Сербин3

Глава 3.
3.1.
Пара сил и моменты сил
Понятие «пара сил». Действие пары сил на тело
Парой сил называют, две силы равные по модулю, не лежащие на одной прямой, и
направленные в противоположные стороны. Плоскость, в которой лежат обе силы,
образующие пару сил, называется плоскостью действия пары сил. Воздействие пары сил
не приводит к поступательному движению тела, так как суммы проекций пары сил на
координатные оси равны нулю, а это соответствует тому, что тело не перемещается
относительно этих осей. Равнодействующая пары сил равна нулю. Вместе с тем, тело, к
которому приложена пара сил, не останется в равновесии, под действием пары сил оно
начинает вращаться. Вращение будет происходить относительно оси, перпендикулярной
плоскости действия пары сил.
Действие пары сил можно проиллюстрировать на примере вращения ручного бура,
когда одна рука тянет за его рукоять в одну сторону, а другая толкает в другую (рис. 3.1).
F
F
Рис. 3.1. Вращательное действие пары сил – вращение бура
Механическое воздействие на тело пары сил отличается от воздействия других
параллельных сил, поэтому рассматриваются отдельно.
Мысленно сравнивая две пары сил лежащих в одной плоскости, можно представить,
что одна из пар сил способна обеспечить большую скорость вращения тела, либо они
могут оказывать одинаковое вращательное воздействие. Иными словами, разные пары сил
могут оказывать одинаковые или различные механические воздействия на тело. Мерой
механического воздействия пары сил на тело является момент пары сил.
Моментом пары сил называется произведение модуля любой из сил, входящих в
пару, на кратчайшее расстояние между силами или их линиями действия,
М = Fd.
(3.1)
40
Кратчайшее расстояние между силами называется плечом пары сил, им является
перпендикуляр d, проведенный к линиям действия сил (рис. 3.2). Момент пары сил
измеряется в ньютонометрах (Н·м) или в кратных единицах (кН·м; МН·м).
F
Рис. 3.2. Пара сил
Силы равны по модулю F = F', не лежат на одной прямой
и направлены в противоположные стороны
d
F'
Пара сил способна вращать свободное тело, либо закрепленное шарниром. Если
тело закреплено связями с другими телами, пара сил может не вращать тело, так как
вращению могут препятствовать связи, но все равно будет передавать вращательное
воздействие на тело. Вращение происходит либо по часовой стрелке (рис. 3.3,а), либо
против часовой стрелки (рис. 3.3,б). Если смотреть на плоскость действия пары сил с
одной стороны, то вызываемое парой сил вращение тела по часовой стрелке принято
считать положительным (знак «плюс»), против часовой стрелки – отрицательным (знак
«минус» ).
а)
М1
б)
М2
F1
А
d
А
В
F2
F'2
d
В
F'1
Рис. 3.3. Пары сил на плоскости и создаваемые ими моменты
d – плечо пары сил; моменты пар сил: +М1 = F1·d = F'1·d; – М2= F2·d = F'2·d
Как следует из определения, величина момента пары сил зависит как от модуля
силы, так и от длины плеча пары сил. Соответственно, пары сил с различными значениями
модулей сил и различными плечами могут оказывать одинаковое механическое
воздействие на тело, т.е. быть эквивалентными. Эквивалентные пары сил должны лежать
в одной плоскости (плоскость Н), вращать в одном направлении, и в них должны
выполняться отношения: F1/F2 = d2/d1, или иначе, значения их моментов должны быть
равны
М1 = F1·d1 = М2 = F2·d2 (рис. 3.4,а, б).
41
а)
б)
F1
А
F2
d1
d2
А
В
В
F'2
F'1
H
H
Рис. 3.4. а, б – эквивалентные пары сил, одинаковое направление вращения и
соблюдается отношение F1  d 2 .
F2
d1
На рис. 3.5 показано преобразование пары сил, плечо k = d/cos α, сила F2 = F1·cos α,
полученные пары сил эквивалентны, независимо оттого, что линии действия сил F1, F2 и
величина их модулей изменились, значение создаваемых ими моментов осталось
одинаковым, момент М = F1·d = F2·k.
б)
а)
F1
α
F2
F'1
k
А
в)
F1
А
В
d
А
d
k
α
С
С
1
В
d
С
F'2
F'1
Рис. 3.5. Преобразование пары сил
а, б, в – эквивалентные пары сил; 1 – линии действия сил; F1 = F'1; F2 = F'2;
F1 k

