тренировочные задания для подготовки к

ФИЗИКА, МАТЕМАТИКА
Основы высшей математики. Дифференциальное исчисление.
1.
Производная функции. Таблица производных элементарных функций.
1.1. Найти производную функции 𝒚 = 𝟒.
1.2. Найти производную функции 𝒚 = 𝟐√𝒙.
1.3. Найти производную функции 𝒚 = 𝟓𝒙𝟓
1.4. Найти производную функции 𝒚 = 𝟒𝒔𝒊𝒏 𝒙.
1.5. Найти производную функции 𝒚 = 𝒆𝒙
𝟑
1.6. Найти производную функции 𝒚 = .
√𝒙
2. Правила дифференцирования функций
2.1. Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝟑 𝒆𝒙
2.2. Найти производную функции 𝒚 = 𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙.
2.3. Найти производную функции 𝒚 = 𝟒
𝒙
𝒔𝒊𝒏𝒙
.
2.4. Найти производную функции 𝒚 = 𝟓𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙.
2.5. Найти производную функции 𝒚 =
3.
𝒆𝒙
𝒍𝒏𝒙
.
Производная сложной функции
3. 1. Найти производную функции 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏(𝟓𝒙 + 𝟏).
3. 2. Найти производную функции 𝒚 = 𝟑𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙.
3. 3. Найти производную функции 𝒚 = 𝒍𝒏 𝒍𝒏𝟐 𝒙.
3. 4. Найти производную функции 𝒚 = √𝒔𝒊𝒏𝒙 .
3.5. Найти производную функции 𝒚 = 𝒆𝒔𝒊𝒏𝒙
1
3.6 Найти производную функции 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏(𝒙𝟒 + 𝟒).
4. Приложения производной
𝜋
4.1. Шарик совершает колебания по закону 𝑆 = 0,6𝑐𝑜𝑠 (𝜋𝑡 + ) .
10
Составьте формулу для вычисления мгновенной скорости шарика.
4.2. Получить формулу для вычисления мгновенной скорости и ускорения
𝜋
тела, если оно совершает колебания по закону S = 4sin (2𝜋𝑡 + )
12
4. 3. Получить формулу для вычисления мгновенной скорости колеблюще𝜋
гося тела, если тело cовершает колебания по закону 𝑆 = 5𝑐𝑜𝑠 (2𝜋𝑡 + ) .
2
4. 4. Температура тела меняется по закону 𝑇 = 𝑻𝟎 + 𝟐 𝒂𝒍 + 𝟑𝒃𝒍𝟑 , где l - глубина измерения температуры. T0, a, b – постоянные. Получить формулу для
градиента температуры.
4.5. Температура тела меняется по закону 𝑇 = 𝑻𝟎 + 𝟐 𝒄𝒍𝟐 + 𝟑𝒅𝒍𝟑 , где l – глубина измерения температуры. T0, c, d – постоянные. Получить формулу для
градиента температуры.
5. Частные производные
5.1. Найти частную производную по х от функции двух переменных
𝑧 = 2𝑥 + 𝑦.
5.2. Найти частную производную по y от функции двух переменных
𝑧 = 𝑥 + 4𝑦.
5.3. Найти частную производную по х от функции двух переменных
𝑧 = 2𝑥 𝑦.
5.4. Найти частную производную по y от функции двух переменных
𝑧 = 2𝑥𝑦.
5.5. Найти частную производную по х от функции двух переменных
𝒛 = 𝟑𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒚.
6. Частные и полный дифференциалы.
6.1. Найти дифференциал функции
𝒚 = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙
2
6.2. Найти дифференциал функции
𝒚 = 𝟑 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 .
𝒙
6.3. Найти частный дифференциал функции
𝑧=𝟐
6.4. Найти частный дифференциал функции
𝑧 = 𝟑 . по x.
𝒄𝒐𝒔𝒚
. по x.
𝒙
𝒚
6.5. Найти полный дифференциал функции двух переменных 𝑧 = 3𝑥 𝑦.
7. Неопределенный интеграл
𝑥
7.1 Найти неопределённый интеграл
∫ 2 𝑑𝑥.
7.2. Найти неопределённый интеграл
∫ 2 sin(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥.
7.3. Найти неопределённый интеграл
∫ 5 cos(5𝑥 + 1) 𝑑𝑥.
7.4. Найти неопределённый интеграл
∫ 5𝑥 4 𝑑𝑥.
7.5. Найти неопределённый интеграл
∫ 3𝑒 (3𝑥+1) 𝑑𝑥.
8. Определенный интеграл
2
8.1. Найти определённый интеграл
∫0 𝑥 𝑑 𝑥.
