глава 3. возбуждение волн подвижками дна на

ГОУ ВПО
Иркутский государственный университет
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ВОЛН ЦУНАМИ.
Специальный курс.
Иркутск
2008 год.
Данное учебно-методическое пособие
предназначено для студентов 3-го курса
ИМЭИ ИГУ специальности « 010200прикладная математика и информатика».
Библиография:115названий.
Составитель - к. ф-м. наук, доцент
кафедры дифференциальных и интегральных
уравнений ИМЭИ ИГУ ЛОБОВ В.В.
2
Содержание.
Глава 1. Итоги работы лаборатории численного анализа
ИТПМ СО АН СССР по проблеме цунами за 19751980годы.
Введение…………………………………….
6
§1.О физических постановках задач, математических
моделях, используемых
алгоритмах……………………………….
9
§2.Задачи возбуждения и набегания волн
цунами……………………………………..
13
§3.Некоторые результаты численного моделирования
распространения волн
цунами…………………………………….
18
Глава 2. Обзор результатов исследований по проблеме
цунами, выполненных в 1976-1980годах в СахКНИИ, а
также в некоторых других учреждениях страны…
22
Введение………………………………………
22
§1.Методы оценки энергии цунами…………
29
§2.Постановка обратной задачи……………..
35
§3.Особенности очагов цунамигенных землетрясений и
возможные критерии
цунамигенности……………………………
40
Глава 3. Возбуждение волн подвижками дна на поверхности
безбрежного океана конечной
глубины………………………..
58
Введение……………………………………..
58
§1.Вывод уравнения Адамара. Постановка краевой задачи
для определения главного члена
возмущения…………………………
60
§2.Примеры определения отклонения свободной
поверхности в некоторых частных
случаях……………………………
64
1. Действие одного точечного источника…..
66
3
2. Одновременное действие двух точечных
источников………………………………..
67
3. Действие двух последовательно включающихся
источников разной интенсивности ……………
71
4. Случай негоризонтального дна…………
74
§3.Теоретическая модель и формулы численного решения
задачи определения отклонения свободной поверхности
в общем случае……………………………….
77
§4.Исследование зависимости отклонения свободной
поверхности от временного характера действия
подвижки. Пример расчёта отклонения свободной
поверхности……………………………….
88
§5.Решение задачи о возмущении свободной поверхности
подвижками дна, действующими в течение любого
конечного времени………………………..
104
§6.Об одном частном случае возбуждения волн на
мелководье……………………….
109
Глава 4. Возбуждение волн источниками, заключёнными в
толще воды, оползнями..
113
§1.Теоретическая модель возбуждения волн подводными
источниками…………………
113
§2.Формулы численного решения……………
124
§3.Теоретическая модель возбуждения волн
оползнями…………………………………..
134
Глава 5. Исследование постановок обратных задач теории
возбуждения волн…………...
141
§1.Численно-аналитическое решение обратной задачи для
случая a 2 tt  f  x  ct …………………………… 143
§2.Численно-аналитическое решение обратной задачи для
случая a 2 tt  f t q x , y ………………………… 146
§3.Исследование обратной задачи с помощью интегральных
уравнений первого рода……………………………… 148
4
§4.О регуляризации решения обратной задачи и два
алгоритма её решения……….
ЛИТЕРАТУРА………………………………...
5
156
161
В данном учебно-методическом пособии была сделана
попытка систематизировать результаты научных
исследований по проблеме цунами учёных лаборатории
численного анализа ИТПМ СО АН СССР, СахКНИИ
Дальневосточного Отделения АН СССР, математического
факультета и ВЦ ИГУ за период с 1970 по1985 годы.
Именно в этот промежуток времени к вопросам по
проблеме цунами подключились сотрудники
математического факультета и ВЦ ИГУ, что и хотелось
отразить в пособии для студентов ИМЭИ ИГУ.
Именно в этот промежуток времени учёные трёх
вышеуказанных учреждений работали совместно и
достаточно плодотворно.
Работы по проблеме цунами, естественно, продолжаются,
а это учебно-методическое пособие является, как бы,
введением в эту огромную проблему.
ГЛАВА 1.
Итоги работы лаборатории численного анализа ИТПМ СО
АН СССР по проблеме цунами за 1975-1980 годы.
( Ю. И. Шокин, Л. Б. Чубаров, Ан. Г. Марчук, В. В. Кобков,
В. К. Гусяков, А. С. Алексеев, З. И. Федотова)
Введение.
6
Основные результаты, полученные в лаборатории по
проблеме моделирования волн цунами:
1.В задаче о генерации волн цунами использовалась система
нелинейных уравнений мелкой воды с учётом движения
дна, которая решалась с помощью явной конечноразностной схемы с искусственной вязкостью. Величина
последней определялась эмпирически из соображений
улучшения дисперсионных свойств схемы.
Рассматривались следующие задачи: возбуждение волн
цунами в результате подъёма или опускания участка дна;
возбуждение подвижками дна конечной
ширины, бегущими по дну с различной скоростью.
2. Численные эксперименты по моделированию
распространения длинных волн были начаты с решения
задач, сформулированных для бассейнов с простыми
схематическими рельефами дна. Анализ результатов
позволил сделать следующие выводы:
а) применяемая система тестов достаточно подробно
выявляет особенности математических моделей и
численных экспериментов.
б) разработанные и реализованные численные алгоритмы
вполне адекватно описывают физические процессы,
связанные с распространением волн цунами.
в) границы применимости тех или иных математических
моделей определяются в основном характеристиками
начального возмущения и рельефа дна исследуемой
области.
г) результаты, полученные с помощью линейной системы
мелкой воды, оказываются вполне пригодными для
предварительного цунамирайонирования
побережья, т.к. фазовые и амплитудные ошибки на
глубинах до 20 метров  5%.
д) учёт конвективных и дисперсионных членов в
уравнениях мелкой воды особенно важен при расчётах
7
волн, имеющих амплитуду, сравнимую с глубиной
бассейна, и распространяющихся над пологими
шельфовыми зонами большой протяжности.
На основе накопленного опыта был определён
необходимый минимум моделей и алгоритмов, реализуемых
впоследствии комплексами программ «MKUP» и
«ВОЛНА». С помощью этих комплексов были рассчитаны
гипотетические цунами в районе Курило- Камчатского
глубоководного желоба и осуществлено численное
моделирование реальных цунами, показавшее хорошее
совпадение с известными записями мареографов как по
времени прихода, так и по амплитудам волн.
3. Одной из наиболее интересных и сложных фаз жизни
волн цунами является её выход на берег. Этот момент
важен ещё и потому, что разрушающее действие цунами
проявляется именно в этой фазе. Сложность расчёта задачи
о выходе длинной волны на
берег, поставленной для системы уравнений мелкой воды,
заключается в том, что приходится иметь дело с
нефиксированной границей и определять на каждый момент
времени положение фронта волны. Для решения этой
задачи предложен метод, в котором постоянство расчётной
области достигается переходом в новую систему координат.
Нелинейная система мелкой воды в новых координатах
решалась с помощью с помощью явной конечноразностной схемы. Получена зависимость величины
заплеска и скорости потока от наклона берега, а также
величины заплеска и скорости потока от длины волны при
постоянном наклоне берега. Численно исследовался
процесс обрушения волны.
4. Концепсия программного обеспечения для численного
моделирования волн цунами, разработанная в ИТПМ
охватывает такие вопросы, как выбор ЭВМ, выбор средств
программирования и т. д.
8
Конкретной реализацией этих принципов стали комплекс
программ « MKUR», предназначенный для расчёта
распространения длинных волн в рамках
линейных и нелинейных моделей мелкой воды в декартовой
с. к., а также комплекс программ « ВОЛНА»,
предназначенный для расчёта распространения волн цунами
в сферической с. к. с учётом эффектов вращения Земли.
Значительной частью работ явилось создание сервисных
программ, осуществляющих предварительную обработку
входной информации и представление результатов счёта в
наглядном виде, наиболее удобном для дальнейшего
использования.
Основные результаты исследований опубликованы в
работах [1]-[29].
§1. О физических постановках задач, математических
моделях, используемых алгоритмах.
В общей картине развития волн цунами принято выделять
следующие этапы:
1. Генерация.
2. Распространение по глубокому океану.
3. Распространение по океану малой
глубины.
4. Распространение в зоне шельфа.
5. Выход на берег. Разрушение волны.
1.Генерация волн цунами.
Будем предполагать, что глубина бассейна зависит как от
пространственных координат, так и от времени, причём
зависимость эта может иметь самые различные формы.
Приближённые гидродинамические модели, включающие
глубину океана как один из коэффициентов, позволяют без
9
существенного усложнения алгоритма моделировать
разнообразные изменения дна.
Пример (одномерная с. у. м. в.)
Пусть XOZ расположена так, что OX совпадает с
невозмущённой водной поверхностью, а OZ направлена
вертикально вверх. Тогда исходные уравнения примут вид:
 ut  uu x  g x  0
(1.1.1)
где   x, t  






H

R


u

R
t
 t
x
возмущение уровня воды, R x , t  - функция, описывающая
движение дна, u x , t  - определённая по вертикале от H  x 
до   x, t  горизонтальная скорость.
Заметим, что такая методика позволяет, по существу,
совместить процессы численного исследования генерации и
распространения волн цунами, учитывая при этом такие
эффекты, как остаточные изменения рельефа дна и
наложения последующих возмущений на
распространяющуюся по океану волну. В то же время
сейсмические характеристики источника землетрясения
оказывают влияние только через R x , t  .
2. Распространение волн цунами.
Здесь описываются гидродинамические модели,
используемые при описании распространения волн цунами
как в 2., так и в 3., 4. Общим является то, что они строятся в
предположении малости того или иного характерного
параметра. При этом изначальной является система
уравнений Эйлера, описывающая движение идеальной
несжимаемой жидкости в поле силы тяжести.
Система координат ориентирована как в 1., т.е.
плоскость XOY совпадает с поверхностью невозмущённой
жидкости. Пусть H o - характерная глубина,  - длина
10
распространяющейся волны,  - её амплитуда. Введём три

2

H 
,    0  ,  2
параметра:  
H0
  

Можно показать, что  и  2 являются мерами
дисперсии, с той лишь разницей, что  2 характеризует
влияние частоты волны на скорость распространения, а  характеризует влияние амплитуды[30]. Третий же параметр
 - так называемый параметр Урселла, определяет
соотношение между этими двумя видами дисперсии.
Для   1 дисперсия амплитуды может не учитываться и в
этом случае пользуемся теорией мелкой воды: (1.1.2)
2

ut  g x  f11

 t  u x   y  g y  f12

    H   u   H      f
13
x
y
 t
Для   1 дисперсия амплитуды является
преобладающим фактором и пользоваться тогда надо
нелинейной теорией мелкой воды:

ut  uu x  u y  g x  f11

 t u x   y  g y  f12
(1.1.3)

    H   u   H      f
13
x
y
 t
где в f ij входят поля внешних сил, включающие силы
Кориолиса, силы донного и поверхностного трения и т.д.
11
Если же   o1 , то оба эффекта сбалансированы, в этом
 
случае хорошо работает модель Перегрина 31 ,
представляющая собой развитие модели Буссинеска на
случай двумерного бассейна с переменной глубиной:
 

1 H    Hu  


u

u

u

g



 t
2 t

 1

2 



H

u
 6
t



 0





H


u

t
(1.1.4)

где u  u, v,  , H - обезразмерены. Подобные уравнения
высших порядков рассматривались многими авторами
30  37.
Начальные данные представляются алгоритмами расчёта
генерации волн цунами и состоят в задании некоторого
распределения скоростей и возвышений водной
поверхности.
Что же касается граничных условий, то в задачах о
распространении волн цунами можно указать три их типа:
1.Граничные условия, описывающие приходящее на
границу возмущение.
2.Граничные условия, описывающие взаимодействие
волны с берегом.
3. «Свободные» граничные условия, позволяющие волне
покидать расчётную область.
5. Выход волны на берег. Разрушение волны.
12
Именно в этой фазе существенным образом
проявляются нелинейные эффекты и становится
неизбежным переход к разрывным решениям.
Существует несколько подходов к решению задач
такого типа. Один из них основан на моделях типа (1.1.2) и
(1.1.3). Расчёты, проведённые в 38, 39 , при сравнении их
с экспериментальными данными показывают хорошие
совпадения как в качественных, так и в количественных
характеристиках.
4. В этом пункте предлагаются математические модели,
описывающие распространение длинных волн при наличии
ледяного покрова [40]-[44].
§2. Задачи возбуждения и набегания волн.
1. Для расчёта возбуждения волн цунами использовался
подход, не требующий априорных предположений о
характере подвижки дна, а позволяющий связать волну
цунами непосредственно с очагом землетрясения, т.е. с его
параметрами, которые определяются из наблюдений над
сейсмическими волнами, а именно: глубиной, ориентацией
и размерами разлома, направлением подвижки, скоростью
распространения разрыва.
Основной идеей является применение упругой модели
среды и использование в качестве уравнений движения
уравнения Ляме с учётом гравитационных членов, что
позволяет иметь в решении не только упругие, но и
гравитационные волны. Волны цунами при этом
выделяются из общего решения прямой динамической
задачи о возбуждении волн в модели, состоящей из слоя
жидкости, лежащей на упругом полупространстве, под
действием источника, расположенного внутри
полупространства и моделирующего очаг землетрясения.
13
Подробное описание этого метода и анализ полученных
данных с его помощью.
1. Для расчёта возбуждения волн цунами использовался
подход, не требующий априорных предположений о
характере подвижки дна, а позволяющий связать волну
цунами непосредственно с очагом землетрясения, т.е. с его
параметрами, которые определяются из наблюдений над
сейсмическими волнами, а именно: глубиной, ориентацией
и размерами разлома, направлением подвижки, скоростью
распространения разрыва.
Основной идеей является применение упругой модели
среды и использование в качестве уравнений движения
уравнения Ляме с учётом гравитационных членов, что
позволяет иметь в решении не только упругие, но и
гравитационные волны. Волны цунами при этом
выделяются из общего решения прямой динамической
задачи о возбуждении волн в модели, состоящей из слоя
жидкости, лежащей на упругом полупространстве, под
действием источника, расположенного внутри
полупространства и моделирующего очаг землетрясения.
Подробное описание этого метода и анализ полученных
с его помощью
Уравнение Ляме с учётом влияния поля силы тяжести
запишется так:

 2u


0 grad div u   0 g div uk   0 2
(1.2.1)
t
при 0  z  H
1  1 grad div u  1u 

 2u

 1 g div uk  1 2
t

где k - орт по оси z .
zH
14
(1.2.2)
Граничные условия на дне и поверхности океана имеют
вид:

o div u   o g uz z   o
(1.2.3)
uz
z H o
 uz
(1.2.4)
z H o
  ux uz 
0
 1  z  x 
 z H o
 

u
   y  uz 
0

 1  z
y 
z H o

u

1 div u  2 1 z  1 g uz z  H  o 
z

 o div u   o g uz
z H o
(1.2.5)
(1.2.6)
Начальные значения принимаются нулевыми.

Рассматривается поле динамического смещения u x, y, z , t 
частиц среды относительно некоторого начального
состояния равновесия в гравитационном поле.
Построение точного математического решения
производится методом неполного разделения переменных с
помощью интегральных преобразований Фурье-Бесселя и
Лапласа-Меллина. В качестве источника на первом этапе
решения используются точечные модели в виде диполей,
составленных из единичных сосредоточенных сил. Путём
интегрирования смещений от точечных диполей на
плоскости разлома делается переход к пространственным
моделям с движущимся с конечной скоростью разрывом,
характеризующимся горизонтальной протяжённостью ,
вертикальной протяжённостью H , углом падения
плоскости разрыва  , направлением подвижки в этой
плоскости  и скоростью распространения разрыва.
Полученное таким образом решение описывает
суммарное поле смещений, разделяющееся в пространстве и
во времени на некоторое число областей ненулевого и резко
15
меняющегося поля, смещения в которых соответствуют тем
или иным волнам. Поскольку скорости распространения
гравитационных и упругих волн существенно отличаются
друг от друга, такое разделение происходит достаточно
быстро. Это позволяет применять для выделения отдельных
волн соответствующие математические операции, в
частности, взятие вычетов в полюсах подынтегральных
функций для выделения резонансных волн, к которым
относятся поверхностные сейсмические и гравитационные
волны. Наличие полюсов подынтегральных функций
связано, как известно, с существованием корней
характеристического (дисперсионного) уравнения,
выражение для которого представляет собой знаменатель
этих функций.
В [45] показано, что дисперсионное уравнение в каждом
случае действительно имеет, кроме обычной
последовательности корней, соответствующей главной и
высшей модам волны Релея, два дополнительных корня,
существенно связанных с наличием гравитации.
Дисперсионная кривая одного из них имеет своим
максимумом значение скорости c  gH на периодах
T  10  30 минут и соответствует волне цунами, второй
корень соответствует гравитационной волне, возникающей
на контакте слоя жидкости и подстилающего
полупространства.
После взятия вычетов один из интегралов в формулах
для смещений (а именно интеграл Лапласа по некоторой
комплексной переменной) исчезает, а остаётся интеграл по
волновому числу вдоль дисперсионной кривой фазовой
скорости соответствующей волны и интеграл по плоскости
разлома для получения смещений от пространственных
источников.
Ряд рассчитанных таким образом теоретических
мареограмм смещений в волнах цунами на различных
16
расстояниях от очага можно найти в [46] для различных
типов источника, глубин океана, параметров среды.
2. Наибольшую трудность при расчётах задач о накате
волны цунами на наклонный берег представляет собой
изменение расчётной области по мере затопления сухого
берега.
Рассмотрим эту задачу в одномерной постановке, то есть
волна движется в направлении к берегу, наклонённому под
углом  к горизонту и имеется только одна
пространственная переменная x. От точки уреза воды А
твёрдое дно, наклонённое под тем же углом  , опускается
до некоторой глубины H o , а затем дно ровное. В общем
случае профиль дна может быть произвольным. Требуется
лишь прямолинейность берега и дна в небольшой
окрестности точки А.
Пусть одиночная волна произвольного профиля ( в
расчётах использовалась синусоидальная) накатывается на
наклонный берег. После достижения подвижной точкой А
наивысшего уровня начинается откат волны и задача
состоит в нахождении этого максимума.
Для численного моделирования этого процесса
использовалась нелинейная система (1.1.3). Для того, чтобы
область течения оставалась всё время постоянной,
рассмотрим такую систему координат, в которой все точки
на сухом берегу имеют одну и ту же пространственную (=0)
координату ! Возвышение свободной поверхности
отсчитывается по линии, наклоненной под тем же углом 
к горизонту, что и берег. Причём, все точки на этой линии
имеют одинаковую пространственную координату. Это
запишется так:
x  x    cos  ,   

, t  t
(1.2.7)
sin 
Исходная задача формулируется в новых переменных и
решается с помощью явно- неявной трёхслойной конечно-
17
разностной схемы с центральными разностями. При этом
сначала вычисляется  t    , а затем уже x .
Данным методом решён ряд задач по накату длинной
гравитационной волны на наклонный берег.
Построенный метод наката легко состыковать с методом
расчёта генерации и распространения волн цунами
посредством мареограмм. Это значит, что в результате
расчётов распространения волны цунами по океану мы
получаем временную зависимость величины возвышения
 t  на некоторой небольшой глубине H o .
3. При оперативном прогнозе цунами большое значение
имеет быстрое и точное определение времени прихода
волны цунами в различные пункты побережья океана. Для
этой цели для каждого рассматриваемого пункта побережья
была построена своеобразная карта времени прихода волны
цунами (подробнее, см. [29]).
§3. Некоторые результаты численного
распространения волн цунами.
моделирования
Проведённые расчёты могут разделены на две группы:
1) модельные тестовые расчёты (в основном одномерные) ;
2) расчёты реальных задач.
1)
а). Расчёты в бассейне с дном постоянной глубины
проводились для систем вида (1.1.2), (1.1.3), (1.1.4). В
качестве тестового точного решения для уравнений (1.1.4)
выбиралась уединённая волна, распространяющаяся без
изменения формы в направлении  x . Для моделирования
граничных условий « свободного прохода » использовались
следующие соотношения
t  c x  0 , u   c

H 
,
18
где c - скорость распространения длинных волн, которая
определяется либо по формуле c  gH , либо
непосредственно из уравнения неразрывности
 H  g ux
,
c
x
что вытекает из предположения о том, что вблизи границы
профиль волны имеет вид     x  ct .
б) Расчёты распространения волн в бассейне с ровным
дном, ограниченном вертикальными стенками.
Для систем (1.1.2) и (1.1.3) начальное возвышение воды
задавалось в виде положительной полусинусоиды при
нулевых скоростях. Затем это возвышение разделялось на

две волны, распространяющихся . Количественные и

качественные характеристики полностью совпадали с
известными теоретическими результатами.
в) Расчёты в бассейне с дном, задаваемым кусочнолинейной функцией при наличии глубин, проводились по
всем системам (1.1.2), (1.1.3), (1.1.4).
г) Расчёты в бассейне с дном, задаваемым кусочнолинейной функцией и моделирующим прибрежные
мелководные зоны, проводились в основном по модели,
отличной от (1.1.4), учитывающей и дисперсионные члены:

