ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Монастырский Л.М., Махно В.И.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к решению задач по механике
часть 2
для студентов классического и инженерного потока
Физического факультета
Ростов-на-Дону
2009
Методические указания разработаны кандидатом физикоматематических наук, профессором кафедры общей физики
Л.М. Монастырским и кандидатом физико-математических наук,
профессором кафедры общей физики В.И. Махно.
Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики
физического факультета ЮФУ, протокол №
от
2009 г.
Краткая теория (основные физические понятия)
Главное свойство окружающего нас мира – существование разного вида
взаимодействий.
Сила представляет собой количественную меру взаимодействия,
следовательно, можно выделить четыре типа фундаментальных сил.
1. Гравитационное взаимодействие.
Притяжение тел к Земле, существование солнечной системы
обусловлено гравитационными силами.
2. Слабое взаимодействие.
Существует большое число нестабильных элементарных частиц,
которые под влиянием слабых сил превращаются в другие частицы.
3. Электромагнитное взаимодействие.
Этими силами обусловлены связи в атомах и молекулах. Они
объясняют устойчивость вещества.
4. Сильное взаимодействие.
Наличие в ядрах атомов одноименно заряженных и нейтральных
частиц говорит о существовании сил внутриядерного взаимодействия.
Инерциальные системы отсчета. Законы Ньютона
В динамике выясняются причины того или иного характера движения тела
на основе сил, действующих на тело. Наиболее просто законы динамики
выглядя в так называемых инерциальных системах отсчета.
Инерциальными называют такие системы отсчета, в которых тело
находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения,
если все силы, действующие на тело, скомпенсированы.
Скомпенсированность сил означает следующее:
N

F  0 .
i 1
i
Все материальные тела обладают некоторым физическим свойством,
которое называют инертность. Инертность это свойство тела сохранять
состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если все
силы, действующие на тело, скомпенсированы. Впервые на это обратил
внимание Галилей, который сформулировал принцип инертности.
В основе динамики лежат три закона Ньютона.
1-ый закон Ньютона.
Существуют такие системы отсчета, в которых тело находится в
состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно, если все силы,
действующие на него, скомпенсированы.
Первый закон Ньютона, прежде всего, постулирует существование
инерциальных систем отсчета. В этом его самостоятельное значение. Кроме
того, он устанавливает условия покоя тела или равномерного
прямолинейного движения.
Поскольку инертность это физическое свойство тела, его можно
выражать количественно и измерять. В качестве меры инертности тела
выбирают его массу m. Измеряя независимо силу, действующую на тело и
ускорение, которое сообщает телу эта сила, можно становить

пропорциональность F ~ a . Коэффициентом пропорциональности в этой
зависимости является масса. Измеренную в таком динамическом
эксперименте массу называют инертной массой.
Сам Ньютон формулировал свой второй закон с помощью понятия

импульса тела p  mV .
2-ой закон ньютона.
Изменение импульса тела равно действующей на тело силе и совпадает с ней

 dP
.
F
dt
по направлению.
Или в нерелятивистском случае:
Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на ускорение,
сообщаемое этой силой.


F  ma .
3-ий закон Ньютона.
Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и
противоположны по направлению.
Отсюда следует, что при взаимодействиях в инерциальных системах
силы всегда возникают попарно.
Силы в природе. Движение под действием сил.
Силы сухого трения (трение покоя и трение скольжения).
Сухое трение возникает на поверхностях соприкосновения твердых тел. При
этом различают два вида трения: трение покоя и трение скольжения.
Подействуем некоторой силой F на тело, лежащее на горизонтальной
поверхности (рис.12).
Рис.12
Опыт показывает, что пока сила F меньше некоторого критического значения
Fкр тело покоится относительно поверхности. Расставим силы, действующие
на тело, на рис. 13.
Рис. 13
Поскольку тело взаимодействует с тремя телами (внешним, с Землей и

поверхностью), на него действуют три силы: внешняя F , сила тяжести Земли


FT и сила взаимодействия с поверхностью R . Теперь можно предложить
следующую модель взаимодействия тела с поверхностью. С одной стороны,
тело под действием силы тяжести давит на поверхность, деформирует ее и

вызывает появление ответной силы – силы упругой реакции поверхности N .
С другой стороны, поверхность и тело шероховаты и между ними есть

