1 - Центр дополнительного образования для детей
реклама
Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Центр дополнительного образования для детей» 350000 г. Краснодар, ул. Красная,76 тел. 259-84-01 E-mail:[email protected] КРАЕВЫЕ ЗАОЧНЫЕ КУРСЫ «ЮНИОР» Математика 6 класс ответы и решения к работе № 4, 2012-2013 уч. год Задание 1. В точке В живет Винни-Пух, а в точках К, С, П иИ – его друзья Кролик, Сова, Пятачок и ослик Иа-Иа (см. рисунок).Зимним утром Винни-Пух навестил их всех по одному разу, а потом вернулся домой. При этом он протоптал в снегу 5 прямых тропинок от домика к домику, не пересекающих друг друга. Начертите как можно больше возможных маршрутов Винни-Пуха. Решение рис.а рис.б рис.в рис.г Задание 2. В Волшебной Стране свои волшебные законы природы, один из которых гласит: "Ковёр-самолёт будет летать только тогда, когда он имеет прямоугольную форму". У Ивана-царевича был ковёр-самолёт размером 9×12. Как-то раз Змей Горыныч подкрался и отрезал от этого ковра маленький коврик размером 1×8. Иванцаревич очень расстроился и хотел было отрезать ещё кусочек 1×4, чтобы получился прямоугольник 8×12, но Василиса Премудрая предложила поступить по-другому. Она разрезала ковёр на три части, из которых волшебными нитками сшила квадратный ковёр-самолёт размером 10×10. Сможете ли вы догадаться, как Василиса Премудрая переделала испорченный ковёр? Подсказка: Подумайте, как стал выглядеть ковёрсамолёт после того, как Змей Горыныч отрезал от него кусок. Решение После того как Змей Горыныч испортил ковёрсамолёт, Иван-царевич мог отрезать от этого ковра кусочек размером 1×4 и превратить его в ковёр размером 8×12. Это значит, что после ухода Змея Горыныча ковёр выглядел так, как показано на рис. 1. Василиса Премудрая разрезала этот ковёр так, как показано на рис. 2, и сшила так, как показано на рис. 3. рис. 1 рис. 2 рис. 3 Задание 3. В старой усадьбе дом обсажен по кругу высокими деревьями — елями, соснами и березами. Всего деревьев 96. Эти деревья обладают странным свойством: из двух деревьев, растущих через одно от любого хвойного — одно хвойное, а другое лиственное, и из двух деревьев, растущих через три от любого хвойного — тоже одно хвойное, а другое лиственное. Сколько берез посажено вокруг дома? Подсказка: Заметьте, что условие наложено на деревья одной "четности". Решение Уберем мысленно половину деревьев — посаженных через одно. Тогда останется 48 деревьев, а условие станет таким: из двух деревьев, растущих рядом с хвойным, — одно хвойное, а другое береза, и из двух деревьев, растущих через одно от хвойного, — тоже одно хвойное, а другое береза. Рассмотрим одно из посаженных хвойных деревьев. Назовем его деревом 1 и занумеруем все деревья по порядку. Если дерево 1 хвойное, то из деревьев 48 и 2 — одно хвойное, другое — береза. Будем для определенности считать, что дерево 2 — береза, а 48 — хвойное. Рассмотрим дерево 48. Рядом с ним — дерево 1 (хвойное) и 47 (значит, 47 — береза). Через одно дерево от 1 — 47 (береза) и 3 (значит, 3 — хвойное). У дерева 3 два соседа — 2 (береза) и 4 (хвойное). Теперь ясно, что все время повторяется группа из трех деревьев — БХХ — береза и два хвойных. Всего деревьев 48, значит, эта группа повторится 16 раз. Аналогично вычисляется число берез в оставшейся половине деревьев — их тоже 16. Итак, вокруг замка посажено 32 березы. Ответ:32 березы. Задание 4. Сколькими способами из полной колоды (52 карты) можно выбрать: а) 4 карты разных мастей и достоинств? б) 6 карт так, чтобы среди них были представители всех четырех мастей? Подсказка:а) Карту пиковой масти можно выбрать 13 способами, после этого карту бубновой масти можно выбрать 12 способами... б) 6 = 1 + 1 + 1 + 3 = 1 + 1 + 2 + 2. 13·12·11·10 = 17160 способами; б) Ответ:а) способами. Задание 5. а) Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться). б) Найдите сумму всех семизначных чисел, которые можно получить всевозможными перестановками цифр 1, ..., 7. Подсказка:а) На каждом месте каждая из цифр встречается 42 = 16 раз. Решение а) 16·(1 + 2 + 3 + 4)·111 = 17760;б) Найдем сначала сумму цифр разряда единиц. Каждая цифра от 1 до 7 входит (в качестве цифры единиц) в 6! чисел, значит, эта сумма равна 6!