Размерность при решении физ. задач

Роль соображений подобия и размерностей в мгновенной оценке ситуации
Качество немаловажное в игровых состязаниях
При решении разного род практических проблем в жизни, в образовательной и
научной деятельности, в инженерной производственной практике, наконец, в
творческих состязаниях (играх) большую (порой определяющую) роль играет
способность участника быстро ориентироваться в возникающих обстоятельствах. При
этом приходится принимать ответственные решения порой в отсутствии реальной
информации, или в условиях дефицита времени, когда нет возможности провести
результативный анализ. В этом случае неоценимо умение проанализировать ситуацию,
практически не имея конкретных данных, «из общих соображений» и логических
умозаключений.
В проблемах (в том числе и игровых), решаемых средствами «империи Физика»,
выдающееся значение имеет умение проанализировать возникшую проблему,
используя арсенал арифметического размерного анализа (т.е. используя размерности
рассматриваемых величин). Ниже приведены несколько практических вопросов-задач
из области биологии животного мира, на которые удается найти разумное объяснение
исходя из общих физических представлений о функционирующих закономерностях
живой материи и размерности используемых величин.
1. Животные пустыни вынуждены преодолевать значительные расстояния в
экстремальных условиях высоких температур, не имея возможности пополнить
запас влаги в организме (проходя большие расстояния между питьевыми
источниками). Найти зависимость между предельным временем T, которое может
выдержать животное, и его «габаритами» L.
Решение:
Запас воды пропорционален объему тела, т.е. L3 (L – характерный параметр
размеров животного). Жизнедеятельность организма млекопитающих построена на
химических реакциях, отвод тепла, выделяющегося при этом, происходит благодаря
испарению воды (пара) и теплоотдаче окружающему воздуху. И то и другое
пропорционально площади поверхности тела, т.е. L2 ·T – количество воды,
испарившейся за время T. Приравняем испарившуюся воду запасенной, найдем T L .
Таким образом, мы показали, что время, в течение которого животное в состоянии
продвигаться в пустынной местности пропорционально его линейным размерам L .
Остается заметить, что верблюд – «царь пустыни» является одним из самых крупных
животных.
Информация из Википедии
Верблюды (лат. Camelus) — род млекопитающих семейства верблюдовых
(Camelidae) подотряда мозоленогие (Camelidae). Это крупные животные,
приспособленные для жизни в засушливых регионах мира — пустынях, полупустынях и
степях.
Существует два вида верблюдов:
Camelus bactrianus — двугорбый верблюд, или бактриан
Camelus dromedarius — одногорбый верблюд, или дромедар, или дромадер, или
арабиан
Возможны жизнеспособные гибриды первого поколения одногорбого и двугорбого
верблюдов, которые называются Нары.
2. Как связана с размером животного L высота прыжка H?
Решение:
Необходимая для прыжка на высоту H энергия равна MgH, масса M
пропорциональна объему L3 . Следовательно, необходимая энергия пропорциональна
третьей степени размеров животного L3 H. С другой стороны совершаемая
мышечными усилиями работа пропорциональна F·L. При этом сила мышечных усилий
ограничена сверху прочностью костной ткани (каркаса тела), а прочность костей
пропорциональна площади их сечения, т.е. L2 ( F L2 ). В результате имеем F  L L3
и, окончательно, F  L L3 L3 H . Отсюда следует, что высота прыжка не зависит от
размеров животного.
Действительно, кенгуру и тушканчик прыгают примерно одинаково.
Справка 1 из Википедии.
Категория: Животные, Автор: VseZnamus
Все 30 видов тушканчиков заслуживают титула самых своеобразных и шустрых
мышевидных грызунов. Задние ноги этих мелких зверьков почти вчетверо длиннее
передних. Сросшиеся плюсневые косточки задних конечностей придают им
необходимую прочность и силу, т. к. тушканчики передвигаются высокими и
длинными прыжками, поддерживая равновесие длинным хвостом. В состоянии покоя
хвост служит хозяину подпоркой.
Справка 2 из Википедии.
Категория: Животные, Автор: VseZnamus
У всех кенгуру примерно одинаковая форма тела с короткими передними
конечностями и мощными задними, которые отлично приспособлены для длинных
прыжков. Крупных представителей этого семейства традиционно называют кенгуру, а
мелких — валлаби. Тяжёлый хвост обеспечивает равновесие при беге и служит опорой
во время кормёжки.
Древесные кенгуру прыгают по земле, как и остальные их сородичи.
Кенгуру
Валлаби
Тушканчик
Тушканчик
3. Как связана с размерами животного его предельная скорость перемещения по
равнине и в гористой местности?
