 21
13. Задание 16 № 2305. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.
Пояснение.
1. Нужно найти все целые числа
(цифра 2 есть только в таких в системах счисления), такие, что остаток от деления 23 на равен 2, или (что то же самое)
,
где — целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);
2. Из формулы
получаем
, так что задача сводится к тому, чтобы
найти все делители числа 21, которые больше 2;
3. В этой задаче есть только три таких делителя:
и
Ответ: 3, 7, 21
14. Задание 16 № 2306. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 11.
Пояснение.
Так как число в системе счисления с основанием кончается на 11, то число 31 в десятичной системе счисления при делении на должно давать остаток 1 (т. е.
—
любое целое неотрицательное число, — основание искомой системы счисления) и частное от этого деления также должно давать остаток 1 при делении на (т. е.
,
— любое целое неотрицательное число). Следовательно,
где — неотрицательное целое число, а
Иначе говоря,
должно быть кратным . Отбросим сразу те которые при вычитании из 30 дают простые числа,а также те, квадраты которых больше 30: 1, 6, 7, 8, 9, 10, и
так далее до бесконечности. Но при этом 30 тоже является решением данной задачи, так
как 30 – особый случай, ведь
Итого остается еще 2, 3, 4 и 5. Из них подходят 2,
3, 5.
Ответ: 2,3,5,30
15. Задание 16 № 2310. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.
Пояснение.
потому, что в системах с меньшим основанием нет цифры 3.
2. Так как число в системе счисления с основанием кончается на 13, то число 71 в десятичной системе счисления при делении на должно давать остаток 3 (т. е.
— любое целое неотрицательное число, — искомое основание системы счисления), а
частное от этого деления должно давать остаток 1 при делении на (т. е.
, любое целое неотрицательное число). Следовательно,
3. Определим наибольшее возможное с учетом условия
следует, что
не превышает
. Чем меньше
. Из уравнения
, тем больше , поэтому значение
4. Остается рассмотреть все допустимые значения (от 0 до 4), решая для каждого из них
уравнение
относительно , причем нас интересуют только натуральные
числа
Получаем:
а) при
б)при
решения — не целые числа;
в) при
и
условию натуральности соответствует только первое
решение.
Ответ: 4,68
16. Задание 16 № 2311. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 39 оканчивается на 3.
Пояснение.
1. Нужно найти все целые числа
(цифра 3 присутствует в системах счисления только
с таким основанием), такие что остаток от деления 39 а равен 3, или (что то же самое)
, где — целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);
2. Из формулы
получаем
, так что задача сводится к тому, чтобы
найти все делители числа 36, которые больше 3;
3. В этой задаче есть шесть таких делителей:
и .
Ответ: 4, 6, 9, 12, 18, 36
17. Задание 16 № 2312. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 40 оканчивается на 4.
Пояснение.
1. Итак, нужно найти все целые числа
(цифра 4 присутствует в системах счисления
только с таким основанием), такие что остаток от деления 40 на равен 4, или (что то же
самое)
, где — целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);
2. Из формулы
получаем
, так что задача сводится к тому, чтобы
найти все делители числа 36, которые больше 4;
3. В этой задаче есть только три таких делителя:
и
.
Ответ: 6, 9, 12, 18, 36.
Ответ: 6, 9, 12, 18, 36
18. Задание 16 № 2313. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные
числа, не превосходящие 26, запись которых в троичной системе счисления оканчивается
на 22?
Пояснение.
Так как число в системе счисления с основанием 3 кончается на 22, то искомое число в
десятичной системе счисления при делении на 3 должно давать остаток 2 (т. е.
- любое целое неотрицательное число, - искомое число) и частное от этого деления
также должно давать остаток 2 при делении на 3 (т. е.
, - любое целое неотрицательное число). Следовательно,
.
При
При
При
При
значит,
Ответ: 8, 17, 26.
Ответ: 8, 17, 26
19. Задание 16 № 2315. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 63 оканчивается на 23.
Пояснение.
1.
потому, что в системах с меньшим основанием нет цифры 3.
2. Так как число в системе счисления с основанием кончается на 23, то число 63 в десятичной системе счисления при делении на должно давать остаток 3 (т. е.
любое целое неотрицательное число, - искомое основание системы счисления), либо 23
(т.е.
).
Рассмотрим первый случай:
а) Частное от этого деления должно давать остаток 2 при делении на
(т. е.
-
любое целое неотрицательное число). Следовательно,
б) Определим наибольшее возможное с учетом условия
следует, что
. Чем меньше
. Из уравнения
, тем больше , поэтому значе-
ние не превышает
Так как - целое неотрицательное
число, то можно считать, что не превышает 3.