8.2. Найти определённый интеграл
∫0 𝑥 2 𝑑 𝑥.
8.3. Найти определённый интеграл
∫1 𝑑 𝑥.
8.4. Найти определённый интеграл
∫0 cos 𝑥 𝑑 𝑥.
8.5. Найти определённый интеграл
∫0 sin 𝑥 𝑑 𝑥.
4
5
3𝜋
2𝜋
9. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
9.1. Найти общее решение дифференциального уравнения первого поd𝑁
рядка
= − 3dt.
𝑁
9.2. Найти общее решение дифференциального уравнения первого поd𝑁
рядка
= 2dt .
𝑁
3
9.3. Найти общее решение дифференциального уравнения первого поdI
рядка = − μdx , если μ = const.
𝐼
9.4. Найти частное решение дифференциального уравнения первого поdI
рядка = − μdx , если μ = const и при х= 0 I=I0 .
𝐼
9.5. Найти общее решение дифференциального уравнения первого поd𝑚
рядка
= − 𝑓dt , если f=const.
𝑚
10. Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка
10.1. Составьте характеристическое уравнение для решения данного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 𝑦 ′′ + 𝟑𝒚′ + 𝟏𝟓𝒚 = 0
10.2. Составьте характеристическое уравнение для решения данного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 𝑦 ′′ + 𝟒𝒚 = 0
10.3. Найдите общее решение однородного дифференциального уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами 𝑦 ′′ + 𝟏𝟔𝒚 = 0.
10.4. Найдите общее решение однородного дифференциального уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами 𝑦 ′′ + 𝟐𝒚 = 0.
10.5. Найдите общее решение однородного дифференциального уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами 𝑦 ′′ + 𝟑𝟔𝒚 = 0.
11. Механические колебания
11.1. По графику, изображенному на рисунке, определите амплитуду колебаний пружинного маятника, его период и частоту. Составьте закон гармонических колебаний груза на пружине.
11.2. По графику, изображенному на рисунке, определите амплитуду колебаний пружинного маятника, его период и частоту. Составьте закон гармонических колебаний груза на пружине.
4
11.3. Сердце сокращается с частой 60 ударов в минуту. Чему равен период
одного сердечного сокращения?
11.4. . По графику, изображенному на рисунке, определите амплитуду колебаний пружинного маятника, его период и частоту. Составьте закон гармонических колебаний груза на пружине.
11.5. По графику, изображенному на рисунке, определите амплитуду колебаний пружинного маятника, его период и частоту, составьте закон гармонических колебаний груза на пружине.
11.6. Рассчитайте декремент затухания свободных колебаний груза на пружине:
12. Механические волны
12.1. В каких средах могут распространяться упругие продольные волны?
12.2. На рисунке представлен график волны в определенный момент времени. Чему равны длина волны, амплитуда колебаний частиц волны?
5
12.3 На рисунке представлен график волны в определенный момент времени.
Чему равна длина волны и амплитуда волны?
12.4. С какой частотой колеблется источник волн, если длина волны 10 м, а
скорость ее распространения 10 м/с?
12. 5. Определите скорость распространения волны, если ее длина 5 м, а период колебаний 10с.
13. Звук. Акустический спектр
13. 1. Определите длину звуковой волны, если период колебаний источника
5мс, а скорость распространения звука в воздухе – 340 м/с :
13.2. К какому виду спектров относится акустический спектр сложного тона?
13.3. Зачем проводится аудиометрическое исследование?
13.4. Насколько увеличилась громкость звука частотой 1 кГц, если его интенсивность увеличилась в 10000 раз?
13.5. С помощью графика кривых равной громкости определите уровень громкости звукового сигнала на частоте 100Гц и с уровнем интенсивности в
40 дБ.
6
14. Ультразвук.
14.1. На каком эффекте основано действие приемников ультразвука?
14.2. Определите глубину расположения неоднородности в мягкой ткани, если
при использовании ультразвукового эхолокатора ультразвуковой сигнал возвратился в датчик через 8 10-6 с. Скорость распространения ультразвука в мягкой ткани 1500 м/с.
14.3. На каком эффекте основано действие излучателей ультразвука?
14.4. Определите глубину расположения трещины в кости, если при использовании ультразвукового эхолокатора ультразвуковой сигнал возвратился в
датчик через 4·10-5 с. Скорость распространения ультразвука в костной ткани
3500 м/с.
14.5. Как изменяются частота и период волны УЗ колебаний при переходе из
мягкой в костную ткань?
14.6.Зачем применяют эффект Доплера в медицине?
