ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ

ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ




I.
Область определения
Область значений
Монотонность
Ограниченность
Область определения и область значений функции
Пример 1. Решите уравнение:
x 2  x  4  2 x 2  5x  7  x 2  4 x  3
ОДЗ:  ;1 3;
Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения:
f x   x 2  x  4  2 x 2  5 x  7 и
g x   x 2  4 x  3 .
Так как g x  0 при всех допустимых значениях x , то для f x  должно выполняться
условие x 2  x  4  2 x 2  5x  7  0 . Это условие выполняется при 1  x  3 .
С учетом ОДЗ получаем x =1 и x =3. Проверка подстановкой подтверждает, что числа 1
и 3 – корни уравнения.
Ответ: 1; 3.
Пример 2. Решите неравенство:
2 4 x  3x 2  5x 2  22 x  24 (*).
4
ОДЗ: 4 x  3 x 2  0, 0  x  .
3
 4


Рассмотрим функцию f x   5 x 2  22 x  24 . x0  2,2 , значит на отрезке 0; 
3
функция возрастает и, так как f 0   24,
5
4
f    3 , значит функция на этом
9
3
отрезке принимает отрицательные значения. Тогда неравенство (*) выполняется при
всех допустимых значениях x .
 4


Ответ: 0;  .
3
Пример 3. Решите систему неравенств:
13x6  ln 2 x  7   13 (1)
.

x12
(2)
 7  13  x  7
ОДЗ: 7  x  13 .
На ОДЗ 13x6  13, а т.к. ln 2 x  7   0, то 13x6  ln 2 x  7  13 . Значит
неравенство (1) выполняется при всех допустимых значениях x .
Рассмотрим второе неравенство.
13  x  0, тогда 7  13  x  7, а 7 x12  71312  7 . Таким образом, второе
неравенство выполняется при всех допустимых значениях x .
Ответ: 7;13.
Упражнения для закрепления.
1.
II.
5  4x  x2  x 1 .
Ответ: 1.
2.
x  3   x 4  10 x 2  9 .
3.
x 2  7 x  10  9 log 4
4.
4x2  4x  7  4x  3 .
Ответ: 3; .
x
 13  2 x  14 x  20  2 x 2 .
8
Ответ: 2.
7

Ответ:  ;  .
4

Монотонность.
Монотонность композиции.
Теорема:
Пусть функция f(x) определена и монотонна на множестве A; множество ее значений есть
множество B (т.е. f(A)=B), а функция g(y) задана и монотонна на множестве B. Пусть
 (x)=g(f(x)). Тогда:
1. Если функции f(x) на A и g(y) на B имеют одинаковый характер монотонности, то их
композиция  (x) возрастает на множестве A.
2. Если функции f(x) на A и g(x) на B имеют разный характер монотонности (одна убывает,
другая возрастает), то их композиция  (x) убывает на A.
Пример 1. Решите уравнение:
7 x 1  3 6  x  1 .
ОДЗ: 1  x  6 .
Рассмотрим функции: f x   7 x  1  3 6  x (1)
и
g x   1(2) .
Функция (1) возрастающая, как сумма двух возрастающих функций, функция (2) –
постоянная, значит, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим
x =2. Проверка подстановкой подтверждает.
Ответ: 2.
Пример 2. Решите уравнение:
3
log 1 x  1  log 1 x  1  2 .
2
2
ОДЗ: 1  x  0 .
Рассмотрим функции: f x   3 log 1 x  1  log 1 x  1 (1)
2
и
g x   2 (2) .
2
Функция (1) убывающая, как сумма двух убывающих функций (каждое слагаемое
композиция двух разных по монотонности функций), функция (2) – постоянная, значит,
уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим x =0,5. Проверка
подстановкой подтверждает.
Пример 3. Решите уравнение:
1  2  x  x3 
ОДЗ:  ;2 .
1
.
x2
Рассмотрим функции: f  x   1  2  x (1)
и
g x   x 3 
1
(2) . Функция (1)
x2
убывает на ОДЗ, функция (2) возрастает (как сумма двух возрастающих функций),
значит, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим x =1. Проверка
подстановкой подтверждает.
Ответ: 1.
Пример 4. Решите неравенство:
x 2  9  log 0, 2 x  2 .
ОДЗ: 3;
x 2  9  log 0, 2 x  2 .
1. Найдем корни уравнения
x 2  9 - возрастающая на множестве 3; и
Рассмотрим функции f x  
g x   log 0, 2 x  2 -убывающая на множестве 3; , значит уравнение имеет не
более одного корня. Подбором находим x =3.
На графике видно, что на интервале 3; график функции y  f x  расположен
выше графика функции y  g x  , значит неравенство не выполняется ни при каких
x . Равенство же достигается при x =3.
Ответ: 3.
Пример 5. Решите уравнение:
4 x 2  4 x  17  4 x 2  4 x  2  3
4 x 2  4 x  50  2 x  1  2 x 2  x  1  3 7
Преобразуем уравнение к виду
2x 12  16  2x 12  1  3 2x 12  49  2x 12