взаимодействие, которое описывается силой трения Fтр.пок. . Эта сила
называется сила трения покоя, т.к. тело покоится относительно поверхности.
Формулы для расчета силы трения покоя не существует, т.к. она равна по
модулю внешней силе, ее уравновешивающей.
Рассмотрим тело, покоящееся на наклонной плоскости (рис.14).
Рис. 14

На него также действуют только две силы: сила тяжести FT и сила

взаимодействия с наклонной плоскостью R . Эту силу представим как

равнодействующую двух сил: силы упругой реакции наклонной плоскости N

и силу трения покоя Fтр.пок. .
Обратимся опять к рис.13. Когда внешняя сила превышает критическое
значение Fкр, то тело начинает скользить по поверхности и появляется сила

трения скольжения Fтр.ск . . При специальной обработке поверхностей сила
трения скольжения практически не зависит от скорости, и ее величина
определяется выражением:

Fтр.ск . =   N .
Здесь  - коэффициент трения скольжения, N- сила упругой реакции опоры.
Опыт показывает следующий вид зависимости силы трения от скорости
движения тела, который приведен на рис. 15.
Рис. 15
Этот закон иногда называют законом Кулона - Амонтона.
Закон всемирного тяготения.
Как уже отмечалось, гравитационное взаимодействие очевидно одно из
самых универсальных в природе, ему подчинены все материальные тела.
Этому взаимодействию соответствует сила гравитационного взаимодействия,
которая удовлетворяет закону всемирного тяготения Ньютона.
Закон всемирного тяготения в следующем виде справедлив для
материальных точек массами m1 и m2, находящимися на расстоянии r друг от
друга:
F G
m1m2
.
r2
В таком виде закон всемирного тяготения справедлив еще для тел,
имеющих форму шара, если под r понимать расстояние между их центрами.
Однако это только выражения для модуля этой силы. Векторная величина
силы всемирного тяготения определяется следующим выражением (см.
рис.16):
 

r2  r1
F  Gm1m2   3 .
r2  r1
Рис. 16
Гравитационная постоянная G была измерена Г. Кавендишем в 1798 г. с
помощью крутильных весов, изображенных на рис. 17.
Рис. 17.
Сила взаимодействия больших и малых шаров измерялась по величине угла
закручивания нити подвеса весов.
Сила тяжести.
На все тела вблизи поверхности Земли действует сила взаимодействия,
которую, называют силой тяжести. Величина силы тяжести равна F=mg. Она
только приблизительно равна силе гравитационного взаимодействия тела и
Земли, вследствие движения Земли вокруг собственной оси вращения.
Вес тела.
Вес тела это сила, с которой тело давит на опору или растягивает нить
подвеса. Вес тела численно равен силе нормального давления тела на опору.
Он зависит от состояния опоры (а именно, от характера ее движения). Если
же тело не давит на опору и не растягивает подвес, то тело находится в
состоянии невесомости. Для невесомости характерно действие на тело только
одной силы – силы тяжести.
В выражение F  G 
m1m2
входит масса, которая ранее была определена,
r2
как мера инертности тела. В этот же закон входит так называемая
гравитационная масса. Но инертность и способность к гравитационному
взаимодействию представляют собой физически разные свойства. Если
инертная масса определяется в динамическом эксперименте, то
гравитационная масса определяется в статическом эксперименте
взвешиванием. Можем записать в гравитационном поле Земли:
F G
Mз
 mт .
R2
Здесь Мз – масса Земли, R- радиус Земли, mт –масса тела.
Обозначим величину G
Mз
 g (некоторая константа). Если сбросить тело
R2
с небольшой высоты вблизи поверхности Земли, то можем записать по
второму закону Ньютона:
mин  a  m гр  g .
Отсюда следует, что:
a
mгр
mин
g .
Опыт показывает (это, в частности, установил Галилей), что a=g,
следовательно mин  mгр .
Это равенство установлено экспериментально с относительной
погрешностью 10-12 .
Образцы решения задач по механике
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
3.1.
Тело массой m движется по горизонтальной поверхности под
действием силы F, направленной под углом  к горизонту. Найдите
ускорение а тела. При каком значении силы F0 движение будет
равномерным? Коэффициент трения равен  .
Запишем уравнение движения тела в векторном виде:
 
  
ma  F  mg  N  Fтр .
Найдем проекции уравнения движения на выбранные оси координат:
ma  F cos   Fтр
0  F sin   mg  N
Найдем силу трения скольжения:
Fтр   (mg  F cos  ) .
Получим ускорение тела:
a  R(cos    sin  ) / m  g .
Движение будет равномерным, если:
F0  mg /(cos    sin  ) .
3.2.
Груз скользит с наклонной плоскости высотой h и останавливается на
расстоянии S по горизонтали от вершины наклонной плоскости.
Найдите коэффициент трения.
Запишем уравнение движения в векторной форме:

  
ma  mg  N  Fтр .
Для наклонной плоскости:
ma1  mg sin   Fтр
0  mg cos   N
.
Отсюда можно получить:
ma1  mg sin   mg cos  .
Следовательно, на участке спуска:
a1  g sin   g cos  .
На горизонтальном участке уравнение движения будет иметь вид:
ma2   N
0   mg  N
.
Из этой системы находим:
a2  g .
Учтем кинематические соотношения:
V12  2a1l1 ,
l1  h / sin 
.
Конечная скорость на спуске является начальной скоростью при
торможении на горизонтальном участке, следовательно:
V12  2a 2 l 2 ,
l 2  S  h / tg
.
Тогда:
2a1h / sin   2a2 (S  h / tg ) .
  h/S .
Окончательно:
3.3.
Чтобы удержать брусок на наклонной плоскости с углом наклона  ,
надо приложить минимальную силу F1, а чтобы втащить вверх, надо
приложить силу F2. Найдите коэффициент трения  .
Рассмотрим первый случай, когда тело удерживают на наклонной
плоскости.
Уравнение движения в векторном виде:

 
F1  Fтр  mg  N  0 .
В проекциях на оси координат:
 F1  N  mg sin   0
N  mg cos   0
Отсюда находим:
.
F1  mg sin   mg cos  .
Рассмотрим второй случай, когда брусок втаскивают равномерно
вверх. В этом случае меняется не величина, а направление силы
трения.
F2  mg sin   mg cos  .
Исключив массу из этих уравнений, получим коэффициент трения:
  ( F2  F1 )tg /( F1  F2 ) .
3.4.
На тележке, скатывающейся без трен6ия по наклонной плоскости,
установлен стержень с подвешенным на нити шариком. Найдите
натяжение нити Т, если шарик имеет массу 2 кг. Плоскость составляет
с горизонтом угол  .
При установившемся движении все точки тележки, стержень,
шарик, нить движутся с одним и тем же ускорением а, направленным
вниз вдоль наклонной плоскости.
Запишем уравнение движения всей тележки в проекции на ось х,
направленную вниз вдоль наклонной плоскости:
Ma  Mg sin 
.
a  g sin 
Запишем теперь уравнение движения шарика в проекциях на эту же
ось:
Вдоль оси у имеем:
ma  mg sin   T sin  .
 mg cos   T cos   0 .
Отсюда можно получить, что:
sin   0 .
Следовательно, нить при движении шарика всегда перпендикулярна к
наклонной плоскости. Окончательно:
T  mg cos  .
3.5.
Самолет делает мертвую петлю радиусом R. Какую наименьшую
скорость V0 должен иметь самолет в верхней точки петли, чтобы
летчик не повис на ремнях, которыми он пристегнут к креслу?
Расставим силы, действующие на летчика в верхней части мертвой
петли.
Запишем уравнение движения летчика в верхней части петли:
mg  N 
mV 2
R .
При условии mV2/R=mg реакция опоры обращается в нуль. Отсюда
получаем необходимый результат:
V0  gR .
При малой скорости величина mV2/R может стать меньше mg, тогда
пилот повиснет на ремнях.
3.6.
Груз, привязанный к нити длиной 1 м, описывает окружность в
горизонтальной плоскости. Определите период обращения груза, если
нить отклонилась на угол  =600.
Такой груз называют коническим маятником.
Груз равномерно вращается по окружности радиусом R= l sin  .
Запишем уравнение движения груза в проекциях на оси координат:
mV 2
 N sin 
R
0  mg  N cos 
Теперь можно получить выражение для периода:
T
3.7.
2R
 2 l cos  / g .
V
Небольшое тело А соскальзывает с вершины гладкой сферы радиусом
R. Найти скорость тела в момент отрыва от поверхности сферы, если:
а) его начальная скорость пренебрежимо мала, б) начальная скорость
V0.
Положение тела на сфере будем характеризовать углом  .
Запишем уравнение движения в проекциях на оси координат:
ma  mg sin 
man  mg cos   N
Найдем скорость к моменту отрыва. Так как
V 
то:
dt 
dl Rd 