 
ut  u u  g  0
 
2



  
H


H
u
 1 
t   H  g u  2  
 0
3
1
 3 H  u  
(1.2.8)
д) Двумерные модельные расчёты в бассейне с дном
постоянной глубины.
19
Начальное возмущение задавалось в форме
экспоненциальной шапочки с нулевыми скоростями.
Расчёты применялись к уравнениям мелкой воды,
записанным в сферических координатах, с помощью
комплекса программ « ВОЛНА».
е) Двумерные расчёты в бассейне с простым
схематическим рельефом дна проводились с целью
определения влияния на волну цунами направленности
источника, его местоположения на рельефе дна, изменения
геометрических параметров при постоянной начальной
энергии. Рельеф дна изображён на рисунке:
Такой рельеф является моделью протяжённого участка
вблизи Курило-Камчатского глубоководного желоба.
Источником цунами служит подъём прямоугольного
участка дна, расположенного на склоне впадины, с высотой
подвижки 1 метр и протяжённостью 24км x 96км. В данном
цикле расчётов впервые было промоделировано
наблюдающееся обычно явление отсоса, а именно: при
положительном начальном возбуждении вдоль всей
береговой линии сначала происходит понижение уровня
воды, после чего на берег обрушивается основная часть
волны цунами.
ж) Был проведён цикл одномерных расчётов
распространения волны цунами на реальном рельефе дна по
модели (1.1.4), учитывающей дисперсионные эффекты.
20
Распределение глубин вблизи о. Итуруп и данные для
сравнения, полученные по модели, не учитывающей
дисперсионные эффекты, были представлены
В.Г.Бухтеевым и А.В.Некрасовым (ЛГМИ).
з) Было проведено моделирование Шикотанского
(Немуро-Оки) цунами 17.06.1973, вызванного подводным
землетрясением с магнитудой 7,8. Выбор этого цунами
определялся в первую очередь изученностью очага
землетрясения, а также наличием большого числа
известных данных о поведении волн у побережья, включая
записи мареографов, что позволило провести сравнение
теоретических и наблюдённых мареограмм.
Были рассмотрены три варианта источника этого
цунами. В варианте 1. источник представляет начальное
смещение уровня в виде эллипса, положение и форма
которого определено в работе [47]. Варианты 2. и 3.
представляют собой поля остаточных смещений дна океана,
рассчитанных для пространственной дислокационной
модели очага землетрясения с параметрами, приведёнными
в работах К.Шимазаки [48] и Аида [49].
Связь с очагом цунами осуществлялась путём
вычисления остаточных смещений дна для данной модели и
введением их в уравнение неразрывности системы (1.1.2),
используемой здесь для описания распространения цунами.
Максимальное начальное смещение m в вариантах 2. и 3.
вычислялось как результат решения статической задачи
теории упругости для полупространства.
Для сравнения теоретических мареограмм использовали
четыре записи этого цунами с предварительно удалённой
приливной составляющей, приведены в работе Аида [49].
Из трёх рассмотренных вариантов лучшее соответствие
оказалось у варианта 2.
21
ГЛАВА 2.
Краткий обзор результатов по проблеме цунами,
выполненных в 1976-1980 г. в САХКНИИ, а также в
некоторых других учреждениях страны.
ВВЕДЕНИЕ.
Эти исследования выполнялись в соответствии с
Постановлением ГКНТ № 415 от 18 ноября 1976г.,
Распоряжением АН СССР № 10103-46 от 12 января 1977г. и
были предусмотрены координационным планом работ
ГКНТ СССР по решению важнейших научно-технических
проблем на X пятилетку: проблема 0.74.03 задания 01.НЗ «
Разработать и внедрить в службу цунами критерия
цунамиопасности различных землетрясений и способы
расчёта путей распространения волн с учётом сферичности
Земли,нелинейности волн, сил Кориолиса и других
эффектов.» СахКНИИ является головным учреждением в
стране по этому заданию.
В СахКНИИ за отчётный период были обнаружены
новые сейсмологические критерии цунамиопасности
землетрясений, выявленные путём анализа сейсмограмм
средне- и длиннопериодных сейсмографов. Эти признаки
таковы: среднее значение амплитуды продольной волны в
полосе периодов Т=1-10с; время нарастания максимума в
волне ; продолжительность волны; продолжительность и
средняя скорость вспарывания разлома, получаемые по
методике Введенской.
Дополнительный критерий цунамиопасности
отдалённых зон выявлены в ВЦ СО АН СССР путём
изучения длиннопериодных волн Рэлея по записям
22
сейсмографов, установленных на различных станциях
СССР и США. Показано, что у цунамиопасных зон гораздо
интенсивнее низко-частотная часть спектра этих волн, что
выражается в сдвиге максимума спектра в длинноволновую
сторону, более высоком среднем уровне спектра в этой
области и появления иногда второго длинноволнового
максимума.
Не меньше (если не больше) практическое значение, чем
обнаружение и внедрение новых критериев
цунамиопасности зон имела и имеет дальнейшая разработка
гидрофизических методов регистрации цунами вдали от
побережья. 23 февраля 1980 года впервые в мире
достоверно зарегистрировано цунами в открытом океане с
помощью дистанционного датчика гидростатического
давления.
Для изучения возможностей использования автономных
данных регистраторов цунами была проведена Вторая
совместная советско-американская экспедиция на НИСП «
Валериан Урываев ( СахКНИИ, институт геофизики
Гавайского университета, 1976г.) и одна отечественная
экспедиция на НИСП « Океан» ( Дальневосточный научноисследовательский гидрометеорологический институт,
СахКНИИ).
Осенью 1978г. восточнее Японии были установлены три
донных датчика давления в вершинах треугольника со
сторонами 1000км, работавшие от 33 до 55 суток, а также
донный сейсмограф. На записях давления, после
тщательной фильтрации приборных триодов и приливных
колебаний, были выделены слабые нестационарные
колебания, отвечающие расчётным временам прихода
длинных гравитационных волн от отдалённых зон. Одно из
таких отклонений уровня, величиной в 3-4мм,
зарегистрированное всеми тремя станциями, возможно,
23
представляет собой микроцунами от зон с магнитудой 6,0,
произошедшего у острова Рюкю.
Совершенствование способов расчёта цунами на всех
фазах существования этих волн, от очага до наката на берег,
выполнялось в ВЦ, институте теоретической и прикладной
механики, институте математики СО АН СССР, ИГУ,
институте океанологии АН СССР, Ленинградском
гидрометеорологическом институте, институте прикладной
физики АН СССР и ряде других организаций. Результаты
исследований отражены более чем в 200 публикациях.
Кратко основной подход к исследованию цунами в
СахКНИИ можно определить как сбор, обобщение, анализ и
интерпретация обширного и разнообразного
наблюдательного материала с целью создания моделей
возбуждения, распространения и наката цунами на берег, а
также совершенствования методов оперативного и
долгосрочного прогноза цунами.
Результатом работ являлось описание различных
аспектов возбуждения и распространения цунами в
реальных условиях. При этом рассмотрены не только
различные стороны процесса возбуждения цунами
землетрясением, но и возможные другие причины, такие как
гравитационное перемещение рыхлого осадочного
материала по подводным склонам, а также барические
неоднородности в атмосфере. Последние, совместно с
приливообразующей силой вызывают на шельфе волновые
поверхностные движения, создающие своеобразный фон, на
котором развивается явление цунами. Исследования его
позволили получить новую информацию и об основных
особенностях распространения цунами в реальных
условиях. Кроме того были проведены исследования в
режиме обратной задачи об источниках цунами.
Всё это являлось и является теоретической основой для
разработки методов получения и обработки
24
сейсмологической и гидрофизической информации с целью
оперативного прогноза цунами, а также их практическая
реализация в виде соответствующих алгоритмов и пакетов
программ и различных специализированных измерительных
комплексов.
В процессе выполнения всех упомянутых работ
возникло и окрепло убеждение в том, что служба
предупреждения цунами может быть коренным образом
усовершенствована как методически, так и технически. На
базе расширены системы наблюдений, а также
автоматизация наблюдений, сбора обработки,
распространения и хранения. Поэтому, параллельно с
исследованиями, были предприняты шаги для подготовки к
внедрению в практику уже имеющихся результатов.
В 1978 году было составлено техническое задание на
комплекс автоматической регистрации и обработки
сейсмических сигналов (КАРОСС). Указанный комплекс
должен представлять собой по существу автоматическую
сейсмическую станцию. Уже сейчас на сейсмической
станции « Южно-Сахалинск» создан действующий
прототип этого комплекса, а также успешно
разрабатываются и макетируются его отдельные элементы
на базе микроэлектронной техники.
В начале 1978 года СахКНИИ совместно с ДВНИИ
Госкомгидромета СССР было разработано техническое
задание на автоматизированную систему наблюдения за
возникновением и распространением цунами и оповещения
о них ( дальше- просто «система»). Это техническое задание
было одобрено на совместной сессии Совета по
автоматизации научных исследований и Совета по
сейсмологии и сейсмойстойкому строительству при
Президиуме АН СССР в мае 1978 года.
В том же году в ДВНИИ при участии СахКНИИ было
разработано техническое предложение на « систему»,
25
вошедшее составной частью в техническое предложение на
Государственную систему наблюдения за состоянием
природной среды и контроля изменений климата. Оно было
одобрено Госкомгидрометом 30 декабря 1978 года.
В начале 1979 года СахКНИИ, Сахалинское управление
Госкомгидромета, ГосНИИ министерства связи СССР,
Харьковский госуниверситет, институт Сахгражданпроект,
под научным руководством комиссии по цунами при
Президиуме АН СССР, приступило к разработке
технического проекта « система».
В мае 1979 года СахКНИИ передал СахУГКС
рекомендации по размещению гидрофизических элементов
« системы» на шельфе Курильских островов и Камчатки,
обеспечивающих как надёжную регистрацию цунами, так и
уверенную интерпретацию данных наблюдений. Эти
рекомендации полностью включены в названный
технический проект. Он был утверждён Госкомгидрометом
СССР в декабре 1980 г.
Успешное развёртывание указанных работ послужило
основанием для обращения в СМ СССР и АН СССР с
проектом нового Постановления правительства по службе
цунами. Оно было принято 23 сентября 1980 г. Одним из
центральных пунктов его является пункт о создании на
Дальнем Востоке Единой автоматизированной системы
наблюдения за возникновением и распространением цунами
и оповещения о них.
Некоторые данные о цунами на
тихоокеанском побережье СССР
( 1737-1976г.г.)
26
Да
та
Поло
жение
гипо
цент
ра
магни
туда
зоны, сила
земле
трясе
ния
Интенсивность
цунами
1
1737
17окт
ябр
я 3ч
2
51,5ос.ш.
160ов.д.
М=8,5
10 баллов
3
1780
29
июн
я на
расс
вете
1918
8
Сент
ябрь
2ч
16
мин.
1923
4
Фев
раль
3ч
45,5о с.ш.
151,5о в. д.
М=8,25
12 баллов
3
Курильские
острова. Бухта
Алеутка
12
0,25
45,5о с.ш.
151,5о в.д.
М=8,25
9,5 балла
3
Курильские
острова. Бухта
Опасная
12
0,5
Смыты все постройки.
Катера разбиты. 23
жертвы.
53о с.ш.
161о в.д.
М=8,3
11 баллов
3
Камчатка
Колыгирь
8
0,15
Лёд выброшен на 2 км
от берега. Все дома
разрушены.
1
1923
14
Апр
ель
2ч
2
55,4 с.ш.
162,8о в.д.
М=7,2
9,5 балла
3
3,5
4
Камчатка
1. г. УстьКамчатск
5
1-11
2. Завод
Ничиро (
южнее 1)
20-30
о
4
Мес
то
наб
людения
Воз
вы
ше
ние
во
ды
4
Камчатка
м.Лопатка
5
Вре
мя
про
ега
от
оча
га
до
мес
та
набл
час
6
Проявления цунами
7
На месте заболоченной
низины-залив.Жертвы.
30
Курильские о.
о.Шумищ
26
27
0,25
6
0,3
Третья волна наибол.
Смыты все
юрты.Жертвы
Вторая волна
наибольшая. Судно «
Св. Натали» вынесено
в глубь суши на 400
метров. 12 жертв.
7
Два рыбоконсервных
завода и склады
разрушены.Шесть
катеров разбито. Лёд
на р. Камчатка
взломан на 7 км. 35
жертв.
Завод полностью
разрушен. Катер
переброшен через
террасу шириной 1 км.
Лес в долине вырван с
22,3о с.ш.
161о в.д.
М= 8,25
11,5 балла
10-13
0,7
Налычево
6-7
0,25
Халактырка
5
0,3
Бух. Ходутка
7
0,3
2. Курильские о
СевероКурильск
9-15
0,6
Бухта Китовая
14-20
0,3
Курильские о.
о. Шикотан
Малокурильск
3,5
0,55
38о ю.ш.
73,5о в.д.
Чили
М=8,5
Командорские
о.
О. Беринга
Никольское
3,5
4,7
1
2
Курильские о.
СевероКурильск
4
1969
23
нояб
ря
23ч
10м
57,8о с.ш.
163, 6о в.д.
М=7,7
10 баллов
Камчатка
устье р.
Ольховая
10-15
корнем на 8 км.
Третья волна макс.
Многие здания
разрушены. Жертвы.
Вторая волна макс. Из
15 домов уцелел один.
Жертвы.
5 зданий разрушено.
Крышу одного в глубь
суши на 1 км. Русло
реки сместилось на
100 метров к югу.
Вторая волна макс.
Катер заброшен на 500
м. в глубь суши.
1. Камчатка
Кроноки
1952
5
нояб
ря
4ч
1958
7
нояб
ря
9ч
58м
1960
22
мая
19ч
11м
44,5о с.ш.
148,9о в.д.
М=8,25
9,5 баллов
3,5-4
2,5
3
3
Разрушены причалы,
затоплены дома,
унесены мосты.
Мост унесён в глубь
суши на 0,5 км.
20,8
5
28
Вторая волна макс.
Почти весь посёлок
разрушен.
Значительные
человеческие жертвы.
Вторая волна макс.
Она прошла в глубь
суши на 2 км. Все
здания смыты. Жертвы
6
0,3
Колебания уровня
океана продолжались 2
7
дня. Запасы соли, угля
смыты. Причалы и
склады разрушены.
Первая волна макс.
Уничтожена
растительность и
здания. Волна прошла
по реке вверх на 0,5
км.
§1. Методы оценки энергии цунами.
Из наблюдений над временами пробега цунами уже
давно сделано заключение, что цунами- это длинные волны
в океане, локальная скорость распространения которых
даётся формулой Лагранжа:
(2.1.1)
c  gh ,
где g- ускорение силы тяжести, h- глубина бассейна в
заданном месте.
А колебание уровня  на глубокой воде (вдали от
прибрежной зоны, т.е.   h) описывается линейным
волновым уравнением [62]
div ghgrad  
 2
t
(2.1.2)
2
В тоже время анализ невязок времён добегания цунами
от очага до берега позволяет сделать вывод, что очаг
цунами не точечный, а представляет собой иногда довольно
обширную, хотя и локализированную область (рис.1). При
этом исходили из следующих предположений: так как
цунами, вызванное землетрясением, начавшимся в
некоторый момент времени t o , t o - известно по данным
сейсмологии, зарегистрировано в пункте А в момент
времени t A , то граница очага цунами должна лежать на
изохроне t A  t o  . Этот метод, называемый «методом
изохрон» широко применяется в практике и хорошо
оправдывает себя в замкнутом бассейне. В тоже время для
описания цунами, вследствие малой точности построения
29
изохрон от удалённых точек, удаётся оконтурить только
ближайшую к побережью сторону очага цунами.
Сов Гавань
о. Сахалин
Адами
Холмск
Невельск
о. Монерон
Корсаков
–1
–2
–3
–4
–5
–6
о.Ребун
Каруна
Зайканай
0
25
50км
о.Хакайдо
Рис.1 Поле изохрон (сечение 5 мин) и очаг
Монеронского цунами: 1– пункты Мареографных
установок, 2– изохронны, 3– эпицентр землетрясения по
данным Японии, 4– то же по данным СССР, 5– очаг цунами,
6– область афтершоков.
30
Как следствие этих представлений, появилась так
называемая «поршневая» модель очага цунами, являющаяся
наиболее ходовой в течении долгого времен: какой- либо
участок дна поднимается или опускается мгновенно или по
заданному закону, в результате чего по слою воды
начинают распространяться длинные гравитационные
волны.
В дальнейшем процессе представлений об очаге цунами
большую роль сыграли работы Подъяпольского Г.С. [56], в
которых подвижки дна уже связывались с очагом
землетрясения. Точнее, им была предложена следующая
линейная модель: под слоем воды постоянной толщины при
наличии силы тяжести расположено упругое
полупространство, в котором в определённый момент
времени «включается» точечный источник, имитирующий
очаг землетрясения. В дальнейшем эта работа была
обобщена В. Г. Гусяковым [55],[63] на неточечные модели
очага землетрясения и изучена методами численного
анализа.
Но и эти модели, при всей их убедительности, не
объясняют явление до конца, в частности дают характерные
периоды возникающих гравитационных волн заметно
меньше, чем периоды реальных цунами. Как возможное
объяснение этого расхождения в настоящее время
обсуждается роль нелинейных эффектов в слое воды в
эпицентральной зоне [52]. Предположение о значительной
роли нелинейных эффектов при зарождении цунами
базируется на том, что очаговые процессы быстротечны- от
десятков секунд до единиц минут. И сложившееся в
результате этих процессов состояние водного слоя в
очаговой зоне (за такое короткое время эффект
распространения
незначителен)
можно
считать
«начальным», после чего цунами распространяется как
свободные волны.
31
Огромное значение имеет вопрос о распространении
энергии очага землетрясения, который в своей узкой
формулировке звучит так: какая часть энергии
землетрясения переходит в энергию цунами. Теоретически
этот вопрос рассматривался в работах [55],[56],[64]. И, хотя
этой проблеме уделяется много внимания, нужно признать,
что в настоящее время нет надёжного способа вычисления
энергии реальных цунами, а ведь энергия цунами должна
служить главной характеристикой его опасности.
Методы, используемые в настоящее время для оценки
энергии цунами, можно разбить на 4 группы.
Это, во- первых, оценка, основанная на предположении
об изотропном излучении из очага. При этом по волнам,
зарегистрированным на удалении L от очага, в бассейне
постоянной глубины h , при отсутствии отражений, можно
вычислить энергию цунами E ц по приближённой формуле
(Р. Такахаси [65])
Eц 

2
gLc Ai2Ti ,
(2.1.3)
i
где  - плотность воды, c - скорость распространения
длинных волн, Ai , Ti - амплитуда и период i - ой волны.
После того, как выяснилось, что направленность
излучения, обусловленная как собственно очагом, так и
эффектами распространения, играет существенную роль,
этот способ оценки энергии цунами стал применяться всё
реже и реже.
Второй способ, неоднократно применявшийся Т. Хатори
[66], состоит в вычислении энергии цунами по изменению
рельефа дна h x , y  , измеренному эхолотированием
района очага цунами S до и после землетрясения, в
предположении, что это смещение дна произошло почти
32
мгновенно и вызвало точно такое же статическое изменение
уровня океана
(это
o  x, y   h x, y 
справедливо в рамках линейной теории мелкой воды [67]), а
дальше – распространение волн. Тогда
1
E ц  E nom   g   o2 dxdy
2
S
(2.1.4)
При всей физичности этого подхода, он не очень
надёжен в следствие малой надёжности эхолотирования при
условии точной геофизической привязки на море, да и само
по себе неясно, можно ли приурочить к данному
землетрясению и цунами деформацию h дна океана,
измеренную иногда за большой промежуток времени.
Третий способ можно назвать «обращением лучевого
метода» [68]. Для очага, построенного методом изохрон
(рис.1) строится прямая лучевая картина. При этом ха
исходный фронт волны Г o берётся граница очага. Если в
начальный момент времени t  0 на участке Г o
исходного фронта высота волны равна  o , то для любого
другого участка фронта Г i вдоль построенной лучевой
трубки, лучевой метод [69],[70], применённый к уравнению
(2.1.2) даёт формулу Эйри-Грина, широко применяемую в
практических расчётах:
Г o ho
4
(2.1.5)
Г i hi
где
Г o , Г i - ширина лучевой трубки в
соответствующем месте, а ho , hi - средние глубины в этих
i  o
местах (рис.2)
33
рис.2. Картина распространения волн в лучевом
представлении.
Если, наоборот, нам известно  i , то при всех прочих
уже определённых величинах можно вычислить  o . Таким
образом, по нескольким пунктам наблюдения удаётся
оконтурить очаг и найти начальное смещение уровня o на
некоторых участках его контура. Для определения энергии
цунами проводят осреднение:
1
E ц   g  o2 S ,
2
где S - площадь очага.
(2.1.6)
Описанный метод страдает теми же недостатками, что и
метод изохрон. Кроме того он сам обладает ограниченной
применимостью.
Четвёртый способ, пригодный лишь для грубой оценки,
основан на эмпирических корреляционных зависимостях
между высотой волны  и энергией [66]. Заметим, что
энергия цунами, оцененная различными методами, иногда
разнится на 1-2 порядка.
34
В случае, когда колебания уровня и коэффициент
отражения известны вдоль всей границы бассейна, формула
для определения энергии цугами предложена В. М.
Кайстренко [67].
Следует особо остановится на работах И. Аида
[71],[72],[73], в которых он, аппроксимируя очаг цунами
рядом поршней и варьируя их высоту, подобрал такую
ступенчатую начальную поверхность уровня воды в очаге,
которая при расчёте распространения дала волну,
наилучшим образом согласующуюся с мареографными
записями цунами. И, хотя сам И. Аида в идейном плане на
этом остановился, можно сказать, что это были первые
работы, в которых задача об определении структуры очага
цунами рассматривалась именно как обратная задача.
§2. Постановка обратной задачи.
Задачу об определении источника можно трактовать
следующим образом: в некоторой части океана, где
расположен измерительный комплекс S , регистрирующий
цунами,
поле
длинных
гравитационных
волн
предполагается
известным
как
функция
времени
t 0  t    и координат. Требуется продолжить эту
функцию (по координатам) на всю рассматриваемую часть
океана D , используя тот факт, что эта функция
удовлетворяет уравнениям движения гравитационных волн.
Оказывается, при рассмотрении задачи с начальными
данными при t  0 для волнового уравнения, как задачи с
продолжением для t  0, возникает специфическое
явление: решение волнового уравнения, удовлетворяющее
заданным
начальным
условиям,
продолжается
единственным образом только в область зависимости ,
ограниченную характеристикой [74].
35
Итак наша задача выглядит следующим образом:
векторнозначная функция   u, v , ,
где u, v компоненты горизонтальной составляющей скорости
U u, v  (вертикальная составляющая скорости для данного
класса движений пренебрежительно мала), а  - отклонение
уровня от равновесного, удовлетворяет уравнениям
движения длинных гравитационных волн в области D [75]:
g

u

fv

   1
t

R cos

g

v

fu

   2
(2.2.1)

t
R

 t  1
hu   vh cos    3

R cos 


R - радиус Земли,  - широта,  - долгота,
h  h ,  - глубина океана в точке с координатами  ,  ,
g - ускорение силы тяжести, f  2 o sin - параметр
Кориолиса,  o - частота вращения Земли. Векторная
функция    1 ,  2 ,  3  описывает источник.
где
Прежде всего известно, что очаги цунами располагаются
не всюду в океане, а приурочены к некоторой области D ,
так называемой «зоне очагов», или цунамигенной зоне [51],
так что   0 вне области Do .
Далее, так как известно, что очаговые процессы
быстротечны, то, считая момент времени t o началом

землетрясения, а момент t - временем практического
завершения очаговых процессов, можно сказать, что   0

при t  t .
36
Таким образом, при t  t  векторнозначная функция 
удовлетворяет уже однородным уравнениям:
g

u

fv

  0
t

R cos 

g

v

fu

  0
(2.2.2)

t
R

 t  1
hu   hv cos   0

R cos


причём
  ,  , t  известно при  ,    S
(2.2.3)
И, так как вследствие быстротечности очаговых
процессов эффект распространения цунами мал на малом


отрезке времени t o , t  , то можно считать, что при t  t
волны ещё не вышли из зоны очагов Do и   0 вне Do


при t  t , или, иначе


(2.2.4)
sup p   ,  , t   Do ,


где sup p   ,  , t - носитель функции   ,  , t есть
замыкание множества точек с координатами  ,   таких,







где   ,  , t  0 .
В принципе, чтобы выполнялось условие (2.2.4) за
область Do следует взять область очагов, несколько
увеличенную за счёт «расширения» очага при

распространении волн за время max t  t o , не
превышающее нескольких секунд.
Можно доказать [77],[78] однозначную разрешимость
задачи (2.2.2)- (2.2.4). А именно, по известным в области S
(и даже вдоль некоторой линии Г) колебаниям уровня  и
37
скорости течения U при t  t  , если S находится вне Do ,
можно, вообще говоря, определить единственным образом
u, v , всюду в рассматриваемой части океана D при всех
t  t.
В частности, можно найти исходное для стадии



распространения волновое поле   ,  , t и вычислить его
энергию, но очаговые процессы при t  t  без
дополнительной информации невосстановимы ни при каких
наблюдениях вне очаговой зоны Do .
Иными словами, максимум, что можно восстановить в
области источника при наблюдении вне его, это волновое
поле , сложившееся в зоне очага к моменту окончания
очаговых процессов.
Таким образом по наблюдению гад волновым полем вне
цунамигенной области Do можно восстановить исходное
возмущённое состояние, созданное очагом землетрясения.
Так как момент t o начала землетрясения бывает известен из
сейсмологических данных, то две функции, измеренные на
гидрофизическом полигоне, расположенном вдоль
некоторой линии Г вне зоны очагов, а именно: уровень  Г
и нормальная к Г составляющая наклона уровня

u
,
Г
позволяют однозначно определить исходное возмущённое
состояние океана. Большего, в частности, сами очаговые
процессы, как показано в [78], определить нельзя ни по
каким наблюдениям вне цунамигенной зоны. Заметим, что
38
вдоль Г можно измерять три величины:  , u, v , по двум

последним может быть определён наклон уровня
u
.
Г
Так как в рамках линейной длинноволновой теории
доказано, что при быстротечной деформации дна
поверхность уровня воды повторяет эту деформацию ([67]),
то, в принципе, по найденным

 
 

 x , y , t  , u x , y , t  , v x , y , t  мы можем определить
 

форму очага как sup pu, v ,  t , его энергию и судить
об очаговых процессах, приведших к подобному
возмущённому состоянию.
Возможно, что дальнейшем исследовании физики очага
выяснится, что могут иметь место не произвольные, а в
каком- то смысле частично детерминированные очаговые
процессы. И в этом классе очаговых процессов последние
могут быть восстановлены по u t  t  , v t  t  , t  t  .
Математические описания задачи определения очага с
учётом и без учёта вращения Земли разнятся довольно
существенно. На этом основании гипотеза В. А.
Бернштейна о том, что крупномасштабные нестационарные
перекосы уровня, вызванные атмосферными барическими
образованиями, могут «подкачивать» энергию в
стационарные течения [76], так же, как это может делать
очаг цунами, и это прямое следствие вращения океана.
39
§3. Особенности очагов цунамигенных землетрясений и
возможные критерии цунамигенности.
Средне- статистический «портрет» цунамигенной
зоны.
1.
На основании работ [58],[59],[60],[61] делается попытка
кратко раскрыть реальное содержание понятия
«цунамигенное» землетрясение.
На рис.3 показана гистограмма распределения магнитуд
цунамигенных землетрясений а Тихом океане, построенная
по данным каталогов [60],[61]:
0,3
t
0,2
0,1
0
5
6
7
8
M
40
9
10
рис.3. Гистограмма распределения магнитуд
цунамигенных землетрясений.
Её особенностью является наличие max в 7  M  8.
Это легко объясняется тем, что весьма многочисленные
слабые землетрясения не сопровождаются волнами цунами,
в то время как сильные землетрясения, как правило,
вызывающие цунами, происходят редко. Свыше 90% всех
землетрясений, породивших цунами, имели магнитуду
M  8, т.е. не достигали предельной силы.
0,7
i
0,6
0,5
t
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-4
-2
0
2
4
6
i
рис.4. Гистограмма распределения интенсивности i
волн цунами, вызванных землетрясением с магнитудой
M  6,75.
41
8
t
0,35
0,3
0,25
t
0,2
0,15
0,1
0,05
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
i
рис.5. Гистограмма распределения интенсивности i
волн цунами, вызванных землетрясением с магнитудой
6,75  M  8
0,6
0,5
0,4
t
0,3
0,2
0,1
0
-5
-4
-3
-2
-1
i
42
0
1
2
3
рис.6. Гистограмма распределения интенсивности i
волн цунами, вызванных землетрясением с магнитудой
8  M.
На рисунках 4,5,6 можно видеть, что даже относительно
слабые землетрясения вызывают иногда цунами с
интенсивностью i  0, безусловно заслуживающие
правильного прогноза (средняя высота волны цунами,
имеющей интенсивность i  0 на ближайшем к источнику
берегу составляет 1м и более).
t
0,35
0,3
0,25
t
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
lg
ось OX- это lg
Eз
Eц
рис.7. Гистограмма распределения разности логарифмов
энергий землетрясений и вызванных ими цунами.
Энергия землетрясения вычислялась по известной
магнитуде с помощью корреляционной формулы,
предложенной в [81], а энергия цунами по известной
интенсивности с помощью корреляционной формулы,
43
предложенной в [80]. Подсчёт соответствующих
накопленных частностей показывает, что примерно в
половине случаев энергии землетрясения и
соответствующего цунами различаются на 5 и более
порядков, в 90% случаев эта разница составляет  3
порядков, и более, чем в 95% случаев, она составляет два и
более порядка. Данный факт можно объяснить с точки
зрения «поршневого» механизма, когда эффект
возбуждения цунами моделируется поднятием некоторого
эквивалентного поршня, расположенного на дне бассейна.
Для создания начального положительного возвышения
уровня свободной поверхности воды высотой o над
невозмущённым в пределах некоторой площади So
(площади эквивалентного поршня) при глубине воды H
требуется совершить работу по подъёму на высоту всего
столба жидкости, опирающегося на So :
(2.3.1)
   g o So H
В тоже время начальную потенциальную энергию
цунами в данном случае можно оценить так:
o   g S
 o2
(2.3.2)
2
Из (2.3.1) и (2.3.2) имеем
 o  o2