F2 d
Укажем без доказательства, что действующую на тело пару сил, можно переносить,
поворачивать и прикладывать в плоскости ее действия, в любое место, при этом
механическое состояние тела не изменится, момент пары сил будет одинаков (рис. 3.6).
а)
б)
F
d
в)
d
F'
F
F
d
F'
F'
Рис. 3.6, а, б, в – перенос одной и той же пары сил в разные места тела не меняет его
механическое состояние
Задания для самостоятельной работы 3.1
1. Момент пары сил М = 25 кН·м, силы F = 5 кН, определите плечо пары сил.
42
2. Начертите две пары сил имеющих одинаковые значения моментов М = 40 кН·см, в
первом случае плечо равно 8 см, а во втором 5 см.
3. На рис. 3.6 изображены две пары сил имеющих одинаковые по модулям силы и
одинаковые плечи, определите, эквивалентны эти две системы сил или нет?
б)
а)
F
F
d
d
Рис. 3.6. К заданию 3
F'
F'
4. Определите величину моментов и их знаки для пар сил изображенных на рис. 3.6, если
F = 46 кН, d = 15 см.
Момент силы относительно точки
3.2.
Если к телу, прикрепленному одним концом к шарниру, приложить силу, линия
действия которой не проходит через шарнир, тело начнет вращаться. Возникает момент
силы относительно шарнира (точки). Механическое состояние такого тела схоже с
действием пары сил, но тело прикреплено к определенной точке О, вокруг которой и
происходит вращение (рис. 3.6,а, б). Если линия действия силы проходит через шарнир,
вращения не происходит (рис. 3.6,в).
Моментом силы относительно точки называется произведение модуля силы на
длину перпендикуляра опущенного из точки на линию действия силы,
МО = ± Fd,
(3.2)
где МО – момент силы F относительно точки О.
в)
б)
а)
МО
МО'
F
О
О'
F
d
– МО = Fd;
А
О'
F'
d
+ МО' = F'd;
Рис. 3.6. Моменты относительно точек О, О':
а – вращение против часовой стрелки – знак момента «минус»; б – вращение по часовой
стрелке – знак момента «плюс»; в – линия действия силы проходит через шарнир –
момент не создается
43
Если момент силы вращает тело по часовой стрелке, он считается положительным,
против часовой стрелки – отрицательным. Знак момента зависит от положения точки по
отношению к силе, поэтому всегда указывается точка, относительно которой
определяется момент силы.
Тело, также может вращаться, если его закрепить на оси. Проиллюстрировать
действие момента относительно оси можно на примере двери. Дверные петли создают
вертикальную ось, вокруг которой вращается дверное полотно. Проекция вертикальной
оси на перпендикулярную ей плоскость, будет соответствовать шарниру, точке О (рис.
3.7). Когда мы тянем за дверную ручку (прикладываем силу), дверь поворачивается вокруг
оси. Поворот происходит за счет действия момента относительно точки (МО = Fd).
МО
О
О
d
F
МО
d
F
Рис. 3.7. Момент силы относительно точки
Следует отметить, что наряду со схожестью воздействия пары сил и момента силы
относительно точки, между ними имеется и различия. Сила, чтобы создавать момент
относительно точки, должна передаваться через тело которое имеет точку закрепления
(например, шарнир, или ось вращения). Если нет точки закрепления, тело под действием
силы будет не вращаться, а перемещаться вдоль координатных осей. Численное значение
момента пары сил и его знак не зависят от положения пары сил на плоскости, а момент
силы зависит от положения точки, относительно которой определяется момент.
Как и для пар сил, моменты силы относительно точки измеряют в ньютонометрах
(Н·м), или в кратных единицах (кН·м; МН·м).
Рассматривая момент силы относительно оси, следует отметить, что, если сила
действует параллельно оси, вращения тела не происходит (рис. 3.8,а), (это все равно, что
тянуть дверь вверх или вниз), также не происходит вращения, если линия действия сил
проходят через ось, иначе говоря, длина плеча сил равна нулю (рис. 3.8,б).
Сила, лежащая в наклонной плоскости по отношению к оси, создает момент (рис.
3.8,в),
для
его
нахождения
следует
сначала
определить
проекцию
силы
на
перпендикулярную к оси плоскость H, и потом ее значение умножить на плечо (М = F2·d).
44
в)
б)
а)
F2
а
а
d
F1
d
F1
H
H
H
а
а
а
F
F
F2
а
Рис. 3.8. Действие силы относительно оси а – а:
а – сила F параллельна оси а - а и не создает момента; б – линия действия сил проходит
через ось – вращения не происходит; в – горизонтальная проекция силы создает момент
относительно оси, М = F2d
Задания для самостоятельной работы 3.2
1. Определите значение момента силы F = 32 кН, относительно точки О, расстояние l = 42
см, угол α = 34° (рис. 3.9).
О
α
F
Рис. 3.9. К заданию 1
l
2. Определите значения моментов справа и слева от точки О для доски находящейся на
опоре (рис. 3.10). Силы F1 = 8 кН, F2 = 2 кН. Плечи сил d1 = 0,2 м, d2= 1,3 м. Куда
повернется доска?
F1
F2
О
d1
3.3.
d2
Рис. 3.10. К заданию 2
Сложение пар сил и моментов сил. Равновесие
Пары сил можно суммировать, при этом суммируются их механические воздействия
на тело (конструкцию). Полученная в результате сложения пара сил называется
результирующей.
Здесь рассматривается сложение пар сил, лежащих в одной плоскости, сложнее
складывать пары сил, если они лежат в разных плоскостях.
45
Пример 3.1. Графически сложить две пары сил лежащих в одной плоскости и найти
результирующую пару сил (рис. 3.11,а).
D
В
d2
d
F1 '
F1
F2 ʹ
А
F'
F'
В
F1ʹ
d1
F1
в)
F2 '
d
б)
а)
F
А С
F
F2
F2
Рис. 3.11. Сложение двух пар сил. К примеру 3.1
Решение. 1. Проводим линии действия сил F1 F2 – F1' F2' до точек их пересечений (А, В)
рис. 3.11,а; 2. Перемещаем силы по линиям их действия в точки их пересечения и
складываем их по правилу параллелограмма (рис. 3.11,б); 3. Полученные в результате
сложения силы F – F' составляют результирующую пару сил, имеющую плечо d
(перпендикуляр между силами) рис. 3.11,в.
Результирующая
пара
сил
заменяет
всю
систему
суммируемых
пар
сил
(эквивалентна всей исходной системе пар сил), ее знак определяет направление вращения
тела в результате суммарного воздействия всех пар сил.
Механическое воздействие системы пар сил на тело определяется их
моментами. Поэтому, сложение пар сил можно выполнять алгебраически, путем
суммирования их моментов, т.е. учитывается не только
численные значения, но и
направление вращения (знаки моментов).
Момент результирующей пары сил равен алгебраической сумме моментов
составляющих систему пар сил. Момент результирующей пары сил определяется по
формуле:
n
M
i 1
i
 M 1  M 2  ...  M n .
(3.3)
Равновесие системы состоящей из пар сил обеспечивается, если сумма их моментов
равна нулю, иными словами, равновесие обеспечивается, когда механическое воздействие
всех приложенных к телу пар сил равно нулю:
n
M
i 1
i
 0.
(3.4)
46
Для моментов, которые образуют силы относительно точки, действуют те же правила
сложения, они складываются
по формуле 3.3, и аналогично, если сумма моментов
относительно точки равна нулю, тело к которому приложены силы не будет вращаться
относительно рассматриваемой точки.
Подводя итоги можно сказать, что для того чтобы тело не перемещалось вдоль двух
координатных осей, должны выполняться условия 2.3:
n

