Раздел 15

Долгушин А. Н.
«Практикум решения физических задач»
Раздел 14
«Задачи-оценки»
Задачи-оценки – новый для большинства школьников класс задач. Для решения
задачи надо понять рассматриваемое физическое явление, сформулировать простую
физическую модель этого явления, выбрать разумные значения физических величин и,
наконец, получить числовой результат, более или менее соответствующей реальности,
оценить его правдоподобность.
Хорошо представляя явление или задачу, каждый сам может выбрать необходимые
для решения величины и их числовые значения. Естественно, что спектр возможных
числовых ответов широк, а сам подход к получению ответа необычен, непривычен для
школьника. Между тем грубая прикидка, оценка по порядку величины – почти обязательный
этап начальной подготовки эксперимента, проектирования установки, теоретической
разработки, контроля за правильностью рассуждений и выводов в процессе обсуждения
сложных идей. Оценки иногда подсказывают путь точного решения задачи, дают
возможность просто установить границы области применимости точного решения. Владение
методом оценок, наряду с интуицией, является очень важным качеством исследователя при
разработке и анализе новых идей, весьма существенным в творческой работе. Надо полагать,
что способность решать задачи-оценки должна входить в ряд критериев при отборе
претендентов на исследовательскую работу и, в частности, для учёбы на физических
факультетах вузов.
Рассмотрим несколько примеров задач-оценок.
1
Теоретические задачи-оценки
Задача №1.
Почему люди не летают?
Указания к решению
Сравнить силу тяжести с силой Архимеда, действующей на человека в воздухе. Учесть, что
на 80-90% человек состоит из воды.
Задача №2.
Оценить с какой скоростью, относительно Земли, должны лететь навстречу друг другу две
одинаковые льдинки с температурой -100 С, чтобы после абсолютно неупругого удара
испариться?
Указания к решению
Опишем тепловые процессы, происходящие с льдинками: 1) нагревание льдинок до
температуры плавления: Q1=2cльдаm(t2-t1); 2) плавление двух льдинок: Q2=2m; 3) нагревание
образовавшейся воды до температуры кипения: Q3=2cводыm(t3-t2); 4) парообразование:
Q4=2Lводыm. Из справочного материала cльда=2100 Дж/(кг.0С) – удельная теплоёмкость льда;
=340 000 Дж/кг – удельная теплота плавления льда; cводы=4200 Дж/(кг.0С) – удельная
теплоёмкость воды; Lводы=2 300 000 Дж/кг – удельная теплота парообразования воды; t1=-10
0
С – начальная температура льдинок; t2=0 0С – температура плавления льдинок; t3= 100 0С –
температура, при которой образовавшаяся вода, превращается в пар. Закон превращения
механической энергии в тепловую энергию имеет вид: 2Wk=Q1+Q2+Q3+Q4. После
объединения формул, получаем выражение для скорости, с которой должны лететь
навстречу друг другу две одинаковые льдинки, чтобы после абсолютно неупругого удара
обратиться в пар: V  2c льда t 2  t1     cводыt 3  t 2   Lводы   2,5 км/с.
Задача №3.
Оценить, с какой скоростью должна лететь муха, чтобы, ударившись об оконное стекло, от
нее «ни осталось бы и мокрого места»?
Указания к решению
Факт состава мухи из воды, объясняет выбор табличных данных: комнатная температура
t0=20 0C, температура кипения воды t=100 0C, удельная теплоёмкость воды с=4 200
удельная теплота парообразования воды
r  2,3  10 6
Дж
,
кг  0 С
Дж
. Воспользоваться законом
кг
2
превращения
механической
энергии
в
тепловую:
m V 2
 c  m  t  t 0   r  m ,
2
тогда
выражение для расчёта скорости мухи V  2  c  t  t 0   r  и её числовое значение V≈2,3
км/с.
Задача №4.
Оценить минимальную скорость, с которой метеорное тело, влетая в атмосферу Земли,
полностью испаряется?
Указания к решению
Будем считать, что метеорное тело в основном состоит из железа, что объясняет выбор
табличных данных: начальная температура t0=5 K (-268 0C), при решении задачи возможен
вариант не более 10 К, удельная теплоёмкость железа с=460
Дж
, температура плавления
кг  0 С
железа tплавления=1539 0C, удельная теплота плавления железа =270 000
кипения
жидкого
r  6,3  10 6
железа
tкипения=3200
0
C,
удельная
теплота
Дж
, температура
кг
испарения
железа
Дж
. Закон превращения механической энергии в тепловую энергию имеет вид
кг
m V 2
 c  m  t плавления  t 0     m  c  m  t кипения  t плавления  r  m , тогда выражение для расчёта
2
скорости метеорного тела V  2  c  t кипения  t 0     r  и её числовое значение для
начальной температуры t0=5 K (-268 0C) V≈4 км/с.
Задача №5.
Оценить реальность существования водопада на Земле, чтобы вода у основания полностью
испарялась?
Указания к решению
Из справочного материала: удельная теплоёмкость воды 4 200
Дж
, удельная теплота
кг  0 С
парообразования воды 2,3∙106 Дж/кг, температура кипения воды 100 0С (полагаем, что
тепловые процессы происходят при нормальном атмосферном давлении). Начальную
температуру принять за 5 0С. Воспользоваться законом превращения механической энергии в
3
тепловую энергию mgh  cmt  t 0   rm , тогда выражение для высоты принимает вид
h
ct  t 0   r
и числовое значение h  270 км.
g
Задача №6.
Оценить, каким стало бы давление внутри герметично закрытого сосуда полностью
заполненного водой при комнатной температуре, если бы силы взаимодействия между
молекулами воды исчезли?
Указания к решению
Если бы силы взаимодействия между молекулами воды исчезли, то она превращается в
водяной пар той же плотности, что и вода, т.к. процесс происходит внутри герметично
закрытого сосуда. Для водяного пара можно использовать уравнение Менделеева –
Клапейрона в виде p 