,
dt
dt
Rd 
.
V
Тогда получим:
m
dV
V  mg sin   d .
Rd 
Отсюда получим дифференциальное уравнение:
dV
 Rg sin   d ,
V
Отсюда найдем:
V 2  2 gR(1  cos  ) .
Или окончательно:
V 2  2 gR (1  V 2 / gR )
V  2 / 3 gR
.
Можно найти угол, соответствующий моменту отрыва тела:
  arccos 2 3 .
3.8.
К концам однородного стержня приложены две противоположно
направленные силы F1 и F2 (F1 < F2). Рассчитайте силу натяжения
стрежня в поперечном сечении, которое делит стержень на две части в
отношении 1:2.
Изобразим эту ситуацию на рисунке.
Запишем уравнение движения стержня в проекциях на ось х.
a
F1  F2
.
m
Рассмотрим правую часть стержня, составляющую 1/3 от его длины
l. На эту часть стержня действует сила натяжения Т. Запишем
уравнение движения этой части стержня:
a
Выразим силу натяжения:
3.9.
F2  T
.
m
T
F1  F2
.
3
Два груза массами по 100 г каждый подвешены на концах нити,
перекинутой через неподвижный блок. На один из грузов положен
перегрузок массой m  50 г. С какой силой дубет действовать этот
перегрузок на тело, на котором он лежит, когда вся система придет в
движение?
Изобразим ислы, действующие на грузы и перегрузок.
Наличие перегрузка на теле приведет к тому, что грузы и блок придут
в движение. Запишем уравнения движения всех трех тел:
ma  T  mg
ma  mg  P  T
ma  mg  N
Решив эту систему, получим результат:
p  2m
mg
.
m  m
3.10. Брусок массой m1 находится на доске массой m2, которая лежит на
гладкой горизонтальной плоскости. Коэффициент трения между
бруском и доской равен  . К доске приложили горизонтальную силу F,
зависящую от времени по закону F=kt. Найдите: а) момент времени,
когда доска начнет выскальзывать из-под бруска, б) ускорение бруска
а1 и доски а2во время движения. Трением между доской и плоскостью
можно пренебречь.
Рассмотрим силы, действующие на тела на рисунке.
Пока сила F мала, тело m1 движется вместе с телом m2 как одно
целое, так как тело m1 удерживает сила трения покоя. Сила трения
покоя в зависимости от величины других сил, приложенных к телу,
может изменяться от нуля до максимального значения – силы трения
скольжения N .
Увеличение силы F в конечном итоге приведет к тому, что доска
начнет выскальзывать из-под бруска. Запишем уравнение движения
бруска и доски в проекциях на ось х:
m1 a1  Fтр
m2 a 2  F  Fтр .
Здесь Fтр  Fтр1  Fтр 2 .
Пока предел силы трения не достигнут, тела движутся как одно
целое, т.е. а1=а2. При этом условии:
a
F
.
m1  m2
Максимально возможная величина ускорения тела массой m1:
a1  g .
Когда же сила трения достигнет предела, доска начнет
выскальзывать из-под бруска. При этом:
a2 
F  Fтр
m2

kt  m1 g
.
m2
Найдем момент времени, когда ускорение а2 сравняется с максимально
возможной величиной:
kt0  m1 g / m2  g .
Отсюда находим:
t0 
g (m1  m2 )
k
.
Представим этот результат на графике:
3.11. Пуля, пробив доску толщиной k, изменила свою скорость от V0 до V.
Найдите время движения пули в доске, считая силу сопротивления
пропорциональной скорости.
Запишем уравнение движения пули в доске:
ma x   F ,
По условию задачи F=rV. Таким образом, получаем дифференциальное
уравнение:
m
dV
  rV .
dt
После разделения переменных можем записать:
dV
rdt

.
V
m
Интегрируем это уравнение:
ln
V
rt
 .
V0
m
Или иначе:
V  V0 exp( rt / m) .
Найдем теперь путь пули в доске:
t
h   Vdt 
0
m
.
r (V0  V )
Найдем время движения пули в доске:
Задачи для самостоятельного решения
ДВИЖЕНИЕ В ОТСУТСТВИЕ СИЛ СОПРОТИВЛЕНИЯ
1.1.



