Утверждены на заседании кафедры «Математика и информатика» 17 января 2014 г.

Утверждены на заседании кафедры
«Математика и информатика»
17 января 2014 г.
______________ зав. кафедрой, доцент
Уродовских В. Н.
Методические указания
по выполнению контрольных работ
В соответствии с учебным планом по дисциплине «Математический
анализ» каждый студент должен выполнить домашнюю контрольную
работу в срок, установленный учебным графиком, по приведенным
вариантам.
Номер варианта контрольной работы определяется в соответствии с
последней цифрой номера личного дела студента, который совпадает с
номером его зачетной книжки и студенческого билета.
Контрольная работа сдается на кафедру математики и информатики.
Кафедра открыта каждый день с 9.00 до 16.00, перерыв с 13.00 до
14.00, выходной – суббота, воскресенье. В контрольную работу должен
быть вклеен протокол отчета студента о работе с КОПР. Работа
регистрируется и передается на проверку преподавателю. После
проверки преподаватель сдает работу на кафедру, откуда ее можно
забрать в указанное время.
Чтобы работа была своевременно проверена, а при необходимости
доработана и сдана повторно, ее надлежит представить на кафедру
через две недели после последнего аудиторного занятия по
математическому анализу.
Если в процессе работы у студента появятся вопросы или возникнут
затруднения в решении задач, то он может обратиться за
консультацией по электронной почте или на форум кафедры. Также
после лекционных занятий организованы консультации, которые
отражаются в расписании.
Каждая контрольная работа содержит набор заданий, при выполнении
которых необходимо соблюдать следующие правила.
1. Работа должна быть выполнена в школьной тетради, имеющей поля
для замечаний рецензента.
2. На обложку тетради наклеивается титульный лист, образец которого
представлен ниже.
3. Условия задач полностью переписывается перед началом их
решения. (При невыполнении этого требования контрольная
работа не проверяется.)
4. При решении задач следует придерживаться той
последовательности, в которой они даны в варианте, строго
сохраняя нумерацию задач.
5. Не допускается замена одних задач контрольной работы другими.
6. Решения задач должны сопровождаться развернутыми
пояснениями. Следует привести в общем виде используемые
формулы с объяснением употребляемых значений, записать ответ.
7. Чертежи к задачам должны быть выполнены в прямоугольной
системе координат в полном соответствии с условием задачи и теми
результатами, которые получены. Все линии подписываются своими
уравнениями.
Если в работе после проверки есть недочеты и ошибки, то их нужно
исправить в той же тетради, написав после контрольной «Работа
над ошибками», и сдать на кафедру для повторной проверки.
Если рецензент обнаруживает, что решения задач идентичны в двух
или нескольких работах, то одна из них засчитывается, а остальные
переделываются в этой же тетради по другим вариантам,
указанным проверяющим. В этом случае перед работой пишется
«Повторная контрольная работа» и указывается новый вариант.
Такая работа снова представляется на кафедру для проверки.
Контрольная работа не засчитывается, если ее вариант не совпадает
с последней цифрой номера личного дела студента или если она
выполнена по вариантам прошлых лет.
Зачет по контрольной работе проставляется при наличии всех
исправлений и при наличии протокола КОПР. Студенты, не
получившие зачет по контрольной работе, к экзамену не
допускаются. Зачтенные работы должны быть на экзамене, и их не
возвращают после успешной его сдачи.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Липецкий филиал
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
Контрольная работа
по дисциплине:
Вариант №___
Преподаватель: к.э.н., доцент ____________
Студент _______________________________
Личное дело № _________________________
Направление (специальность) ____________
Курс__________________________________
Работа принята
«___»_____________2013 года
______________Е. В. Хаюрова
Липецк 2014
Утверждены на заседании кафедры
«Математика и информатика»
17 января 2014 г.
______________ зав. кафедрой, доцент
Уродовских В. Н.
ВАРИАНТ 1
1. Найти предел:
𝑙𝑛2 (1 − 5𝑥)
lim
𝑥→0 2𝑥 2 + 𝑥 3
2. Составить уравнения касательных к функции 𝑦 =
2𝑥−7
,
𝑥−3
перпендикулярных прямой,
проходящей через точки (0; 3) и (1; 7). Сделать чертеж.
3. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑥+3
𝑒𝑥
и схематично построить ее график.
4. Найти интеграл:
∫
𝑒 𝑥 𝑑𝑥
.