RT . Комнатная температура t0=20 0C, T=293 К. Большая величина

давления, доказывает, насколько велики силы взаимодействия между молекулами воды.
Задача №7.
Обосновать, почему существует атмосфера – воздушная оболочка Земли?
Указания к решению
1) малое значение скоростей молекул земной атмосферы в сравнении с первой космической
скоростью; 2) земное притяжение, т.к. каждая молекула земной атмосферы, обладая массой,
подвержена гравитационному взаимодействию.
Задача №8.
Оценить, с каким ускорением отскочит от поверхности Земли после абсолютно упругого
удара теннисный мяч, упавший с очень большой высоты?
Указания к решению
На рисунке указываем направление всех действующих сил до абсолютно упругого удара
теннисного мяча о Землю (а) и сразу после удара (б):
4
Для каждого случая записываем второй закон Ньютона в векторном виде, а затем в
скалярном, в проекции на ось OY: а) т.к. мяч падает с очень большой высоты, то его
движение в момент перед ударом о Землю, можно рассматривать как равномерное: mg=Fс; б)
–mg-Fc=ma. Объединяя два последних уравнения, получаем: a= -2g.
Задача №9.
В Сингапуре решили построить супернебоскреб: по замыслу архитектора, жильцы верхнего
этажа должны постоянно находиться в состоянии невесомости. Оцените высоту небоскрёба.
Учтите, что Сингапур расположен практически на экваторе.
Задача №10.
Оценить, при какой температуре, Земля не сможет удержать своим притяжением атмосферу?
Указания к решению
Воспользоваться тем фактом, что средняя кинетическая энергия молекулы хаотичного
движения молекулы газа, является мерой его абсолютной температуры. В результате
преобразований T 
 V 2 
3R
. При расчёте принять, что V=8 км/с (1-я космическая
скорость), азот и кислород, определяют больший процент в составе земной атмосферы.
5
Задача №11.
Оценить давление в центре Земли.
Указания к решению
Использовать гидростатическую модель распределения давления внутри Земли p    gR ,
M
g  R2
g
где g 
Плотность Земли   
. Масса Земли M  
. После преобразований
4 3
G
2
R
3
3g 2
p
 1011 Па.
2G
Задача №12.
Оцените, каким бы стало атмосферное давление, если вся вода в океанах испарится?
Указания к решению
Дополнительное давление эквивалентно давлению слоя воды, который появился, если бы
всю воду океана распределить слоем одинаковой толщины по всей поверхности Земли.
Учтём, что средняя глубина океана 4 км и занимает 2/3 поверхности Земли. Тогда
p
2
gH ср , использовать плотность морской воды.
3
Задача №13.
Описать спектр излучения атома водорода по Томсону.
Указания к решению
Первая попытка создания модели атома на основе накопленных экспериментальных данных
к началу 20 века принадлежит Дж. Томсону.
6
Он считал, что атом представляет собой электронейтральную систему шарообразной формы
радиусом примерно равным 10–10 м. Положительный заряд атома равномерно распределен по
всему объему шара, а отрицательно заряженные электроны находятся внутри него.
Для объяснения линейчатых спектров испускания атомов Томсон пытался определить
расположение электронов в атоме и рассчитать частоты их колебаний около положений
равновесия. Однако эти попытки не увенчались успехом. Попытаемся получить однородное
дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее колебания электрона в атоме
водорода относительно положения равновесия (центра атома водорода по Томсону). При
смещение электрона относительно центра атома водорода на расстояние r,
он подвержен кулоновскому притяжению только той части положительного заряда, которая
заключена в объёме радиуса r: F k 
1
40