1.
Fx = 0;
i 1
n
2.

Fy = 0.
i 1
Для того, чтобы тело не вращалось должно соблюдаться условие 3.4:
n
3.
M
i 1
i
 0.
Выполнение всех трех условий обеспечивает равновесие тела, при действии на него всех
сил лежащих в одной плоскости (три уравнения статики). Если силы действуют в разных
плоскостях, то добавляют четвертое уравнение, выполнение которого предотвращает
перемещение тела относительно третьей координатной оси z:
n
4.

Fz = 0.
i 1
Как уже отмечалось, обычно применяют упрощенную форму записи уравнений
равновесия тела (уравнений статики), для систем сил на плоскости:
∑ X = 0;
∑ Y = 0;
∑ M = 0,
(в случае если определяется сумма моментов относительно точки,
обязательно вводится обозначение точки, например, сумма моментов относительно точки
О записывается как ∑ MО = 0). Так как на конструкции можно выбрать различные точки,
третье уравнение соответственно можно решать относительно разных точек.
Пример 3.2. На тело действуют три пары сил имеющих моменты М1 = – 25 кН·м, М2 = +
67 кН·м, М3 = – 15 кН·м. Определить значение момента, который обеспечит равновесие
тела (рис. 3.12).
Решение. 1. Равновесие тела, на которое действует система моментов, обеспечивается при
n
выполнении
уравнения
(3.4):
M
i 1
n
 Mi   M
i 1
1
i
 0.
Суммируем
действующие
моменты
 M 2  М 3  25  67  15  27 кН  м.
47
М1
М2
М3
Рис. 3.12. К примеру 3.2
М4
уравн
2. Для обеспечения выполнения уравнения 3.4 необходимо к телу приложить
уравновешивающий момент М4уравн = – 27 кН·м.
Задания для самостоятельной работы 3.3
1. Определите уравновешивающий момент для системы моментов изображенных на рис.
3.13. Значение моментов М1 = – 52 кН·м, М2 = + 45 кН·м.
М1
М2
Рис. 3.13. К заданию 1
2. Графически сложите две пары сил. Первая пара F1 – F1' = 10 кН, вторая пара F2 – F2' =
18 кН, плечи пар сил, соответственно, d1 = 1 см, d2 =1,8 см (рис. 3.14).
d1
F1 '
F1
d2
F2
F2 '
Рис. 3.14. К заданию 2
48