На частицу массы 2 кг действует сила : F  4ex  10e y . Найти изменение
модуля скорости частицы и модуля перемещения за 10 с.
1.2.
В лифте на пружинных весах подвешено тело массой m. Считая
движение равнопеременным с ускорением а, определить, что покажут
весы, если: а)лифт поднимается с увеличивающейся скоростью, б)лифт
поднимается с уменьшающейся скоростью, в)лифт опускается с
увеличивающейся скоростью, г)лифт опускается с уменьшающейся
скоростью.
1.3.
Стальная проволока выдерживает груз, масса которого не превышает
600 кг. С каким максимальным ускорением можно поднимать груз
массой 500 кг, чтобы проволока не оборвалась?
1.4.
Вес неподвижного лифта с пассажирами 9  103 Н. Определить вектор
ускорения лифта, если натяжение троса, на котором подвешена кабина
лифта, равно 6  103 Н.
1.5.
К концу веревки, перекинутой через блок, подвешен груз массы 10 кг.
С какой силой нужно тянуть вниз за другой конец веревки, чтобы груз
поднимался с ускорением 3 м/с2?
1.6.
Найти ускорение грузов и силу натяжения в устройстве, состоящем из
двух блоков
m2
m1
1.7.
На наклонной плоскости, составляющей угол 300 с горизонтом,
находится тело массой m=10 кг, на которое действует горизонтально
направленная сила F= 20 Н (рис. 16 ). Определить ускорение тела и
силу, с которой оно давит на плоскость. Решить задачу для случая,
когда сила F будет направлена в противоположную сторону.
m

F

Рис. 16
1.8.
Два груза, массы которых 1 кг и 4 кг, висят на концах нити,
перекинутой через неподвижный блок. Легкий груз находится на 12 м
ниже тяжелого. Гири пришли в движение без начальной скорости.
Через какое время они окажутся на одной высоте?
1.9.
Какова средняя сила давления на плечо при стрельбе из автомата, если
масса пули
10 г, а скорость пули при вылете из ствола 600 м/с?
Автомат делает 300 выстрелов в минуту.
1.10. На шнуре, перекинутом через неподвижный блок, помещены грузы
массами 0,3 и 0,2 кг. С каким ускорением движутся грузы? Какова
сила натяжения шнура во время движения? Какая сила действует на
блок со стороны шнура?
1.11. На нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены грузы
массами 0,3 и 0,34 кг. За 2 с после начала движения каждый груз
прошел путь 1,2 м. Найти ускорение свободного падения, исходя из
данных опыта.
1.12. Два соприкасающихся бруска лежат на горизонтальном столе, на
котором они могут скользить без трения. Масса первого бруска m1= 2
кг, масса второго бруска m2= 3 кг. Один из брусков толкают с силой
Fо= 10 Н .
а) Найти силу F, с которой бруски давят друг на друга в случаях, если
сила Fо приложена сначала к бруску I, а затем к бруску II.
б) Что примечательного в полученных результатах?
m1