14.7. Оцените величину коэффициента отражения ультразвуковой волны на
границе раздела костной ткани и крови, если плотность костной ткани 2000
кг/м3, плотность крови  1000 кг/м3. Скорости распространения УЗ в костной
ткани – 3500м/с, в крови – 1500м/с.
15. Электромагнитные волны
15.1. Наименьшую длину волны имеют ЭМВ …. диапазона.
7
15.2. Наибольшую длину волны имеют ЭМВ …. диапазона.
15.3. Какая длина волны соответствует распространяющейся в вакууме электромагнитной волне с частотой 1020 Гц?
15.4. Что является условием возникновения электромагнитной волны?
15.5 Что такое электромагнитная волна?
15.6. Укажите выражение для определения длины волны.
15.7. Электромагнитная волна является продольной волной и или поперечной?
15.8. Что называют средней за период энергией, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению
распространения волны.
15.9. При каком условии организм человека излучает ЭМВ?
15.10. При повышении или при понижении частоты ЭМВ в большей степени
проявляются корпускулярные свойства электромагнитных волн?
16. Элементы квантовой механики. Спектральный анализ
16.1. При регистрации спектра поглощения эозина на спектрофотометре СФ26 максимум оптической плотности Dmax = 2 находился на длине волны 500
нм. Концентрацию эозина изменили в 4 раз. Как при этом изменилась длина
волны максимума поглощения?
16.2. К какому виду спектров относятся атомные спектры?
16.3. Энергии фотонов при поглощении света соотносятся как 1>2, , при
этом как соотносятся соответствующие длины волн?
16.4. С какой скоростью движется микрочастица массой 10-30кг, если длина
волны де Бройля для неё равна 65 нм.
16.5. Какими свойствами согласно гипотезе де Бройля, обладает не только
фотон, но и каждая микрочастица?
16.6. В чем состоит гипотеза Луи де Бройля?
16.7. Определить минимальную ошибку в определении скорости шарика массой 10-2 мг, если неопределенность его координаты равна 1 мкм.
8
16.8. Чему равна энергия фотона для рентгеновских лучей c частотой 1018 Гц?
16.9. В каком агрегатном состоянии находятся тела, которые могут дать непрерывные (сплошные) спектры?
16.10. Чем определяются длины волн (частоты) линейчатого спектра какоголибо вещества?
16.11. На рисунке изображены фотографии спектров поглощения Na, H, Ca
и образец спектра поглощения неизвестного газа. По виду спектров определите, какие газы содержатся в образце в заметном количестве?
16.12. В каком агрегатном состоянии находятся тела, которые могут дать линейчатые спектры?
16.14. Что такое спектральный анализ?
16.15. В чем состоят достоинства спектрального анализа?
16.16. На рисунке изображены фотографии спектров излучения H, He, Sr
и образец спектра поглощения неизвестного газа. По виду спектров
определите, какие газы содержатся в
образце в заметном количестве?
17. Элементы квантовой механики. Тепловое излучение
9
17.1. К какому виду излучений относится излучение, при котором потери
атомами энергии на излучение света компенсируется за счет энергии теплового движения атомов (или молекул) излучающего тела?
17.2. Если температура абсолютно черного тела уменьшилась в 3 раза, во
сколько раз изменится излучательная способность АЧТ?
17.3. Как называется тело, коэффициент поглощения которого равен единице
для всех частот?
17. 4. Как называют отношение потока энергии, поглощаемой элементом поверхности тела, к потоку падающей на него энергии?
17.5. Абсолютно четное тело имеет максимум в спектре теплового излучения,
соответствующий инфракрасному диапазону. Затем тело нагрели. Как вы думаете, в каком диапазоне ЭМВ будет находиться новый максимум излучательной способности АЧТ?
17.6. По какой формуле можно определить энергию кванта теплового излучения?
17.7. Какие из приведенных ниже примеров излучений можно отнести к тепловому излучению?
a) Свет солнца;
b) Зеленоватое свечение болотной гнилушки;
c) Свечение экран компьютера;
d) Свет лампы накаливания.
17.8. Выберите правильные высказывания:
Отношение спектральной плотности энергетической светимости к монохроматическому коэффициенту поглощения…
a) является универсальной функцией длины волны и температуры;
b) зависит от излучающего тела;
c) равно спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела при данной температуре;
d) равно единице.
18. Люминесценция
18. 1. Люминесцентный анализ использовали для определения состава неизвестной биологической жидкости. Жидкость трижды облучали светом с разными длинами волн: 390нм, 520 нм, 705 нм. Люминесценцию наблюдали при
длине волны излучения 520нм. Свет, какой длины волны, инициировал люминесценцию?