 2H
(2.3.3)
Поскольку заведомо полная энергия E цунамигенного
землетрясения, если цунами вызывается поднятием
эквивалентного поршня, E   (иначе поднятия на высоту
o не произойдёт), то для реальных глубин океана
H  103 м и начальных высот o  1м, в большинстве
случаев, с учётом (2.3.3.), должно выполнятся неравенство:
44
o
E
 10 3 ,
что имеет место. Небольшое число случаев, когда это
неравенство нарушается, соответствует, возможно, волнам
цунами, возникновение которых обусловлено не поднятием,
а опусканием эквивалентного поршня. В этом последнем
случае работа по перемещению столба воды, опирающегося
на него, выполняется за счёт силы тяжести, а энергия
цунами зависит только от амплитуды опускания и площади
поршня.
С точки зрения «поршневого» механизма получает
качественное объяснение «параметр цунамигенности»,
введённый в [80], «для количественной характеристики
способности землетрясений данной зоны возбуждать
цунами». Указанный параметр представляет собой
отношение повторяемости в данной зоне цунами с i  0 и
повторяемостью землетрясений с M  7,5. В цитируемой
работе отмечается, что указанный параметр для
ограниченных морей, таких как Японское, Охотское и пр.,
несколько выше, чем для океанских зон. Из
вышеизложенного видно, что при прочих равных условиях
энергия цунами обратно пропорциональна глубине
бассейна, которая в среднем  в ограниченных морях, чем в
океанических цунамигенных зонах.
По данным о землетрясениях и цунами в северозападном секторе Тихого океана, приведённым в работе
[82], можно подсчитать долю цунамигенных землетрясений
в общем их числе в заданном интервале магнитуд (см.
таблицу):
45
Интервал
M
6 M 7
7 M 8
8 M
Доля цунамигенных.
землетрясений
0,073
0,348
0,952
Доля событий с
i0
0,000
0,092
0,952
Из таблицы видно, что доля цунамигенных
землетрясений в интервале магнитуд 7  M  8 составляет
около 1
3
от общего числа событий. Доля же действительно
опасных случаев  10%.
В последние годы появились работы, в которых
достаточно убедительно показывается, что цунамигенность
землетрясения, помимо магнитуды, зависит от глубины [82]
и механизма очага [83]. Имеются определённые указания на
связь цунамигенности и продолжительности движений и
скорости распространения (расширения) области
разрушений (разлома) в очаге землетрясения [84],[85].
В работе [86] показана связь цунами с характеристиками
макросейсмического очага землетрясения. В цитируемой
работе устанавливается, что вероятность возникновения
цунами быстро растёт с увеличением балльности J o а
эпицентре землетрясения, и становится практически=1 при
J o  10,5б. Источник цунами , в пределах
соответствующих оценок, совпадает с площадью изосейсты
9- 9,5б.
Балльность в эпицентре , форма изосейст и площадь ими
ограничиваемая, определяются совместным влиянием
практически тех же параметров очага землетрясения, что и
его цунамигенность. Поэтому можно предположить, что
возникновение цунами есть специфический
макросейсмический эффект подводного землетрясения,
имеющего место в зоне, ограниченного изосейстой 9
баллов.
46
Таким образом можно отметить следующие характерные
черты средне- статистического «портрета» цунагенного
землетрясения.
Это мелкофокусное землетрясение с M  6, с
близвертикальными плоскостью и вектором подвижки,
характеризующимися относительно малой скоростью
развития разлома в очаге. Область источника цунами
совпадает с областью, ограниченной изосейстой 9 баллов.
Реально наиболее «опасными» являются землетрясения
с магнитудой 7  M  8 в силу их довольно большой
повторяемости. Возникновение цунами вследствие таких
землетрясений имеет малую вероятность, а само это
событие представляет собой эффект землетрясения
высокого порядка малости. Энергия цунами при прочих
равных условиях тем меньше, чем больше глубина
бассейна. Требуемая физическая модель возбуждения
цунами должна, по крайней мере, качественно объяснять
перечисленные особенности.
2.
Некоторые вопросы физики возбуждения цунами
землетрясением.
В настоящее время общепринято, что главной причиной
цунами являются остаточные смещения дна бассейна,
возникающие в эпицентральной области достаточно
сильного и не слишком глубокого землетрясения.
Появление остаточных смещений дна в некоторой области
бассейна физически эквивалентно включению в ней на
короткое время гидродинамического источника или стока,
либо диполя (близко расположенных стока и источника). На
этой основе были объяснены многие свойства реальных
цунами. Вместе с тем , существуют факты, которые трудно
47
или невозможно интерпретировать с позиций «поршневого»
механизма.
Так, ранее показано, что с большой вероятностью
область источника цунами совпадает с областью,
ограниченной сейстой 9б. Известно, что остаточные
смещения грунта (изменение рельефа) на больших
площадях имеют место лишь при землетрясениях силой 1112 баллов. При меньшей силе наблюдаются лишь
локальные деформации дна, связанные с оползнями и
трещинами в рыхлых грунтах. Отсюда следует, что на
большей части площади источника цунами (между
сейстами 9 и11 баллов) остаточные смещения дна
практически отсутствуют. С другой стороны, оценки
показывают, что при типичной для Курило- Камчатской
сейсмологической зоны глубине очага h  40 км
максимальные сотрясения не достигают силы в 11 баллов
даже при землетрясениях предельной магнитуды.
С точки зрения «поршневого» механизма трудно дать
ясную интерпретацию некоторых новых признаков
цунамигенности. К ним относятся длительность движений в
очаге землетрясения (время «вспарывания» разлома),
скорость «вспарывания», а также среднее значение модуля
амплитуды колебаний в продольной волне на интервале
записи  20с (считая с момента её поступления). В пункте 1.
отмечалось, что вероятность возбуждения цунами
землетрясением с 7  M  8 мала. В то же время именно
такие землетрясения, ввиду их достаточно высокой
повторяемости, являются причиной большинства цунами в
Тихом океане.
Из сказанного вытекает необходимость рассмотрения
процессов, происходящих в твёрдой среде и слое воды в
окрестности очага землетрясения, с целью выявления (пока
на уроне гипотез) тех из них, которые могли бы привести к
нарушению гидростатистического равновесия поверхности
48
слоя воды независимо от наличия или отсутствия
остаточных смещений дна океана. Малая вероятность
такого события указывает на то, что волны цунами
возникают при редко встречающемся сочетании каких- то
неизвестных пока условий протекания подводного
землетрясения.
2.1.
Очаг землетрясения и движение поверхности
Земли в его эпицентральной области.
Согласно современным представлениям землетрясение
есть явление разрушения пород, которое может привести к
магистральному разрыву в очаге землетрясения.
Магистральный разрыв вместе с опережающими его более
мелкими образует сложный объёмный излучатель
сейсмических волн. Последние, имеющие большую
интенсивность вблизи магистрального разрыва, вызывают
либо немедленное вспарывание разрывов, либо сокращение
времени их существования без вспарывания под нагрузкой.
Эти вторичные явления образуют более или менее
длительную последовательность толчков- афтершоков,
частота следования которых , в среднем, быстро убывает с
течением времени, а пространственная плотность, в
среднем, быстро убывает по мере удаления от
магистрального разрыва. По видимому, значительная часть
их происходит во время главной фазы землетрясения и
сразу вслед за ней, но настолько густо в пространстве и во
времени, что трудно различить каждый из них в
отдельности.
Оценка, выполненная для афтершоков Гоби- Алтайского
(04.12.1957г., М=7,75) и Среднебайкальского (29.08.1959г.,
М=6,75) землетрясений [88], показывает, что суммарная
энергия афтершоков, происходящих в течение первых суток
49
после главного толчка, по порядку величины равна энергии
основного толчка.
Если учесть, что временная плотность афтершоков
максимальна во время и непосредственно за основным
толчком, то можно сделать вывод, что именно в это время
должна выделяться значительная часть суммарной энергии
афтершоков, которая может оказаться не намного меньше
энергии основного толчка.
Для строгого описания основных закономерностей
распространения и динамики сейсмических волн
приходится существенно упрощать описание очагового
процесса.
Так, в рамках длинноволнового приближения [89], очаг
рассматривается как плоская трещина сдвига, возникающая
в малой области и затем распространяющаяся с конечной
скоростью V R в течение конечного промежутка времени
вплоть до остановки. Такой очаг характеризуется макс. L
средним поперечным W размерами, площадью S разрыва,
средней подвижкой D по разрыву и пр. Все эти величины
связаны корреляционными зависимостями с магнитудой
землетрясения.
Для дальнейшего описания возьмём ещё более простую
модель очага. Считая, что для сильных землетрясений
справедливо соотношение L  W и что наиболее
интенсивные движения крыльев магистрального разрыва в
заданной точке происходят при прохождении через неё
головной его части, будем аппроксимировать очаг
точечным источником продольных и поперечных волн,
включающимся в некоторый момент t o и, одновременно,
начинающим двигаться вдоль прямолинейного отрезка L с
постоянной скоростью V R . Источник выключается в
момент t1  t o 
L
. Будем считать, что произвольно
VR
50
ориентированный отрезок L погружен в однородное
упругое полупространство с плоской границей и
скоростями продольной и поперечной волн соответственно
VP  VS  VR . Будем принимать
VP  3 VS , VR  0,9 VS
Ориентацию отрезка L (разлома) относительно
поверхности полупространства будем характеризовать
углом  , таким, что
h  h1
sin   o
,
L
где ho , h1 - глубины залегания его начальной и конечной
точки.
Разлому, вышедшему на поверхность, соответствует
ho  h1  0.
Введём систему координат такую, чтобы плоскость
XOY совпадала с границей полупространства, отрезок L
лежал в плоскости XOZ, начало координат было проекцией
начальной точки разлома на XOY.
Рассмотрим теперь как развивается движение в
эпицентральной области нашего очага. Очевидно, что
движение свободной поверхности полупространства
начнётся в момент
ho
VP
в точке x  y  0.
t Po  t o 
Далее область сотрясений будет быстро расширяться.
Скорость движения её границы составит
c1  V P 1 
ho2

2
2
2
где   x  y .
2
,
(2.3.4)
51
Длительность сотрясений  в произвольной точке будет
близка к разности моментов прихода поперечной волны от
конца отрезка L и продольной от его начала. Она меняется
от точки к точке и, в пределах проекции L на ось OX, равна
L L2  ro  2 L x cos  ho sin  ro
,



VR
VS
VP
(2.3.5)
где ro2  x 2  ho2 , 0  x  L cos 
Как видно из приведённой формулы длительность
сотрясений  не равна «времени вспарывания», а зависит
от координат точки поверхности, глубины залегания
разлома и угла наклона его к горизонту.
При ho  0,   0 (разлом, вышедший на поверхность
полупространства) имеем:

L L x x


VR
VS
VP
(2.3.6)
Оценки по имеющимся корреляционным соотношениям
дают значения
 8c   min  24c

 30c   max  95c
для 7  M  8, ho  0,   0
(2.3.7)
и
 13c   min  29c
(2.3.8)

28
c



92
c

max
для 7  M  8, ho  20км,   0
Разлом, не достигший поверхности земли, «должен»,
вероятно, оставлять на ней некий «след» в виде узкой зоны
наиболее интенсивных движений вблизи его проекции
52
Поскольку очаг излучает как продольные , так и
поперечные волны, таких «изображений» должно быть два.
Рассмотрим их динамику.
Очевидно, что «изображение» в продольных волнах
появится в точке x  y  0 в момент t o 
L h1

, после
VR VP
которого прекращает существование. Отсюда:
c2 
V R cos 
V
1  R sin 
VP
(2.3.9)
Аналогично, для поперечных волн:
V R cos
(2.3.10)
c3 
VR
1
sin
VS
Видно, что c2 , c3 зависят только от  . Они могут
меняться в широких пределах. Для
V P  6 км
, V S  3,5 км
имеем:
час
час
0  с 2  3,7 км
час
(2.3.11)

км
0  c 3  7,2 час
Как видно из изложенного, движение поверхности земли
в очаге совершается не мгновенно, и в нём можно выделить
три характерных момента: возникновение и быстрое
расширение области сотрясений, возникновение и
перемещение вдоль поверхности земли «изображения»
разлома в продольных и поперечных волнах. Каждый из
этих процессов имеет свою горизонтальную скорость.
53
В целом же движение поверхности земли в заданной
точке можно рассматривать как сумму двух временных
функций U  x , y , t   U 1  U 2 ,
таких, что


0
0
 U 1dt  0 ,  U 2 dt  0
Соответственно, U 1 - описывает колебательные движения
почвы, а U 2 - такие, которые приводят к возникновению
остаточных смещений. Будем считать, что
U  x, y, t   U1 , U 2  0
и U 1 - есть вертикальная компонента смещения дна.
Отметим, что из наблюдений за реальными
землетрясениями, следует, что при реальных
землетрясениях разлом ориентирован близгоризонтально.
3.
Генерация волн цунами гравитационными
литодинамическими процессами.
В настоящее время накоплено сравнительно небольшое
количество натурных, экспериментальных и расчётных
данных, однозначно свидетельствующих о генерации волн
цунами процессами подводного оползня [90]. К таким
данным прежде всего относятся наблюдения, выполненные
в пределах бухтовых берегов Голландии, Норвегии, Греции
и др. Согласно этим данным было установлено, что волны
высотой несколько метров, неожиданно возникавшие на
акваториях заливов были вызваны оползанием
метастабильных осадков на их дне.
В открытом океане также известен ряд явлений
возникновения крупных волн, вызванных оползанием
осадков. С этим механизмом Н. Амбразейе в 1961 г.
связывал возникновение волн высотой до 30 м в Греческом
архипелаге, однако он не приводит каких- либо сведений по
54
морфометрии оползней. Он даёт перечень около 50 случаев
возникновения катастрофических волн цунами в
Средиземном море, начиная с 1400 года до нашей эры.
Анализ этих явлений позволил предложить
математический аппарат, описывающий процесс
возникновения волн при подводном оползании [90],[91]. В
результате исследований было установлено, что размер
волн определяется не только массой самих оползней, но и
конфигурацией побережья, «морфологией» и наклоном дна.
Однако в этих расчётах до сих пор ещё не учитывается
изменение объёма оползней, которые установлены
исследованиями последних лет.
На тихоокеанской континентальной окраине КурилоКамчатской гряды также есть основания предполагать
генерацию волн цунами оползнями. В качестве примера
может служить подводный оползень на юго- западном
склоне Камчатского подводного хребта, который
располагается в интервале глубин 880- 2370м. Крутизна
o
склона хребта 9 , крутизна левого борта Камчатского
o
каньона- 35 . Размеры оползня таковы: длина по фронту10- 12км, длина по падению-6км, мощность- 0- 400м, в
среднем 280м (при скорости распространения продольных
9
3
3
волн- 2000 м с ), объём- 17- 2010 м или 17- 20 км .
Гравитационная неустойчивость оползня определяется его
висячим положением над дном каньона: поверхность
скольжения выходит на левом борту на глубину  2370м, а
дно каньона располагается на глубине  2500м. Таким
образом, можно ожидать здесь возникновение волны
3
цунами при смещении оползня объёмом 17- 20 км в
Камчатский каньон, причём достаточно землетрясения
силой  5 баллов.
55
Свободная поверхность воды
дно
Объём оползня и высота волн цунами.
Район
Объём в куб.км Высота в м
Сува, Фиджи
0,15
3-15
1962 г.
Валдиз,
0,075
6-9
Аляска 1966
Зал. Китимат
0,10
8,2
Канада 1979
Зал. Согами
70
 20
Япония 1964
Бухта Литуя
0,03
516*
Аляска 1960
15-30
Водохр-ще
0,25
 360
на р. Вайонт
Италия 1967
*- максимальная высота заплеска.
56
Следующие главы содержат результаты исследований,
проведённых сотрудниками математического факультета
ИГУ в тот же промежуток времени, что и в первых двух
главах.
Список исполнителей:
1. Васильев О.В.
2. Васильева Г.В.
3. Лобов В.В.
4. Марченко Л.В.
5. Сидоров Н.А.
6. Срочко В.А.
7. Стрекаловский А.С.
8. Терлецкий В.А.
9. Трубин В.Г.
10. Чернышов В.М.
57
ГЛАВА 3. ВОЗБУЖДЕНИЕ ВОЛН ПОДВИЖКАМИ
ДНА НА ПОВЕРХНОСТИ БЕЗБРЕЖНОГО ВОДОЁМА
КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ
Основой для создания теоретической модели возбуждения
волн в настоящей работе является исследование Ж.Адамара
по колебаниям жидкости в бассейне с неподвижным дном.
В работе [96] получено, в рамках линейной теории волн,
следующее интегро-дифференциальное уравнение.
 2
g

2
2
t
 K ( x, y, a, b) (a, b, t )dadb 
s
g
2
 2
2
 2  2
y
 x

 (a, b, t )dadb
 
 s ( x  a ) 2  ( y  b) 2
где  -отклонение свободной поверхности от состояния
равновесия, причём предполагается. Что в состоянии покоя
свободная поверхность S лежит в плоскости z=0. Функция
K даётся формулой:
K ( x , y , a , b) 
 ( x , y , z , a , b , c )
cz
а функция

  ( x  a )  ( y  b)  ( z  c )
2
2
2

1
c z0
2
,
  ( x , y , z , a , b, c )
функция Неймана области
которая является
,
объединением области D ,
заполняемой жидкостью в
состоянии покоя, и области D , симметричной области D
относительно плоскости z=0.
Вопросам существования подобных задач посвящены,
частности, работы [97], [98], [99].
58
Далее, А.Янушаускас в работах [100], [101] рассмотрел
колебания жидкого слоя -h<z<0, вызываемые подвижками
дна; дно задаётся уравнением
z   h   ( x , y , t ) ,  ( x , y ,0)  0
При некоторых предположениях о малости величины
подвижки дна, а также величин  ,  ,  , и пренебрегая
членами выше первого порядка малости относительно  ,
получено следующее уравнение.
t
 2
g
g

K ( x   , y   ) ( , , t )dd 
2

2 s
2
t
x
y

 2
2 
 ( , , t )dd
 2  2  
 q( x, y, t )
2
2

x

y

 ( x   )  ( y   )
Где свободная функция g отражает учёт подвижки дна
при выводе уравнения Адамара. Для полученного
уравнения в работе [100] доказана теорема существования и
единственности аналитического по t решения задачи Коши.
В данной главе выведено уравнение Адамара для случая
подвижного дна произвольной формы (изложение даётся в
конспективной форме подробные выкладки приведены в
промежуточном отчёте [94]). Показано, что это уравнение
можно решать методом последовательных приближений
для достаточно малых t, а главный член возмущения
свободной поверхности может быть найден путём решения
некоторой краевой задачи для уравнения Лапласа (§1).
Приведены примеры некоторых частных случаев подвижки
дна (§2). Далее полученную методику, наиболее просто и
эффективно работающую лишь в случае подвижки дна
специального вида и, главным образом, для постоянного
дна, удалось применить и к наиболее общему случаю, когда
дно может иметь произвольную форму, а подвижка может
задаваться дискретно - виде измеренных отклонений дна от
первоначального состояния в отдельных точках (§3). На
основании изученной в §3 формулы для отклонения
свободной
поверхности
производится
некоторый
59
качественный анализ процесса возбуждения волн,
связанный с временной характеристикой подвижки, а
именно, указываются условия, при которых возможно
увеличение. Уменьшение или отсутствие волны в §5
решается задача о возмущении свободной поверхности для
любых конечных %, т.е. принимается во внимание процесс
распространения начальной волны. Наконец, в последнем
параграфе рассмотрен случай о возмущении свободной
поверхности на мелководье.
§1.Вывод уравнения Адамара. Постановка краевой
задачи для определения главного члена возмущения.
Пусть жидкость заполняет область D : 0  z   h( x, y, t )
типа слоя, причём h( x , y , t )  h0  0 .
Пусть, далее, в момент времени t=0 жидкость находится в
состоянии покоя и свободная поверхность совпадает с
плоскостью z=0. Задачу о волнах рассматриваем в линейной
постановке, сжимаемостью воды пренебрегаем. Отклонение
свободной поверхности  ( x , y , t ) и потенциал скоростей
( x , y, z , t ) удовлетворяет в данном случае следующим
граничным условиям (согласно [102]):
 t   z , gh    t
при z=0

  ( x, y, t )
при z   h( x , y, t )
n
где
ht

h x2  h 2y  1
и g-ускорение силы тяжести и
условиям:
 ( x, y,0)  0 , ( x , y, z ,0)  0
60
однородным начальным
В силу однородности начальных условий из граничного
условия на свободной поверхности находим:
t
 z  0   g   ( x , y , )d  g ( x , y , t ),
0
где через  ( x , y , t ) обозначена новая неизвестная функция.
Очевидно, что функция  удовлетворяет следующим
начальным условиям:

 t 0 
0
t t  0
Для определения потенциала скоростей теперь имеем
следующую смешанную задачу:

  ( x, y, t )
 z 0  g ( x, y, t ),
n
при z=-h(x,y,t)
Решаем эту задачу точно так же, как при выводе
уравнения Адамара для неподвижного дна [9], получим:
 ( x, y , z , t )   ( x, y , z , t ) 
1
2



 ( x, x0 , z , z 0 , t )
z 0
 ( x0 , t )dx0 dy 0
z0  0
где X 0  ( x 0 , y 0 )

1
4
  ( x, x , z, z
0
0
, t )  ( x, x0 , z, z 0 , t ) ( x0 , t )d 0 s
s
а  -функция Неймана области D  D , где D -область,
симметричная области D относительно плоскости z=0, и Sповерхность z=-h(x,y,t). Функция  является известной
функцией. Как известно [103]

  ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  ( z  z0 ) 2

1
2
 G( x, x0 , z, z0 , t )
где G - регулярная в области B  D  D гармоническая
функция.
Из условия  t   z при z=0 получаем эквивалентное
 z   tt
ему
условие
при z=0
Подставив в это условие значения и, учитывая выражение
для функции
61
Неймана  , точно также как и при выводе уравнения
Адамара в случае


 ( x0 , t )
 2 g   2  2 




dx 0 dy0   K ( x, x0 , t ) ( x0 , t )dx0 dy0  J ( x, y, t )
t 2 2  x 2 y 2 
( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2


(3.1.1)
где
g  2G( x, x 0 , z, z 0 , t )
K
2
zz 0
z  z0  0

1 N ( x , x 0 , z , z 0 , t )
J

 ( x 0 , t )d 0 z

z z  0 2 s
z
z 0
Дифференцируя уравнение (3.1.1) по t и пренебрегая
зависимостью K от t, что возможно в силу малости и
кратковременности подвижки дна, получим следующее
уравнение относительно функции  ( x, y, t )
(3.1.2)
где
g  2G( x, x 0 , z, z 0 , t )
K
2
zz 0
z  z0  0
Путём G определяется функцией Неймана

  ( x  x 0 ) 2  ( y  y0 ) 2  ( z  z 0 ) 2

1
2
 G( x, y, z, x0 , y0 , z0 )
области  h0 ( x , y ), z  h0 ( x , y ) ; считаем, дно (t )
задаётся в виде:
z :  h0 ( x , y )   (( x , y , t ) , где
 ( x , y , t ) -подвижка, такая, что  ( x , y ,0)  0 .
Функция q( x , y , t ) имеет вид:
1
q( x, y, t ) 
4
t 

 
2
2 
M 1 ( x, y, x0 , y0 ,0)
 1  h0 x  h0 y dz

t 
 (0)



(3.1.3)
где
M1 
N ( x, y, z, x0 , y0 , z0 ,0)
z

z 0
N ( x, y, z, x0 , y0 , z0 ,0)
z
(3.1.4)
z 0
где функция Неймана области B  D  D заменена на
функцию Неймана области B0 . Это означает, что
62
рассматривается линеаризованная задача относительно
подвижки дна.
Как и в случае h0 ( x , y )  const , рассмотренном в [101],
уравнение (3.1.2) сводится к интегро-дифференциальному
уравнению
g
 ( x, y, z )  Q( x, y, z ) 
2
 1
   L[ x, y, x
0
, y0 , t (1   )] ( x0 , y0 , t )ddx0 dy0
 0
где Q(x,y,t) есть решение однородной задачи Коши для
уравнения

 ( x 0 , y 0, t )
 2 g   2
2 




dx 0 dy 0  q( x, y, t )
t 2 2  x 2 y 2  ( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2
а ядро L стремится к 0 при t  0 как t 2 . Точное выражение
для L дано в [94].
В качестве главного члена возмущения берётся первый
член в решении Q(x,y,t) так, что с точностью до членов
второй степени относительно t имеем:
t
(3.1.5)
 ( x, y, t )  Q ( x, y, t ) 
 M ( x, y, x , y , z ) ( x , y , t )dz
2
4
1
x
0
0
0
0
0
 ( 0)
где M 1 определяется по формуле (4), а
t 


1

2
 ( x0 , y 0 , t )   (1   )  1  h0 x  h02y d   ( x0 , y 0 , t )   ( x0 , y 0 , t ),
t 
t
0



t
1
 ( x 0 , y 0 , t )  1  hox2  hoy2
Определение  ( x, y, t ) по формуле (3.1.5) нахождения
функции Неймана в области B0 , что, в случае
произвольной функции h0 ( x , y ) , представляет собой
довольно трудную задачу. В некоторых случаях, особенно в
случае h0 ( x , y )  const и при некоторых конкретных
видах подвижки дна, оказывается целесообразным перейти
от формулы (3.1.50 к решению некоторой краевой задачи, а
именно: из формулы (3.1.5) следует, что функция Q1 ( x , y, t )
является значением при z=0 производной по z гармоничной
63
функции U(x,y,z,t), регулярной в D и удовлетворяющей
условиям
U
 t 2  ( x, y, t )
U(x,y,z,t)=0,
n ( 0)
(3.1.6)
При z=0 в целях упрощения выкладок вместо задачи
(3.1.6) можно решать задачу для новой функции  :
  0
 z 0  0
(3.1.7)

  ( x, y, t )
n  ( 0 )
Тогда главный член возмущения свободной поверхности
определяется по формуле:
 2

2
 
 

Q1 ( x , y , t )  t 

(3.1.8)

tz
tz t  0
z 0

z  0 
а возмущение свободной поверхности
 даётся
приближённой формулой:
2
 ( x , y , t )  Q1 ( x , y , t )  O ( t 4 ,  )
(3.1.9)
§2, Примеры отклонения свободной поверхности в
некоторых частных случаях
Во всех рассматриваемых примерах (за исключением
последнего) подвижка дна задаётся функциями типа
Ak f k
k 
3
2
2
2 2
 x  ak    y  bk   ck
(3.2.1)


64
На графике эти функции выглядят примерно следующим
образом. Для простоты рассмотрено сечение y  bk , (время
имеет фиксированное значение t  t k ):
Рис.1
Условимся в дальнейшем говорить о таких подвижках как
о подвижках, вызываемых воздействием некоторого
точечного
источника,
расположенного
в
точке
т.( x  a k , y  bk )
В данном параграфе будут рассмотрены следующие
примеры отклонения свободной поверхности: в случае
действия одного точечного источника, двух точечных
источников, действующих одновременно и последовательно
– для постоянного дна, а также один пример на действие
одного источника для непостоянного дна. Во всех примерах
подвижка дна нигде не выходит на поверхность z=0;
единицы измерения условные. Говоря об отклонении
свободной поверхности, будем иметь в виду главный член
возмущения свободной поверхности, определяемый
формулами (3.1.8), (3.1.9) – через решение краевой задачи
(3.1.7) для некоторой вспомогательной функции
65
 ( x, y, z , t )
1.Действие одного точечного источника
Подробно этот пример исследован в [94]. Здесь даётся
лишь его конспективное изложение.
Дно (t ) даётся уравнением:
z  1   ( x, y, t )
(3.2.2)

и  ( x, y, t )  sin t 
3

4  x 2  y 2  [i  2] 2


3

2

3 
x 2  y 2  [i  2] 2 2 
1


x0  y 0  0 , 0  t   ,  ( x, y,0)   ( x, y,  )  0
В начале решаем краевую
вспомогательной функции  :
задачу
(3.1.7)
для
  0

z 0

n
(3.2.3)
0
 ( 0)


z

sin t 
3


4  x 2  y 2  [i  2] 2
z  1



3




3
 x 2  y 2  [i  2] 2  

 
1
2
По виду функции  ( x , y , t ) решение этой задачи можно
искать в виде:


1
  A sin t 
 x 2  y 2  [ z  2] 2



3
2


1


 x 2  y 2  [ z  2] 3 2  
 

Следовательно, гармоничность  и выполнение второго
условия задачи (3.2.3) проверяются непосредственно. Из
третьего условия легко находим
A
1
4
Формула (3.1.8) даёт выражение для искомого отклонения
 ( x, y, t ) :
66
 ( x , y , t )  Q( x , y , t ) 
t (1  cos t )
(3.2.4)
3
( x 2  y 2  4) 2
Отклонение
свободной
поверхности
наибольшее.
Обсуждение и некоторый качественный анализ этого и
других явлений - в §4, однако коротко можно сказать, что
это связанно с ускоренным характером движения подвижки
в конечный и «околоконечный» момент времени действия
подвижки. Нарушения закона сохранения массы здесь не
происходит; математически это объясняется тем, что
рассматривается процесс, неограниченный по координатам
x и y, а потому объём, занимаемый жидкостью (водой) не
изменяется, оставаясь равным  .
2.Одновременное действие двух точечных
источников
Здесь мы рассмотрим два случая: когда подвижки,
вызываемые разными источниками, равны по величине и
противоположны по направлению и когда они различны по
величине, но одинаково направлены.
Итак, пусть дно задаётся выражением
(t ) : z  1   ( x , y, t ) ,
а

sin t 
3
 ( x, y , t ) 

4  x 2  y 2  [i  2] 2



3

2
1
 x 2  y 2  [i  2] 2 


3

x
3
2
  y  1  (i  2) 2
2


1

3 
2
x 2   y  1  [i  2] 2 2 

 
3
2

Таким образом, подвижка вызывается действием
источников, расположенных в точках (0,0) и (0,1)
одинаковой величины, но разных по направлению.
По виду  ( x , y , t ) функцию  ( x, y, z , t ) - решение краевой
задачи (3.1.7) ищем в виде:
67




1
1
 ( x, y, z, t )  A1 sin t 

+
3
3
2
2
2 2
2
2


2
 x  y  [ z  2]
x  y  [ z  2] 

 





1
1

+ A2 sin t  2

3
3
 x  ( y  1) 2  [ z  2] 2 2  x 2  ( y  1) 2  [ z  2] 2  

 





Первое и второе условие (3.1.7) выполняются при таком
выборе; третье условие даёт:
1
1
A  , A 
1
4
2
4
Следовательно

sin t 
1
 ( x, y , z , t )  

4  x 2  y 2  [ z  2] 2



1

2
1
 x 2  y 2  [ z  2] 2 


1

x
1
2
 ( y  1) 2  ( z  2) 2


1

1 
2
2
x 2   y  1  z  2 2 

 
1
2
Теперь, согласно формулам (3.1.8) и (3.1.9), для
отклонения свободной поверхности получим выражение:




1
1
 ( x, y, t )  t (1  cos t )


3
3
 x 2  y 2  4 2  x 2  ( y  1) 2  4 2  

 



Видно, что форма волны, в основном повторяет форму
подвижки (с некоторым запаздыванием в начале движения);
наличие противоположного направления источников,
расположенных на достаточно близком расстоянии
(соизмеримым с высотой максимального подъёма),
ослабляет действие каждого из них, и в итоге волна
получается значительно ослабленной по сравнению с
волной, возникающей при действии каждого из источников
в отдельности.
Теперь рассмотрим одновременное действие двух
одинаково
направленных
источников
различной
интенсивности. Расположенных на расстоянии равном 1,
так, что влияние их друг на друга достаточно ощутимо
(точнее говоря, соизмеримо с высотой подъёма каждого из
них).
68

Пусть дно задаётся выражением:
( t ) : z  1   ( x , y, t ) ,
а







sin t 
3
1
4
1
 ( x, y, t ) 





4 
3 
3
3 
3 
  x 2  y 2  [ i  2]2  2  x 2  y 2  [ i  2] 2   x 2   y  12  (  i  3)2  2  x 2   y  12  [ i  3]2  2 



 

 
 











t  0,  ,  ( x, y,0)   ( x, y,  )  0, 0   ( x, y, t )  1
Первый источник,
подвижку 1 ( x , y , t ),
достигаемое при t  
находящийся в т.(0,0), создаёт
максимальное значение которой
2
равно:
 1  3 1
1 (0,0, )   3    0.28
2 43
1
Второй источник, находящийся в т.(0,1) создаёт подвижку
 2 ( x , y, t ), , максимальное значение которой достигается при
t  :
2
 1 4 2 
 2 (0,1, )   3  3   0.08
2 44
2 
Таким образом, первая подвижка превосходит вторую в 3.5
раза. Найдём отклонение свободной поверхности,
возникающее в результате суммарного действия обеих
подвижек:
Решим краевую задачу (3.1.7). По виду функции  ( x , y, t ), ,
функцию  ( x , y, z , t ) ищем в виде:


1
 ( x, y, z, t )  A1 sin t 
 x 2  y 2  [ z  2]2



1



+
1 
 x 2  y 2  [ z  2] 2  

 
1
2
69


1
+ A2 sin t 
 x 2  ( y  1) 2  [ z  3] 2



13




1
 x 2  ( y  1) 2  [ z  3] 2  

 
1
2
Из третьего условия задачи (3.1.7) находим:
1
A1  A2   Тогда, согласно формуле (3.1.8), имеем:
4


1
4
6
 ( x, y, t )  t (1  cos t )

3
3 
4
 x 2  y 2  4 2 x 2  ( y  1) 2  9 2 




Проведём сечение x=0 и построим графики зависимости
возмущения свободной поверхности  от подвижки дна в
3

моменты времени t  , t  , t   .
4
2
Сравнивая величины отклонений свободной поверхности
в данном случае с соответствующими величинами примера
1, где рассматривалось действие одного источника, а
именно, 1 ( x , y, t ), , получаем, что действие второго
источника повлекло за собой увеличение волны в 1.35 раза
Вообще, если 1 ( x , y , t ), - волна, вызываемая подвижкой
1 ( x , y, t ), ( источником, расположенным в т ( x1 , y1 ), ), а
 2 ( x , y, t ), - волна, вызываемая подвижкой  2 ( x , y, t ), (
источником, расположенным в т. ( x 2 , y 2 ), ), то, очевидно,
«коэффициент усиления» волны 1 равен:
 ( x , y , t )   2 ( x 1 , y1 , t k )
k 1 1 1 k
 ( x 1 , y1 , t k )
где t k - некоторый фиксированный момент времени, из
интервала действия подвижек 1 ,  2 при условии, что
подвижки действуют по одному закону. Можно находить
также величину относительного (в случае действия
противоположно направленных источников):
 x , y , t 
 1
 2 1 1 k ,
1
 2  x 1 , y1 , t k 
которую для удобства можно указывать в процентах.
70
3.Действие двух последовательно
включающихся источников разной
интенсивности.
Пусть дно
задаётся выражением:
3
 3 
(t ) : z  1   ( x , y, t ) , t  0,  ,  ( x , y,0)   ( x , y, )  0
2
 2
а
 (t )
 ( x, y, t )  1 ( x, y, t )  2 ( x, y, t ) 

+ f (t ) 
2

4


 


3 
x 2  ( y  1)2  4 3 
 
4  x 2  ( y  1)2  16 3 2


f1 (t ) 
3
1


+
4  x 2  y 2  9 3 2 x 2  y 2  1 33 


2

где
sin t , t  0,  

f1 ( t )  
 3 
0
,
t


 , 2 

Наглядное представление о временном характере
действия подвижек 1 и 2 можно получить из рис.2
71
Функция  ( x , y, z , t ) находится также, как и в предыдущем
примере, она даётся следующим выражением:


1
1
 ( x, y, z, t )   f1 (t )
1
4
 x 2  y 2  [ z  2]2 2


1 
1
f2 

4  x 2  ( y  1) 2  [ z  3] 2 132  x 2









 x 2  y 2  [ z  2] 12  

 


1

1
 ( y  1) 2  [ z  3] 2  
 
1
Вычисление  ( x , y, t ), по формулам (3.1.8), (3.1.9) даёт:
 ' 
' 
t
f
(
)

f
( t )
2
2
'
'
t f 1 (0)  f 1 ( t ) 3 
2

 ( x, y, t ) 

3
3
2 2
2
2
2
2
x  y 4
x  ( y  1)  9 2
Находим далее:






cos t , t  0, 

f1' ( t )  
 3 
0
,
t


 , 2 

72

 
0, t  0, 2 



f 2' ( t )  
sin t , t   , 3 
 2 2 


f1' (0)  0 , f 2' ( )  1
2
Введём обозначения:
1
1
u1 ( x , y ) 
u
(
x
,
y
)

,
2
3
3
2
2
2
2
2
x  y 4
x  ( y  1)  9 2
Далее отклонение свободной поверхности
вычисляться по формулам:




будет
 

t   0, 
 t (1  cos t )u1 ( x , y )
 2

3

 
 ( x , y , t )   t (1  cos t )u1 ( x , y )  t (1  cos t )u2 ( x , y ) t   ,  
2
2 

3

 3 
tu
(
x
,
y
)

t
(
1

sin
t
)
u
(
x
,
y
)
1
2
t


 , 2 
2
 
На промежутке t  0,  действует первая подвижка, в
 2
 
промежутке t   ,  
действуют обе подвижки, причём
2 
первая убывает, а вторая возрастает. В интервале
 3 
t   ,  работает лишь вторая подвижка, но влияние
 2 
первой подвижки ещё не закончено и волна продолжает
3
расти до значения t  . Мы полагаем, что до того момента
2
времени процесс распространения волны, возникающий от
второй подвижки к моменту времени t   , еще не начался.
73
Для сравнения с предыдущим случаем, одновременного
действия обеих подвижек, видим, что суммарное
отклонение к конечному моменту времени примерно
одинаково, хотя в последнем случае промежуток времени
возбуждения волны был больше первого в 1,5 раза.
Во всех рассмотренных выше примерах наблюдался один и
тот же эффект – максимальная величина отклонения
свободной поверхности приходится на конечный момент
времени. Это связано, как будет выяснено в
§4 с
ускоренным характером изменения подвижки. Также будут
рассмотрены многочисленные примеры функций, входящих
в подвижку  ( x , y , t ) .
4.Случай негоризонтального дна.
Путь дно в
невозмущённом состоянии отлично от
постоянной величины.
Покажем на примере, что общая
схема решения задачи об отыскании возмущения свободной
поверхности остаётся прежней. В данном случае
оказывается более удобным находить вспомогательную
функцию  ( x , y, z , t ) , решая краевую задачу (3.1.6), а не
(3.1.7), как это было для случая постоянного дна.
Итак, пусть
(3.2.5)
(t ) : z  1  x 2   ( x, t )   h0 ( x )   ( x, t ) ,
где
sin t 4
 ( x, t ) 
5 x  5 x2  2
(3.2.6)
1000
где
  0,1,  ( x,0)   ( x,1)  0, x   10,10


В целях упрощения выкладок мы взяли сечение y=0,
ограниченность интервала изменения переменной %
вызвана необходимостью соблюдения условия (t )  0 , т.е.
74
возмущённое дно нигде не должно выходить на
поверхность.
Согласно теории, изложенной в §1, необходимо сначала
решить краевую задачу (3.1.6), которая в нашем случае
имеет вид:
  0
 z 0  0


n

t
1  ho2
 x 
t ( x , t )   t ( x ,0)
(3.2.7)
где
h0 ( x )  1  x 2 ,
что следует из задачи (3.2.5). Получив гармоническую
функцию  - решение задачи (3.2.7), отклонение свободной
поверхности затем получим, согласно теории, по формуле

 ( x, y, t ) 
z z  0
Решаем задачу (3.2.7). По виду функции  ( x , y, t ) ,
определяемой равенством (3.2.6), функцию  ( x , y, z , t )
будем искать в виде:
 ( x , y , z , t )  At (cos t  1) 3 x 2  1 z  z 3
(3.2.8)
Известно, что

1
ho  x  x   z  z   h0

2
z z   h0
1  h x


o



Находим далее
ho  x   2 x
 x  At (cos t  1)6 xz

 x  At (cost  1) 3( x 2  1)  3 z 2
75

Подставляя функцию (3.2.8) и полученные производные в
третье условие задачи (3.2.7), имеем:

At (cos t  1)
1  ho2
12 x 2 z  3 x 2  3z 2 
z  1 x 2
Далее находим

3000
Качественной проверкой убеждаемся в том, что функция  ,
определённая формулой (3.2.8), удовлетворяет первым двум
условиям задачи(3.2.7). Таким образом, функция
A
v x, y, z, t   

3000


t cos t  1 3 x 2  1 z  z 2

является решением задачи (3.2.7). Дифференцируя теперь
полученную функцию v по z и полагая z  0 , определяем
искомое отклонение свободной поверхности
  x, y, t   

1000

t cos t  1 x 2  1

Полученная формула справедлива для значений x  10.
Преимущественный рост функции   x, t  как функции
четвёртой степени по сравнению с функцией h0  x  для
значений x  1 создаёт достаточно сильное поднятие
поверхности воды, что влечёт за собой опускание
поверхности в области
x  1. Обратная картина
наблюдается в случае опускания дна, т.е. если в качестве
функции   x, t  взять функцию
  x, t   


sin t
5x4  5x2  2 .
1000
76
§3. Теоретическая модель и формулы численного
решения задачи определения отклонения свободной
поверхности в общем случае.
Примеры, приведённые в 2. (примеры 1,2,3) были
решены для случаев, когда подвижка задана в некотором
специальном классе функций, а именно, в виде линейной
комбинации функций
 x  a
Ak f k t 
2
2
2




y

b


k
k
k
3
,
2
Что позволяет выписать решение краевой задачи (3.1.7)
в явном виде с точностью до постоянного множителя,
который затем легко находится. Однако это можно сделать
лишь при определенном соотношении между величинами
Ak , f k ( t ), c k ; при произвольном соотношении между
этими величинами, а также при подвижках иного вида
решение краевой задачи (3.1.7) может стать весьма
затруднительным, так, что переход к ней от интегральной
формулы приближенного решения (3.1.5) будет
целесообразным.
В случае h0  const тогда следует пользоваться именно
этой функцией, т.е.
t2
 ( x, y, t ) 
 M ( x , y , x 0 , y 0 , z 0 ) ( x 0 , y 0 , t )dz (3.1.5)
4  ( 0) 1
Т.к. в данном случае функция Неймана слоя 0  z   h0
может быть записана в явном виде (3.2.9):
77

M 1  {( 4k  1)h0 [( x  a) 2  ( y  b) 2  (4k  1) 2 h02 ]
k 0

3
2
В случае произвольного, негоризонтального дна
решения краевой задачи (3.1.7) или (3.1.6) также может
быть достаточно легко найдено лишь в специальных
условиях, когда вид этого решения может быть записан по
виду подвижки с точностью до постоянного множителя
(пример 4). Для подвижки произвольного вида задача может
также стать довольно затруднительной. Обращение к
интегральной формуле (3.1.5) не снимет имеющихся здесь
трудностей из-за нахождения функции Неймана
произвольной области, задаваемой формой дна.
Предлагается следующий способ определения
отклонения свободной поверхности в случае достаточно
гладкой подвижки произвольного вида и дна произвольной
формы. Более того, пусть конкретный вид подвижки и дна
неизвестен, т.е. неизвестны их аналитические выражения,
пусть они заданы пототечно, иными словами известны
первоначальная глубина hk и величина отклонения дна m k
в отдельных точках (a k , bk )
Примем следующие допущения:
1. отклонение (поднятие или опускание) участка дна
вызывается действием некоторого точечного
источника, причем,
2. возникающая подвижка имеет в окрестности данной
точки достаточно гладкую форму,
3. вся подвижка рассматривается как сумма таких
элементарных подвижек,
4. действие соседних источников незначительно для
величины отклонения в некоторой точке по сравнению
с действием источника, расположенного в данной
точке.
78

3
 (4k  3)h0 [( x  a) 2  ( y  b) 2  (4k  1) 2 h02 ] 2 }
Данные задачи hk , m k и характер принятых допущений
позволяет построить некоторую математическую модель
и на основании нее – довольно простые вычислительные
формулы для определения отклонения свободной
поверхности на основании методики, даваемой общей
теорией (§1) и проиллюстрированной на частных
примерах (§2). Итак, считаем, что возникшая подвижка
есть сумма подвижек вида
 k ( x, y) 
Ak
[( x  a k ) 2  ( y
3
 bk ) 2   k2 ] 2
Обусловленных действием точечных источников,
расположенных в точках (a k , bk ) : в окрестности этих точек
дно считаем постоянным, равным hk . Функция  k ( x , y )
строятся таким образом, чтобы их максимум (минимум)
достигаемый в т. (a k , bk ) равнялся заданной величине
отклонения  m k , т.е. считаем, что измеренное отклонение
 m k есть результат максимального действия источника,
расположенного в данной точке. С другой стороны эти
функции должны быть такими, что ими вполне определятся
решение краевой задачи (3.1.7) вида


1
1


v k ( x, y, z, t )  Ak f k (t )

1
1 
[( x  a ) 2  ( y  b ) 2  ( z   ) 2 ] 2 [( x  a ) 2  ( y  b ) 2  ( z   ) 2 ] 2 
k
k
k
k
k
k


(3.3.1)
Относительно функций f k (t ) считаем известными
некоторые из ее характеристик, например, f k (t ) либо
79
f k(t ) .
В нашем случае краевая задача (3.1.7) имеет вид:
v k  0
v k | z 0  0
v k
h

( 0)
v
z
z   hk
 Ak f k ( t ) k ( x , y )
(3.3.2)
Нетрудно посчитать, что функция v k , определяемая
формулой (3.3.1) является гармонической и удовлетворяет
второму условию задачи (3.3.2) для любых f k (t ) и
постоянных A . Подставим функцию v k из (3.3.1) в третье
условие задачи (3.3.2)
k
v k
h
 ( 0)
v

z
z   hk

hk   k
 k  hk

 Ak f k (t )

3
3
[( x  a ) 2  ( y  b ) 2  ( z   ) 2 ] 2 [( x  a ) 2  ( y  b ) 2  ( z   ) 2 ] 2
k
k
k
k
k
k

(3.3.3)
Положим Ak  0.001, что необходимо для обеспечения
соизмеримости величин hk , m k ,  K . Таким образом
функцию  k ( x , y ) следует брать в виде (включая
Ak b ( x , y ) )

hk   k
 k  hk
1 
 k ( x, y ) 


3
3
1000 
2
2
2 2
2
2
2 2
[(
x

a
)

(
y

b
)

(
z


)
]
[(
x

a
)

(
y

b
)

(
z


)
]
k
k
k
k
k
k

80





(3.3.4)
и  k находиться из условия:
max  k ( x, y )  m k
Нетрудно видеть, что  k  hk максимум  k ( x , y )
достигается при x  a k , y  bk и равен величине
hk   k
[( hk   k
3
)2 ]2

 k  hk
[( k  hk
3
)2 ]2

1
( hk   k ) 2

1
( k  hk ) 2
Таким образом, для определения значения  k ,
реализующего максимум функции  k ( x , y ) в т. (a k , bk ) ,
получаем следующее уравнение:
1
( hk   k )
2

1
( k  hk )
2
 m k * 1000
Пусть все величины измеряются в километрах, тогда,
опуская коэффициент 1000 можно m k полагать
измеренным в метрах. Преобразовывая последнее
уравнение, получим следующее биквадратное уравнение:
m k  k4  2( m k hk2  1) k2  hk2 ( m k hk2  2)  0
81
Решение этого биквадратного уравнения можно записать в
виде
 1,2  
m k hk2  1  4 m k hk2  1
mk
Нетрудно увидеть, что действие значения  k ,
удовлетворяющему условию  k  hk получается, если
перед внутренним корнем взять знак “+”. И так, для
определения  k получаем следующую формулу:
k  
m k hk2  1  4 m k hk2  1
mk
,
mk  0
(3.3.5)
причем знак “+”берется в случае, если m k  0 и знак “-“
когда m k  0 . О случае m k  0 будет указано ниже.
Итак, функция  k ( x , y ) , аппроксимирующая
подвижку, вызванную в т. (a k , bk ) поднятие (опускание)
дна m k найдена. Она вычисляется по формуле (3.3.4), где
 k находиться из формулы (3.3.5). Суммарная подвижка
 k ( x , y ) дается формулой

hk   k
1 
 ( x, y )    k ( x, y ) 


3
1000  k 1
k 1
2
2
2 2
 [( x  a k )  ( y  bk )  ( z   k ) ]

 k  hk


3 
[( x  a k ) 2  ( y  bk ) 2  ( z   k ) 2 ] 2 

n
82
(3.3.6)
Из этой формулы видно, что значение  ( x , y ) в точках
(a k , bk ) могут отличаться от величин m k  max  ( x, y ) ,
однако это отличие, является незначительным, так что им
можно пренебречь.
Далее, каждому  k ( x , y ) соответствует решение
v k ( x , y, z , t ) краевой задачи (3.3.2) с учетом (3.3.3):

1
1

v k ( x, y, z , t )  0,001 f k 

2
2
2
( x  a k ) 2  ( y  bk ) 2  ( z   k ) 2

 ( x  a k )  ( y  bk )  ( z   k )
(3.3.7)
Краевая задача
v k  0
v k | z 0  0
vk
n
n
( 0)
  f k ( t )k ( x , y )
(3.3.8)
k 1
Будем иметь, в силу линейности, следующее решение:
n
v  x , y , z , t    vk  x , y , z , t 
(3.3.9)
k 1
Согласно результатов §1, главный член возмущения
свободной поверхности (будем обозначать его через
 ( x , y, t ) ) определяется через функцию v по формуле:
83





 2
 v
 ( x, y, t )  t  2
t

z 0
 2v

tz


t 0 
z 0 

Находим, согласно (3.3.7) и (3.3.9):

n
z k
 2v

 0.001 f  k(t )
tz
k 1
 (x  a ) 2  ( y  b ) 2  (z   ) 2
k
k
k


 2v
tz
 2v
tz
 k f k(t )
n
 0.002
k 1
z 0
( x  a )
2
k
 k f k(0)
n
t 0
z 0
 0.002
k 1
( x  a )
k
 ( y  bk )   k
2
2
 ( y  bk )   k
2

3
2 2

3
2 2

 k f k(t )

 ( x, y, t )  0.002 
2
k 1 
2
2
 ( x  ak )  ( y  bk )   k
n
 0.002t 
k 1
 k ( f k (0)  f k (t ))
( x  a )
2
k
 ( y  bk )   k
2

 ( x  a
3
2
2
2
2
k )  ( y  bk )  ( z   k )

,
,
n

z  k

 ( x  a )
3
2
 k f k(0)
k
2
 ( y  bk ) 2   k
2



3 
2 


(3.3.10)

3
2 2
где  k определяется по формуле (3.3.5). Заметим, что
отклонение  , даваемое формулой (3.3.10) представляет
собой суперпозицию отклонений, вызываемых подвижками
f k ( t ) k ( y , t ) , т.е.

 ( x, y, t )   ( x, y, t )
k 1
84
3
2





И в то же время формула (3.3.10) не содержит в явном виде
подвижки  ( x , y, t ) , рассмотрение которой в силу этого
носит промежуточный , вспомогательный характер . Таким
образом, отклонение свободной поверхности(точнее,
главный член этого отклонения) определяется заданием
первоначальной глубины hk и величины отклонения
участка дна m k в достаточно большом числе точек (a k , bk ) .
При этом считается известным также временный характер
движения участков дна, который может выражаться в
задании скорости или ускорения в начальный момент
времени, времени действия подвижки. Подробнее об этом в
§4.
Замечание 1. В случае m k  0 (при некотором
фиксированном k) вычисление  k по формуле (3.3.7)
производить нельзя. Поскольку этот случай означает
фактически отсутствие подвижки в данной точке, то
полагаем, соответственно,
 ( x, y, t )  0
Теперь выясним, как зависит величина отклонения
 ( x , y, t ) от глубины hk и высоты m k . Для простоты
рассмотрим действие одного источника, расположенного в
т. (0,0): отклонение  , возникающее при этом, согласно
формуле (3.3.10) имеет вид:
 ( x, y, t ) 
0.002t ( f (0)  f ( t ))
x 2  y 2   
3
2 2
Введем обозначение:
85
F (t )  t  f (0)  f (t )
Тогда
 ( x, y, t )  F (t )
0.002
x 2  y 2   
3
2 2
Рассмотрим максимальное значение этого отклонения,
которое достигается в т.(0,0) при некотором t  t 1 :
 (0,0, t )  F ( t 1 )
2
 
3
2 2

2

2
F (t1 )
(Как правило, t совпадает с конечным моментом времени
действия подвижки).
Подставляя сюда значение  2 из формулы (3.3.5)
получим
1
 (0,0, t ) 
0,002mF ( t1 )
mh 2  1  4mh 2  1

0.002F ( t1 )
1
4h 2
1
h  
 2
m
m
m
2
(3.3.11)
Для определенности мы взяли здесь m  0 , и m  1000m k ,
т.е., если, предположим, h измеряется в км, то m дается в м,
так что величина h и m одного порядка, что практически
имеет место на практике: h изменяется в пределах от 1 до 10
км, а m - в пределах от 1 до 10м. Из формулы (3.3.11)
видно, что отклонение свободной поверхности существенно
зависит от первоначальной глубины, а именно, убывает
86
быстрее, чем
1
2
и в значительно меньшей степени зависит
h
от высоты поднятия m , причем с увеличением глубины эта
зависимость еще более уменьшается. Наглядное
представление о характере этой зависимости дает
следующая таблица:
Таблица 1.
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
h(км)
2
2
2
4
4
4
6
6
6
10
10
10
m(м)
10
5
1
10
5
1
10
5
1
10
5
1

1,50
1,33
0,89
0,43
0,40
0,32
0,25
0,23
0,16
0,08
0,075
0,07
В данной таблице даны результаты расчетов
отклонения свободной поверхности  ( x , y, t ) по формуле
(3.3.11). В качестве функции f t  , входящей составной
частью в подвижку ( x , y, t )  f ( t ) ( x , y ) взята следующая
функция:
  ( t  1) 2  1,0  t  1
f (t )  
1,1  t  2

87
t 1  t кон  2 , так что F ( t1 ) определяется здесь таким
образом:
 t 2  2( t  1)  2t 2 , t  0.1
F1 ( t )  t  f 1 (0)  f ( t )  
t ( 2  0)  2t , t  1.2

F1 ( t1 )  F1 ( 2)  4
§4. Исследование зависимости отклонения свободной
поверхности от временного характера действия подвижки.
Пример расчета отклонения свободной поверхности ЭВМ.
Пусть подвижка дна называется действием одного
источника, расположенного в т.(0,0), т.е. имеет следующий
вид (согласно формуле (3.3.4)):


 h
 ( x , y , t )  Af ( t )
 2
2
2
 x  y  (  h)



 h

3

x 2  y 2  (  h) 2 2 
 
3
2
где h – глубина невозмущенного участка дна, содержащего
точку (0,0), величины A и  имеют определенное значение,
при которых достигается max  ( x , y, t )  m .
x , y ,t
Исследуем зависимость величины отклонения
свободной поверхности от характера функции f (t ) . Для
этого рассмотрим набор функций f (t ) различного вида,
88