𝑒 2𝑥 − 3𝑒 𝑥 + 2
5. Решить дифференциальное уравнение:
𝑥𝑙𝑛𝑥 ∙ (𝑦 2 + 5)𝑑𝑥 − 4𝑦𝑑𝑦 = 0
6. Экспериментальные данные о значениях переменных 𝑥 и
𝑥𝑖
𝑦𝑖
1
2,2
1,5
3,9
2
5,8
2,5
8,8
𝑦 приведены в таблице:
3
12,3
3,5
16
В результате их выравнивания получена функция 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑥. Используя метод
наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью 𝑦 =
𝑎𝑥 + 𝑏. Выяснить, какая из двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов
выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
7. Исследовать ряд на сходимость:
∞
∑
𝑛=1
2𝑛2 + 5𝑛 − 1
.
3𝑛4 + 7𝑛2 + 1
ВАРИАНТ 2
1. Найти предел:
lim (√𝑥 2 + 5𝑥 − 2 − √𝑥 2 − 3𝑥 + 1) .
𝑥→+∞
−3𝑥
2. Составить уравнения касательных к функции 𝑦 = 𝑥+1 в точках ее пересечения с прямой,
проходящей через точки (1; 3) и (-1; -3). Сделать чертеж.
3. Исследовать функцию 𝑦 = 𝑥𝑒 −3𝑥
2
и схематично построить ее график.
4. Найти интеграл:
∫ 𝑒 −2𝑥+3 (𝑥 − 1)𝑑𝑥.
5. Решить дифференциальное уравнение:
4𝑥𝑑𝑦 = (4𝑦 + √𝑥𝑦)𝑑𝑥.
6. Экспериментальные данные о значениях переменных 𝑥 и
𝑥𝑖
𝑦𝑖
1
0,91
2
1,02
3
1,26
4
1,30
𝑦 приведены в таблице:
5
1,41
6
1,62
4
В результате их выравнивания получена функция 𝑦 = √𝑥 . Используя метод наименьших
квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
Выяснить, какая из двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов
выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
7. Исследовать ряд на сходимость. В случае сходящегося знакочередующего ряда указать
характер сходимости.
∞
∑(−1)𝑛
𝑛=1
3𝑛 + 5
.
2𝑛3 + 4𝑛 − 1
ВАРИАНТ 3
1. Найти предел:
lim
√1 + 𝑥 − 1
𝑥→0 √4 +
3𝑥 − 2
.
2. Составить уравнения касательных к функции 𝑦 =
2𝑥+1
𝑥+2
, которые параллельны прямой
3𝑥 − 𝑦 + 2 = 0. Сделать чертеж.
3. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑥 2 +𝑥−5
𝑥 2 −3
и схематично построить ее график.
4. Найти интеграл:
1
∫
0
(3𝑥 − 2)𝑑𝑥
.
𝑥 2 − 5𝑥 + 6
5. Решить дифференциальное уравнение:
(2𝑥 + 3)(𝑦 2 − 1)𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 − 5𝑦𝑑𝑦 = 0.
6. Экспериментальные данные о значениях переменных 𝑥 и
𝑥𝑖
𝑦𝑖
-3
-1,3
-1
-2,6
1
3,3
3
0,8
𝑦 приведены в таблице:
6
0,8
9
0,5
3
В результате их выравнивания получена функция 𝑦 = 𝑥 . Используя метод наименьших
квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
Выяснить, какая из двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов
выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
7. Исследовать ряд на сходимость:
∞
∑
𝑛=1
3𝑛2 + 5
.
3𝑛 + 2
ВАРИАНТ 4
1. Найти предел:
2
𝑒 𝑥 − 𝑥2 − 1
lim
.
𝑥→0
𝑥2 − 𝑥
2. Составить уравнение касательной к функции 𝑦 = −𝑥 2 + 5𝑥 − 4 , перпендикулярной
прямой 𝑥 + 3𝑦 + 5 = 0. Сделать чертеж.
3. Исследовать функцию 𝑦 = 𝑒 𝑥−1 (3 − 𝑥) и схематично построить ее график.
4. Найти интеграл:
3
∫ 𝑥 2 √𝑥 + 1𝑑𝑥 .
0
5. Решить дифференциальное уравнение:
𝑦′ −
𝑦
= 𝑒 2𝑥 (𝑥 + 3).