F0
m2

F0
1.13. Камень, привязанный к веревке длиной l, равномерно вращается в
вертикальной плоскости. При какой частоте вращения веревка
оборвется, если она выдерживает груз, превышающий десятикратный
вес камня ?
1.14. Конькобежец движется со скоростью 10 м/с по окружности радиусом
30 м. Под каким углом к горизонту он должен наклониться, чтобы
сохранить равновесие?
1.15. Груз, подвешенный на нити длиной 60 см, движется равномерно
описывая в горизонтальной плоскости окружность. С какой скоростью
движется груз, если во время его движения нить образует с вертикалью
постоянный угол 300?
1.16. Шарик М весом Р, привязанный нитью АМ к неподвижной точке А,
описывает горизонтальную окружность с постоянной скоростью. Зная
длину L нити и ее угол  с вертикалью, определите натяжение нити Т,
скорость шарика v и время t, в течение которого он описывает полную
окружность (период).
1.17. Шарик массы m=5 г, подвешенный на нити длины L=20 см, приведен
во вращательное движение в горизонтальной плоскости. Какова
должна быть прочность нити Т, чтобы радиус окружности, по которой
движется шарик, мог достигнуть величины R=0,8L=16 см?
1.18. Мальчик массой 60 кг качается на качелях с длиной подвеса 5 м. С
какой силой он давит на сиденье при прохождении среднего положения
со скоростью 4 м/с?
1.19. С какой скоростью должен двигаться автомобиль по мосту радиуса
кривизны 40 м, чтобы в верхней части моста оказаться в состоянии
невесомости?
1.20. Расстояние, проходимое автомобилем массы 2 кг по выпуклому мосту
радиуса 40 м, изменяется по закону S= 5 + 20t.С какой силой
автомобиль давит на мост в верхней точке моста?
1.21. Как уменьшается вес тела на экваторе вследствие вращения Земли по
сравнению с весом его на полюсе? Считать радиус кривизны
поверхности Земли на полюсе и на экваторе одним и тем же.
1.22. Стержень, на котором закреплены грузы m и 2m, вращается в
горизонтальной плоскости с угловой скоростью  . Определить
натяжение стержня на каждом участке.
a
a
ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАЗЛИЧНЫХ СИЛ
СИЛЫ ТРЕНИЯ
2.1.
Тело массой 100 г брошено вертикально вверх с начальной скоростью
30 м/с и достигло высшей точки подъема через 2 с. Определить силу
сопротивления воздуха, считая ее постоянной.
2.2.
Чтобы определить коэффициент трения k между деревянными
поверхностями, брусок положили на доску и стали поднимать один
конец доски до тех пор, пока брусок не начал по ней скользить. Это
произошло при угле наклона доски 140. Чему равен k?
2.3.
Чтобы удержать тележку на наклонной плоскости с углом наклона  ,
надо приложить силу F1, направленную вверх вдоль наклонной
плоскости, а чтобы втаскивать вверх, надо приложить силу F2. Найти
коэффициент сопротивления.
2.4.
Тело массой m движется вверх по вертикальной стене под действием
силы F, направленной под углом  к вертикали. Определить, с каким
ускорением движется тело, если коэффициент трения тела о стенку k.
2.5.
Брусок массы М лежит на гладкой горизонтальной плоскости, по
которой он может двигаться без трения. На бруске лежит тело массой
m. Коэффициент трения между телом и бруском равен k. При каком
значении силы F, приложенной к бруску в горизонтальном
направлении, тело начнет скользить по бруску? Через сколько времени
тело упадет с бруска, если длина бруска L?
2.6.
На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы m1 и на ней
брусок массы m2. К бруску приложили горизонтальную силу,
увеличивающуюся со временем по закону F  t , где  =const. Найти
зависимость от t ускорений доски а1и бруска а2, если коэффициент
трения между доской и бруском равен k. Изобразить примерные
графики этих зависимостей.
2.7.
Шайбу положили на наклонную плоскость и сообщили направленную
вверх начальную скорость v0. Коэффициент трения между шайбой и
плоскостью равен k. При каком значении угла наклона  шайба
пройдет вверх по плоскости наименьшее расстояние? Чему оно равно?
2.8.
На наклонной плоскости длиной 5 м и высотой 3 м находится груз
массой 50 кг. Какую силу, направленную вдоль наклонной плоскости,
надо приложить, чтобы удержать этот груз? Втаскивать равномерно
вверх? Втаскивать с ускорением 1 м/с2? Коэффициент трения 0,2.
2.9.
Брусок массы m лежит на горизонтальной поверхности. Коэффициент
трения между бруском и поверхностью равен k. Нарисовать график
зависимости силы трения, действующей на брусок, от величины
внешней силы, приложенной к бруску в горизонтальном направлении.
2.10. Брусок массы m лежит на наклонной плоскости, образующей угол  с
горизонтальной поверхностью. Коэффициент трения равен k.
Нарисовать график зависимости силы трения, действующей на брусок,
от угла  . По графику определить, при каком угле  брусок начнет
скользить по наклонной плоскости.
2.11. На горизонтальной поверхности лежит тело массой 5 кг. Какой путь
пройдет это тело за 1 с, если к нему приложить силу 50 Н, образующую
угол 600 с горизонтом? Коэффициент трения между телом и
поверхностью принять равным 0,2.
2.12. С каким ускорением будет двигаться тело массой 2 кг в
горизонтальном направлении, если к нему приложена сила 5 Н,
направленная под углом 450 к горизонту? Коэффициент трения принять
равным 0,1.
2.13. Шайбу положили на наклонную плоскость и сообщили направленную
вверх начальную скорость Vо. Коэффициент трения между шайбой и
плоскостью равен k. При каком значении угла наклона  шайба
пройдет вверх по плоскости наименьшее расстояние? Чему оно
равно?
2.14. Брусок массы m тянут за нить так, что он движется с постоянной
скоростью по горизонтальной плоскости с коэффициентом трения k .
Найти угол  , при котором натяжение нити будет наименьшим. Чему
оно равно? При какой величине силы F брусок будет отрываться от
поверхности?