которые могут реализовать временной процесс
возникновения и действий подвижек. На все
рассматриваемые ниже функции накладываем следующие
ограничения, которые, на наш взгляд, отвечают
определенной физической модели и принятой нами
математической модели:
1. f (t ) непрерывна на отрезке 0, T , где T – время
действия подвижки
2. f (0)  0
3. наиболее (наименьшее по модели значение функции
равно 1 и достигается в экстремальных точках, т.е. при
значениях t, для которых f ( t )  0 (за исключением
последнего примера).
Основанием для исследования будет служить формула
приближенного вычисления отклонения  , полученная в §3,
а именно, формула (3.3.10). В случае n=1 и a k  bk  0 она
имеет вид:
 ( x, y, t ) 
0.002
x 2  y 2   
3
2 2
t[ f (0)  f ( t )]  M ( x , y ,  )F ( t )
(3.4.1)
где введено обозначение
F (t )  t  f (0)  f (t )
(3.4.2)
Из формулы (3.4.1) видно, что при одинаковых v , т.е. при
одинаковых значениях m – максимального отклонения
подвижки, отклонение свободной поверхности будет
зависеть от величины функции P (t ) , определяемой
формулой (3.4.2). Нас, главным образом интересует
89
величина (абсолютная) функции F (t ) в конечный момент
времени действия подвижки. Под конечным моментом
времени будем понимать момент образования волны, за
которым следует ее распространение. Из формулы (3.4.2)
поэтому следует, что величина образовавшейся волны
существенным образом зависит от разности производных
функции f (t ) в начальный и конечный момент времени,
иначе говоря от скорости возмущения участка дна в
начальный и конечный момент. Можно говорить также о
зависимости отклонения свободной поверхности от
ускорения движения дна, в том числе и от знака этого
ускорения.
Перейдем к рассмотрению конкретных функций f (t ) .
В качестве промежутка времени 0, T  - действие подвижки
и образования волны вплоть до момента ее распространения
примем промежуток 0,2 , т.е. T  2  6.28 (будем
условно считать, что время измеряется в сек. Хотя,
разумеется, длина промежутка 0, T  может быть различной
для различных видов подвижки дна).
t
2
Этот вид функции f (t ) был принят в примерах 1-3
параграфа 2 (отличие состоит лишь в длине отрезка 0, T ; в
рассмотренных примерах T   и рассматривалась функция
f ( t )  sin t , но это отличие не имеет принципиального
значения).
Имеем в данном случае:
1
t
1
1
f ( t )  sin ; f (0)  , f ( )  0 , f ( 2 )  
2
2
2
2
1. f ( t )  sin
1
f (0)  f ( )  , f (0)  f ( 2 )  1
2
90
F ( ) 

, P ( 2 )  2
2
Максимальная величина подвижки достигается при t   , в
то время как максимальная величина отклонения свободной
поверхности  достигается при t  2 , когда возмущения
дна   0 . Это связано с тем, что возвратное движение дна
сопровождается изменением (увеличением) скорости от 0 и
достигается к моменту t  2 величины скорости в
начальный момент, но с обратным знаком. Для всех
t  0,2  движение дна происходит с отрицательным
ускорением.
2.
t

sin
, t  0,  

2
f (t )  
1
1
  cos t  , t   ,2 
 2
2
В этом случае имеем:
t
1
cos
, t  0,  
2
2
f ( t )  
1
 sin t , t   ,2 
2
1
1
f (0)  f ( )  , F ( ) 
2
2
1
1


F
(
2

)

2  
f (0)  f ( 2 )  ,
2
2
91
В отличие от предыдущего случая здесь возвратное
движение подвижки происходит с постепенным изменением
скорости до 0. Увеличение волны продолжает происходить
3
и с уменьшением λ, но лишь до момента t =  , до тех пор,
2
пока действует отрицательное ускорение, а затем, с
изменением знака ускорения на обратный, наблюдается
спад волны. В итоге, в конечный момент времени имеем
волну, вдвое меньшую по сравнению со случаем I.
3. f (t) = sin t
это пример колебательного движения подвижки в наиболее
простой форме. Находим: f  (t) = cos t



f  (0) - f  ( ) = 1, F( ) =
2
f  (0)
f  (0) -
f  ( )
3
f ( 
2
2
2
= 2, F(  ) = 2 
) = 1, F( 3  ) =
2
3

2
- f  (2  ) = 0, F(2  ) = 0
На участке 0,  , где f  (t) < 0, происходит наращивание
волны до максимального значения, затем на участке  ,2 ,
где f  (t) > 0, происходит склад волны и в конечный момент
времени, t = 2  имеем: f  (0) = f  (2  ) и отклонения
свободной поверхности не будет, точнее, говоря, главный
член возмущения равен 0.
4.

 3 
sin
t,
t


0, 2  
f (t) = 
0.5cos 2t - 0.5, t   3  ,2 
 2


Этот случай отличается от предыдущего тем, что действие
подвижки заканчивается «плавно», т.е. скорость f  (t) в
конечный момент времени становится равной нулю. В
результате имеем отличное от нуля возмущение свободной
f  (0)
92
поверхности, равное по величине в конечный момент
времени возмущению, полученному в случае I.
Действительно,

 3 
cos
t
,
t


0, 2  
f  (t) = 
  sin 2t , t   3  ,2 
 2





f  (0) - f  ( ) = 1 - 0 = 1, F( ) =
2
f  (0)
f  (0) f  (0)
-
f  ( )
3
f ( 
2
7
f ( 
4
2
2
= 1 - (-1) =2, F(  ) = 2 
) = 1 - 0 = 1, F( 3  ) = 3 
) = 1 – 1 = 0,
2
F( 7 
4
2
)=0
- f  (2  ) = 1 – 0 = 1, F(2  ) = 2 
Если в первом случае увеличение отклонения по
сравнению со вторым случаем связано с увеличением
скорости в конечный момент времени, то в данном случае
это увеличение (по сравнению со вторым случаем) связано с
большей начальной скоростью.
5.
8
f (t) =
(2  - t)sin 4t
f  (0)
15
Это колебательный затухающий процесс, с частотой,
превышающий частоту предыдущего процесса в 4 раза,
начальная скорость также возросла примерно в 4 раза.
Наибольшее значение λ достигается при t   и равно  I.
8
Находим:
8
f  (t) =
[4(2  - t)cos 4t – sin 4t]
15
f  (0)
-
f  (0)
-
f  (0)
-
f  (0)
-

) = 4 - 0 = 4, F(  ) = 
8
8
2


f  ( ) = 4 – (-3.5) = 7.5, F( )  1.9 
4
4



f  ( ) = 4 - 3 = 1, F( ) =
2
2
2
3
3
f  (  ) = 4 – (-2.5) = 6.5, F(  )  4.9 
4
4
f (
93
f  (0)
f  (0) f  (0)
-
f  (0)
-
f  ( )
5
f ( 
4
3
f ( 
2
7
f ( 
4
= 4 - 2 =2, F(  ) = 2 
) = 4 – (-1.5) = 5.5, F( 5  )
4

6.9 
) = 4 - 1 = 3, F( 3  ) = 4.5 
2
) = 1 – (- 1 ) = 4.5, F( 7  )
2
4

7.9 
- f  (2  ) = 4 – 0 = 4, F(2  ) = 8 
Как видно из приведенных вычислений, величина
отклонения  , колеблясь, увеличивается и достигает
максимального значения в конечный момент, превышающее
отклонение, достигнутое в предыдущем случае, в 4 раза.
f  (0)
6.

 
sin
4
t
,
t


0, 8 
f (t) = 
 1, t   ,2 
 8


Здесь начальная скорость такая же, как и в предыдущем
примере, однако подвижка, достигнув максимального
значения при t =  , остается далее неизменной вплоть до
8
конечного момента t = 2 .

 
4
cos
4
t
,
t


0, 8 
f  (t)= 
 0, t    ,2 
 8


  
 
f 0   f    4  0  4 , F   
8
8 2


f 0  f t   4 , F t   4t , t   ,2 
8

f 0  f 2   4 , F 2   8
94
Начиная с момента t 

, разность f 0  f t  остается
8
постоянной и далее величина отклонения η растет
пропорционально величине времени t . Отсюда ясно, что
существенное значение имеет длина промежутка времени T
– образования волны, начиная с которого начинается
процесс распространения. Это ясно, разумеется, и из общей
формулы (3.4.2). Особенно это существенно при
колебательном характере движения дна, когда от момента
времени T зависит разность f 0  f t , которая
принимает наибольшие значения при f t  с
отрицательным знаком и наименьшие – при значениях
f t   0 и f 0  0.
Если считать, что к конечному моменту T скорость f t 
становится равной нулю, что характерно для затухающих
колебательных процессов, то при моделировании
временного процесса действия подвижки, когда мы желаем
знать величину отклонения  в конечный момент T можно
полагать, что функция f t  , начиная с некоторого момента,
сохраняет постоянное значение. Именно такого рода
упрощение проведено при переходе от случая 5 к
рассматриваемому случаю. Сохранив неизменной
начальную скорость, имеем равенство функции F в момент
времени t  2 .
Нетрудно видеть, что аналогичный результат получится,
если в качестве f t  взять следующую функцию:

 3 
sin
4
t
,
t


0, 8  
f (t)= 
  1, t   3  ,2 
 8


3
Начиная с момента t   , имеем:
8
95
F t   t  f 0  f t   4t
в частности F 2   8 . Хотя величина подвижки приняла
отрицательное значение, т.е. вслед за поднятием произошло
опускание участка дна, на величину отклонения в
конечный момент T это не повлияло, в силу того, что к
этому моменту времени скорость стала равной нулю.
Такого рода упрощение позволяет рассматривать в качестве
функций f t  степенные функции.
7.
  t  12  1, t  0,1
f t  = 
1, t  1,2 

Отличие от рассмотренного выше случая – в величине
начальной скорости (здесь она в 2 раза меньше) и то, что
движение дна в промежутке 0,1 – равноускоренное: с
постоянным отрицательным ускорением, равным – 2.
Имеем:
  2t  1, t  0,1
f t  = 
 0, t  1,2 
  2, t  0,1
f t  = 
 0, t  1,2 
f 0  f 1  2 , F 1  2
f 0  f 2   2 , F 2   4
Уменьшение начальной скорости вызвало
пропорциональное уменьшение и величины отклонения
свободной поверхности.
8.
Если известно, что движение дна происходит с постоянным
ускорением, равным – a a  0 и скорость в конечный
момент равна 0, то функцию f (t) можно брать в виде:
96
2
 a

2
2
 t 

1
,
t

0
,


 2
a 
a


f (t)= 
 2


1, t   ,2 

 a


При этом
f 0   f 2   2a , F 2   2 2a
9.
Из рассмотренных выше примеров видно, что увеличение
(уменьшение) начальной скорости может быть получено за
счет увеличения (уменьшения) частоты колебаний, если в
качестве функции f (t) берутся тригонометрические
функции. Когда скорость изменения подвижки в конечный
момент времени равна 0, то, как мы видели выше,
колебательный характер подвижки не играет существенной
роли, и поэтому в качестве функций f (t) можно брать
степенные функции (примеры 7,8). В этом случае
изменение начальной скорости (ускорения) можно
реализовать изменением коэффициента при степени
(пример 8). Этой цели можно достигнуть также, изменяя
саму степень, например, возьмем функцию:
  t  14  1, t  0,1
f (t)= 
1, t  1,2 

Имеем в этом случае:
  4t  1, t  0,1
f  (t)= 
 0, t  1,2 
  4, t  0,1
f  (t)= 
 0, t  1,2 
f 0  f 2   4  0  4 , F 2   8
Увеличение степени в 2 раза по сравнению с примером 7,
повлекло увеличение отклонения также в 2 раза. Нетрудно
97
видеть, что вообще, изменение отклонения
пропорционально изменению степени.
Следует, однако, заметить, что изменение начальной
скорости движения, происходящего равноускоренно,
следует реализовывать с помощью квадратной функции
(случай 8).
10.
В рассмотренных выше случаях движение дна происходило
с уменьшением некоторой начальной скорости, т.е. в
начальный момент имелось некоторое отрицательное
ускорение, что и создавало положительное отклонение
свободной поверхности. Ясно, что при положительном
ускорении, т.е. при увеличении скорости от начальной
величины, будет происходить отклонение свободной
поверхности в отрицательном направлении, т.е. опускание
ее. Это следует из формулы (3.4.1). В частности, при
изменении скорости от нулевого значения в начальный
момент, и принимая достаточно естественное
предположение о нулевой скорости в конечный момент
действия подвижки и образования волны, будем иметь в
этот момент времени отклонение свободной поверхности,
равное нулю. Например,
1
1
f t    cos t 
2
2
Здесь имеем:
1
1
f t   sin t , f t   cos t
2
2
1
1

 
 
f 0  f    0    , F    
2
2
4
 2
 2
f 0  f    0 , F    0
3 
 1 1
3  3
f 0  f     0      , F     
2  4
2 
 2 2
f 0  f 2   0 , F 2   0
98
Отклонение  , отличное от нулевого, в силу формулы
(3.4.1) получится, если
f 0  f T   0 .
В частности, при нулевой начальной скорости f T 
должно быть отлично от нуля. Например,
1
 1

cos
t

, t  0,  
 2
2
f (t)= 
t
 sin , t   ,2 

2
Здесь:
 1 1
f 0   f 2   0      , F 2   
 2 2
Имеем в конечный момент некоторое положительное
отклонение. А в случае функции
1
 1
 

cos
2
t

,
t

 2
0, 2 
2
f (t)= 



sin t , t   ,2 

2

имеем: f 0  f 2   0  1  1, F 2   2
Что соответствует некоторому отрицательному
отклонению, иначе говоря, опусканию свободной
поверхности.
При нулевой конечной скорости отличное от нуля
отклонение свободной поверхности обеспечивается
ненулевой начальной скоростью, например,
1

t , t  0,1

2
1
 sint  1  1 , t  1,1   
f (t)=  2

2
2 

 


1
,
t

1

,
2




2

В этом случае получаем:
99
1
1
 0  , F 2   
2
2
Построенная функция выявляет еще одну важную
особенность изучаемого явления. А именно, на отрезке 0,1
имеем:
1
1 1
f t   , f t   0 ,
f 0  f t     0
2
2 2
Это означает, что при равномерном изменении подвижки
отклонения свободной поверхности не происходит.
Полученное при t  2 отклонение – результат ускоренного
движения (с отрицательным ускорением) на участке


1
,
1

.

2 
1
Функция f t  
t , t  0,2  дает характерный пример
2
того, что движение с постоянной скоростью (движение без
ускорения) не создает волны:
1
1
f 0  f 2  

 0 , F 2   0 .
2 2
Из вышеизложенного можно сделать следующие основные
выводы:
1. На величину отклонения свободной поверхности
существенное влияние оказывает длина промежутка T
– образования волны вплоть до момента ее
распространения и разность скоростей в начальный
конечный момент действия подвижки.
2. При условии равенства нулю скорости изменения
подвижки в конечный момент времени существенное
значение имеет скорость (ускорение) в начальный
момент. Колебательный характер действия подвижки, а
также величина и знак отклонения подвижки при этом
существенного значения не имеют.
f 0  f 2  
100
3. Движение дна с отрицательным ускорением
(уменьшением скорости) создает положительное
отношение свободной поверхности, с положительным
ускорением (увеличением скорости) – отрицательное,
т.е. опускание свободной поверхности. Движение без
ускорения не вызывает возмущения свободной
поверхности.
Пример расчета отклонения свободной поверхности на
ЭВМ.
Рассмотрим подвижку дна, имеющую достаточно большую
протяженность по одной координате – х и незначительную
протяженность по другой координате – у, т.е. подвижка
имеет вид «хребта», протянувшегося вдоль некоторой
линии; для простоты будем рассматривать прямую линию.
Имеются результаты замеров глубин hk и отклонений дна
m k в точках a k через каждые 300м на участке длиной в
24км от х0 = -9900м до х80 = 14100м. Согласно модели,
построенной в §3, полагаем, что отклонение дна,
измеренное в каждой точке, есть результат действия
некоторого точечного источника, создающего локальное
возмущение характерной формы, причем максимум
функции, описывающей это возмущение, равен величине
измеренного отклонения m k . Таким образом, имеющаяся
подвижка аппроксимируется функциями  k  x , y  , для
которых может быть решена краевая задача на определение
вспомогательной функции   x, y, z , t . Окончательно, как
это следует из результатов §3, отклонение свободной
поверхности (точнее, главный член этого отклонения),
рассчитывается по формуле:
101
80
  x , y , t   2t 
k 0
 x  a
 k  f k 0  f k t 
2   y  bk 2   k2 
3
k
(3.4.3)
2
где
k  
m k hk2  1  4 m k hk2  1
mk
, k  0,80
(3.4.4)
а знак перед корнем совпадает со знаком величины m k .
Величины a k , bk , hk и m k заданы в виде массивов чисел
(приложение 1). Функции f k t  , определяющие временной
характер действия источников, задаются в следующих
видах:
 t  12  1,0  t  1
(3.4.5)
f k t   f t   
1,1  t  7
Этот случай соответствует одновременному действию
источников, иначе говоря, одновременному поднятию
(опусканию) всего участка дна, причем максимальный
подъем (опускание) отдельных участков достигается при t =
1 сек. Присвоение данной размерности величине времени
хотя и является условным, однако в известной мере
отражает реальный физический процесс, поскольку при
задаваемых величинах m k - интервале от 1 до 10м –
скорость возмущения дна соответствует характерной при
цунами скорости  10 0  101 м/сек. Далее, согласно
выбранной функции f t  возникающее в течение одной
секунды возмущение сохраняется в течение всего
дальнейшего интервала времени, - времени возникновения
и образования волны вплоть до момента распространения. В
рассматриваемом случае этот промежуток выбран условно и
равен 7 сек. Однако согласно исследованию, проведенному
102
в начале параграфа, взятая функция f t  , определяемая
формулой (3.4.5), может рассматриваться в качестве
упрощенной модели колебательного процесса (в том числе
затухающего) такого, при котором в конечный момент
времени f t   0 и величина отклонения  зависит лишь
от величины f 0 (согласно формуле (3.4.3)).
Расчеты отклонения  проведены по формулам (3.4.3) и
a  a k 1
(3.4.4) для точек с абсциссами x  a k , x  k
,
2
k  0,80 , ординатами y  0 , y  1 , y  2 , y  3 ,
y  4 , для моментов времени t  1 , t  4 , t  7 . В
приложении [2] дан расчет отклонения  для t  7 при
a  a1
,…,
y  4 , y  3 , y  2 , y  1 , x  a 0 , x  0
2
a  a80
, a 80 .
x  79
2
(Читать следует по строкам слева направо, что
соответствует возрастанию x ).
Случай 13:
0;0  t  0,08k



f k t    t  1  0,08k 2  1;0,08k  t  1  0,08k
,
1;1  0,08k  t  7

k  0,80
Этот случай соответствует последовательному включению
источников, расположенных вдоль оси Ох на расстоянии
300м друг от друга через каждые 0,08 (сек). Этим самым
моделируется процесс распространения подвижки в
некотором направлении. Подвижка распространяется на
расстояние  24 км в течение  6  7 сек, что соответствует
характерной для цунами скорости  3  4 км/сек. Однако
103
отметим, что в данном случае моделируется
распространение достаточно «гладкой» подвижки, а не
«разлома».
Результаты расчета на ЭВМ показывают отличие в
характере и величине отклонения свободной поверхности в
случае В от случая А лишь в начальный момент
образования волны  0  3 сек. Так, при t  1 отклонение
свободной поверхности практически равно 0 (с точностью
до 3-х знаков после запятой при вычислении  в метрах).
Однако, начиная с момента t  4 наблюдается полное
совпадение результатов как в том, так и в другом случае.
Таким образом, начиная с некоторого момента времени t 0
при выбранном характере подвижки и всей модели в целом,
последовательное или одновременное действие подвижки
не играет существенной роли для образования волны, если
только момент начала распространения волны T  t 0 .
§5. Решение задачи о возмущении свободной поверхности
подвижками дна, действующими в течение любого
конечного времени t .
Как уже было установлено для возмущения свободной
поверхности, вызванного кратковременной подвижкой дна
слоя постоянной глубины h , справедлива приближенная
формула
2
  x, y, t   t z x, y 

1
z( x , y , t )   M ( x  x0 , y  y0 )  ( x0 , y0 )dx0dy0


(3.5.1)
где
104

M
z z  0

   ( x  x )  ( y  y )


2
k 0
0
0
2
 ((4k  1)h  z )
  ( x x )
1
2 2
0
2
 ( y  x0 )  ((4k  3)h  z )
2

1
2 2
формула (3.5.1) дает хорошее приближение лишь для малых
промежутков времен, причем с точностью до членов
порядка t 2 .
Покажем, что в случаи неподвижного дна колебание
жидкости в слое постоянной глубины описывается
уравнение Коши-Пуассона. Возмущения свободной
поверхности  и потенциал скоростей жидкости связаны
соотношениями
Фt   g , Фz   t , при z  0 , Фz
zh
0
Дифференцируем эти соотношения по t, получим
Фtt   g t , Фzt   tt , при z = 0, Фzt 
или
Фtt   gФz при z = 0, Фz
z  h
0
Далее находим
 4
t
4
 Фzttt
z o
  gФzzt
z 0
В силу гармоничности функции Ф имеем
2 
 2
Фzzt
z0


  2  2 Фt
 x


y


следовательно,
105
z  h
0



 4
t
4
  g
(3.5.2)
Уравнение (3.5.2) и является уравнением Коши-Пуассона.
Если подвижка дна длится промежуток времени 0  t   и
вызывает возмущение свободной поверхности  0 ( x , y , t ) , то
дальнейшее распространение волны описывается
уравнением (3.5.2) и начальными условиями
 j 0
 j

j t 
t t  , j=0,1,2,3
t
(3.5.3)
В силу малости подвижки дна здесь можно даже не
требовать, чтобы дно было плоским при t   . Если дно
достаточно близко к плоскому, то условие Неймана на дне
можно приближенно заменить условием Неймана на
плоскости z   h . Далее в силу малости  условие (3.5.3)
можно удовлетворить при t  0 , причем ошибка в решении
будет иметь порядок 2 .
При сделанных предложениях приближенное решение
задачи (3.5.2), (3.5.3) будем искать в виде

 ( x , y , t )   t 4 k  2 k ( x , y ) ,  0 ( x , y )  z ( x , y )
k 0
Подставив это решение в (3.5.2), легко получим

(1) k g 2k 4k  2 k
 ( x, y, t )  
t
 z( x , y )
k  0 (4k  2)!
Подставив это выражение в (3.5.2), легко получим:

 1k g 2k 4k  2  k
  x, y, t   
t
 z x, y 
k  0 4k  2!

106
(3.5.4)
Рассмотрим решение

(1) k g 2k 4k  2 k
 ( x  x 0 , y  y0 , t )  
t
 M
k 0 (4k  2)!
уравнения (3.5.2). Очевидно, что
k M 
d 2 k  1
z0
dz 2k  1
Из равенства
  
H n  , ,  x 2  y 2  z 2
 x y z 


1

2
(1) n (2n)!
2 n n!
H n ( x, y, z )
(x2  y 2  z 2 )
n
1
2
,
где Hп – однородный гармонический полином степени п,

и гармоничности функции x  y 
2 k 1

d
x2  y2  z2
2 k 1
dz

1
2

1
C 2 k 1
2
2
 14k  2! H 2 k 1  x, y, z 

2
2 k 1
2k  1!x
2
y z
2


1
2  2
z
3
2 2k  2
имеем
,
где H 2k 1  r 2k 1 P2k 1 cos   , а Р2k + 1 – полином
Лежандра степени 2k + 1, С2k + 1 – коэффициент при степени
2k + 1 независимой переменной в полиноме Лежандра. Так
как
 2k  3
2 ,
C 2 k 1  
k3
2
то
1 4k  2! 2 2k 1


k!  k  3  2k  1! ,
2
C 2k 1 2k  1!

следовательно





d 2 k 1 2
x  y2  z2
2 k 1
dz


1
2


z
P2 k 1 
 x2  y2  z2

 2k  1!
k 1
x2  y2  z2






.
Учитывая выражение для M, теперь получим
107


4k  1h
 P2 n 1 

2
2
 
x  y 2  4k  1 h 2


n
 M  2n  1! 
n 1
2
k 0 
x 2  y 2  4k  1 h 2






4k  3h
 P 
2 n 1

 2
2 2
2

 x  y  4k  3 h
x
2
 y 2  4k  3 h 2
2

n 1








.
Теперь имеем

 4n2
4k  1h


P
2
n

1
2
2
2
2
n
 x  x    y  y   4k  1 h t
  

 1 g 2 n 2n  1!
0
0


x  x0 , y  y 0 , t    


2
2
2 2 n 1


4
n

2
!
k 0  n 0
x  x    y  y   4k  1 h

0

 4n 2 
4k  3h


P

2
n

1
2
2
2
n
 x  x    y  y   4k  3 h 2 t


 1 g 2 n 2n  1!

