Логические основы ЭВМ. Алгебра логики

Логические основы ЭВМ.
Алгебра логики
Основные понятия
Логика – наука о законах и формах мышления, методах
познания и условия определения истинности знаний и
суждений.
Понятие – форма мышления, фиксирующая основные
свойства объектов.
Высказывание (суждение, утверждение) – форма
мышления, утверждающая или отрицающая
определенные свойства объектов и связи между ними.
Умозаключение – форма мышления, являющаяся
получением новых знаний (суждений) – заключения из
одного или нескольких суждений - посылок.




2
Примеры
Какие из предложений являются высказываниями?
Определите их истинность.
Треугольник – это геометрическая фигура
Все роботы являются машинами
Посмотрите на доску
Не нарушайте правил дорожного движения!
3
Основные понятия
Формализация (логико-математическое представление) –
процесс представления информации в формализованном
виде с помощью точного логико-математического языка.
Логическая алгебра (алгебра Буля, алгебра логики или
алгебра высказываний) – раздел математической логики,
изучающей логические законы с помощью формул,
построенных на высказывательных константах,
переменных и символов логических связок.
Логическое выражение – это формула, в которую входят
логические переменные, обозначающие высказывания, и
знаки логических операций, обозначающие логические
функции.



4
Основные понятия
Простое логическое выражение состоит из одного
высказывания и не содержит логические операции.
Сложное логическое выражение содержит
высказывания, объединенные логическими
операциями.
Логические величины - понятия, выражаемые
словами ИСТИНА (1) и ЛОЖЬ (0)



5
Логические операции
Конъюнкцией (логическим умножением) двух высказываний А и В называется
логическая операция, соответствующая союзу «И», истинная только тогда, когда
истинны оба высказывания А и В. Обозначается:
F=A ∩ B = A ^ B =A×B =A*B=A&B
6
Логические операции
Дизъюнкцией (логическим сложением) двух высказываний называется
логическая операция, соответствующая союзу «ИЛИ» и истинная тогда, когда
истинно хотя бы одно простое высказывание А или В. Обозначается:
F=A ∪B = A ∨ B =A+B
7
Логические операции
Инверсией (логическим отрицанием) или логической функцией
«НЕ» называется функция одного аргумента А, которая истинна в
том случае, если А ложно и ложна, если А истинна. Обозначается:
F= Ā = ¬ А
8
Примеры
Рассмотрим высказывание: «Число 6 делится на 2, и
число 6 делится на 3». К какому типу можно отнести
данное высказывание? Представьте данное
высказывание в виде логической формулы.
Определите её значение.
Рассмотрим высказывание: «Неверно, что 4 делится
на 3». Представьте данное высказывание в виде
логической формулы.


9
Таблица истинности

Таблица истинности – таблица, которая показывает, какие значения
принимает логическая функция при всех возможных наборах ее
аргументов (входных переменных).
10
А
В
A^B
A∨B
Ā
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
Порядок выполнения логических операций




Инверсия одной переменной.
Действия под знаком инверсии нескольких
переменных и действия в скобках.
Конъюнкция.
Дизъюнкция.
11
Пример