Решение:
Механическая мощность, развиваемая животным, пропорциональна площади
поверхности, т.е. L2 . Химическая энергия, выделяемая при расщеплении биопродуктов
в организме животного, частично (около20%) переходит в механическую энергию
движения, оставшаяся энергия (~80%) выделяется в виде тепловой. Для поддержания
постоянного температурного режима (условие строго необходимое для нормальной
жизнедеятельности всех млекопитающих) выделяемое тепло должно непрерывно
отдаваться в окружающую среду, при этом теплоотдача пропорциональна поверхности
тела L2 . Последнее доказывает справедливость начального тезиса, т.к. КПД
биомеханизма примерно фиксировано на рубеже около 20%.
Сила сопротивления воздуха пропорциональна площади тела и квадрату скорости
перемещения животного (факт, использованный в теории парашюта). Затрачиваемая
на преодоление силы сопротивления, мощность пропорциональна
N  F  v L2  v 2  v L2  v 3 . Приравнивая необходимую для скоростного перемещения
механическую мощность и поступаемую в результате биопроцессов в теле животного
мощность, получим L2  v 3 L2 , следовательно, v L0 , т.е. размеры животного не дают
фатального преимущества в скорости.
Наш повседневный опыт показывает, что из наиболее часто встречающихся нам
животных собака и беговая лошадь имеют сравнимые скорости бега на
горизонтальной поверхности.
Совсем другая ситуация складывается при беге в гору. Необходимая мощность в
этом случае связана с повышением потенциальной энергии N Mg  v L3  v , а
развиваемая мощность пропорциональна L2 . Сравнивая обе мощности, получим
v L1 .
Ответ, не являющийся неожиданным, наш опыт подтверждает преимущество
собаки перед лошадью при беге в гору – собака легко взбегает на достаточно крутой
холм, лошадь тормозит, замедляя шаг.
Все биологические примеры, постановка проблем и наметки решений взяты из
превосходной популярной книги Дж. Смита *) (Mathematical Ideas in Biology by J. Maynard
Smith, Maynard Smith
Pub. Date: November 1968
Publisher: Cambridge University Press
ISBN-13: 9780521095501
ISBN: 0521095506
Наконец, приведем одну из физтеховских олимпиадных задач для школьников. Сюжет
подсмотрен в картинках из живой природы, решение требует простого «здравого
смысла» и не более.
4. Летучая мышь использует биолокатор, работающий в ультразвуковом диапазоне.
Площадь бабочки, отражающей ультразвук, 5см2, площадь ушей летучей мыши
5см2. Летучая мышь улавливает отраженные сигналы, если их мощность
составляет более чем 10-8от мощности излученных ею волн. На каком расстоянии
летучая мышь способна успешно охотиться за бабочкой?
Решение:
Пусть r – расстояние между летучей мышью и бабочкой, S1 – площадь ушей мыши,
S2 – площадь отражающей ультразвук поверхности бабочки, КПД η = 10-8.
Предполагая, что летучая мышь излучает всю мощность равномерно по полусфере (по
направлениям), а бабочка ее равномерно (по направлениям) отражает, получим
условие улавливания отзвука
1
 S S  4
S
S
P0 1 2  2 2  Pmin  P0 , r  rmax   1 2 2  . Ответ: r  rmax  1м .
2r 2r
 4  
Информация из Википедии
Летучие мыши обнаруживают предметы, преграждающие им путь, испуская
неслышимые для человека звуки и улавливая их эхо, отраженное от предметов. До
открытия ультразвуковой эхолокации предполагалось, что летучие мыши обладают
экстрасенсорным восприятием. Их лишали возможности использовать зрение,
покрывали крылья плотным лаком, чтобы лишить возможности чувствовать
воздушные потоки, и все равно они избегали расположенных в экспериментальной
камере препятствий.
Исследования доктора О. Хенсона, анатома Иельского университета, показали, что
в момент испускания разведывательных ультразвуков мышцы в ушах летучих мышей
закрывают ушные раковины для предотвращения повреждения слухового аппарата.
Во время полёта летучие мыши поют песни, используя сложные сочетания слогов, на
высоких частотах (что обусловлено их способностью к эхолокации). Они создают
ультразвуковые волны от 40 до 100 кГц. Зов бразильского складчатогуба включает от
15 до 20 слогов. Ухаживая за самкой, каждый самец поёт свою собственную песню,
хотя в целом мелодии всех песен похожи. Разница заключается в индивидуальном
сочетании различных слогов. Сложные голосовые сообщения используются не только
для ухаживаний, но также для опознавания друг друга, обозначения социального
статуса, определения территориальных границ, при воспитании потомства и при
противодействии особям, вторгшимся на чужую территорию. По мнению биолога
Майкла Смотермана, ни одно другое млекопитающее, кроме человека, не обладает
способностью общаться с помощью столь сложных голосовых последовательностей.
Голосовой центр, ответственный за организацию сложных последовательностей
слогов, у летучих мышей расположен несколько выше, чем у человека, и учёные пока
не могут определить, где именно он находится.