математик почти на каждой стадии своих исследований

Что можно назвать применением Mathcad в математическом анализе?
математик почти на каждой стадии своих исследований использует ряд формул не вникая в доказательство самой этой формулы. Если исследование предмета требует большей точности или применяемая формула не "работает" в данном случае, тогда появляется необходимость разобраться в доказательстве формулы и модернизировать как его так и саму формулу
соответственно случаю.
программа Mathcad (здесь и в дальнейшем под словом Mathcad может подразумеватся
имя любой другой соответственно развитой математической програмы) фактически представляет собой расширенное средство применения определенных формул во время которого мы не
вникаем в само доказательство этой формулы. Таким образом, с этой точки зрения, может идти
речь (во всяком случае, пока) не о замене математического мышления программой, а о новом –
несравненно более мощном - виде "справочника формул". В отличии от простого справочника
по математике налицо такие средства как численное решение и символьные преобразования,
продвинутые возможности графики, програмирование алгоритмов и т.д.
С другой стороны в математике перед употреблением формулы происходит анализ ситуации на возможность ее применения т.е. анализируется выполнения условий применимости
(истинности) формулы и, по надобности, ситуация преобразуется к такому виду где можно
применить данную формулу. Математик должен как хорошо разбираться в математической постановке вопроса, так и владеть определенным запасом формул.
Почти в точности аналогичная ситуация должна сохраняться во время применения
Mathcad в математике. Математик применяющий Mathcad должен хорошо разбираться как в чисто математической постановке вопроса так и в совершенстве владеть возможностями программы. В математически поставленной задаче при ее решении нужно видеть где и как есть
возможность применить средства Mathcad и как использовать полученные результаты.
Неточность в приведенной аналогии весьма важна: применяя формулу из математического источника математик имеет гарантию существования ее доказательства. Формула фактически сокращает запись полного доказательства математического предложения. Применяя
средства Mathcad математик находится с одной стороны в опасности оказаться зависимым от
машинного сбоя и с другой стороны от вычислительных мощностей и алгоритмических возможностей компютера, если только, разумеется, не имеется ввиду символьные преобразования,
которые должны происходить по точным математическим законам. В последнем случае нужно
удостовериться, что вложенные в компютерную програму , например в Mathcad, символьные
преобразования происходят точно по общепринятым законам математической логики.
Перейдем к применению Mathcad конкретно в случае математического анализа. В этой
области в основном интересны не численные результаты а "функциональные" свойства рассматриваемых математических объектов такие как существование предела, наличие и анализ
точек разрыва, дифференцируемость, интегрируемось и т.д. Например, не представляется коректным, с математической точки зрения, численное "доказательство" существования предела,
во время которого пишется алгоритм на численное вычисление  по данному . В математическом анализе в этом случае акцент стоит на доказательстве существования решения определенного неравенства или же уравнения хотя, разумеется, в определенных вопросах, интерес могут представлять и конкретные числовые значения. Также численное вычисление предела скорее область численных методов а не математического анализа.
Что же можно назвать применением Mathcad в математическом анализе?
Рассмотрим случай кратного интегрирования в случае двух и трех измерений. Обычной
задачей является вычисление кратного интеграла по данной подинтегральной функции и
уравнениям поверхностей ограничивающих область интегрирования. Но как определить по
уравнениям поверхностей существование (и/или единственность) ограниченной данными поверхностями области? Если имеется какое-нибудь интуитивное предположение то проверка его
путем решения систем неравенств явным путем даст ответ на поставленный вопрос. Это
1
интуитивное предположение можно получить с помощью Mathcad. В самом деле, в программе
имеются мощные, но разумеется не универсальные, средства графического изображения поверхностей. Вполне отдавая себе отчет, что сегодняшняя компютерная графика не в силах воспроизвести, например, рисунок графика простейшей, с точки зрения математического анализа,
функции Дирихле, все-таки построенные в Mathcad рисунки графиков могут служить хорошим
средством "увидеть" искомую ограниченную область. После этого, разумеется, обязательно
произвести точное доказательство существования и ограниченности "увиденной" фигуры по
уравнениям поверхностей. Таким образом Mathcad применяется на этапе создание рабочей гипотезы – интуитивного предположения.
Перейдем к возможному типичному примеру кратного интегрирования с помошью
Mathcad. По данным уравнениям поверхностей нужно оценить возможность создание рисунка
графика поверхности. Здесь можно применить символьные упрощения встроенные в Mathcad
типа "simplify", "" и т.д. При наличии комплексного выражения или другой причины невозможности создания рисунка в Mathcad можно искать выход в соответственной замене переменных, после которой устранится существующая для средств Mathcad сложность. Разумеется эта
замена переменных должна быть математически проверена на правильность условий для соответствующей теоремы. После создания рисунков всех поверхностей обычно не сложно "увидеть" искомую ограниченную область. После этого производится выше упомянутое точное доказательство существования и ограниченности "увиденной" фигуры (множества) по уравнениям
поверхностей. При этом устанавливаются пределы интегрирования в кратном интеграле. После
этого возможно с помощью встроенного в Mathcad интегрирования найти как символьное решение, так и численное значение ответа. Символьное решение уже можно рассматривать как
математически строгое доказательство.
Таким образом если при класическом решении задачи кратного интегрирования замена
переменных производится с главной целью упростить подинтегральное выражение и граничные
функции в пределах интегрирования, то при применении Mathcad замена переменных происходит с целью получить уравнения поверхностей при которых возможно создание рисунка графика каждой поверхности. После того как будет сперва "увидена" а потом формально определена
область интегрирования, разумеется, возможна и целосообразна замена переменных в выше
указанном класическом стиле.
Указанный подход стимулирует с другой стороны развитие графических возможностей
Mathcad и ставит вопрос об уточнения понятия рисунка графика функции или визуализации
функции.
Перейдем к разбору конкретных примеров из класической книги Б. П. Демидович
"Сборник задач и упражнений по математическому анализу".
рис. 1
Рассмотрим пример № 4010 :
Найти объем тела ограниченного следующими поверхностями
z = cos x  cos y , z = 0 , | x + y |  /2 , | x - y |  /2
Применяя из программы Mathcad Insert Graph Surface
Plot легко построить рисунок графика первой поверхности (рис.
1), откуда уже можно высказать следующую первую гипотезу:
для данного множества x и y z = cos x  cos y  0 что легко доказывается. Легко дать и рисунок упомянутого множества, например используя Insert Graph X-Y Plot (рис. 2). Теперь уже
вполне просто сформулировать основную гипотезу: искомое тело
можно записать следующим образом V = V1 U V2
Где
2