0
0





n 1
2
2
2
2
4n  2!
n 0
x  x0    y  y0   4k  3 h





0

,
а
  x, y , t  
1


  x  x , y  y , t  x , y dx dy
0
0
0
0
0
0
(3.5.5)

Формула (3.5.5) дает приближение для возмущения
свободной поверхности с точностью до членов порядка  2 ,
однако в отличие от формулы (3.5.1) она пригодна для
любых конечных интервалов времени.
Пусть теперь подвижка дна длится промежуток времени
0  t  T . Выберем  так, чтобы для промежутка 0  t  
была применима формула (3.5.1). Промежуток
0  t  T разобьем на конечное число l промежутков
 i  t   i 1 , l = 0 ,…, l – 1 ,  i  0 ,  i 1  T , длина
которых не превосходит  . Пусть подвижное дно задается
уравнением
z   h    x, y, t ,   x, y,0    x, y, T   0 .
Обозначим через  i  x , y  значение  tt при t   i .
В силу сделанных предположений задача о возбуждении
волн является линейной, поэтому на промежутке
 i  t   i 1 рассматриваемая подвижка возбуждает
возмущение свободной поверхности
108
 i  x, y, t  
1


    x  x 0 , y  y 0 , t   i  i  x 0 , y 0 dx 0 dy 0

(3.5.6)
Эта формула получается точно также, как получалась
формула (3.5.5).
При помощи формулы (3.5.6) возмущение свободной
поверхности, вызванное подвижкой дна, в силу линейности
задачи в любой момент времени t 0  T записывается
следующим образом
l 1
  x, y, t 0     i  x, y, t 0 
i 0
(3.5.7)
§ 6. Об одном частном случае задачи возбуждения волн на
мелководье.
В линейной постановке задача о возбуждении волн на
мелководье описывается системой уравнений (3.6.1), (3.6.2)

uh    vh      h
x
y
t
ut   g x
(3.6.1)
v t   g y
Пусть h имеет вид h0    x  ct  , где h0 – постоянная, а
  x  ct  неотрицательная функция настолько малая, что ее
квадратом можно пренебречь. Пренебрегая малыми выше
первого порядка из (3.6.1), получим
h0 u x   t  c  , ut   g x
(3.6.2)
Из (3.6.2) имеем
109
 tt  gh0 hxx  c 2    0
(3.6.3)
Пусть функция  имеет вид
  x, t     x  ct     x, t ,
(3.6.4)
где  удовлетворяет уравнению (3.6.3), а   x, t 
соответствующему однородному уравнению, т.е.



gh
 0.
0
2
2
t
x
Подставляя (3.6.4) в (3.6.3), получим
c 2  gh0    c 2  
Отсюда
c2
 2
  x  ct ,
c  gh0
тогда
c2
 2
  x  ct     x , t  .
c  gh0
Из условия, что при   x  ct   0 ,   x, t   0 (если x  0 ,
то нет и движения жидкости) получаем, что   x, t   0 при
любых x и t , т.е.
c2
  x, t    2
  x  ct  .
c  gh0


Следовательно, если c 2  gh0 , то система (3.6.2)
удовлетворительно описывает процесс возбуждения волн на
мелководье подвижками дна специального вида   x  ct ,
причем волна имеет тот же порядок величины, что и
подвижка.
При c 2  gh0 в системе (3.6.2) наблюдаются явления
резонанса и функция  неограниченно растет. Поэтому для
110
исследования возбуждения волн при c 2  gh0
нецелесообразно использовать линеаризованную систему
(3.6.2).
Рассмотрим нелинейную систему теории мелкой воды

u  h      h
(3.6.5)
x
t
ut  uu x   g x
Найдем решения этой системы вида
u  u x  ct ,
    x  ct 
Из (3.6.5) для u и  имеем

u  h  c    h


 
1 2

.
 cu  u    g
 
2 

Отсюда находим
h   u  c   A
1
cu  u 2  g  B
2
Где А и В произвольные постоянные интегрирования. При
h  h0 u    0 , следовательно A  ch0 , B  0 . Тогда
c
1 2
   u
u , а u удовлетворяет уравнению
g
2g



u 3  3cu 2  c 2  gh9  g 2u  2 gc  0
Преобразуем это уравнение
u  c 3  c 2  2 gh0  2 g u  c   2 gh0 c  0

Полагая u  c   и учитывая, что gh0  c 2 , получаем
2g 

 3  3 c 2 
   2c 2  0
3 

111
Решая это уравнение и учитывая, что при   x  ct   0
  c находим
2
 32 
   g  c  o  
3


2
 32 
g  o  
Тогда u  
3


2
1
 32 
    o  
и c
3g
3


Из того, что c 2  gh0 и     x  следует, что 
удовлетворяет уравнению
 tt  gh0 xx  0 .
Итак, достаточно малая подвижка дна вида   x  ct 
распространяющаяся по дну водоема постоянной глубины
h0 , возбуждает волну того же порядка, что и подвижка,
если c 2  gh0 ; в случае же c 2  gh0 величина волны имеет
тот же порядок, что и корень квадратный из величины
подвижки. Следовательно, в случае c 2  gh0 малой
подвижкой дна возбуждается большая волна, чем в случае
c 2  gh0 .
112
ГЛАВА 4. Возбуждение волн источниками, заключенными в
толще воды, оползнями.
§ 1. Теоретическая модель возбуждения волн подводными
источниками.
Действие источника в жидкости отвечает за наличие
переменных во времени особенностей потенциала
скоростей. Рассмотрим задачу о возмущении свободной
поверхности, вызываемого переменным потенциалом
простого или двойного слоя, плотность которого
распределена на некоторой линии или поверхности.
Предлагается следующая приближенная модель: в случае,
когда поверхность S – замкнутая, в частности, сфера или
эллипсоид, то полагаем, что в качестве источника
возмущения свободной поверхности имеем некоторую
каверну (сферическую или эллипсоидальную), в случае,
когда S – цилиндрическая поверхность, то полагаем, что это
соответствует действию некоторого подводного потока, в
случае, когда плотность потенциала распределена на линии
– то источником является некоторый вихрь.
В дальнейшем изложении, касающемся вывода уравнения
Адамара и выделения главного члена возмущения будем
следовать работе [94].
Рассмотрим слой T h :  h  z  0. Потенциал скоростей
  x, y, z , t  жидкости, заполняющей T h представим в
следующем виде:
  x, y, z, t     x, y, z, t     x, y, z, t , где  – регулярная в
области T h гармоническая функция, удовлетворяющая

 0 , при z   h , а  – гармоническая с
условию
z
особенностями наперед заданного характера и T h
функция, удовлетворяющая условиям:
113
  x, y,0, t   0 ,

z
 0.
(4.1.1)
zh
(4.1.1)
В линейной постановке задачи о волнах на поверхности
жидкости, т.е. при z  0 выполняются соотношения:
 t   z , g   t ,
(4.1.2)
где z    x, y, t  – уравнение свободной поверхности
Из (4.1.1) и (4.1.2) получаем (согласно [94]):
 2
2
(4.1.3)
 tt 

zt
tz
z 0
z 0
В соотношении (4.1.3) функция
2
h( x , y , t ) 
tz
z 0
 2
является известной функцией, а слагаемое
zt
z 0
обычным путем приводит к интегро-дифференциальному
оператору, фигурирующему в уравнении Адамара [96],
[106]. Этот оператор имеет следующий вид [101]
g
g 
 
  ,  , t 

 




G  
K
x
,
y
,

,



,

,
t
d

d



dd ,



4
2

y 2 

2
2  x 2

x   2   y   2
где K  0 для полупространства H : z  0, а для слоя
T h:


K  6  1 4n 2 h 2 x      y     4n 2 h 2
n 1
n
2
2


5
2


 2  1 x      y     4n 2 h 2
n 1
n
2
2
Следовательно, в случае, когда жидкость заполняет
полупространство для функции  , характеризующей
свободную поверхность, имеем следующее уравнение:
114
 .

3
2

 2
2 
 2  2  
y   
 x
 2
g
 hx, y, t  
2
2
t
  ,  , t 
x   2   y   2
dd
,
(4.1.4)
а в случае слоя T h в уравнение еще входит
фредгольмовский интегральный оператор.
Прежде всего, рассмотрим волны, создаваемые на
поверхности бесконечно глубокой жидкости
особенностями потенциала скоростей, содержащимися
в жидкости, т.е. будем рассматривать уравнение (4.1.4).
Пусть в качестве особенности потенциала скоростей в точке
(0,0,а) имеем источник периодически меняющейся
,
причем сток будем считать источником отрицательной
интенсивности. Легко проверяется, что в этом случае
имеем:


 x, y, z, t    t x  y  z  a    x  y  z  a    ,
2
2
1
2 2
2
2

1
2 2

где  t  – периодическая функция. Отсюда легко находим
2a t 
.
h x , y , t  
x

3
a2 2
 y2 
В дальнейшем будем считать, что  0  0 , и будем искать
решение уравнения (4.1.4), удовлетворяющего условиям:

 t 0 
 0.
(4.1.5)
t t  0
2
Решение задачи (4.1.4), (4.1.5) в этом случае имеет вид:
1
  x , y , t      x , y , t 1    t d ,
0
где
  x , y, S   (1   )
2H
S 2

g
  H ,
2
115


2
a


,
S 4 l  4 l 
3 
 x2  y2  a2 2 


2  
 2

f  ,  , t dd
.
  f    2  2   
2
2
y     x      y   
 x
 1l g 2l
H 
l  0 4l  3 !




В силу гармоничности функции x 2  y 2 


l a x 2  y 2  a 2



3
2
2 l 1

l 1  d
2
2
2
   1  2l 1 x  y  z
dz





1
2

1

z2 2

P2l 1 (cos  )
l
  1 2l  1!

l 1
x2  y2  a2
 z a

где P2l 1 (cos ) – полином Лежандра, а

имеем

1
2 2
.
a
cos  a x  y
Следовательно, имеем
2
H 2
g
2
2
2l  1! P 

2l 1

l 0 4l  3!

l 1


g 2S 4

.
 2
2
2 
x 2  y 2  a 2  x  y  a 

a
Используя перестановочность операторов  и  и
соотношение  2  4 2  , получим

2
 H    2 x 2  y 2  a 2
g
Для функции
равенство:

1
2l  2! P 

2l  2

l 0 4l  3!


окончательно получим следующее

2l  2! P 
2l 1

l 0 4l  2 !


 x, y, t 1     41   


2l  2!
 2g 
P2l  2 

l  0 4l  3!


l 1


g 2S 4

.
 2
2
2 
x 2  y 2  a 2  x  y  a 
a
 g 2l t 1   4l 3


2
2
2 l 1
2
2
2 
x

y

a
x  y a 
a

4l  4
g 2l t 1   


x 2  y 2  a 2  x 2  y 2  a 2
a

Введем обозначение:
1
 n t    1   n  t d .
0
Теперь имеем:
116

l 2

.

,
2l  2! P 
2l 1

l 0 4l  2 !


g 2l t 4l  2

x 2  y 2  a 2  x 2  y 2  a 2

 g 2l t 4l  4 t 
2l  2! P 
a
4l  4

 2g 
2l  2
2
2
2 l 2
2
2
2 



4
l

3
!
l 0
 x  y a  x  y a

 x, y, t   4
a




l 1
 4l 3 t  
.
(4.1.6)
Положим   S   l S , теперь функции  n удовлетворяют
рекуррентному соотношению
1 t
 0 t  
l 1 ,
t
1
n
 n t      n1 t  , n = 1,2,…
t t
Отсюда находим
1
t k , n = 0,1,…
 n t   n! 
n  k  1!
Очевидно, что


 n t   l  t , n = 0,1,…
Если в качестве   возьмем cos t , то получим:
n!
1

it    it    n!   1 t  .
 t   
n  k  1!
n  2 j  1!
2
2

n
k
k
k 0

j
2j
j 0
Очевидно, что и в этом случае имеем:
 n t   l  t ,
n = 0,1,…
(4.1.7)
Выражение (4.1.6) даже для таких простых функций  
как косинус является очень громоздким, поэтому заменим
его другим выражением, которое при определенных
ограничениях на характер источника, расположенного в
точке (0,0,а), будет достаточно хорошо аппроксимировать
выражение (4.1.6). Положим  t   A sin t и будем
предполагать, что источник действует в промежуток
117
времени 0  t 
2

. Считая  достаточно большим, будем
2 

искать приближенное выражение для   x , y ,  .
 

Физически это означает, что в точке (0,0,а) достаточно
короткий промежуток времени действует источник
переменной интенсивности, причем эта интенсивность
такова, что приращение количества жидкости за все время
действия источника равно нулю. Нашей же задачей
является определение формы свободной поверхности
жидкости к моменту прекращения действия источника.
Положим

 t 2  t 
a
3


  x , y , t   4 P1
.

2
2
2  x2  y2  a2
 x  y a 
Функция  отличается от функции  членами не ниже
четвертого порядка относительно t , поэтому при
достаточно большом  можно положить:

2 
2 
a


  x, y,     x, y,    0 x, y   4 P1 
2
2
2

  
 

 x  y a
 4 2 1 A
 2 

  .
 x2  y2  a2 3  

Поверхность z   0  x , y  примем за свободную
2
поверхность жидкости в момент t 
. Из оценки (4.1.7)

следует, что
 1 
2 

  x , y ,    0  x , y   O 3  ,
 
 



следовательно, чем больше  , тем лучше  0 приближает
.
Из формулы для  n t  имеем:
118
 1 j

 3 t   3 A 
j 0
2 j  4!
t 
2j
1
 
 t 
t 

cos

t

1


2

4
2

,

следовательно,
3
 2 
 3    2 A .
 l  8
Учитывая, что P1 cos   cos , окончательно получим:
6A
a
 0  x, y  

.
(4.1.8)
3

x2  y2  a2 2


Если источник интенсивности  ( t )  A sin t расположен
не в точке (0, 0, a ), а в точке ( x0 , y0 , a ) , то очевидно, что в
этом случае имеем
6A
a
0 ( x, y) 

,
(4.1.9)
2
2
2
3
2
 [( x  x 0 )  ( y  y0 )  a ]
так как все операции, проделанные при выводе (8),
перестановочны со сдвигами по x и y.
При помощи (4.1.9) можно достаточно просто найти и
главный член возмущения свободной поверхности
жидкости, вызванного диполями с осями, параллельными
оси Ox и Oy и расположенными в точке ( x0 , y0 , a ) . Если
диполь в точке ( x0 , y0 , a ) имеет особенность вида
[( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  ( z  a ) 2 ] 3 2 ( x  x0 ) A sin t
или
[( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  ( z  a ) 2 ] 3 2 ( y  y0 ) A sin t
то, дифференцируя (4.1.9) по x0 или y0 соответственно,
получим
a( x  x0 )
18 A
0 ( x, y ) 

 [( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  a 2 ]5 2
119
или
0 ( x, y ) 
18 A

a( y  y0 )

[( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  a 2 ]5 2
Если ось диполя параллельна оси Oz, т.е. в точке ( x0 , y0 , a )
имеем особенность вида
[( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  ( z  a ) 2 ] 3 2 ( z  a ) A sin t ,
то, исходя из определения диполя как предела бесконечно
сближающихся источников противоположных по знаку
интенсивностей, из (4.1.9) получим
6 A ( x  x 0 ) 2  ( y  y0 ) 2  2a 2
0 ( x, y) 

 [( x  x 0 ) 2  ( y  y0 ) 2  a 2 ]5 2
Найденные выражения позволяют легко построить главный
член возмущения свободной поверхности жидкости,
вызванного любым диполем, находящимся в жидкости.
Если особенность потенциала диполя в точке ( x0 , y0 , a )
имеет вид
 ( x  x0 ) 2   ( y  y0 ) 2   ( z  a ) 2
0 ( x, y) 
A sin t ,
2
2
2 32
[( x  x 0 )  ( y  y 0 )  ( z  a ) ]
 2   2   2  1,
то главный член возмущения свободной поверхности в
2
момент t 
имеет вид

 0 ( x, y ) 

18 A

[( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2  a 2 ] 5 2  {a[ ( x  x0 ) 2   ( y  y 0 ) 2 ] 
 [( x  x0 )  ( y  y 0 )  2a ]}
3
2
2
(4.1.10)
2
Если вместо функции A sin t диполь характеризуется
некоторой достаточно гладкой периодической с периодом
2
функцией  (t ) ,  (0)  0 , то функцию  (t ) всегда можно

представить рядом
120

 ( t )   An sin  n t
n 1
и, воспользовавшись линейностью уравнения (4.1.4), и в
этом случае формулу вида (4.1.10), только теперь вместо
6  1
6 A  будет фигурировать величина Q (  )   An .
 n 1 n
Таким образом в этом более общем случае формула (10)
остается в силе, только величина A заменяется величиной
 1
 An .
n1 n
При помощи формул (4.1.9) и (4.1.10) можно легко написать
главный член возмущения свободной поверхности
жидкости, вызванного переменным потенциалом простого
или двойного слоя, плотность которого  ( x0 , y0 )  sin t
распределена на некоторой поверхности S.При помощи
формулы (4.1.9) в случае потенциала простого слоя имеем
z 0  ( x0 , y0 )
6
(4.1.11)
 0 ( x, y)  
d
2
2
2
3
2
 s [( x  x 0 )  ( y  y 0 )  z 0 ]
а в случае потенциала двойного слоя при помощи формулы
(4.1.10) находим
R ( x, y , x 0 , y 0 )  ( x 0 , y 0 )
d ,
2
2
2 52
0 )  ( y  y0 )  z 0 ]
s

R  a[ ( x  x0 )   ( y  y 0 )]  [( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2  2 z 02 ] ,
3
 0 ( x, y ) 
18
  [( x  x
(4.1.12)
где  ,  ,  - направляющие косинусы нормали к S.
Если жидкость заполняет слой T(h): {-h<z<0}, то вместо
уравнения (4.1.4) получается следующее уравнение
 2
g

2
4
t




g 2
2
 ( ,  , t )
K ( x, y,  , ) ( ,  , t )dd  h( x, y, t ) 
( 2  2)
dd
2 x
y  ( x   ) 2  ( y   ) 2
Задача (4.1.5) для этого уравнения редуцируется к
следующему интегро-функциональному уравнению
g
 ( x, y, t )   ( x, y, t ) 
2

1

0
   N ( x  a, y  b, t (1   ) (a, b, t )ddadb
121
(4.1.13)
где  - решение задачи(4.1.5) для уравнения (4.1.4), но в
(4.1.4) теперь функция h имеет вид
h( x , y, t )  Q( x , y ) A sin t
где
N ( x , y , z  a )
N ( x , y , z  a )
Q( x , y ) 

z 0
z 0 ,
z
z
а N - функция Неймана слоя –h<z<h с полюсом (0,0, ).
В окрестности точки t=0 ядро N имеет порядок t , причем
главный член в N имеет вид
g 2
t (1   ) 3 K ( x , y ,  ,  )
2
Уравнение (4.1.13) для достаточно малых t можно решать
методом последовательных приближений, поэтому с
точностью до членов четвертого порядка относительно t
можно положить
1
gt 2 
3
 ( x, y, t )   ( x, y, t ) 
  K ( x , y ,  ,  )  (1   )  ( ,  , t , )dd
2  
0
(4.1.14)
Построим функцию  в том случае, возмущение свободной
поверхности вызывается источником интенсивности
A sin t расположенном в точке (0, 0, -h). Для функции Q
входящей в выражение h, по которой при помощи (4.1.4)
строится  , имеем представление
 
(4k  1)h
( 4k  3)h

Q( x , y )    

2
2
2 2 32
k 0 
[ x 2  y 2  ( 4k  3) 2 h
[ x  y  (4k  1) h ]
2
Рассмотрим функцию
122

 k ( x, y , t )    {  2 g
 0


(2  2)!
(4k  1)h
2   2 
2
 x  y 2  (4k  1) 2 h 2
(4  3)!





g 2 t 4 4
 4  4 (t ) 
[ x 2  y 2  (4k  1) 2 h 2 ]  2

g 2  t 4   2 4  3 (t )


 [ x 2  y 2  (4k  1) 2 h 2 ] 1



(2  2)!
(4k  3)h

 2g
2   2 
 x 2  y 2  (4k  3) 2 h 2 
(4  3)!


2 4 4
g t  4   4 (t )
(2  2)!
 2
4

2
2 2 2
(4  2)!
[ x  y  (4k  3) h ]
4

(2  2)!
(4k  1)h
2  1 
 x 2  y 2  (4k  1) 2 h 2
(4  2)!


(4k  3)h
 2  1 
 x 2  y 2  (4k  3) 2 h 2


g 2  t 4   2 4  3 (t )

}
 [ x 2  y 2  (4k  3) 2 h 2 ] 1

В силу структуры функции Q и определения  имеем

 ( x, y, t )    k ( x, y, t )
k 0
Где с точностью до членов второго порядка относительно t
имеем

2
(4k  1)h
(4k  3)h
 2
t 3 (t )
2
2
2 2 32
2
2 2 
[ x  y  (4k  3) h ] 
[ x  y  (4k  1) h ]
 k  4
Следовательно, с точностью до членов второго порядка
относительно t можно положить
 ( x, y, t )  4Q( x, y )t 2 3 (t )
С возрастанием k функции  k стремятся к нулю как k  2
поэтому функция  хорошо аппроксимируется конечной
суммой функций  k .Так, например, можно положить


 ( x, y, t )  4h 3[ x 2  y 2  9h 2 ] 3 2  [ x 2  y 2  h 2 ] 3 2 t 2 3 (t )
С точностью до величины не превосходящей
1 2 2
t h  3 ( t ) .Если отношение t к h достаточно мало, то для
2
123
возмущения свободной поверхности в момент t 
можно положить
 0 ( x, y )   ( x, y ,
2

)
6 Ah

2

{3[ x 2  y 2  9h 2 ] 3 2  [ x 2  y 2  h 2 ] 3 2 }
Это приближенное значение отличается от значения
2
величины  ( x , y , ) , вычисленного при помощи формулы

3
A 1 h  2 по
16
абсолютной величине. С погрешностью не превосходящей
A 1 h  2 можно положить
6 Ah 2
(4.1.16)
 0 ( x, y)  
[ x  y 2  h 2 ] 3 2
(4.1.5), на величину, не превосходящую

§ 2. Формулы численного решения. Пример.
Как показано в §1 главы 4, в случае полупространства
2
H:{z>0} приближенное выражение для  ( x , y , ) дается

интегральной формулой
2
6
 ( x, y, )   0 ( x, y )  

,
z 0  ( x0 , y0 , z 0 )
 s [( x  x 0 ) 2  ( y  y 0 ) 2  z 02 ]3 2
(4.2.1)
когда возмущение свободной поверхности вызывается
переменным потенциалом простого слоя, плотность
которого  ( x 0 , y 0 ) sin t распределена на некоторой
поверхности S. Для этого случая мы и будем строить
формулы приближенного вычисления, не рассматривая
случай слоя T(h), когда для возмущения свободной
124
d
поверхности получается формула в виде рациональной
функции (формула (4.1.16)).
Для некоторого вида поверхностей S можно указать
готовые кубатурные формулы, хотя это весьма редко
удается сделать для широкого класса поверхностей S. В
случае, когда S – сфера, или эллипсоид, то можно построить
кубатурную формулу, вытекающую из известной формулы
Диткина и Люстерника (которая будет приведена ниже).
Рассмотрим формулу (4.2.1) и введем обозначения:
z 0  ( x0 , y0 , z 0 )
6
f (X, X0 ) 
 [( x  x 0 ) 2  ( y  y 0 ) 2  z 02 ]3 2
J   f ( X , X 0 )d x0
s
Пусть S-сфера: ( x 0  a ) 2  ( y0  b) 2  ( z 0  c ) 2  R 2 , c  0
c  R.
Введем новые переменные
x a
y b
z c
x1  0
, y1  0
, z1  0
; J  R3
R
R
R
где J - якобиан преобразования. Тогда
J  R 3  f ( X , x1 R  a , y1 R  b, z1 R  c )d x1  R 3  F ( X , X 1 )d x1
s'
s'
(4.2.2)
S ' : x12  y12  z12  1
Для вычисления последнего интеграла применим
кубатурную формулу В. А. Диткина и Л. А. Люстерника:
5 12
9 20
  ( Ai ) 
  ( Bi )
  ( X 1 )d x1 
42
70
i 1
i 1
s'
(4.2.3)
125
(1 ) ( 2 ) ( 3 )
где Ai  (a i , a i , a i ) - вершина икосаэдра, вписанного в
(1 )
( 2)
( 3)
S ' , B i  (bi , bi , bi ) - вершина вписанного в S '
додекаэдра, причем B i лежат на перпендикулярах,
опущенных из центра икосаэдра на его грани. Формула
(4.2.3) содержит 32 узла и имеет девятую степень точности,
т. е. погрешность содержит члены

x1 1 y  2 z  3 ,  1   2   3  m , m  10
Для главного члена возмущения
получаем следующую
формулу (на основании (4.2.3)):
5
9
 ( x, y ) 
R  F(X , A ) 
R  F(X , B ) 
42
70
12
20
3
0

3
i 1
i
i 1
i
5 3 12
9 3 20
R  f ( X ; ai(1) R  a, ai( 2 ) R  b, ai(3) R  c) 
R  f ( X ; bi(1) R  a, bi( 2) R  b, bi(3) R  c) 
42
70
i 1
i 1
(ai( 3) R  c)  (ai(1) R  a, ai( 2) R  b, ai( 3) R  c)
5 3 12

R 

(1)
7
 a ) 2  ( y  ai( 2) R  b) 2  (ai(3) R  c) 2 ]3 2
i 1 [( x  a i

(bi(3) R  c)  (bi(1) R  a, bi( 2) R  b, bi(3) R  c)
27 3 20
R 
(1)
35
 a ) 2  ( y  bi( 2) R  b) 2  (bi(3) R  c) 2 ]3 2
i 1 [( x  bi
(4.2.4)
с девятой степенью точности. Пусть теперь S - эллипсоид:
( x 0  a ) 2 ( y 0  b) 2 ( z 0  c ) 2


 1 , c  0 , c  h3
2
2
2
h1
h2
h3
Сделаем замену переменных, переводящую данный
эллипсоид в сферу S радиуса R:
h
h
x 0  a  1 ( x 0  a ) , y0  b  2 ( y0  b) ,
R
R
h
z0  c  3 ( z0  a)
R
hh h
J1  1 2 3
R3
где J 1 - якобиан преобразования.
126
Получаем:
 0 ( x, y ) 
h1 h2 h3
R3
h1
 f [X , R x
0
 (1 
s
h3]
h
h1
h
h
)a, 2 y 0  (1  2 )b, 3 z 0  (1  )c]d x0
R
R
R
R
R
(4.2.5)
Для вычисления последнего интеграла используем затем
формулу (4.2.3)
Однако, как уже указывалось выше, для большинства
поверхностей S трудно найти готовые кубатурные
формулы, и поэтому пользуются общим методом
вычисления поверхностных интегралов путем сведения их к
двойным и последующим применением квадратурных
формул.
Наиболее часто встречающийся случай, когда поверхность
S задается явным уравнением z 0  z 0 ( x 0 , y 0 ) . Тогда
2
2
 f ( x 0 , y 0 , z 0 )d   f ( x 0 , y 0 , z 0 ( x 0 , y 0 )) 1  p  q dxdy
(S)
где
p
( D)
z 0
z
,q 0
y 0
x 0
Рассмотрим некоторые формулы приближенного
вычисления интеграла
J   f ( x , y )dxdy
( D)
при конкретных способах задания области D. Одним из
простейших путей построения кубатурных формул является
повторное применение известных правил квадратур.
1. Область (D) - прямоугольник
D  {a  x  b , c  y  d } .
В этом случае
b
d
J   dx  f ( x , y )dy .
a
(4.2.6)
c
127
d
Обозначим  f ( x , y )dy  F ( x ) ,
(4.2.7)
c
b
тогда J   F ( x )dx
a
b
Применим для вычисления  F ( x )dx любую квадратурную
a
формулу:
b
n
 F ( x )dx   F ( x i ) Ai
(4.2.8)
i 1
a
b
b
a
a
Учтем, F ( x i )   f ( x i , y )dy .Для вычисления  f ( x i , y )dy
опять применим какую-либо квадратурную формулу:
b
m
 f ( x i , y )dy   f ( x i , y k ) B k
(4.2.9)
k 1
a
Учитывая (4.2.6), (4.2.8), (4.2.9), получим кубатурную
формулу вида
b
d
n
m
J   dx  f ( x , y )dy   Ai  Bk f ( x i , y k )
a
c
i 1
(4.2.10)
k 1
а) Если в качестве квадратурных формул применить
квадратурную формулу Симпсона, то получим следующее
правило:
b d
  f ( x, y)dxdy 
a c
  cd
(b  a )( d  c) 

 f (a, c)  f (b, c)  4 f  a,
36
2




ab 
 a  b 
 a  b c  d 
 f
,c  f 
, d   16 f 
,
  R
2 
 2

 2

 2
128
 cd
f  b,

2 

(4.2.11)
остаток R имеет вид:
R
(b  a)5 (d  c)  4 f (1 ,1 ) (d  c)5 (b  a)  4 f ( 2 , 2 )