18.2. Какая из зависимостей характеризует спектр люминесценции:
a) Iлюм= f (λлюм);
b) jлюм= f (λвозб);
c) c= f (λлюм);
d) Iлюм= f (λвозб).
10
18.3. В каком диапазоне длин волн работает осветитель в люминесцентном
микроскопе?
18.4. Сформулируйте закон Стокса.
18.5. Укажите правильные высказывания:
a). Максимум спектра люминесценции сдвинут по отношению к максимуму спектра возбуждения люминесценции в сторону более длинных
волн.
b). Люминесцентный анализ - совокупность методов для определения
природы и состава вещества по его спектру пропускания.
c). Люминесценция – тепловое излучение тела при данной температуре,
имеющее длительность значительно больше периода излучаемых световых волн.
d). Энергия фотонов, испускаемых при люминесценции, превышает
энергию возбуждающих фотонов.
18.6. Вставьте пропущенные слова:
Интенсивность флуоресценции . . . концентрации люминесцирующего вещества. Использование этого факта позволяет проводить количественный флуоресцентный анализ.
a) прямо пропорциональна;
b) обратно пропорциональна;
c) … не зависит от…
18.7. Какой из графиков правильно иллюстрируют закон Стокса (1 - спектр
люминесценции; 2 – спектр возбуждения):
18.8. Укажите правильные высказывания:
a) Люминесценция – избыточное над тепловым электромагнитное излучение тела при данной температуре, имеющее длительность значительно
меньше периода излучаемых световых волн.
b) Фотолюминесценция — люминесценция, возбуждаемая светом.
c) Максимум спектра люминесценции сдвинут по отношению к максимуму спектра возбуждения люминесценции в сторону более длинных
волн.
d) По спектру люминесценции нельзя изучать химические превращения и
межмолекулярные взаимодействия.
11
e) Резонансное излучение — простейший случай фотолюминесценции. В
этом случае, излучение на выходе среды происходит на той же частоте,
что и частота падающего света.
18.9. Установите соответствие:
Тип люминесценции
Условия наблюдения
1) электролюминес- а) при возбуждении атомов электронами;
ценция
2) катодолюминесценция
б) при возбуждении молекул рентгеновским и
гамма-излучением;
3) фотолюминесценция
в) излучение света под действием электрического
поля;
г) при возбуждении молекул видимым светом и
УФ– излучением.
4) рентгенолюминесценция
19. Лазер
19. 1. Каким способом осуществляется возбуждение атомов (накачка) в рубиновом лазере?
19.2. Какое высказывание для лазера не справедливо?
a) свет испускается только в одном направлении
b) частота во всех направлениях одинаковая
c) различная частота по всем направлениям
19.3. Назовите свойства лазерного излучения.
19.4. Каков механизм перехода атомов из возбужденного состояния в основное при индуцированном излучении?
19.5. Излучение лазера является:
a) спонтанным;
b) белым;
c) тепловым;
d) индуцированным.
19.6. В основе работы рубинового лазера лежит:
a) спонтанное излучение частиц;
b) переход электронов с одного уровня на другой;
c) химическая реакция;
d) электронный парамагнитный резонанс;
e) вынужденное испускание фотонов возбужденными ионами хрома.
19.7. Вынужденное испускание фотонов в лазере происходит . . .
a) под воздействием магнитного поля;
b) при самопроизвольном переходе возбужденных частиц на нижний
уровень;
c) при переходе частиц из основного состояния в возбужденное;
12
d) при взаимодействии фотонов с возбужденной частицей;
e) при выбивании электронов из внутренних слоев атома.
19.8. В каком диапазоне длин волн находится излучение рубинового лазера?
19.9. Состояние вещества с инверсной населенностью характеризуется:
a) положительной термодинамической температурой;
b) уменьшением интенсивности проходящего через среду света;
c) большим количеством невозбужденных атомов в веществе,
d) чем возбужденных;
e) положительным показателем поглощения;
f) большей концентрацией атомов на верхних энергетических уровнях,
чем на нижних.
19.10. Укажите правильные высказывания:
1) Важным свойством излучения квантового генератора является его когерентность, когда частота колебаний постоянна, а фаза изменяется.
2) При вынужденном излучении испущенные фотоны полностью тождественны фотонам, воздействующим на систему атомов.
3) В основе работы лазера лежит процесс спонтанного испускания фотонов
возбужденными квантовыми системами.
4) По мере распространения света в среде с инверсной населенностью его интенсивность увеличивается.
19.11. Назовите, какие элементы на схеме рубинового лазера обозначены
цифрами 1,2,3,4,5:
13