2x 12  3  3
Сделаем замену 2 x  1  t
2
Получим уравнение
t  16  t  1  3
t  49  t  t  3  3 7 .
Преобразуем к виду
15

t  16  t  1
12 3
t  49  t
 t 3 3 7 .
В левой части уравнения сумма двух убывающих функций, в правой –
возрастающая, значит уравнение имеет не более одного корня. Подбором
находим t  0,
x
1
.
2
Ответ: 0,5.
Упражнения для закрепления.
 
 
17  3  log x  x 1 .
1.
log 2 3x  5  log 0, 2 x  4x  4 .
2.
log 2
x1

1
3

log 3 x 2  log 2 x 2  x  1
3. 
.
5 x  2  0,2 x  1

Ответ: 1.
Ответ: 3.
Ответ: 1; .
7
III.
Ограниченность.
Ограниченность функций.
Определения:
1. Функция f(x) называется ограниченной сверху. Если существует такое число B  R, что для
всех x из области определения функции выполняется неравенство f(x)  B, т. е.
 B  R:  x  D(f)
f(x)  B.
2. Функция f(x) называется ограниченной снизу, если существует такое число A R,что для
всех x из области определения функции выполняется неравенство f(x)  A, т. е.
 A  R:  x  D(f)
f(x)  A.
3. Функция f(x) называется ограниченной, если она одновременно ограничена сверху и
снизу, т.е. существуют такие числа A, B  R, что для всех x  D(f) выполняется двойное
неравенство A  f(x)  B, т.е.
 A, B  R:  x  D(f) A  f(x)  B.
Пример 1. Решите уравнение:
5x
 7 () .
2
5x
5x
 7 . Равенство ()
 1 , то 3 cos 3 x  4 cos
Так как cos 3 x  1 и cos
2
2
3 cos 3 x  4 cos

x 

x 

 cos 3x  1
5x
выполняется, если 
;
cos 2  1
2k
, k 
3
.
4n
, n
5
5x
T  4 .
2
Поскольку функции четные найдем решения системы на отрезке 0;2 . Единственное
Наименьший положительный период функций cos 3 x
и cos
решение x =0, учитывая периодичность функций x = 4m .
Ответ: 4m, m   .
Пример 2. Решите неравенство:
 x2
5


 log 2 4 x  x2  2  1 () .
Оценим левую часть неравенства.
x  2  0,  x  2  0, 5
 x 2
Тогда произведение 5
 x 2

2


 log 2 4 x  x2  2  1. Таким образом, неравенство
 x 2

5
1
равносильно системе 
. Откуда находим x =2.
2
log 2 4 x  x  2  1


 x 2  4 x  2  2  x  2  2, log 2 4 x  x 2  2  1
1 и

Ответ: 2.
Пример 3. При каких значениях параметра a уравнение 2
9
3 x 2
 2a  5 имеет решение?
где t    x  
Оценим левую часть уравнения. Рассмотрим функцию y  t ,
9
3  x2
1
1
9
 , 0
 3, 0  2t  8 . Значит, чтобы уравнение
2
2
3 x
3
3 x
имело решение, должно выполняться условие 0  2a  5  8,  2,5  a  1,5 .
3  x 2  3, 0 
Ответ:  2,5;1,5
Упражнения для закрепления.
1.
3
1
x 2
4
 5  4 sin 2x .
Ответ: 0,25.


2. Записать сумму корней уравнения log 2  sin 2
отрезке  9,5 ;6 .
3.


x
  2 cos 3x  2 , расположенных на
2
Ответ: 16 .
log 0,5 x 2  5x  7  x 2  5x  6 .
Ответ: {2;3}.
x
2  y2  4 y  5 .
4.
x
1  tg 2
2
2tg


 2k ;2  .
2

Ответ: 
5.
2 sin 2 x  4 x 2  1  2 .
6.
sin 2 x  cos3 5 x  x 2  2 x  3 .
Ответ: 0,5.
Ответ: нет решений.
7. При каких значениях параметра a уравнение 3x
2
2 x
Ответ:  1;0  2;6.
8.
x2  2x  4 
4
x  2x  4
2
4  log 34 x 2  x 4  1.

a2
.
a 2  2a
Ответ: 0.