F

m
2.15. Горизонтально расположенный диск вращается около вертикальной
оси, проходящей через его центр. На диске лежит груз на расстоянии
10 см от оси вращения. Найти коэффициент трения покоя между
диском и грузом, если при частоте вращения диска 0,5 об/с груз
начинает скользить по поверхности диска.
2.16. Определить максимальное значение скорости, с которой автомобиль
может двигаться по закруглению асфальтированного шоссе радиусом
100 м, если коэффициент трения между шинами автомобиля и
асфальтом 0,5.
.СИЛЫ УПРУГОСТИ
3.1.
Найти жесткость пружины, которая под действием груза массы 2 кг
удлинилась на 5 см.
3.2.
Две последовательно соединенные пружины равной длины
растягивают за свободные концы руками. Пружина с жесткостью 150
Н/м удлинилась на 10 см. Какова жесткость второй пружины, если ее
удлинение равно 3 см ?
3.3.
Жесткость пружины длины 30 см равна 300 Н/м. Изменится ли
жесткость пружины, если от нее отрезать кусок длиной 10 см.
3.4.
Во сколько раз отличается жесткость троса из четырех одинаковых
проволок от жесткости одной?
3.5.
Чему равна относительная деформация стального стержня, сжатого
силой 3  105 Н, если диаметр стержня 2 см, а его модуль Юнга равен
2  1011 Па?
3.6.
Проволока диаметром 0,8 мм, длиной 1,8 м под действием силы 25 Н
удлинилась на 2 мм. Определите модуль Юнга для материала
проволоки.
3.7.
Какую силу необходимо приложить к стержню вдоль его оси, чтобы в
стержне возникло напряжение 3  108 Па, если диаметр стержня 0,4 см ?
3.8.
Под действием силы 100 Н проволока длиной 5 м и площадью
поперечного сечения 2,5 мм2 удлинилась на 1 мм. Определить
механическое напряжение и модуль Юнга материала проволоки.
3.9.
Какую наименьшую длину должна иметь свободно подвешенная за
один конец стальная проволока, чтобы она разорвалась под действием
силы тяжести? Предел прочности стали 3,2  108 Па, плотность 7,8
г/см3.
3.10. Железобетонная колонна сжимается силой F. Полагая, что модуль
Юнга бетона составляет 1/10 модуля Юнга железа, а площадь
поперечного сечения железных стержней составляет 1/20 площади
поперечного сечения бетона, найдите, какая часть нагрузки приходится
на бетон.
3.11. Сопротивление перемещению груза равно 1,6  105 Н. Допустимое
напряжение материала троса, с помощью которого перемещают груз,
равно 20 Гпа. Какой должна быть площадь поперечного сечения
троса?
3.12. На сколько растягивается стержень из железа, подвешенный за один
конец , под влиянием собственного веса?
3.13. Стальной шар массой 1 кг, привязанный к резиновому жгуту,
описывает в горизонтальной плоскости окружность. Частота вращения
шара 2 об/с. Угол отклонения резинового жгута от вертикали 600, его
жесткость 0,5 кН/м. Найти длину нерастянутого резинового жгута.
3.14. Какое давление необходимо приложить к торцам стального цилиндра,
чтобы длина его не изменилась при повышении температуры на 1000С?
Коэффициент линейного расширения стали считать равным 11 106 К-1,
модуль Юнга 200 Гпа.
3.15. Горизонтально расположенный медный стержень длины 1 м вращается
вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. При какой
частоте оборотов он может разорваться ? Плотность меди 8,9 г/см3;
предел прочности на разрыв 0,30 Гпа.
3.16. Кольцо радиуса 25 см , сделанное из свинцовой проволоки, вращают
вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр и
перпендикулярной к плоскости кольца. При какой частоте оборотов
данное кольцо может разорваться? Плотность свинца 11,3 г/см3; предел
прочности на разрыв 0,15 Гпа.
3.17. К середине натянутого каната подвешен груз массой 200 кг, в
результате чего образовался прогиб величиной 1200. Найти силу
натяжения каждой половины веревки и проанализировать ответ
определите, можно ли веревку, трос и т.д. натянуть идеально
горизонтально.
3.18. Однородный стержень, длина которого l, а масса m , вращается с
угловой скоростью  в горизонтальной плоскости вокруг оси,
проходящей через его конец. Найти силу натяжения стержня на
расстоянии r от оси вращения.
3.19. Какова жесткость пружины, составленной из двух пружин, жесткости
которых k1 и k2 , соединенных : а) параллельно; б) последовательно.
3.20. Найти удлинение троса жесткости 100 кН/м при буксировке