в) Остается рассмотреть все допустимые значения (от 0 до 3), решая для каждого из них
уравнение
числа
относительно
, причем нас интересуют только натуральные
г) Получаем:
— при
— при
решения — не целые числа;
— при
шение.
и
условию натуральности
соответствует только первое ре-
Рассмотрим второй случай. Для этого уравнения
, получается целым только при
,
Но в системе счисления с основанием 40 число 63 записывается как 1W, что
не удовлетворяет условию.
Ответ: 5, 30.
Ответ: 5, 30
20. Задание 16 № 2321. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные
числа, не превосходящие 25, запись которых в троичной системе счисления оканчивается
на 21?
Пояснение.
Так как число в системе счисления с основанием 3 кончается на 21, то искомое число в
десятичной системе счисления при делении на 3 должно давать остаток 1 (т. е.
- любое целое неотрицательное число, - искомое число), а частное от этого деления
должно давать остаток 2 при делении на 3 (т. е.
, - любое целое неотрицательное число). Следовательно,
.
При
При
При
При
значит,
Ответ: 7, 16, 25.
Ответ: 7, 16, 25
21. Задание 16 № 2325. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные
числа, не превосходящие 100, запись которых в системе счисления с основанием 5 оканчивается на 11?
Пояснение.
Так как число в системе счисления с основанием 5 кончается на 11, то искомое число в
десятичной системе счисления при делении на 5 должно давать остаток 1 (т. е.
- любое целое неотрицательное число, - искомое число) и частное от этого деления
также должно давать остаток 1 при делении на 5 (т. е.
, - любое целое неотрицательное число). Следовательно,
.
При
При
При
При
При
значит,
Ответ: 6, 31, 56, 81.
Ответ: 6, 31, 56, 81
22. Задание 16 № 2326. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 61 оканчивается на 15.
Пояснение.
Так как число 61 в системе счисления с основанием кончается на 15, то число 61 в десятичной системе счисления при делении на должно давать остаток 5 (т. е.
любое целое неотрицательное число, - основание искомой системы счисления) и частное от этого деления должно давать остаток 1 при делении на (т. е.
, любое целое неотрицательное число). Следовательно,
где
Иначе говоря,
должно быть кратным . Отбросим сразу те которые при вычитании из 56 дают простые числа, а также те, квадраты которых больше 56, т.е. от 8 до бесконечности.
Но при этом 56 тоже является решением данной задачи, так как 56 – особый случай, ведь
Итого остается еще 6 и 7. Из них подходит только 7.
Ответ: 7,56
23. Задание 16 № 2333. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 75 оканчивается на 13.
Пояснение.
Так как число 75 в системе счисления с основанием кончается на 13, то число 75 в десятичной системе счисления при делении на должно давать остаток 3 (т. е.
любое целое неотрицательное число, - основание искомой системы счисления) и частное от этого деления должно давать остаток 1 при делении на (т. е.
, любое целое неотрицательное число). Следовательно,
где
Иначе говоря,
должно быть кратным . Отбросим сразу те которые при вычитании из 72 дают простые числа, а также те, квадраты которых больше 72: 1, 5, 9, 10, и так
далее до бесконечности.
Но при этом 72 тоже является решением данной задачи, так как 72 – особый случай, ведь
Итого остается еще 2, 3, 4, 6, 7 и 8. Из них подходит только 8.
Ответ: 8, 72.
Ответ: 8, 72
24. Задание 16 № 2334. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 32 оканчивается на 4.
Пояснение.
1. Итак, нужно найти все целые числа
(цифра 4 присутствует в системах счисления
только с таким основанием), такие что остаток от деления 32 на равен 4, или (что то же
самое)
, где — целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);
2. Из формулы
получаем
, так что задача сводится к тому, чтобы
найти все делители числа 28, которые больше 4;
3. В этой задаче есть только три таких делителя:
и .
Ответ: 7, 14, 28
25. Задание 16 № 2335. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные
числа, не превосходящие 25, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается
на 101?
Пояснение.
Так как число в системе счисления с основанием 2 кончается на 101, то искомое число в
десятичной системе счисления при делении на 2 должно давать остаток 1 (т. е.
- любое целое неотрицательное число, - искомое число), частное от этого деления
должно давать остаток 0 при делении на 2 (т. е.
, - любое целое неотрицательное
число), а при следующем делении остаток должен быть равен 1 (т. е.
, - любое
целое неотрицательное число). Следовательно,
При
При
При
При
значит,
Ответ: 5, 13, 21
26. Задание 16 № 2339. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 29 оканчивается на 5.
Пояснение.
1. Итак, нужно найти все целые числа
(цифра 5 присутствует в системах счисления
только с таким основанием), такие, что остаток от деления 29 на равен 5, или (что то же
самое)
, где — целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);
2. Из формулы
получаем
, так что задача сводится к тому, чтобы
найти все делители числа 24, которые больше 5;
3. В этой задаче есть только четыре таких делителя:
и .