·(1 + 2 + ... + 7) = 28·6!. То же верно и для остальных разрядов.28·6!·1111111. Задание 6. а) Из класса, в котором учатся 30 человек, нужно выбрать двоих школьников для участия в математической олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать? б) Сколькими способами можно выбрать команду из трех школьников в том же классе? Решение а) Первого ученика можно выбрать 30 способами, второго, независимо от выбора первого ученика, – 29 способами. При этом каждая пара учитывается дважды. Поэтому всего способов 30·29 : 2. б) Аналогично получаем 30·29·28 вариантов последовательного выбора трех учеников. При этом каждая команда учтена 3! = 6 раз. Поэтому число способов выбрать команду равно. Ответ: а) способами; б) способами. Задание 7. На окружной железной дороге n станций. Иногда дежурные по станциям связываются друг с другом по радио. В каждый момент времени сеанс связи ведут только два человека. За сутки между каждыми двумя станциями произошёл ровно один радиосеанс. Для каждой станции (если учесть только её сеансы) оказалось, что она общалась с другими станциями по очереди в порядке их расположения на железной дороге (по или против часовой стрелки, у разных станций эти направления могут быть разными), начиная с одной из соседних и заканчивая другой. Чему может равняться n? (Разбор случаев n = 4 и n = 5 учитывается как частичное решение задачи). Решение Порядок, в котором могут связываться по радио четыре станции, изображён на рисунке. Задание 8. В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими? Решение Предположим, что это возможно. Рассмотрим тогда граф, вершины которого соответствуют телефонам, а ребра - соединяющим их проводам. В этом графе 15 вершин, степень каждой из которых равна пяти. Подсчитаем количество ребер в этом графе. Для этого сначала просуммируем степени всех его вершин. Ясно, что при таком подсчете каждое ребро учтено дважды (оно ведь соединяет две вершины!). Поэтому число ребер графа должно быть равно 15 · 5/2. Но это число нецелое! Следовательно, такого графа не существует, а значит, и соединить телефоны требуемым образом невозможно. При решении этой задачи мы выяснили, как подсчитать число ребер графа, зная степени всех его вершин. Для этого нужно просуммировать степени вершин и полученный результат разделить на два. Задание 9. В компании у каждых двух людей ровно пять общих знакомых. Докажите, что количество пар знакомых делится на 3. Подсказка: Выразите количество троек попарно знакомых людей через количество пар знакомых. Решение Обозначим через Р количество пар знакомых людей, а через Т - количество троек попарно знакомых людей (т.е. количество троек людей, в которых каждые двое знакомы между собой). По условию у каждой пары знакомых людей есть ровно 5 общих знакомых, это означает, что каждая из Р пар знакомых людей входит ровно в 5 троек попарно знакомых людей. С другой стороны, в каждую из Т троек попарно знакомых людей входит ровно 3 пары знакомых людей. Сделанные замечания позволяют написать равенство: 5Р=3Т. Поскольку 3 и 5 - взаимно простые числа, Р делится на 3, что и требовалось доказать. Задание 10. На плоскости даны 6 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Каждая пара точек соединена отрезком синего или красного цвета. Докажите, что среди данных точек можно выбрать такие три, что все стороны образованного ими треугольника будут окрашены в один цвет. Решение Рассмотрим произвольную из 6-ти данных точек. По крайней мере 3 отрезка, выходящие из этой точки окрашены в один цвет. Можно считать эти отрезки синими. Если два из их концов соединены отрезком синего цвета, то нужный треугольник найден. Если это не так, то концы отрезков образуют треугольник красного цвета.