qr e
r2
. Будем считать, что положительный заряд
внутри атома водорода по Томсону, распределён равномерно, поэтому объёмная плотность
электрического
R  r 
qR
4 3
R
3
заряда

qr
4 3
r
3

внутри
атома,
во
всех
точках
одинакова:
q
e
e
 3r  q r  3 r 3 . Т.к. кулоновская сила, при колебаниях
3
R
r
R
электрона, является возвращающей и направлена в сторону, противоположную смещению,
7
то по второму закону Ньютона
уравнение
e2
r"

r  0,
40 me R 3
1
1
40

e2
 r  me r" . После преобразований, получаем
R3
которое
является
однородным
дифференциальным
уравнением второго порядка, описывающее колебания электрона в атоме водорода по
Томсону относительно положения равновесия. Т.к. коэффициент, стоящий перед переменной
e2
r определяет квадрат собственной частоты  
, то длина волны, излучаемой

40 me R 3
2
0
1
при колебаниях электрона, определяется выражением   c  T  c 
2
0
, где с – скорость
света. После вычислений ≈600 нм, что соответствует оранжевой части спектра. Тогда
спектр излучения атома водорода по Томсону имел бы вид:
Следует отметить, что данная модель не объясняет всего многообразия экспериментально
наблюдаемых спектральных линий и не позволяет понять, почему атом водорода излучает
световые волны только строго определённых частот:
Объяснение этих фактов можно получить при помощи полуклассической модели атома
водорода, предложенной Нильсом Бором.
8
В 1922 г. Бор Нильсен Хенрик Давид, становится лауреатом Нобелевской премии «За
заслуги в изучении структуры атома и излучения из него».
Задача №14.
Оценить размеры планетарной модели атома, предложенной Резерфордом, после результатов
опытов по рассеянию -частиц на атомах золота.
Указания к решению
Первые прямые эксперименты по исследованию внутренней структуры атомов были
выполнены Э. Резерфордом
и его сотрудниками Э. Марсденом и Х. Гейгером в 1909–1911 годах. Резерфорд предложил
применить зондирование атома с помощью  - частиц. Будем считать, что минимальное
расстояние, на которое сможет сблизиться  - частица в случае «прицельного обстрела»
ядра атомом золота и есть минимальный размер атома планетарной модели, предложенной
9
Резерфордом. Необходимые характеристики  - частиц можно узнать в любом из учебников
по физике для 11 класса:

возникают при радиоактивном распаде радия и некоторых других элементов;

масса  - частиц приблизительно в 7300 раз больше массы электрона или в 4 раза
больше массы протона;

заряд  - частиц - положительный и равен удвоенному элементарному заряду;

в своих опытах Резерфорд использовал  - частицы с кинетической энергией около
5 МэВ (скорость таких частиц очень велика – порядка 107 м/с, но она все же
значительно меньше скорости света);

 - частицы – это полностью ионизированные атомы гелия, они были открыты
Резерфордом в 1899 году при изучении явления радиоактивности.
Воспользоваться закон сохранения энергии
m  V 2
1 q Au  q
.


2
40
rmin
Экспериментальные задачи-оценки
Задача №1.
Определите массу спички без серы. Оборудование: спичка, линейка. Указание: не ломайте
спичку! Примечание: плотность древесины, из которой сделана спичка, принять 800 кг/м3.
Решение
Масса спички m=V , где V=Sl=a2l – объём спички, a-длина ребра её торца, l-длина.
Длину непосредственно измеряем линейкой. Длину ребра можно измерить точнее, если
спичку «прокатить» вдоль линейки без скольжения N раз. Тогда a=l/N и, окончательно,
2
 l 
m  L  .
N
10
Задача №2.
Оценить объём одной скобы для степлера. Оборудование: полоска скоб для степлера,
линейка.
Решение
Объём одной скобы V=abc, а – длина скобы, b – ширина скобы, c – толщина скобы. Измерив
длину полоски L и сосчитав количество N входящих в неё скоб, можно определить ширину
одной скобы: b=L/N.
Отломив и распрямив одну из скоб, определяем её длину a.
Для нахождения толщины c отделяем от полоски n скоб, выпрямляем у них один конец и
накладываем одну на другую. Измерив толщину полоски l, находим толщину одной скобы:
c=l/n.
Итак, с учетом формул, получаем V  a 
L l
 .
N n
Задача №3.
Оцените объём лазерного CD-диска. Оборудование: два CD-диска, миллиметровка или
линейка.
Решение
Объём лазерного диска V=(S1-S2)h, где S1=R2 – площадь диска с отверстием, S2=r2 –
площадь отверстия диска, h – толщина диска. Радиусы диска и отверстия измеряются либо
по миллиметровке, накладывая на неё диск, либо при помощи линейки. Для определения
толщины ставим на ребро несколько плотно сложенных дисков на миллиметровую бумагу
или линейку. Определяем толщину H нескольких (N) дисков. Тогда h=H/N. В итоге

V   R2  r 2
 HN . (V≈13,6 см3)
11
Задача №4.
Оценить линейные размеры участка поверхности компакт-диска, приходящиеся на 1 бит
информации.
Оборудование: матрица CD-R, полупроводниковый лазер (лазерная указка), штатив, экран,
линейка, карандаш.
Решение
Соберем установку:
Установим лазер перпендикулярно плоскости диска так, чтобы отраженный луч,
соответствующий главному дифракционному максимуму, попадал обратно в выходное окно
лазера. Измерим на экране высоту h пятна, соответствующую дифракционному максимуму
порядка m, и расстояние l от экрана до точки падения луча. Рассматривая диск как
дифракционную
d
решетку,
получим
m
l
,
 sin  
d
l 2  h2
откуда
период
решётки
m 2
l  h 2 , где длина волны лазера λ = 650 нм. Измерив внешний R и внутренний r
l


радиусы рабочей поверхности диска, определим ее площадь S   R 2  r 2 .
Число бит
информации на диске N=650∙(1024)2∙8≈55∙109. Длина участка дорожки, приходящегося на
один бит, x 
S
.
Nd
12