26  45
x 4
26  45
y 4
(4.2.12)
(d  c)5 (b  a)5  8 f (3 ,3 )


212  452
x 4y 4
где точки ( 1 ,1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) принадлежат области
интегрирования.
Эта формула точна для многочленов 3-ей степени
относительно x и 3-ей степени относительно y.
б) Приведем еще одну кубатурную формулу для
вычисления
  f ( x, y)dxdy .
1 1
1 1
1 1
  f ( x, y)dxdy 
1 1

16
4
f (0,0)   f (1,0)  f (1,0)  f (0,1)  f (0,1) 
9
9
4
 4

1
 f (1,1)  f (1,1)  f (1,1)  f (1,1)  1   f (04 ,0)   f (04 ,0)   ......
9
45  x
y

(4.2.13)
Точность этой формулы равна 3. Величина
1   4 f (0,0)  4 f (0,0) 



45  x 4
y 4 
- главный член остатка.
2. Пусть область D определяется неравенствами
D  {a  x  b,  1 ( x )  y   2 ( x )}
Двойной интеграл (4.2.6) по этой области можно записать
так
b
2 ( x )
a
1 ( x )
2 ( x )
J   dx  f ( x , y )dy
Обозначим
 f ( x , y )dy  F ( x ) , тогда
1 ( x )
129
b
J   F ( x )dx
(4.2.14)
a
Применим к интегралу, стоящему в правой части
равенства (4.2.14) какую-либо квадратурную формулу
b
n
n
 2 ( xi )
a
i 1
i 1
1 ( xi )
 F ( x )dx   Ai F ( x i )   Ai
 f ( x i , y )dy
В свою очередь, вычислив интегралы в последней сумме по
каким-либо правилам приближенных квадратур, мы
получим кубатурную формулу
n
mi
(i )
(i )
 f ( x , y 0dy   Ai  Bk f ( x i , y k )
i 1
( D)
(4.2.15)
k 1
Приведем некоторые частные случаи формулы (4.2.15) в
зависимости от конкретного вида области D.
а) Формулы численного интегрирования по параболическим
областям
a
b (1
x2
a2
)

4
1

  f ( x, y)dxdy  210 ab 4 f (0,0)  4 f (0, b)  7 f (a,0)  7 f (a,0)  48 f (0, 2 b) ,
a
0
(4.2.16)
a
b (1
x2
a2
)
  f ( x, y)dxdy  20790 ab344 f (0,0)  248( f (0, b)  f (0,b))  768( f (0, 2 b) 
a
b (1
x2
a2
8
1
)
1
1
1
1 1
 f (0, b))  165( f (a,0)  f (a,0))  704( f ( ,0)  f ( ,0))  704( f ( a, b) 
2
2
2
2 2
1 1
1
1
1
1 
 f ( a, b)  f ( a, b) f ( a, b)) 
2 2
2
2
2
2 
(4.2.17)
Точность обоих формул равна 2.
б) формулы численного интегрирования по кругу:
x 2  y 2  1 D : x2  y2  1


130


2
2
1 1
1 1
,0)  f (
,0)  f (
,
)  f (
,
)
f(
8
3
3
6 2
6 2
D
1
1
1
1 
 f(
,
)  f (
,
)
6
2
6
2 
 f ( x, y)dxdy  4
f (0,0) 
(4.2.18)
Точность этой формулы равна 5.
Выше были рассмотрены способы вычисления
поверхностных интегралов, отправляясь от необходимости
вычисления интеграла (4.2.1), когда возмущение свободной
поверхности вызывается переменным потенциалом
простого слоя.
В том случае, когда возмущение свободной поверхности
вызывается переменным потенциалом двойного слоя,
имеем:
R( x , y , x 0 , y 0 ) ( x 0 , y 0 , z 0 )
18
 0 ( x , y )  
d
2
2
2
5
2
 S [( x  x 0 )  ( y  y 0 )  z 0 ]
(4.2.19)
где
R( x , y , x 0 , y 0 )  a[ ( x  x 0 )   ( y  y 0 ) 

3
[( x  x 0 ) 2  ( y  y 0 ) 2
 ,  ,  - направляющие косинусы нормали к S.
Интеграл (4.2.19) также есть поверхностный интеграл 1
рода, и для его вычисления можно применять приемы,
описанные выше и рекомендованные для вычисления
интеграла (4.2.1).
Пусть теперь возмущение свободной поверхности
вызывается переменным потенциалом простого слоя,
плотность которого распределена по линии (l) : x 0   1 ( ) ,
y 0   2 ( ) , z 0   3 ( ) , a    b . Тогда главный член
возмущения свободной поверхности может быть вычислен с
помощью простого интеграла
131
 0 ( x, y) 
6
z0 ( x0 , y0 , z0 )

 ( l ) [( x  x 0 ) 2  ( y  y 0 ) 2  z 02 ]3 2
de 
 3 ( )[ 1 ( ),  2 ( ),  3 ( )]d
6b
 
 a [[ x   1 ( )]2  [ y   2 ( )]2  [ 3 ( )]2 ]3 2
К последнему интегралу можно применить обычные
квадратурные формулы в зависимости от конкретного вида
функции  ( x 0 , y 0 , z 0 ) .
В заключение рассмотрим случай, когда возмущение
свободной поверхности вызывается потенциалом простого
или двойного слоя, плотность которого распределена на
некоторой цилиндрической поверхности с образующими,
параллельными оси Ox (или оси Oy). Пусть поверхность S в
формуле (4.2.1) задается следующим образом:
y   1 ( ) , z   2 ( ) ,    x   ,
 2 ( )  0 , a1    b1
Тогда получаем для главного члена возмущения (в момент
2
времени t 
):

0 (
=
6

x, y) =
A b1
lim
A 
6

b1
 dx0 
 
a1
 2   x0 , 1  , 2   1   12   22 d
x  x 
0
2
2
2
  y   1     2   
32
 2   x0 1  , 2   1   1'2   2'2 d
  x  x   y        
 Aa1
2
0
2 32
2
1

,
2
т. е всё свелось к вычислению двух простых (одномерных)
интегралов. Ясно, что при ограниченном интервале
изменения по x вопрос будет решаться ещё проще.
132
Аналогичным образом обстоит дело и в случае потенциала
двойного поля.
Пример 1. Определить отклонение свободной
поверхности, вызываемое особенностью потенциала
простого слоя с плотностью   x 0 , y 0 , z 0  sin t  sin t ,
распределённой на поверхности сферы
x 02  y02  z 0  h0 2  R 2 , h0  0, h0  R ,
2
.
2
Пользуясь формулой перехода (4.2.2) от сферы радиуса
R к сфере радиуса 1, затем переходя к двойному интегралу
по кругу единичного радиуса D: x 2  y 2  1 и, наконец,
формулой (20), получаем искомое решение.
при   2 т. е для момента времени t 
Пример 2.
Определить отклонение свободной
поверхности, вызываемое особенностью потенциала
простого слоя с плотностью   x 0 , y 0 , z 0  sin t  sin t ,
распределённой
на
цилиндрических
поверхностях
различных линейных размеров и расположенных на разной
глубине для момента времени t  2  .
Расчёт проводим по формуле 4.2.1
6
0  x, y   J

где
J=  
S
 x  x 
0
z0
2
  y  y 0 2 
133

32
z 02
d,
S – цилиндрическая поверхность:
z 0  h0 2  x 02  R 2 ,
 a  y0  a
Интеграл J предварительно приведён в результате
преобразований к виду (при R=1):
1
1
1
1
J   dx0 
1
1
1
1
  dx0 
 1 x
2
0

 h0 dx0 dy 0
2
2
1  x  x  x0    y  y 0  

2
0
 1 x
2
0

 1 x
2
0
h
 h0 dx0 dy 0
2
2
1  x  x  x0    y  y 0  

2
0
 1 x
2
0
 h0
2
0

2



2


32

32
Эти интегралы могут быть упрощены, после чего
возможно приближённое вычисление их с помощью ЭВМ,
путём обращения к стандартным программам .
§3. Теоретическая
оползнями. Пример.
I.
модель
возбуждения
Моделью оползня может быть такая картина:
134
волн
Свободная поверхность воды
поповерхность жидкости
Д
H
В
α
h
β
Δ
дно
H – глубина бассейна,
D – область, занятая водой,
Δ – область, в которой находится более плотная
жидкость, чем вода. Эта жидкость с водой не смешивается.
B – плотина, которая держит эту жидкость. Пусть в
момент времени t = 0, плотина мгновенно разрушается.
Тогда растекание жидкости из области Δ и будет
h
моделировать оползень. Пусть кроме того отношение
H
считается малым, тогда изменение свободной поверхности
жидкости из области Δ можно считать функцией   x, y, t  в
той схеме, которая приводила к уравнению Адамара.
Таким образом, главная задача состоит в том, что
необходимо определить функцию   x, y, t . А затем
применить уже известную схему исследования.
2. Определение   x, y, t .
Задача о разрушении плотины решалась в книге Дж.
Дж. Стоккера. Приближённо профиль жидкости из области
135
Δ при малых
уравнениями
t
описывается
параметрическими
 2 b
2 a 
cos

sh

g 2 
4
n
4
n
xa
t ln
,

b

a
2
 sin 2

 sh 2

4n
4n 
 b 
 sin 2n 
g 2
z  b  t arctg 
,

a

 sh 

n 
причём на участке  должно быть a  0 , а на участке

b  h.
Следовательно, уравнение свободной поверхности
жидкости из Δ задаётся параметрическими уравнениями
g 2  2 b  
x
t lnctg

2
4h  

на участке 
(*)

2
gt

z  b

2
xa




 1   на участке 
g 2
z  h  t arctg 


a

 sh  
 h 
Найдём точку, в которой z = 0.
Из (*) следует
gt 2
gt 2
z  b
0b
.
2
2
Подставляя это значение в x на (*) имеем
136
gt 2  2 t 2 
x0 
lnctg

2 
8h 
x0  0 ,
Принимая, что координата плотины  есть x  0 . Тогда
  x, t   0 при всех x  x 0 . Найдём теперь из первого
уравнения из (*) b :
gx
 b 
 lnctg ,
 4h 
gt 2
2x
 2x 
2
b
4h
 2
ctg
  gt  b 
arcctg gt .
4h





Из всего вышесказанного следует, что отклонение дна
для воды имеет вид

 2x 
2
 4h arcctg  gt 2   gt ,
x0  x  0



2






  x, t   





 h  g t 2 arctg  1 ,
x0

x


 sh 

 h
(4.3.1)
2
gt 2 
 2 gt 

x0 
lnctg
,   x , t   0, x  x 0 .
2 
8h 


3. Теперь можно использовать известную уже нам
схему исследования. Так как функция   x, t  , полученная
по формуле (4.3.1) является разрывной, то будут
разрывными и её производные, что влечёт разрывность
функции
137
  x, t   
t
1   2x
Однако интеграл от   x, t  уже не является разрывной
функцией, а поэтому рассмотренная ранее схема решения
может быть применена без всяких изменений.
Пример.
Так как   x, t  в формуле (4.3.1) является функцией и
x , и t , что для нашего метода решения модельных
примеров является затруднительным, то предположим, что
  x, t  имеет такой вид:
1 x  0
t  0,1
1  t  x  1

  x, t   
 1



1

t

x

1

 0  x  2.

 2


Пусть H  1000 м. h  1м.
Таким образом имеем:
1
  1 
  x , t ,
1000
V  0
V
z 0
0
V
   x, t 
h
По виду   x, t  V будем искать в виде:
138
1 x  0
 x  1z 1  t 

V  x , z , t   A 1


x

1

 z 1  t  0  x  2
 2


 x  11  t 
 x  11  t 
V
V
1 


  A 1



 1





x

1
1

t
1

t
h
z z  0
1000


 x 
 2


 2


1
A

1000
1 x  0
1  t  x  1z
1 
V  x, z, t   

 1

1000 1  t   x  1  z 0  x  2
 2


 t  x  1
1 
  x, t  
 1

1000  t   x  1 

 2
 t  x  1
1 
  x, t  
 1

1000  t   x  1 

 2
139
1 x  0
0 x2
1 x  0
0 x2
а) t  0
1 x  0
x  1
1 
  1 
 1
1000   x  1 0  x  2
 2
  x ,0   0
x 1
 2
1
1 
б ) t  ,   1 
 1
2
1000   x  1
2


2
x 1
1 x  0
 2
1 
 1
  x,  
 1
 2  1000   x  1
2
0 x2


2
в ) t  1,   1  0
x  1
1 
  x ,1 
 1
1000   x  1
 2
1 x  0
0 x2
Таким образом имеем следующие результаты.
1.
В момент времени t  0 на дне появляется
некоторая подвижка, на поверхности ничего нет.
2.
При увеличении t подвижка уменьшается, а на
поверхности воды появляется всё большая волна,
е.е. происходит накопление.
3.
Так как подвижка дна имеет кусочно-заданный
характер, то, применяя предложенный метод
отдельно для каждой части получаем отклонение
свободной поверхности также кусочно-заданной.
140
Но практически такого быть не может, поэтому
необходимо
полученное
отклонение
аппроксимировать близкой непрерывной линией,
что и будет соответствовать условиям практики.
Глава 5. ПОСТАНОВКА И ИССЛЕДОВАНИЕ
ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ ВОЗБУЖДЕНИЯ ВОЛН
НА МЕЛКОВОДЬЕ.
Введение: Процесс возбуждения волн на мелководии
подвижками дна описывается следующей системой
нелинейных уравнений
[102]











  h
u


h

v


h


 x
y
t

 ut  uv x  vu y   g x

vt  uv x  vv y   g y

5.2)
u t 0  v t 0   t 0  0
(5.1)
где   x , y, t  - отклонение свободной поверхности,
u x, y, t , v x, y, t  - компоненты горизонтальной скорости
волны.
h x , y, t   h0  x , y     x , y, t 
h0  x , y  - уравнение невозмущённого дна
  x, y, t  - подвижка, причём   x,0, y   0
141
Можно показать, что решения задачи (5.1) – (5.2)
совпадают с точностью до членов третьей степени
t
относительно
с
решениями
следующей
«линеаризованной» системы







  h
uh

vh


0
0
 x
y
t

(5.3.)
 ut   gh x
 v   g
y
 t

начальными условиями для которой также являются
условия (5.2).
Таким образом, если h0  x , y  и   x , y, t  аналитичны и
t 0 достаточно мало, то в качестве приближённого решения
системы (5.1) – (5.2) можно взять   x , y, t  из решения
системы (5.3) – (5.2), причём ошибка имеет порядок t 04 .
Теперь перейдём к постановке обратной задачи: найти
форму колебания дна при известной форме свободной
поверхности в момент времени t 0 . Т.е. в системе (5.1)
фактически требуется определить функцию   x , y, t  так,
чтобы решение системы (5.1) – (5.2) удовлетворяло условию
  x , y, t0     x , y , где   x, y  представляет собой
известную форму волны в момент времени t 0 .
Для приближённого решения этой задачи обратимся к
линеаризованным уравнениям (5.3) и дополнительно
предположим, что h0  const . Тогда уравнения (5.3) легко
преобразуются к виду
 xx   yy  a 2tt  a 2 tt
(5.4)
 t 0 

0
t t  0
(5.5)
 t  t    x, y 
5.6
0
142
где a - известная величина, определяемая через g , h0 .
Рассмотрим два случая решения обратной задачи.
§I. Численно – аналитическое решение обратной задачи для
случая a 2  tt  f  x  ct .
Предположим, что
a 2  tt  f  x  ct 
Тогда
 xx  a 2tt  f  x  ct 
 t 0 
(5.1.1)

0
t t  0
(5.1.2)
 t t   x
(5.1.3)
0
В информационном отчёте № I было показано, что в этом
случае f  x  ct  приближённо может быть найдено по
формуле
2a 2
f ( x  ct )   2   x  ct 
(5.1.4)
t0
Причём ошибка будет порядка t 0 . Таким образом, если
правая часть уравнения (5.7.1) имеет вид (5.1.4), то система
(5.1) имеет решение, проходящее через заданные условия
(5.1.3). Теперь будем искать подвижку   x, t  из уравнения
a 2  tt  f  x  ct 
  x ,0   t  x ,0  0
143
Тогда
t 
  x, t     
1
0 0 a
2

f  x  c d d

Если функция  (через которую определяется
функция f по формуле (5.1.4)) имеет достаточно простой
вид, то нахождение функции   x, t  не представляет особых
трудностей, но, если же функция  сложна или задана
таблично, то лучше воспользоваться численными методами.
Обозначим
1
f  x  ct     x , t 
2
a
Тогда
tt    x , t 

t 0


t
t 0
5.1.5
5.1.6
0
Для решения задачи (5.1.5)-(5.1.6) применим
разностный метод. Дифференциальной задаче (5.1.5)-(5.1.6)
ставим в соответствие разностную задачу
5.1.7 
5.1.8
5.1.9
ytt  
y  x ,0  0
yt  x ,0  0,5  x ,0
Задачу (5.1.7)-(5.1.9) применим в индексной форме
144
yij  1  2 yij  yij 1

2
5.1.7'
  ij
5.1.8'
yi0  0
yi1  yi0

 0,5  x ,0 
5.1.9'
Уравнение (5.1.7) – явное разностное уравнение. Для
реализации процесса счёта следует знать y i0 и y i1 . Из
условия (5.1.8) y i0  0
, а y i1  0,5 2  x,0 из условия
(5.1.9).
Значения функции 
на всех остальных слоях
находятся с помощью явного
y i2 , y i3 ,.....,
разностного уравнения (5.1.7).
Остановимся на вопросе сходимость решения задачи
(5.1.7)-(5.1.9) к решению задачи (5.1.5)-(5.1.6).
Легко убедиться, что погрешность аппроксимации
уравнения (5.1.5) уравнением (5.1.7)  - есть величина
 
  2 ,
погрешность аппроксимации второго начального условия
(5.1.6) разностным уравнением (5.1.9)  - есть величина
  2 .
Далее, уравнение (5.1.9) является устойчивым при
выполнении условия

1

h2 2
Известно, что из аппроксимации и устойчивости следует
сходимость, причём скорость сходимости совпадает с
порядком аппроксимации. Поэтому
y  2
и решение задачи (5.1.7)-(5.1.9) сходится к решению задачи
(5.1.5) – (5.1.6) со скоростью   2 .
 
 
 
145
§2. Численно – аналитическое решение
обратной задачи для случая a 2  tt  f t q x , y .
Теперь предположим, что
a 2tt  f t q x, y .
5.2.1
f t  - заданная финитная функция из C 2 , а q x, y  искомая финитная функция также из C 2 . Тогда получаем
следующую обратную задачу
 xx   yy  a 2 tt  f t q x , y 
где

t

t 0


t  t0
   x, y 
t 0
0
Здесь подлежит определению функция q x, y  через
известные функции   x, y  и f t  . В информационном
отчёте № I [1] было рассмотрено решение этой задачи и
функция q x, y  была найдена
q x , y    t
  x, y 
 t0    f  d
0
 
  t2
5.2.2
0
Зная функции q x, y  и f t  можно искать и функцию
(подвижка) из уравнения
  x, y, t 
146
 tt 
1
2
f t q x , y 
a
при условии

  x , y ,0 
t 0  0
t
Обозначим
1
f t q x , y     x , t  ,
2
a
где уже x   x1 , x 2  точки двумерного пространства, t
изменяется на отрезке [0,T]. Будем рассматривать
следующую задачу
tt    x , t 
  x ,0   0
   x ,0 
5.2.3
5.2.4
5.2.5
0
t
Для решения этой задачи применяем разностный метод
решения. Для этого на отрезке
[0,T] строим сетку
T j  j , j  0, N . Строим также сетки в направлении x1 и
x 2 x1i  ih1 , x 2 j  jh2 , i , j  0,1,2,...., h1 , h2 ,  0
Данную дифференциальную задачу аппроксимируем
разностной задачей
5.2.6
ytt    x , t 
5.2.7 
y  x ,0   0
5.2.8
yt  x ,0  0,5  x ,0 
Причём
функцию
можно
выбрать
  x, t 
  x , t     x , t .
Запишем эту задачу в индексной форме, вводя обозначения
147


 x1i , x 2 j , t k    ijk
y x1i , x 2 j , t k  y ijk
y ijk 1  2 y ijk  y ijk 1   ijk
i , j  0,1,2,......,
y ij0  0

k  1,2,......, N

y ij1  0,5 x1i , x 2 j ,0
или
yijk 1  2 yijk  yijk 1   2 ijk
5.2.9
(5.2.9) это явное разностное уравнение. Приведённая выше
разностная схема абсолютно устойчива, решение этой
задачи сходится к
решению
соответствующей
дифференциальной задачи со скоростью o( 2 ) , т.е.
y( x , t )   ( x , t )  o( 2 ) .
§3. Исследование обратной задачи теории возбуждения
волн с помощью интегральных уравнений I-го рода.
1. Постановка задачи.
Известно [102], что нелинейные уравнения, описывающие
процесс возбуждения волн, вызванного подвижкой дна,
имеют вид (5.1), (5.2).
Пусть требуется найти форму колебания дна по известной
форме свободной поверхности в момент времени t 0 .
Эта обратная задача при определенных ограничениях
решалась, например, в работе [110] с помощью
преобразования Фурье. Здесь предлагается другой подход,
основанный на сведении предварительно линеаризованной
148
задачи (5.1) – (5.2), к интегральной уравнению I-го рода и
последующей регуляризации в смысле А.Н. Тихонова [112],
допускающей численную реализацию.
Пусть h0  const . Тогда на основании [110] при малом
t достаточно рассмотреть линеаризованную систему
0
 tt  a 2 ( xx   yy )   tt ( x , y, t )

 t 0 
0
(5.3.1)
 t t   ( x, y )
(5.3.3)
t
(5.3.2)
t 0
0
где a – известная функция, определяемая через h0 , g , и в
системе (5.1) – (5.2) определить функцию  tt так, чтобы ее
решение  удовлетворяло условию (5.3.3.).
2. О существовании и единственности решения обратной
задачи (5.3.1) – (5.3.3)
Будем искать функцию  tt в виде произведения
 tt ( x , y, t )  q( x , y ) f ( t ),
(5.3.4)
где в отличие от [110] теперь q – заданная , а f – искомая
функция.
Известно (см., например, [113] стр. 518), что неоднородное
волновое уравнение (5.3.1) при нулевых начальных
условиях (5.3.2) имеет решение
 tt ( , , )dd 
1 t
d
 ( x, y, t ) 
  
2a 0    a ( t  ) a 2 ( t   ) 2   2 
(5.3.5)


 2  (  x ) 2  (  y ) 2
Отметим, что в одномерном случае, когда  tt   tt ( x , t )
решение будет иметь вид
149

1 t  x  a ( t  )
 ( x, t ) 
    tt ( , )d d
2a 0  x  a ( t  )

(5.3.5')
Поэтому, на основании условия (5.3.3), искомая функция
 tt ( x , y, t ) должна в общем случае удовлетворять
интегральному уравнению I-го рода
 tt ( , , )dd 
1 t
 d
 ( x, y) 
  
2
2
2
2a 0    a ( t  ) a ( t   )   


где  2  (  x ) 2  (  y ) 2 .
Если tt  tt ( x , t ) ,    ( x ) , то искомая функция tt  x , t 
должна удовлетворять боле простому интегральному
уравнению I-го рода

1 t0  x  a ( t  )
(5.3.6)
( x) 
    tt ( , )d  d
2a 0  x  a ( t  )

Далее ограничимся рассмотрением этого случая, то есть
будем предполагать, что  tt  f ( t )q( x ) ,    ( x ) , где q( x )
и  ( x ) – известные функции, а f (t ) – неизвестная,
x  [c, d ], t  [0, t 0 ] . В этом случае искомая обратная задача
(5.3.1.)-(5.3.3) преобразуется к интегральному уравнению Iго рода
t0
 ( x )   K ( x , ) f ( )d ,
с ядром
x  [c , d ]
(5.3.6')
0
1 x  a ( t  )
K ( x , ) 
 q( )d
2a x  a ( t  )
Поэтому справедливо следующее предложение
Теорема 1. Пусть  tt  f ( t )q( x ) ,    ( x ) , где q( x ) и
 ( x ) – известные функции, а f (t ) – искомая функция.
150
Тогда для того, чтобы обратная задача (5.3.1.)-(5.3.3) имела
единственное решение необходимо, чтобы однородное
уравнение
t0
 K ( x , ) f ( )d  0
(5.3.7)
0
имело только тривиальное решение f  0 .
Пример 1. Пусть имеем простейший случай, когда q( x )
и  ( x ) – постоянные, т.е.
q( x )  C1 ,  ( x )  C 2 ; C1 , C 2  const
Тогда K ( x , )  ( t 0   )C1 и уравнение (5.3.6') примет вид
t0
C 2  C1  ( t 0   ) f ( )d ,
0
1 x  a ( t0  )
т.к. K ( x , ) 
 C1 d  C1 ( t 0   )
2a x a ( t0  )
Соответствующему однородному уравнению
t0
 ( t 0   ) f ( )d  0 удовлетворяет, например,
0
нетривиальное решение вида  ( )  A  B , где A и B –
постоянные, связанные условием 3 A  B  0 . Поэтому, если
 tt  f ( t )C 1 ,  ( x )  C 2 , то функция f (t ) определится
2C 2
неединственным способом, т.к. тогда f ( t ) 
  ( t ) , где
C1
 (t ) – любая функция, такая, что
t0
 ( t 0   ) ( )d  0 .
0
Например,   A  B , где 3 A  B  0 .
Замечание. В общем случае, когда
q( x )  const ,  ( x )  const уравнение (5.3.6') может и не
иметь решений.
151
Необходимые и достаточные условия существования
решения интегрального уравнения (5.2.3) в классе L2
получаются с помощью теоремы Гильберта-Шмидта ([113],
т.IV, с.86). Приведем эти условия.
Пусть  i ( x ) и  i ( ) – ортонормированные системы
собственных функций, связанных соотношениями
t0
 i ( x )   i  K ( x , ) i ( )d , x  [c , d ]
0
d
 i ( )   i  K ( x , ) i ( x )dx , x  [c , d ], t  [0, t 0 ]
c
(5.3.8)
i  1,2,...,
Системы  i ( x ),
 i ( ,
0  12   22  ... существуют и
являются соответственно системами собственных функций
и характеристических чисел, отвечающих симметрическим
ядрам операторов KK * и K * K , такими, что
 i   2i KK * i ,  i   2i K * K i , i  1,2,...
Поэтому справедливы
Теорема 2. Для того, чтобы уравнение могло иметь решение
в классе L необходимо, чтобы выполнялось тождество
2
d
  ( x ) ( x )dx  0 , для любого решения  (x) однородного
c
d
уравнения  K ( x , ) ( x )dx  0
c
Доказательство.
152
b
Пусть  K ( x , ) f ( )d   ( x ) . Тогда
d
a
b
d
c
a
c
  ( x )  K ( x , ) f ( )ddx    ( x ) ( x )dx ,
где левая часть тождественно равна нулю, ибо
d
 K ( x , ) ( x )dx  0 .
c
d
Следовательно,   ( x ) ( x )dx  0 .
c
Теорема 3. Для того, чтобы уравнение (5.3.6') имело
решение f в классе L2 [0, t 0 ] необходимо и достаточно,
чтобы
2
d

2
а)   n    ( x ) n ( x )dx   
n1
c


d
б)   ( x ) ( x )dx  0 для любого решения  ( x ) однородного
c
d
уравнения  K ( x , ) ( x )dx  0 . В этом случае решение
c

d
n 1
c
имеет вид f ( t )    n   ( x ) n ( x )dx n ( t ) .
Доказательство.
На основании условия б) теоремы 3 каждое решение
уравнения (5.3.6') удовлетворяет уравнению K * Kf  K * ,
где
t0
K Kf   K 1 ( t , s ) f ( s )ds ,
*
0
153
d
K 1 ( t , s )   K ( x , t ) K ( x , s )ds ,
c
d
K    K ( x , t ) ( x )dx .
*
c
На основании теоремы Гильберта-Шмидта ([113], т.IV, с.86)

K    ( K  , n ) n 
*
*
n 1

d
1
  n   ( x ) n dx n ( t ),
n 1
c
t  [ 0, t 0 ]

f   f n n ( t ) .
n 1
На основании определения сходимости в средне
квадратичном и ортонормированности системы  i  ряд

 f n n ( t ) сходится в средне квадратичном, если
n 1

2
 f n   , т.е. выполнено условие а).
n 1
Теорема доказана.