Вычислите значение логической формулы:
¬X ∧ Y ∨ X ∧ Z
если логические переменные имеют следующие
значения: X = ложь, Y = истина, Z = истина
12
Законы булевой алгебры
X, Y - переменные
X⋅0 = 0
X∨0= X
X ⋅1 = X
X ∨1 = 1
X⋅X = 0
X ∨ X =1
X⋅X = X
X∨X = X
X ⋅ X ⋅ ⋅ X = X
X ∨ X ∨ ∨ X = X
X=X
13
X=X
Законы булевой алгебры
КОНЪЮНКТИВНАЯ ФОРМА
ДИЗЪЮНКТИВНАЯ ФОРМА
Законы
Переместительный
(Коммутативный)
X⋅Y = Y⋅X
X∨Y = Y∨X
Сочетательный
(Ассоциативный)
X ⋅ ( Y ⋅ Z) = ( X ⋅ Y ) ⋅ Z
Распределительный
(Дистрибутивный)
X ∨ ( Y ∨ Z) = ( X ∨ Y ) ∨ Z
X ⋅ ( Y ∨ Z) = X ⋅ Y ∨ X ⋅ Z
X ∨ Y ⋅ Z = ( X ∨ Y ) ⋅ ( X ∨ Z)
( X ∨ Y ) ⋅ (X ∨ Y ) = X
X⋅Y ∨ X⋅Y = X
X⋅ X ∨ Y = X⋅Y
X ∨ X⋅Y = X ∨ Y
Склеивания
Свертки
Поглощения
Правило де Моргана
Обобщенного
склеивания
14
(
)
X ⋅ ( X ∨ Y) = X
X ∨ X⋅Y = X
X ⋅ Y = X ∨Y
X ∨Y =X ⋅Y
( X ∨ Y ) ⋅ ( Y ∨ Z) ⋅ ( X ∨ Z) = ( X ∨ Y ) ⋅ ( Y ∨ Z)
X⋅ Y∨ Y⋅ Z∨ X⋅ Z = X⋅ Y∨ Y⋅ Z
Решение логических задач
Задача №1
Фирма E продала компьютеров больше фирмы C; A
меньше E; F больше D; A больше B; F меньше C.
Больше всех компьютеров продала фирма…
15
Решение логических задач
Решение:
 Так как фирма E продала компьютеров больше фирмы C,
то фирме E присваиваем № 1, а фирме С - № 2.
 Рассматривая второе условие, фирме E оставляем № 1, а
фирме A присваиваем № 3.
 По третьему условию имеем, что фирма F имеет № 4, а D
- № 5.
 По четвертому условию можно допустить, что за A
оставляем № 3, а фирме B присваиваем № 6.
 Последнее условие не противоречит тому, что фирма F
имеет № 4, а С - № 2.
Ответ: больше всех компьютеров продала фирма E.
16
Решение логических задач
Задача №2
При каких из приведенных значений X и Y логическое
выражение ((4X2+9Y2 ≥ 36) ИЛИ
НЕ((X+Y)2 ≥ 4)) И (Y2 ≥ | X+Y|) будет ложным.
1) X=0, Y=0, 2) X=-2, Y=1, 3) X=1, Y=1, 4)
X=0, Y=-2,
5) X=-1, Y=1.
17
Решение логических задач
Решение:
18
Решение логических задач
Пример №3
19
Решение логических задач
Решение:
 Первые два ключа A и B соединены последовательно,
следовательно, реализуют логическое умножение A*B.
 Далее три ключа имеют параллельное соединение и реализуют
логическое сложение.
 При этом ключ A соединен параллельно с последовательно
соединенными ключами A, B, которые как в первом случае
реализуют логическое умножение A*B.
Таким образом, соединенные три ключа реализуют логическое
сложение A+ A*B,
Общая логическая формула имеет вид: F = A*B*(A+ A*B).
20
Решение логических задач
Формулу необходимо преобразовать:
 вынести за скобки A, тогда F = A*B*A*(1+ A*B).
 по закону логической алгебры сложение с 1 дает 1, значит
1+ A*B = 1, и тогда F = A*B*A*1.
 логическое умножение выражения на 1 в результате дает
то же самое выражение, то есть F = A*B*A.
 к тому же логическое перемножение одинаковых
выражений в результате дает то же самое выражение A*A
= А, а значит F = A*B.
Окончательный ответ: структурная логическая формула
переключательной схемы равна F = A*B.
21
Решение логических задач
Пример №4
22
Решение логических задач
Решение:
Последовательно определяем логические выражения, которые
реализуются изображенными на рисунке логическими
элементами:
 на выходе первого элемента инвертора НЕ логическое
выходное выражение равно y = Ā,
 второй элемент – это логическая схема И, реализующая
логическое умножение, тогда выходное логическое выражение
равно z = y*B = Ā*B,
 третий логический элемент – логическая схема ИЛИ,
реализующая логическое сложение, а значит, выходная
логическая функция равняется: u = y + z = Ā + Ā*B,
 последний логический элемент - логическая схема И,
реализующая логическое умножение, и в результате, выходное
логическое выражение равно F = z*y = Ā*B*( Ā + Ā*B).
23
Решение логических задач
следующий этап – упрощение полученного логического выражения:
 вынести за скобки Ā, тогда F = Ā *B* Ā *(1+ Ā *B).
 по закону логической алгебры сложение с 1 дает 1, значит
1+ Ā *B = 1, и тогда F = Ā *B* Ā *1.
 логическое умножение выражения на 1 в результате дает то же
самое выражение, то есть F = Ā *B* Ā.
 логическое перемножение одинаковых выражений в результате
дает то же самое выражение Ā * Ā = Ā, а значит F = Ā *B.
 полученный результат означает, что логическую схему устройства
можно построить, используя одну схему НЕ и одну схему И,
согласно рисунку
24
Решение логических задач
Пример №5
25
Решение логических задач
Решение:
26
Решение логических задач
27
Решение логических задач
Пример №6
Переменные A, B, C являются истинными для точек,
принадлежащих прямоугольнику, кругу и треугольнику
соответственно. Составить логическую формулу для точек
заштрихованных областей, показанных на рисунке
28
Решение логических задач
Решение:
Обозначим точки прямоугольника А, круга – В,
треугольника – С.
Общие заштрихованные области будут общими для
круга и треугольника (В и С), но не будут
принадлежать прямоугольнику (значит не А т. е. Ā).
Каждая из площадей является логическим
перемножением точек – Ā*В*С, что и является
решением данной задачи.
29