𝑥+3
6. Экспериментальные данные о значениях переменных 𝑥 и
𝑥𝑖
𝑦𝑖
-3
5
-2
2
-1
1
0
2
𝑦 приведены в таблице:
1
5
2
10
В результате их выравнивания получена функция 𝑦 = (𝑥 + 1)2 . Используя метод
наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью 𝑦 =
𝑎𝑥 + 𝑏. Выяснить, какая из двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов
выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
7. Исследовать ряд на сходимость. В случае сходящегося знакочередующего ряда указать
характер сходимости.
∞
∑
𝑛=1
(−1)𝑛 𝑛2
.
3𝑛3 + 𝑛2 + 1
ВАРИАНТ 5
1. Найти предел:
3𝑥 + 1 2𝑥−5
lim (
)
.
𝑥→∞ 3𝑥 − 4
2. Составить уравнения касательных к функции 𝑦 = (𝑥 2 + 2)(𝑥 + 2) в точках ее
пересечения с осями координат. Сделать чертеж.
3. Исследовать функцию 𝑦 = (𝑥 2 − 2)𝑒 2𝑥 и схематично построить ее график.
4. Найти интеграл:
∫
(5𝑥 − 1)𝑑𝑥
.
𝑥 2 + 7𝑥 − 8
5. Решить дифференциальное уравнение:
𝑦√𝑥 2 + 1𝑑𝑦 − 𝑥(𝑦 2 − 5)𝑑𝑥 = 0
6. Экспериментальные данные о значениях переменных 𝑥 и
𝑥𝑖
𝑦𝑖
-4
-1,2
-3
-0,71
-2
-0,01
В результате их выравнивания получена функция 𝑦 =
-1
0,53
2𝑥−1
.
3𝑥+1
𝑦 приведены в таблице:
0
0,82
1
0,92
Используя метод
наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью 𝑦 =
𝑎𝑥 + 𝑏. Выяснить, какая из двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов
выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
7. Исследовать ряд на сходимость:
∞
∑
𝑛√𝑛 + 5 − 2𝑛2
3𝑛√𝑛2 − 3 + 5𝑛
𝑛=1
.
ВАРИАНТ 6
1. Найти предел:
1−3𝑥 2
2𝑥 2 − 5
lim ( 2
)
𝑥→∞ 2𝑥 + 3
.
2. Составить уравнение касательной к функции 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 5, параллельной хорде,
которая соединяет точки параболы с абсциссами 𝑥1 = 1 и 𝑥2 = 3. Сделать чертеж.
3. Исследовать функцию 𝑦 = ln(𝑒 + 𝑥 2 ) и схематично построить ее график.
4. Найти интеграл:
6
∫ √𝑥 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥.
5. Решить дифференциальное уравнение:
2𝑦 ′ + 6𝑦 = 𝑒 −2𝑥 .
6. Экспериментальные данные о значениях переменных 𝑥 и
𝑥𝑖
𝑦𝑖
-2
9,8
-1
4,5
0
2,4
1
0,6
𝑦 приведены в таблице:
2
0,3
В результате их выравнивания получена функция 𝑦 = 3−𝑥 . Используя метод
наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью 𝑦 =
𝑎𝑥 + 𝑏. Выяснить, какая из двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов
выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
7. Исследовать ряд на сходимость:
∞
∑
𝑛=1
5𝑛2 √𝑛 − 2𝑛 + 7
.
2𝑛4 + 𝑛2
ВАРИАНТ 7
1. Найти предел:
3
lim
𝑥→−7
√𝑥 − 1 + 2
.
𝑥 2 − 49
2𝑥−2
2. Составить уравнения касательных к функции 𝑦 = 2𝑥−3 , перпендикулярных прямой,
проходящей через точки (1; 1) и (-1; 0). Сделать чертеж.
3. Исследовать функцию 𝑦 = 𝑒 2𝑥−𝑥
2
и схематично построить ее график.
4. Найти интеграл:
∫
𝑥 3 + 3𝑥 2 − 4𝑥 + 2
𝑑𝑥.
𝑥+1
5. Решить дифференциальное уравнение:
5𝑥𝑦𝑑𝑥 − (𝑦 2 + 5𝑥 2 )𝑑𝑦 = 0.
6. Экспериментальные данные о значениях переменных 𝑥 и
𝑥𝑖
𝑦𝑖
4
0,8
4,5
0,5
5
0,2
5,5
0,4
𝑦 приведены в таблице:
6
0,9
В результате их выравнивания получена функция 𝑦 = (𝑥 − 5)2 . Используя метод
наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью 𝑦 =
𝑎𝑥 + 𝑏. Выяснить, какая из двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов
выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
7. Исследовать ряд на сходимость. В случае сходящегося знакочередующего ряда указать
характер сходимости.