автомобиля массой 2m с ускорением 0,5 м/с2.
3.21. Стальной маховик вращается с частотой 60 оборотов в минуту.
Средний диаметр его обода равен 1,5 м. Определить увеличение
диаметра маховика.
3.22. Тонкий однородный упругий шнур массы m и длины l0 в нерастянутом
состоянии имеет коэффициент жесткости k. Соединив торцы, шнуру
придали форму окружности и раскрутили до угловой скорости 
вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Найти силу
натяжения шнура. Чему она равна, если шнур считать
недеформируемым?
3.23. К грузу массой М подвешен на веревке груз массой m. Каково
натяжение веревки, если всю систему поднимать вертикально вверх
силой F? Масса веревки m.
3.24. Недеформированная пружина с жесткостью k имеет длину l0. При
вращении системы в горизонтальной плоскости с угловой скоростью 
груз массой m растягивает пружину. Найти длину пружины при
вращении.
СИЛЫ ТЯГОТЕНИЯ
4.1.
Каково ускорение свободного падения на высоте, равной радиусу
Земли? Гравитационная постоянная 6,67  1011 нм2/кг2.
4.2.
.Средняя плотность Венеры 5200 кг/м3, а радиус планеты 6100 км.
Найти ускорение свободного падения на поверхности Венеры.
4.3.
На каком расстоянии от поверхности Земли сила притяжения
космического корабля к ней станет в 100 раз меньше, чем на
поверхности Земли?
4.4.
Вычислить скорость искусственного спутника Земли на высоте
1700 км, считая орбиту его движения круговой. Радиус Земли 6400
км.
4.5.
Искусственный спутник, используемый в системе телесвязи,
запущен в плоскости земного экватора так, что все время находится
в зените одной и той же точки земного шара. Во сколько раз радиус
орбиты спутника больше радиуса Земли?
4.6.
Искусственный спутник Земли запущен с экватора и движется по
круговой орбите в плоскости экватора в направлении вращения
Земли. Найти отношение радиуса орбиты спутника к радиусу Земли,
при котором он периодически проходит над точкой запуска через
двое суток.
4.7.
Вес тела на экваторе некоторой планеты на 10 % меньше веса на
полюсе. Чему равен период обращения планеты вокруг своей оси,
если планета имеет форму шара со средней плотностью вещества 5
г/см3?
4.8.
Определить массу Солнца, зная, что средний радиус орбиты Земли
1,49  108 км.
4.9.
Тело, размерами которого можно пренебречь, помещено внутрь
тонкой однородной сферы. Доказать, что сила притяжения,
действующая со стороны сферы на тело, равна нулю при любом
положении его внутри сферы.
4.10. С какой силой притягивается к центру Земли тело массы m,
находящееся в глубокой шахте на расстоянии r от центра Земли?
Плотность Земли  .
4.11. Вокруг некоторой планеты, имеющей форму шара, по круговой
орбите радиуса 7000 км со скоростью 12 км/с обращается спутник.
Какова средняя плотность планеты, если ее радиус равен 6400 км?
4.12. Найти силу взаимодействия тонкого однородного стрежня массы М
и длины L и материальной точки массы m, находящейся на
продолжении стержня на расстоянии х от его края ( х > L ). Как
изменится полученный ответ при увеличении расстояния х, при
х
>> L?
4.13. В центре тонкого кольца радиуса R и массы М находится
материальная точка массы m. Найти силу, действующую на
материальную точку.
4.14. Некоторая планета движется по окружности вокруг Солнца со
скоростью V. Найти период обращения этой планеты вокруг
Солнца.
4.15. Найти силу притяжения двух электронов, находящихся на
расстоянии 1 км, и сравнить ее с силой их кулоновского
отталкивания.
4.16. Радиус Луны в 3,7 раза меньше радиуса Земли, а масса Луны в 81
раз меньше массы Земли. Найти ускорение свободного падения у
поверхности Луны.
4.17. Определить минимальный период обращения спутника нейтронной
звезды. Ее плотность 1017 кг /м3.
4.18. При какой угловой скорости вращения Земли вес тел на экваторе
обратился бы в нуль? Плотность Земли 5,6 г/см3. Какова при этом
продолжительность суток на Земле?
4.19. Средняя угловая скорость движения Земли вокруг Солнца равна 10 в
сутки. Расстояние Земли от Солнца 15
,  108 км. Определить массу
Солнца.
4.20. Найти зависимость веса на Земле от географической широты
4.21. Первый искусственный спутник Земли имел период обращения 1 ч
36 мин. Определить высоту спутника над поверхностью Земли.