 2  x  0




V1   x   y  x  
2
2


0  z  cos x  cos y 
и


0  x  2




V2   x   y   x   .
2
2


0  z  cos x  cos y 
Легко


2
2

2
доказать, что для множества V части указанных в примере поверхностей являются граничными множествами:
рассмотрим например точку w0 = (x0, y0, cos x0  cos y0).
Если x0 , y0   x  y  2 , x  y  2  то ясно существование та
кого шара в R3 с центром в w0 который не имеет общих
2


точек с V. Если же x0 , y0   x  y  2 , x  y  2  то в окрестности любого шара с центром в w0 имеются как точки из
множества V, так и точки из его дополнения. Таким образом часть поверхности z = cos x  cos y является границей множества V. Теперь не сложно вычислить и искомый объем тела (множества V), используя View Toolbars Evaluation можно сперва найти
символические выражения для первого этапа интегрирования





x






 2

g ( x y ) d y d x  cos ( x)  sin ( x)  x

 x 
2
 x



x 

2
g ( x y ) d y d x  cos ( x)  sin ( x)  x
2
после этого аналогично можно найти уже и ответ
0



 
2
x

 2

g ( x y ) d y d x 

 x 
2

2


0
 x



x 

2
g ( x y ) d y d x  
2
рис. 3
Рассмотрим теперь пример № 4019:
Переходя к полярным координатам, найти объем
тела ограниченного следующими поверхностями:
2
2

x y 
 , z = 0, y = xtg, y = xtg
f ( x y )  c  cos   
2 a 

(a>0, c>0, 0  <   2)
Для простоты рассмотрим случай a = c =1.
Сперва с помощью Insert Graph Surface Plot
легко построить рисунок первой поверхности (рис. 3).
Пересечение этой поверхности с поверхностью z = 0 решается из уравнения
2
2

x  y 
0 c  cos    2  a 


откуда
x2 + y2 = (a(1 + 2k))2, где k целое число. Как и ожидалось, из рисунка графика первой поверхности, пересечение поверхности с плоскостью z = 0 есть бесконечное семейство концентрированных окружностей с центром в начале координат и ,разумеется, нельзя говорить об
ограниченном множестве. Но если к условиям примера присоеденить, например, добавочное
условие k = 0, то получаем всего одну окружность.
3
С учетом остальных поверхностей получаем
рисунок 4. С боков, как видно, тело ограничивают
плоскости , y = xtg, y = xtg.
Переход к полярным, точнее сказать к цилиндрическим, координатам можно провести используя символические преобразования Mathcad
Введем переменные
x  r  cos ( t)
y  r  sin( t)
Mathcad позволяет провести тривиальное
упрощение и получить выражения для поверхностей
в новых координатах.
в новой системе координат (r, t, z)
  r 
f ( r  t)  cos 

 2 a
t = , t =  +, t = , t =  + 
z = 0,
r= a
Получим рисунок графиков этих поверхностей
Исходя из рисунка 5 можно высказать следующую гипотезу: искомое тело можно записать как
V = V1 U V2
где
0  r  a



V1    t  

0  z  cos  r 
2a 

0ra




V2      t     
0  z  cos  r  . Несложно опять-таки до2a


казать граничность полученных поверхностей для тела V. Учитывая симметрию, можно вычислить объем тела как интеграл


2 


a

 r  cos   r d rd t  4(-)(-2)

 2  a
2
0
4