∞
(−1)𝑛 (3𝑛2 + 1)
∑
.
2𝑛 + 8
𝑛=1
ВАРИАНТ 8
1. Найти предел:
lim (1 + 5𝑥)(2𝑥−1)⁄3𝑥 .
𝑥→0
2. Составить уравнения касательных к функции 𝑦 =
𝑥+1
𝑥−3
, образующих с осью ОХ угол
3𝜋
4
.
Сделать чертеж.
3. Исследовать функцию 𝑦 =
𝑥−1
𝑥 2 +3
и схематично построить ее график.
4. Найти интеграл:
𝑒
∫
1
𝑥(𝑙𝑛2 𝑥
𝑑𝑥
.
− 𝑙𝑛𝑥 − 2)
5. Решить дифференциальное уравнение:
3𝑦 ′ − 5𝑦 = 𝑒 −2𝑥 .
6. Экспериментальные данные о значениях переменных 𝑥 и
𝑥𝑖
𝑦𝑖
0
1,3
1
1,7
2
2,1
3
2,4
𝑦 приведены в таблице:
4
2,7
5
2,8
В результате их выравнивания получена функция 𝑦 = √𝑥 + 2 . Используя метод
наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью 𝑦 =
𝑎𝑥 + 𝑏. Выяснить, какая из двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов
выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
7. Исследовать ряд на сходимость:
∞
∑
𝑛=1
3𝑛 + 5
.
2𝑛2 − 𝑛 + 4
ВАРИАНТ 9
1. Найти предел:
lim (2𝑥 − √4𝑥 2 + 3𝑥 − 2) .
𝑥→+∞
2. Составить уравнение касательной к функции 𝑦 = 𝑥 2 + 4𝑥 − 5, проведенных в точках ее
пересечения с прямой 𝑦 = 2𝑥 − 2. Сделать чертеж.
3. Исследовать функцию 𝑦 = (2 − 𝑥)𝑒 −2𝑥 и схематично построить ее график.
4. Найти интеграл:
1
∫ 𝑥 2 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥.
0
5. Решить дифференциальное уравнение:
5𝑥 2 𝑦𝑑𝑥 − (5𝑥 3 + 𝑦 3 )𝑑𝑦 = 0.
6. Экспериментальные данные о значениях переменных 𝑥 и
𝑥𝑖
𝑦𝑖
2
2
3
5
4
15
5
20
𝑦 приведены в таблице:
6
30
В результате их выравнивания получена функция 𝑦 = 𝑥 2 − 3 . Используя метод
наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью 𝑦 =
𝑎𝑥 + 𝑏. Выяснить, какая из двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов
выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
7. Исследовать ряд на сходимость:
∞
𝑛
2𝑛 − 1 2
∑(
) .
2𝑛 + 5
𝑛=1
ВАРИАНТ 10
1. Найти предел:
3
lim
√8𝑥 3 + 7 + 2𝑥
𝑥→∞ √9𝑥 2
+ 1 + 5𝑥
2. Составить уравнения касательных к функции 𝑦 =
.
2𝑥−3
𝑥+1
, параллельных прямой,
проходящей через точки (1; 8) и (-1; -2). Сделать чертеж.
3. Исследовать функцию
и схематично построить ее график.
𝑦=
𝑥2 − 𝑥 + 1
.
𝑥2 + 1
4. Найти интеграл:
𝑒3
∫
1
√5 + 3𝑙𝑛𝑥 + 4𝑙𝑛𝑥
𝑑𝑥.
𝑥
5. Решить дифференциальное уравнение:
𝑦 ′ + 3𝑦 = 𝑥.
6. Экспериментальные данные о значениях переменных 𝑥 и
𝑥𝑖
𝑦𝑖
1
5,3
1,5
3,5
2
2,3
В результате их выравнивания получена функция
2,5
1,5
𝑦 приведены в таблице:
3
2,0
3,5
0
5
𝑥
𝑦 = . Используя метод наименьших
квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
Выяснить, какая из двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов
выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
7. Исследовать ряд на сходимость. В случае сходящегося знакочередующего ряда указать
характер сходимости.
∞
∑
𝑛=1
(−1)𝑛 𝑛2 √4𝑛 + 2
.
3𝑛5 + 2