Ответ: 6, 8, 12, 24
27. Задание 16 № 2327. Запись числа
в некоторой системе счисления выглядит так:
. Найдите основание системы счисления q.
Пояснение.
Составим уравнение:
где - основание этой системы счисления. Решая квадратное уравнение, получаем
Ответ: 4
28. Задание 16 № 2328. Запись числа 23 в некоторой системе счисления выглядит так:
. Найдите основание системы счисления q.
Пояснение.
Составим уравнение:
где - основание этой системы
счисления. Решая квадратное уравнение, получаем
Ответ: 3
29. Задание 16 № 3815. Десятичное число 63 в некоторой системе счисления записывается как 120.
Определите основание системы счисления.
Пояснение.
Напишем формулу перевода десятичного числа 63 в систему счисления с основанием N, в
которой оно записывается как 120.
Теперь мы имеем квадратное уравнение с одним неизвестным, решив которое мы найдем
N.
Так как N должно быть натуральным, ответ: 7.
Ответ: 7
30. Задание 16 № 4592. Десятичное число 57 в некоторой системе счисления записывается как 212.
Определите основание системы счисления.
Пояснение.
Составим уравнение:
где
— основание этой системы счисления. У этого уравнения есть два корня,
и
Так как основание системы счисления должно быть целым и неотрицательным,
Ответ: 5
31. Задание 16 № 4693. Десятичное число 70 в некоторой системе счисления записывается как 77. Определите основание системы счисления.
Пояснение.
Составим уравнение:
где — основание этой системы счисления. Решая уравнение, получаем
Ответ: 9
32. Задание 16 № 4725. Десятичное число 71 в некоторой системе счисления записывается как 78. Определите основание системы счисления.
Пояснение.
Составим уравнение:
где — основание этой системы счисления. Решая уравнение, получаем
Ответ: 9
33. Задание 16 № 4850. Десятичное число 59 в некоторой системе счисления записывается как 214. Определите основание системы счисления.
Пояснение.
Пусть
— основание этой системы счисления, тогда
Решая квадратное уравнение
получаем
что невозможно, или
Ответ: 5
34. Задание 16 № 5058. В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 66 и 40
заканчиваются на 1. Определите основание системы счисления.
Пояснение.
Составим уравнение для перевода числа
и
в
систему счисления (
).
.
.
Так как — целое, 65 и 39 должно делиться нацело на . Общий делитель этих двух чисел
единственен — 13.
Ответ: 13.
Ответ: 13
35. Задание 16 № 5090. В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 56 и 45
заканчиваются на 1. Определите основание системы счисления.
Пояснение.
Составим уравнение для перевода числа
и
в
систему счисления (
).
.
.
Так как — целое, 55 и 44 должно делиться нацело на . Общий делитель этих двух чисел
единственен — 11.
Ответ: 11.
Ответ: 11
36. Задание 16 № 6959. В системе счисления с основанием N запись числа 4110 оканчивается на 2, а запись числа 13110 — на 1. Чему равно число N?
Пояснение.
Так как запись чисел оканчивается на 1 и 2, то основание системы счисления не может
быть меньше трёх. Последняя цифра в записи числа — это остаток от деления числа на основание системы счисления. Подбором находим, что условию удовлетворяет только N =
13.
О т в е т : 13.
Ответ: 13
37. Задание 16 № 6991. В системе счисления с основанием N запись числа 7910 оканчивается на 2, а запись числа 11110 — на 1. Чему равно число N?
Пояснение.
Так как запись чисел оканчивается на 1 и 2, то основание системы счисления не может
быть меньше трёх. Последняя цифра в записи числа — это остаток от деления числа на основание системы счисления. Подбором находим, что условию удовлетворяет только N =
11.
О т в е т : 11.
Ответ: 11
38. Задание 16 № 7309. Решите уравнение: 356 + x = 357
Ответ запишите в десятичной системе счисления.
Пояснение.
Приведем элементы уравнения к десятичному виду:
356 = 3·61 + 5·60 = 2310;
357 = 3·71 + 5·70 = 2610.
Запишем получившееся уравнение: 2310 + x = 2610 ⇔ x = 310.
О т в е т : 3.
Ответ: 3
39. Задание 16 № 7341. Решите уравнение: 426 + x = 427
Ответ запишите в десятичной системе счисления.
Пояснение.
Приведем элементы уравнения к десятичному виду:
426 = 4·61 + 2·60 = 2610;
427 = 4·71 + 2·70 = 3010.
Запишем получившееся уравнение: 2610 + x = 3010 ⇔ x = 410.
О т в е т : 4.
Ответ: 4
http://inf.reshuege.ru/test?theme=247&print=true