Замечание. Если ряд Фурье  f n n ( t ) сходится
n 1
равномерно, то уравнение (5.3.6') имеет непрерывное
решение. Последнее будет выполнено для любой функции
 ( x )  L2 [c, d ] тогда и только тогда, когда ([114]б с.183)
t0 n
lim sup   i ( t ) i ( s )ds   .
n 
0 i 1
3. О псевдорешениях уравнения (5.3.6')
d
Если однородное уравнение  K ( x , ) ( x )dx  0 имеет
c
нетривиальное решение  ( x )  0 , и условие б) теоремы 3 не
154
выполнено, то уравнение (5.3.6') не имеет решений в классе
L2 . Но оно может иметь псевдорешение.
Определение 1.
Элемент f * ( t )  L2 [0, t 0 ] с минимальной нормой, такой,
2
d  t0


*
что Kf    inf     K ( x ,  ) f ( )d   ( x )  dx 
f L2 [ 0,t 0 ] c  0




называется псевдорешением уравнения (5.3.6').
Псевдорешение f * удовлетворяет уравнению K * Kf  K * .
Если f ** - другое решение последнего уравнения, то на
основании определения 1
f **  f * ,
где f
*

t0
 f
*2
( t )dt ,
f
**

0
t0
 f
**2
( t )dt .
0
Очевидно, что псевдорешение единственно. Из теоремы 3
вытекает
Теорема 4.
Для того чтобы уравнение (5.3.6') имело псевдорешение
необходимо и достаточно, чтобы
2
d

2
  n    ( x ) n ( x )dx   
n1
c

Замечание. Если уравнение (5.3.6') разрешимо, то
псевдорешение f * будет удовлетворять и уравнению

(5.3.6'). При этом псевдорешение f * будет являться
решением уравнения (5.3.6') с минимальной нормой.
Отметим, что решение уравнения (5.3.6') с минимальной
нормой единственное и называется нормальным решением
уравнения.
155
Пример 2. Пусть в (5.3.6')
t 0   , a  1,  ( x )  sin x , q( x )  2 sin x .
Тогда
1 x  
K ( x, ) 
  2 sin d  cos( x     )  cos( x     )  2 sin x
2 x  

и уравнение (5.3.6') примет вид sin x  2  sin x sin tf ( t )dt .
0
Функция f * ( t )  
1

sin t является нормальным решением
этого уравнения, и задача (5.3.1)-(5.3.3), где
t0   ,
a  1,  ( x )  sin x
имеет решение
2
 tt ( x , t )  sin x sin t .

Откуда
 ( x, t )  
2

sin x(sin t  t )
§4. О регуляризации обратной задачи (5.3.1)-(5.3.3) и два
алгоритма ее решения.
Будем искать решение задачи (5.3.1)-(5.3.3) в виде
произведения  tt  q( x ) f ( t ) , где q( x ) - известная функция,
а f (t ) - искомая. Тогда функция f (t ) надо будет найти из
интегрального уравнения
t0
 ( x )   K ( x ,  ) f ( )d
0
1
с ядром K ( x ,  ) 
2a
(5.4.1)
x  a ( t 0  )
 q( )d .
x  a ( t 0  )
156
Условия существования решения уравнения (5.3.6')
приведены в §4.
Как известно [112], вследствие неустойчивости для
нахождения f (t ) нельзя в (5.3.6') просто положить
~
~
 ( x )  ~ ( x ), K ( x ,  )  K ( x ,  ) , где ~ ( x ), K ( x ,  ) приближенные значения  ( x ) и K ( x ,  ) .
Поэтому обычно путем введения малого параметра 
уравнение I-го рода заменяют уравнением II-го рода.
Например, за приближение к искомому решению f (t )
можно взять решение f (t ) уравнения
t0
f  ( t )   Q( t , s ) f  ( s )ds  b( t ),
(5.4.2)
0
d
Q( t , s )   K ( x ,  ) K ( x , s )dx ,
где
c
d
b( t )    ( x ) K ( x , t )dx .
c
Параметр    ( ) выбирается так, чтобы f  ( t )  f ( t )
при   0 . Уравнение (5.4.2) называется регуляризующим
уравнением. Здесь  - максимальная абсолютная
погрешность вычислений функций K ( x , t ) и  ( x ) . В
частности, если
2
~
  K ( x , t )  K ( x , t ) dxdt   ,
d t0
c0
d
2
~
  ( x )   ( x ) dx   и
c

 0 при   0 ,
 ( )
то
f (t )  f (t ) ,
где f (t ) - нормальное решение уравнения (5.3.6').
157
Пример 3. Пусть в (5.2.3), как и в примере 2,
t 0   , a  1,  ( x )  sin x , q( x )  2 sin x , тогда
регуляризирующее уравнение (5.2.6) примет вид

f  ( t )  2 K  sin t  sin sf  ( s )ds  K sin t ,
0
d
где K   sin 2 sds .
c
Последнее уравнение имеет единственное решение
K
.
f  ( t )  sin t 
  K
1
 0
Очевидно, что f  ( t )  f * ( t )  sin t , где на

основании примера 2 f * ( t )  
1

sin t - нормальное
решение уравнения (5.3.6'). Таким образом, для того чтобы
построить приближенно функцию f (t ) нормальное
решение уравнения (5.3.6') надо будет решить линейное
уравнение (5.4.2). Последнее можно сделать, решив систему
линейных алгебраических уравнений
n
f i  h  A j Q ij f j  bi ,
j 1
где
f i  f ( t i ),
h
i  1, n
t 1  0, t 2  h,  , t n  ( n  1)h,
t0
n1
d
bi  b( t i )    ( x ) K ( x , t i )dx
c
d
Q ij  Q( t i , s j )   K ( x , t i ) K ( x , s j )dx
c
158
Здесь числа A j определяются выбором квадратурной
формулы. Например, можно взять обобщенную формулу и
1
положить A1  An  , A2    An1  1 .
2
Итак, если искать решение обратной задачи (5.1.7)-(5.1.9) в
виде произведения  tt  q( x ) f ( t ) , где q( x ) - известная
функция, f (t ) - неизвестная, x  c , d , t  0, t 0 , то для
вычисления функции f (t ) можно использовать линейную
систему алгебраических уравнений (5.1).
Рассмотрим второй алгоритм решения уравнения
(5.3.6'). Этот алгоритм позволяет найти псевдорешение f (t )
уравнения (5.3.6') в смысле определения I из §3. Если
уравнения (5.3.6') имеет решение, то вычисленное
псевдорешение f (t ) - нормальное решение уравнения
(5.3.6') и, естественно, удовлетворяет этому уравнению.
Для построения функции f (t ) введем последовательность
 f m (t ), определяемую формулами
t0


f m ( t )  f m 1 ( t )   b( t )   Q( t , s ) f m 1 ( s )ds 
(5.4.3)
0


m  1,2 
где f 0 ( t )  0 ,  - параметр такой, что






2
   0,
.
t0 t0


Q
(
t
,
s
)
dtds



00



1
2
 t0 t0 2

Например,      Q ( t , s )dtds  . Такое  является
0 0

оптимальным в смысле скорости сходимости
159
последовательности  f m . Последовательность  f m (t ),
определяемая формулами (5.4.3), сходится в средне
квадратичном (по норме L2 ) к искомой функции f (t ) .
Доказательство сходимости в общем случае имеется,
например, в работе Kummer W.U., Nushed M.Z. [115]
Для численной реализации метода последовательных
приближений (5.4.3) введем обозначения
f mi  f m ( t i ),
t0
t 1  0, t 2  h,  , t n ( n  1)h, h 
n1
b i  b( t i )
Q ij  Q ( t i , s j )
Тогда для вычисления последовательности векторов
 f m1 
f m    ,
f 
 mn 
m  1,2, 
надо использовать следующий алгоритм
f mi
f 01
n


 f m 1,i   bi  h  A j Q ij f m 1, j 
j 1


i  1,2,  , n
m  1,2, 
   f on  0
Следовательно, процесс последовательных приближений
(II) тоже позволяет построить функцию f (t ) .
160
Литература.
1. Чубаров Л. Б. Шокин Ю. И. Распространение длинных
волн на мелкой воде. Численные эксперименты, В
сборнике «Материалы 5 научной конф. по мат-ке и
механике», т.1, ТГУ, Томск, 1975.
2. Алексеев А. С., Гусяков В.К., Чубаров Л. Б.. Шокин Ю.
И. Числ-ые исслед-ия генерации и распростр-ия волн
цунами при реальной топографии дна. Линейная
модель. Препринт ВЦ СО СССР, №59, 1977, с. 27.
3. Алексеев А. С., Гусяков В. К., Чубаров Л. Б., Шокин Ю.
И. Числ-ые иссдед-ия генерации и распростр-ия волн
цунами при реальной топографии дна. Линейная
модель. В сб. «Изучение цунами в открытом океане»,
М., Наука, 1978, с.5-20
4. Чубаров Л. Б. Числ-ое моделирование распростр-ия
волн цунами с учётом реального рельефа дна в рамках
линейной и нелинейной модели мелкой воды. Отчёт
ИТПМ СО СССР, №846, Новосибирск, 1977, с.77
5.Чубаров Л. Б. Комплекс программ «Граница». Отчёт
ИТПМ СО СССР, №875, Новосибирск, 1977, с.30
6.Чубаров Л. Б. Комплекс программ «MKUR». ГФАП, инв.
№11003015, сб. алгоритмов и программ №4, 1978
7.Шокин Ю. И ., Чубаров Л. Б. Числ-ое моделирование
распростр-ия волн цунами. В сб. «Численный анализ»,
Новосибирск, ИТПМ, с. 119-128, 1978
8.Чубаров Л. Б. О некоторых числ-ых моделях распрост-ия
дл. волн в жидкости при наличии ледяного покрова. В сб.
«численный анализ», Новосибирск, ИТПМ, с.99-110, 1978
9.Федотова З. И. О применении инвариантной разностной
схемы к расчёту колебаний жидкости в бассейне, В сб.
161
«числ-ые методы механики сплошной среды», т.9, с. 137146, 1978
10.Марчук Ан. Г. Один метод расчёта генерации и
распрост-ия волн цунами в бассейне переменной
глубины. В сб. « модульный анализ», Новосибирск,
ИТПМ, с. 42-47, 1978
11.Шокин Ю.И., Чубаров Л.Б., Гусяков В.К., Федотова З.И.,
Марчук Ан. Г. О комплексе программ для моделирования
цунами. Там же, с. 73-100.
12. Alexceev A.S., Gusiakov V.K., Chubarov L.B., Shokin Yu.I.
Symposium on tsunamis. Manuscript report series. №48,
Ottava, Ontario, 1978. p. 37-51.
13.Марчук Ан. Г., Чубаров Л.Б., Шокин Ю.И. К численному
решению задачи о цунамирайонировании. В сб.: Тезисы
докладов Всесоюзной конференции молодых учёных
«Традиционные и новые вопросы сейсмологии и
сейсмологического стр-ва». Душанбе, 1978, с.64.
14.Марчук Ан. Г., Чубаров Л.Б., Шокин Ю.И. Фёдотова З.И.
О пакете программ для численного моделирования
цунами. Там же. с.64-65.
15.Шокин Ю.И., Марчук Ан. Г., Чубаров Л.Б. О численном
моделировании возбуждения и распространения волн
цунами в рамках уравнений мелкой воды (у.м.в.) В
сборнике докладов 6-ой Международной конференции по
численным методам в гидродинамике, т.11, М., 1978,
с.205-210.
16.Шокин Ю.И., Гусяков В.К., Марчук Ан. Г., Чубаров Л.Б.,
Соловьёв С.Л. К задаче численного
цунамирайонирования. Тезисы докладов 14-ого
Тихоокеанского научного конгресса, М., 1979, с.203.
17.Шокин Ю.И., Чубаров Л.Б. О программной реализации
методики численного моделирования цунами. Тезисы
Всесоюзного семинара по комплектам программ мат.
физики, Новосибирск, 1979.
162
18.Чубаров Л.Б. Численное моделирование распространения
и трансформации волн цунами, Новосибирск, 1980,
Препринт ВЦ СО АН СССР №182, с.37.
19.Шокин Ю.И., Чубаров Л.Б. Recent Development in
Theoretical and Experimental Fluid Mechanics, SpringerVerlag, Berlin, Neiderberg, 1979, p.599-606.
20.Шокин Ю.И., Чубаров Л.Б., Марчук Ан. Г. Lecture Notes
in Physics, 1979, v.90, p.487-491.
21.Шокин Ю.И. Abstracts of Contr. Papers. 14 Symp. Adv.
Probl. and Meth. in Fluid Mech., Poland, 1979.
22.Марчук Ан. Г., Шокин .Ю.И. Численное моделирование
процесса генерации волн цунами подвижками
океанического дна. Сб: Дифференциальные и
интегральные уравнения. Краевые задачи., Тбилиси, 1979,
с.187-194.
23.Чубаров Л.Б., Ганжа В.Г. Комплекс программ «Волна»,
ГФАП инв.№ ПОО4253, сборник алгоритмов и программ.
24.Чубаров Л.Б., Ганжа В.Г. Отчёт ИТПМ №1037,
Новосибирск, 1979, с.91.
25.Чубаров Л.Б., Федотова З.И. Отчёт ИТПМ №1059,
Новосибирск, 1979, с.86.
26.Марчук Ан. Г. Методы расчёта волн цунами в рамках
приближённых моделей. Сб.: Мат.методы интерпретации
геофизических наблюдений., Новосибирск, ВЦ СО АН
СССР, 1979, с.50-84.
27.Марчук Ан. Г. Метод расчёта наката длинных
гравитационных волн на наклонный берег. Сб.:
Трансформация цунами от очага до выхода на берег., М.,
Наука.
28.Гусяков В.К., Чубаров Л.Б. Численное моделирование
Шикотанского (Немуро-Оки) цунами 17. 06.1973. Там же.
29.Марчук Ан. Г. К задаче оперативного прогноза цунами.
Препринт №8, ИТПМ, Новосибирск, 1980, с.12.
163
30.Chen M., Divoky D., Hwang L. S. Nearfield tsunami
behavior. Final report. Tetra Tech., inc., Pasadena, California,
1975.
31.Peregrine D. H. Long waves on a beach. I. Fluid Mech.,
1967, v.27, p.4.
32.Дорфман А.А., Ягофдин Г.И. Уравнения приближённой
нелинейно-дисперсионной теории длинных
гравитационных волн, возбуждаемых перемещениями дна
и распространяющимися в бассейне переменной глубины.
Численные методы механики сплошной среды.,
Новосибирск, ВЦ СЩ АН СССР, 1977, т.8, №1, с.36-48.
33.Иванов В.Ф., Черкасов Л.В. Об уравнениях Кортевега-де
Вриза в теории длинных волн. МГТ, №1, 1974.
34.Benjamin T.B., Bona J.L., Mahony J.J. On model equations
for long waves … Phil Trans. Roy. Soc., 1972, A272.
35.Long R.R. J. Fluid Mech., 1964, v.29, 11.
36.Mei C.C. J. Geophys. Res., 1966, v.71.
37.Segur H. J. Fluid Mech., 1973, v.59.
38.Лятхер В.М., Милитеев А.Н. Расчёт наката длинных
гравитационных волн на откос. Океанология, 1974, №1,
с.37-42.
39.Судобигер В.Г., Шугрин С.Н. Движение потока воды по
сухому руслу. Известия СО АН СССР, серия тех.
наук,1968, выпуск 3, №13, с.116-122.
40.Крылов Ю.Н. Распространение длинных волн под
ледяным полем. Труды ГОИН, 8,1948.
41.Стокер Дж. Дж. Волны на воде. Изд-во ИЛ, М., 1959.
42.Хейсен Д.Е. Динамика ледяного покрова.
Гидрометеоиздат., Л.,1967.
43.Черкесов Д.В. Поверхностные и внутренние волны.
«Наукова думка», Киев,1973.
44.Шокин Ю.И. Метод диф-ого приближения.,
Новосибирск, Наука, Сибирское отделение,1979.
164
45.Гусяков В.К. Возбуждение волн цунами и океанических
волн Релея при подводном землетрясении. Мат.
проблемы геофизики, выпуск 3, Новосибирск, 1972,
с.250-272.
46.Гусяков В.К. О связи волн цунами с параметрами очага
землетрясения. Мат. проблемы геофизики, выпуск 5, ч.1,
Новосибирск, 1974, с.118-140.
47.Щетников Н.А. Шикотанские цунами 17.06.73. и
24.06.73. Теоретические и экспериментальные
исследования по проблеме цунами, М., Наука, 1977,
с.195-199.
48.Shimaza Ki.K. Phys. Earth., Planet interiors, v.9, №4, 1975,
p.314-327.
49.Aida I. J. Phys. Earth., 26, 1978, p.57-73.
50.Шокин Ю.И., Чубаров Л.Б., Марчук Ан. Г., Кобков В.В.,
Федотова З.И. Численное моделирование процессов
генерации и распространения волн цунами при
подвижном дне. Препринт №31, ИТПМ, Новосибирск,
1980.
51.Соловьёв С.Л. В сб. «Проблемы цунами», М., Наука,
1968, с.7-50.
52.Бернштейн В.А. В сб. «Методы расчёта возникновения и
распространения цунами», М., Наука, 1978, с.5-17, 111124.
53.Бреддок Р.Д., Ван-ден-Дрисхе П. В сб. «Волны цунами»,
Труды СахКНИИ, вып.32, 1973, Южно-Сахалинск, с.3448.
54.Вайт С.С., Себекин Б.И. [53], с.50-56.
55.Гусяков В.К. [52], с.18-29.
56.Подъяпольский Р.С. [52], с.30-87.
57Янушаускас А.И. В сб. «Теоретические и
экспериментальные исследования по проблеме цунами»,
М., Наука, 1977, с.7-17.
165
58.Солвьёв С.Л. В сб. «Изучение цунами в открытом
океане», М., Наука, 1978, с.61-136.
59.Соловьёв С.Л., Го Ч.Н. Карта очагов и высот цунами в
Тихом океане. М., 1977.
60.Соловьёв С.Л., Го Ч.Н. Каталог цунами на западном
побережье Тихого океана. М., Наука, 1974, 308с.
61.Соловьёв С.Л., Го Ч.Н. Каталог цунами на восточном
побережье Тихого океана. М., Наука, 1975, 300с.
62.Стокер Дж. Дж. Волны на воде. ИЛ, М., 1959.
63.Гусяков В.К. В сб. «Математические проблемы
геофизики», вып.5, ч.1, ВЦ СО АН СССР, Новосибирск,
1974, с.118-140.
64.Иващенко А.И. ,Го Ч.Н. [53], с.152-155.
65.Takahasi R. An estimate of future tsunami damage along the
Pacific coast of Japan. Bull. Earthg. Res. Inst. Tokyo Univ.,
v.29, 1, 1951.
66.Hatori T. Vertical crustal deformation and Tsunami Energy.
Bull. Ecarthg. Res. Inst., v.48, 1970, p.171-188.
67.Кайстренко В.М. В сб. «Волны цунами», Труды
СахКНИИ, вып.29, Южно-Сахалинск, 1972, с.82-92.
68.Щетников Н.А. [57], с.148-152.
69.Вопросы динамической теории распространения
сейсмических волн. Сб.3, Л., Изд-во ЛГУ, 1959, 400с.
70.Вопросы динамической теории распространения
сейсмических волн. Сб.5, Л., Изд-во ЛГУ, 1961, 400с.
71.Aida I. Bull Earthg. Res. Inst. Univ., Tokyo, 47, 4, 1969,
p.673-700.
72.Aida I. Zisin, ser.2, vol.25, 1972, p.343-352.
73.Aida I. Zisin, ser.2, vol.27, 1974, p.11-154.
74.Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными
производными. М., Мир, 1966.
75.Каменкович В.М. Основы динамики океана.
Гидрометеоиздат, 1973,240с.
166
76.Гусяков В.К. В кн. «Математические проблемы
геофизики», вып.3, Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1972.
77.Кайстренко В.М. Сиб. мат. журнал, т.16, №2, 1975, с.395398.
78.Кайстренко В.М. В сб. «Волновые процессы в краевых
областях океана», Труды СахКНИИ, 1979, с.37-39, 111113.
79.Макаров В.А., Бухтев В.Г., Усанкина Г.Е. В сб. «Волны
цунами», Труды СахКНИИ, вып.29, 1972.
80.Соловьёв С.Л. Там же, с.7-47.
81.Гутенберг Б., Рихтер К.В. Сейсмичность Земли. М., ИЛ,
1948.
83.Балакина Л.М. В [79], с.48-72.
84.Бурымская Р.Н. В [58], с.56-61.
85.Бурымская Р.Н.Физика Земли. Известия АН СССР, М.,
1980, №2, с.81-89.
86.Поплавская Л.Н. В сб. «Сейсмическое районирование
Курильских островов», Приамурья и Приморья.
Владивосток, 1977, с.55-61.
87.Иващенко А.И., Поплавский А.А. В сб. «Теория и
оперативный прогноз цунами», М., Наука, 1980, с.42-48.
88.Пшенников К.В. Механизм возникновения афтершоков и
неупругие свойства земной коры. М.,1965.
89.Костров Б.В. Механика очага тектонического
землетрясения. М., Наука, 1975.
90.Murty T.S. Submarine slipe-generation water waves in
Kitimat inlet. J. Geophys. Res., v.84, p.7777-7779.
91.Noda E. Water waves generated by landslides. Proc. Amer.
Soc. Civil. Eng., 1970, p.835-855.
92.Summerhayes C.P., et al. Surficial slides and slumps on the
continental slope and rise of Sonthwest Africa: A
reconnaissance study. Mar. Geology, v.31, 1979, p.265-277.
93.Васильева Г.В., Лобов В.В., Чернышёв В.М.
Теоретические модели возбуждения волн подвижками
167
дна в рамках линейной теории волн. Информационный
отчёт ВЦ ИГУ за 1977, Иркутск, 1977.
94.Васильева Г.В., Лобов В.В., Чернышёв В.М.
Исследование задачи о волновых колебаниях жидкости
при различных начальных условиях. Промежуточный
научный отчёт ВЦ ИГУ за 1977г., Иркутск, 1977.
95.Васильева Г.В., Лобов В.В., Сидоров Н.А., Чернышёв
В.М. Моделирование возбуждения волн источниками,
заключёнными в толще жидкости, оползнями.
Информационный отчёт ВЦ ИГУ за 1978г., Иркутск,
1978.
96.Hadamard J. Sur les ondes liquids. C. R. Aead. Sci., Paris,
150, 1910, 609-611.
97.Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости.
Ростехиздат., М., 1936.
98.Garipov R.M. On the linear theory of gravity waves: The
theorem of existence and uniqueness, Arch. Rat. Mech. Anal.,
24, 1967, p.352-362.
99.Fridman A., Shinbrot M. The initial value problem for
lunearized equations of water waves. J. of math. and mech.,
1967, 19, 1969, 18, №2, p.1177-1193.
100.Янушаускас А.И. Об одном классе интегродифференциальных уравнений. В сб.
«Дифференциальные и интегральные уравнения», вып.2,
Иркутск, 1973, 187-207.
101.Янушаускас А.И. Возбуждение колебаний жидкости
кратковременными подвижками дна. В сб.
«Дифференциальные уравнения и их применение», вып.10,
Вильнюс, 1974, с.89-111.
102.Стокер Дж. Дж. Волны на воде. ИЛ, М., 1959.
103.Курант Р. Уравнения с частными производными.
«Мир», М., 1969.
104.Янушаускас А.И. Возбуждение волн подводными
источниками переменной интенсивности. В сб. «Методы
168
расчёта возникновения и распространения цунами», М.,
Наука, 1979, с.100-110.
105.Glement D.L., Roders J. Austral Math. Soc., 19, series B,
1975, p.81-94.
106.Борн Н.К. Тригонометрические ряды. Физматгиз., М.,
1961.
107.Прилепко А.И. Об устойчивости решений обратных
задач обобщённых потенциалов простого слоя. Сиб. мат.
журнал, т.12, №4, 1971, с.828-836.
108.Крылов В.И. Прибдижённое вычисление интегралов.
М., Наука, 1967.
109.Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по
численному интегрированию. М., Наука, 1966, 120с.
110.Васильева Г.В. В кн. «Дифференциальные уравнения»,
1978, №1, с.23-26.
111.Сидоров Н.А., Треногин В.А. В сб. «Математические
заметки», 1976, т.20, вып,3, с.35-41.
112.Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения
некорректных задач. М., Наука, 1974.
113.Смирнов В.И. Курс высшей математики. т.2,4, М., 1958.
114.Штейнгауз и др. Теория ортонормированных рядов. М.,
1958.
115.Kummeres W.U., Nushel M.Z. Meni. Amer. Math. Soc.,
1955, 16, 129-173.
169
170